人教版八年级上册数学第十二章全等三角形证明题专题训练

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人教版八年级上册数学第十二章全等三角形证明题专题训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
2．完成下面证明，如图，，，，求证：
3．如图，于点E，于点F，．
(1)求证：；
(2)求证：．
4．如图，四边形中，，是的中点，平分．
(1)求证：平分；
(2)判断之间的数量关系，并证明；
(3)若，，求和的面积之和．
5．已知：如图，点、、、在同一直线上，，，，求证：．
6．如图，，，，，连接，线段的延长线与交于点F，交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
7．如图，在中，，点在的延长线上，且．过点作，与的垂线交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
8．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接．

(1)求证：；
(2)若，求证：．
9．如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，，
(1)求证：
(2)若，，求的度数
10．如图，，经过点D．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
11．如图，已知A，D，C，E在同一直线上，和相交于点O，，，．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的度数．
12．如图，，，点B在上，点D在上．
求证：
(1)
(2)．
13．如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分．
(1)求证：平分；
(2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和．
14．如图，在中，，，过点A作，垂足为D，延长至E．使得．在边上截取，连结．
(1)求的度数．
(2)试说明：．
15．如图，点A，E，F，B在直线l上，， ，且，求证：
(1)；
(2) ．
16．如图，是的边上的中线，是上一点，延长到点，使．连接．是延长线上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
17．如图，在中，平分平分于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的面积．
18．如图，中，平分交于点E，平分．交于点D，与交于点O，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：平分
19．如图，中两边、上有两点M、N，D为外一点，且，，，．

(1)猜想线段、、之间的数量关系并证明；
(2)若，，求的周长．
20．如图，在中，，取点D与点E，使得，，连结与交于点O．求证：

(1)；
(2)．
21．在中，是的中点，．
(1)证明：；
(2)若，平分，求的度数．
22．如图，锐角三角形与等腰直角三角形是共边三角形，，,过点D作于F,E为的中点.
(1)求证：;
(2)求证：
(3)若,求的长
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参考答案：
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
（1）先证明，再利用证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等得出即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
2．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，熟练掌握证明三角形全等的方法是解题的关键．先证明，再证明得到，据此根据三角形外角的性质即可证明
【详解】证明：∵，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴
3．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正确理解题意是解题的关键．
（1）先证明，再根据，即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵于点于点，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
．
4．(1)证明见解析；
(2)，证明见解析；
(3)．
【分析】（）过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据证明得出，即可得出结论；
（）证明得到，再根据（）所得即可得出结论；
（）根据，求出梯形与的面积即可求解；
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，
∵，
∴，
∵平分，，，
∴，
又∵是的中点，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴平分；
（2）解：，证明如下：
在与中，
，
∴，
∴，
又∵，，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴和的面积之和梯形的面积的面积
，
，
．
5．见解析
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线判定等．根据题意先证明，继而利用全等的性质即可得到本题结论．
【详解】解：证明：在和中，
，
，
，
．
6．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．
（1）根据垂直的定义得到，由角的和差得到，即可得到结论．
（2）证明， 结合，再利用三角形的内角和定理可得结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
∴，
在与中，
∵，
∴．
（2）证明：由（1）知，
∴，
∵，
∴．
∴．
7．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．
（1）先根据三角形的内角和定理和同角的余角相等证得，进而利用“”可证得结论；
（2）根据全等三角形的对应边相等证得，进而得到．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，又，
∴．
8．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
（1）求出，根据全等三角形的性质得出；
（2）根据（1）求出，根据三角形外角性质求出，再求解即可．
【详解】（1）证明：为中点，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：，，
，
，
，
，
．
9．(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，掌握其性质定理是解决此题的关键．
（1）根据，可得出，即可判定；
（2）首先根据（1）中两三角形全等，可得，在中根据三角形内角和定理即可求出．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
．
（2）解：，，，
，
．
10．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．
（1）利用证明，即可；
（2）根据全等的性质，推出四边形的面积等于的面积，进行求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
．
11．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的性质，三角形的外角的性质．
（1）先证明，，再利用证明即可；
（2）先求得，证明，再利用全等三角形的性质可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
12．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等角的补角相等等知识．
（1）根据已知条件利用证明即可；
（2）根据得到，再利用等角的补角相等即可得到结论．
【详解】（1）证明：在和中，
∴
（2）∵，
∴．
∵，，
∴．
13．(1)见解析
(2)20
【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面积公式求三角形面积，是解题的关键．
（1）过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E，先利用角平分线的性质定理可得，再利用角平分线判定定理，即可解答；
（2）根据，，可求出，从而可得，然后再利用，进行计算即可解答．
【详解】（1）如图，过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E．
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴．
∴，
∴平分；
（2）∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
即．
∴，
故线段与的长度之和为20．
14．(1)
(2)见解析
【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据得出，进而根据三角形外角的性质可得出答案；
（2）证明，根据全等三角形的性质即可得出．
【详解】（1）解：．
．
，
；
（2）证明：在中，，，
．
．
在和中，
，
，
．
15．(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质及全等三角形判定与性质，
（1）先证明及，即可证明从而证明结论；
（2）根据全等三角形性质得出即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴，
在与中 ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵≌
∴
∴．
16．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）先由中点得出，再运用证明，即可作答．
（2）由（1）知．运用线段关系得，再证明，即可作答．
【详解】（1）证明： 是的中线，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）知．
在和中，
17．(1)
(2)18
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形面积，熟知角平分上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义，及三角形内角和定理即可求出结论；
（2）利用角平分线性质得出，再利用三角形面积公式即可求出．
【详解】（1）解：平分，
，
平分，，
，
在中，；
（2）解：过点作于点，
平分，，
，
，
，
，
的面积．
18．(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查角平分线的性质、三角形外角的性质和三角形内角和定理、
（1）结合角平分线设，，则，即，利用三角形的外角定理得即可；
（2）过点O作于点N，于点M，于点K．则有和．即，即可得到点O在的平分线上．
【详解】（1）解：∵，平分，
∴设，；
∵ ；
∴，即，
∴，
在中，，
∴．
（2）证明：如图1，过点O作于点N，于点M，于点K．
∵平分，平分，
∴，．
∴．
∴点O在的平分线上．
∴平分．
19．(1)；理由见解析
(2)13
【分析】（1）延长，则的延长线上取，连接，证明，得出，，证明，得出，根据，即可得出答案；
（2）根据，得出求出结果即可．
【详解】（1）解：；理由如下：
延长，则的延长线上取，连接，如图所示：

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，补角的性质，四边形内角和，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．
20．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质．
（1）由角的和差关系可得出，利用证明三角形全等即可．
（2）由全等三角形的性质可得出．
【详解】（1）证明，
∴，
即
在 与 中
∴

（2）由（1）可知 ，
∴．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等
（1）证明，得出；
（2）由平行线的性质得出，，由角平分线的定义可得出答案．
熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）解：证明：，
，，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
；
（2），
，，
，
，
平分，
．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关定理内容，寻找全等条件是解题关键．
（1）根据即可求证；
（2）在上截取，证得，进一步可得；再证即可求解；
（3）由（2）可得：；设，则
根据解出即可求解；
【详解】（1）证明：，
∴
∴
（2）证明：在上截取，如图所示：
∵，
∴
∴
∴
即：
∵
∴
∴
∴
（3）解：由（2）可得：
设，则
∴
解得：
∴
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