人教版八年级上册数学第十三章轴对称单元试题（含解析）

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人教版八年级上册数学第十三章 轴对称单元试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(每题3分，共30分)
1．下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，是的垂直平分线．若，则的周长是（ ）
A．13 B．5 C．8 D．26
3．在中，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点在线段上，，，，且，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，点在边上，，分别以为圆心，大于的一半长度为半径作圆弧，交于一点．连接，交于点周长为周长为16，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，（和是对应角），，若，．当时，与之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线交于点D，连接．
若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．已知：如图，在中，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：
①；②；③；④．
其中结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每题3分，共30分)
11．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰成，则此等腰三角形的顶角是 ．
12．如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ．
13．平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到点B，则点B关于x轴的对称点的坐标为 ．
14．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、G，的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，，则 ．

15．如图，是的垂直平分线，若，，则四边形周长是 ．
16．如图，是的角平分线，将沿所在直线翻折，点B落在边上的点E处．若，，则的大小为 度．
17．如图，在边上，，，则的度数为 ．
18．如图，中，平分，，若，，则的长为 ．
19．如图，在中，，点D，E，F在的边上，，，则的面积是 ．
20．如图，中，将沿折叠，使得点C落在上的点处，连接与，的角平分线交于点E；如果，那么下列结论：②垂直平分﹔③﹔④﹔其中正确的是 ﹔（只填写序号）
三、解答题(共60分)
21．如图，中，．求证：．
22．如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．
(1)在平面直角坐标系中画出；
(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______；
(3)求的面积．
23．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C均在格点上，且是格点三角形，按下列要求画图，并保留作图痕迹．
(1)在图1中，画出与全等的格点三角形；（找到一个即可）
(2)在图2中，的面积为______，在网格内找出满足和面积相等的所有格点E；（点E不与已知的三个点重合）
(3)在图3中，只用无刻度的直尺作出中边上的高．
24．如图，是的角平分线，，分别是和的高．
(1)试说明垂直平分；
(2)若，，，求的长．
25．如图，在中，平分，平分，且与相交于点，过作，分别交、于、．
(1)试判断、、之间的关系，并说明理由；
(2)若的周长比的周长大，到的距离为，的面积为________．
26．已知：点是的边的中点，，，垂足分别为，且．
(1)如图，求证：；
(2)如图，若，连接交于，连接，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中面积是面积倍的所有等腰三角形．
27．在四边形中，是钝角，，对角线平分．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，求的度数；
(3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明．
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A B A D A B D D
1．D
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，本选项错误；
B、不是轴对称图形，本选项错误；
C、不是轴对称图形，本选项错误；
D、是轴对称图形，本选项正确．
故选：D．
2．A
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质，得到，进而推出的周长是，计算即可．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长是．
故选A．
3．A
【分析】本题主要考查了等边对等角和三角形内角和定理，根据等边对等角得到，再由三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
故选：A．
4．B
【分析】先根据证明，从而可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得：，从而可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，最后进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：如图：
在和中，
，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴．
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，连接、，利用可证明，可得，，即可证明是等腰直角三角形，可得，同理证得，进而可得的度数，熟练掌握全等三角形的判定方法并正确作出辅助线是解题关键．
【详解】解：连接、，

∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
故选：A．
6．D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的判定，先根据线段垂直平分线的性质得出是的垂直平分线，可判断A，B；再根据“边边边”证明C；能否确定三者之间的关系判断D．
【详解】∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
所以A，B正确；
∵，
∴，
所以C正确；
不能确定之间的关系，所以D不正确．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的定义，根据题意可得是的垂直平分线，从而可得，然后根据的周长为16，周长为，可得，从而可解答．
【详解】解：由作图可得：，，
∴，
∵周长为周长为16，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角，平行线的性质，熟练掌握相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据，，，可知，，结合和等腰三角形性质可得，，将展开为求解，即可解题．
【详解】解：（和是对应角），，
，，
，
，
，，
，
，
故选：B．
9．D
【分析】根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由题意可得为的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，则可求得的度数，据此即可解题．
【详解】解：，，
，
由题知，直线为的垂直平分线，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
10．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；
②由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；
③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到垂直于，本选项正确；
④利用周角减去两个直角可得答案．
【详解】解：①∵，
∴，即，
∵在和中，，
∴，
∴，本选项正确；
②∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，本选项正确；
③∵，
∴，
∴，
则，本选项正确；
④∵，
∴，故此选项正确，
故选：D．
11．或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，根据题意进行分类讨论，当该等腰三角形为锐角三角形时，当该等腰三角形为钝角三角形时，画出对应的示意图，根据三角形内角和定理，即可解答．
【详解】解：当该等腰三角形为锐角三角形时，如图：
，
∴，
∴；
当该等腰三角形为钝角三角形时，如图：
，
∴，
∴，
∴；
综上所述，该等腰三角形的顶角度数为或，
故答案为：或．
12．3
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，根据题意易得，，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了点的平移，关于x轴对称点的特点，熟练掌握平移规律，对称点的坐标特征是解题的关键．先根据平移的特点得出平移后点的坐标为，根据x轴对称点的特点得出点的坐标即可．
【详解】解：∵点向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度后得到点B，
∴点B的坐标为，
∵点与点B关于x轴对称，
∴的坐标为，
故答案为：．
14．9
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
故答案为：9．
15．
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．是的垂直平分线，所以，即可求得四边形的周长．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∴四边形的周长为：，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查翻折的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，翻折前后两个图形全等，对应边相等，对应角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；等腰三角形的两个底角相等；熟练掌握相关性质是解题关键．根据翻折的性质可得，根据可得，根据等腰三角形的性质及外角性质可得的度数，即可得答案．
【详解】解：∵将沿所在直线翻折，点B落在边上的点E处．
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
17．/70度
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题关键．由全等得到，，进而得到，再根据等边对等角的性质与三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
18．
【分析】该题主要考查了同角的补角相等，等腰三角形的性质和判定及全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定；延长长于点，证明，得，，从而，再利用同角的补角相等得，即可求解．
【详解】解：延长长于点，
平分，
，
∵，
，
∵，
∴，
，，
，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
19．4
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求出是解答本题的关键．由三角形内角和定理得，由等腰三角形的性质得，，从而可求，得出，然后利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
故答案为：4．
20．①②④
【分析】首先通过题意得出，得出，证明结论①正确；得出，得出为等腰三角形，又因为，得出垂直平分，证明结论②正确；然后再利用等边对等角，得出，再利用三角形外角的性质得出，再利用等边对等角，得出，进而得出，证明结论③错误；然后再根据题意，得出，进而得出，算出的度数，再根据的度数，算出的度数，得出，进而得出，再利用等边对等角，得出，进而得出，最后利用内错角相等，两直线平行，得出，证明结论④正确．
【详解】解：依题意有，
∴，故结论①正确；
∵，
∴为等腰三角形，又，
∴垂直平分，故结论②正确；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，故结论③错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，故结论④正确；
综上，正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
21．见解析
【分析】过C作于E，过D作于F，可求，由角平分线的性质可得，证明，，进而结论得证．
【详解】证明：如图，过C作于E，过D作于F．
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，含的直角三角形等知识，熟练掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，含的直角三角形是解题的关键．
22．(1)图见解析
(2)
(3)5
【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形的面积，关于x轴、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握轴对称的性质．
（1）在坐标系内描出、、，再顺次连接即可；
（2）利用关于y轴对称点的性质得出答案；
（3）直接利用所在长方形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
【详解】（1）解：∵、、；
∴描点画图如下：
（2）解：点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为；
（3）解：的面积是：．
23．(1)见解析
(2)6，见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了网格作图，熟练掌握平行线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形面积公式，是解题的关键．
（1）如图所示，取格点D，根据网格的特点可证明和全等；
（2）利用网格的特点和三角形面积公式求出的面积，再根据平行线的性质，只需要满足点E在过点B且平行于的直线的格点上即可；
（3）根据三角形全等，判定，即为所求
【详解】（1）如图，取格点D，连接，即为所求（答案不唯一）．
（2）．
如图，，即为满足和面积相等的格点．
（3）如图，取格点G，连接并延长交于点H，即为所求．
证明：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，与三角形高有关的计算等知识．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题．
（1）由角平分线的性质定理可推出，从而可证，即得出，结合，即证明垂直平分；
（2）由图可知，结合和三角形面积公式可得出，即，解出的值即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵分别是和的高，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
25．(1)
(2)
【分析】（1）根据角平分线定义和平行线性质求出，，根据等腰三角形的判定得出，，据此即可解答；
（2）首先根据的周长比的周长大，可求出长，再根据角平分线的性质及三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵平分，平分
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，
∴
即；
（2）解：∵的周长为：，
周长为：，
又∵的周长比的周长大，
∴，
又∵平分，且到的距离为，
∴到的距离也为，
∴的面积为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积，求出是解此题的关键．
26．(1)证明见解析；
(2)图中面积是面积倍的所有等腰三角形和四边形分别为、、
【分析】（）先证明可得，则，再运用线段的和差即可证明结论；
（）先证明和都是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得，，则的面积的面积的面积，再证四边形是矩形，得四边形的面积的面积，，则的面积的面积的面积的面积．
【详解】（1）证明：，，
∴，
∵点是的边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）图中面积是面积倍的所有等腰三角形和四边形分别为、、，理由如下：
由（）可知，，
∵，是的边的中点，
∴，，，
∴，
∴和都是等腰直角三角形，
∵，，
∴，，
∴的面积的面积的面积，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴四边形的面积的面积，，
∴的面积的面积的面积的面积，
∴图中面积是面积倍的所有等腰三角形和四边形分别为、、．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
27．(1)证明见解析
(2)
(3)，证明见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
（1）在上取点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证；
（2）延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出是等边三角形，，由此即可得；
（3）延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得．
【详解】（1）证明：如图，在上取点，使得，连接，
∵对角线平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图，延长至点，使得，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
（3）解：，证明如下：
如图，延长至点，使得，连接，
由（2）已证：，
∴，
∵对角线平分，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，，
∴．
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