人教版九年级上册数学第二十二章二次函数试题（含解析）

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人教版九年级上册数学第二十二章二次函数试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(每题3分，共30分)
1．拋物线的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
2．将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线是（ ）
A． B． C． D．
3．若二次函数 配方后为 ，则b、k的值分别为（ ）
A．， B．，5 C．4， D．，
4．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在同一平面直角坐标系中，函数和函数（k是常数，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．若点，均在二次函数的图象上（点A在点B的左侧），且当时，，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（ ）
A． B． C． D．
9．如图，两条抛物线，与分别经过点且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
10．已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 3 4 5 …
y … …
关于它的图象，下列判断正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．一定经过点 D．在对称轴左侧部分自左至右是下降的
二、填空题(每题3分，共30分)
11．抛物线的开口 对称轴是 ，顶点坐标是
12．如图用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙长），则这个围栏的最大面积为 ．

13．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ．
14．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
15．已知二次函数，若和对应的函数值相等，则 ．
16．已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长为 ，宽为 时，旋转形成的圆柱的侧面积最大．
17．抛物线经过原点，且与轴的正半轴交于点，顶点的坐标为．若点为抛物线上一动点，其横坐标为，作轴，且点位于一次函数的图像上．当时，的长度随的增大而增大，则的取值范围是 ．
18．如图，一座拱桥的下方轮廓是抛物线型，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱的长度为 米．
19．如图所示是抛物线的一部分，则方程的根是 ．
20．在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若对于，，，存在，则的取值范围是 ．
三、解答题(共60分)
21．如图，我校要建一个长方形菜园，菜园的一面利用学校边墙(墙长)，其他三面用木制材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇宽的进出口(不需材料)，共用木制材料．
(1)若面积为，菜园的长和宽分别是多少米？
(2)菜园的面积有最大值吗？最大为多少平方米？
22．如图，二次函数的图象与x轴交于点、，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程的两个根：______；
(2)当x为何值时，？当x为何值时，
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
23．已知二次函数的图象如图所示，利用图象回答：
(1)方程的解是______．
(2)方程的解是______．
(3)方程的解是______．
(4)方程的解的情况怎样？
24．已知一个二次函数的图象经过、、三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的对称轴和顶点P的坐标；
(3)的面积为 ．
25．新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点”
(1)如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由；
(2)若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围；
(3)求直线的最值点．
26．已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：
… 0 1 2 3 …
… 5 0 0 …
(1)并画出图象；
(2)求此抛物线的解析式；
(3)结合图象，直接写出当时的取值范围．
27．某药店购进一批口罩，每个口罩的进价为 10元．试销售期间，记录的每天的销售数量与销售单价的数据如下表：
销售单价x/元 12 13 14 15 16
销售数量y/个 36 34 32 30 28
备注：物价局规定，每个口罩的售价不得低于 10元且不得高于 18元．
请你根据表中信息回答下列问题：
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)销售员发现某一天的销售利润是 168元，求这天的销售单价；
(3)试销售的目的是想要每天获得最大的销售利润．请你帮助销售经理计算，在这种情况下销售单价应定为多少，每天的销售利润最大 最大利润是多少元
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A A D D B C D D C
1．A
【分析】本题考查了二次函数的图象的对称轴．
根据抛物线解析式得出，代入数值，即可求出对称轴．
【详解】解：根据题意可得抛物线中的，
∴，
∴抛物线的对称轴是直线，
故选A．
2．A
【分析】本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握左加下减，左右平移，实施在x上，上下平移，对于y实施是解题的关键．根据左加下减的平移原则计算即可．
【详解】解：根据题意，得抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线是．
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了二次函数的三种形式，把顶点式化为一般式与比较可得答案．
【详解】解：∵
∴，
∴．
故选A．
4．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的增减性成为解题的关键
先根据函数解析式确定抛物线的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的增减性即可解答．
【详解】解：∵二次函数
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线，
当时，随的增大而增大，
．
故选：．
5．D
【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合判断．熟练掌握函数图象与系数的关系，是解决问题的关键．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下；当a，b同号时，对称轴位于y轴左侧；当a，b异号时，对称轴位于y轴右侧．
分别根据一次函数和二次函数的图象与系数的关系进行判断即可．
【详解】解：A、由一次函数的图象可知，；
由二次函数图象开口向下可知，，
∴，矛盾，
∴A不正确；
B、由一次函数的图象可知，；
由二次函数图象开口向上可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵对称轴为直线，在y轴左侧，
∴B不正确；
C、由一次函数的图象可知，；
由二次函数图象开口向上可知，，
∴，矛盾，
∴C不正确；
D、由一次函数的图象可知，；
由二次函数图象开口向上可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵对称轴为直线，在y轴左侧，
∴D正确．
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标；根据二次函数的顶点式，顶点坐标为，即可解答．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：B．
7．C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据，得出二次函数的图象开口向上．根据，得出，从而得出线段的中点的横坐标大于1，根据，得出点A到对称轴的距离较近，对称轴在直线的左侧或重合，从而得出，即可得出答案．
【详解】解：对于二次函数，
，
该二次函数的图象开口向上．
又∵点，均在该二次函数的图象上，且，
，即线段的中点的横坐标大于1，
又∵，
点A到对称轴的距离较近，
对称轴在直线的左侧或重合，
，
．
故选：D．
8．D
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案．
【详解】解：由题意得，点A的横坐标为，
在中，当时，，
∴，
∴点C的纵坐标为，
在中，当时，解得或，
∴，
∴，
故选：D．
9．D
【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，二次函数图象的平移问题，先求出，再由抛物线是抛物线向上平移2个单位长度得到的，且点A和点B的纵坐标的差值为2，可知阴影部分的面积即为图中长方形的面积，据此求解即可．
【详解】解：在中，当时，，
在中，当时，，
∴，
∵抛物线是抛物线向上平移2个单位长度得到的，且点A和点B的纵坐标的差值为2，
∴阴影部分的面积即为图中长方形的面积，
∴，
故选：D．
10．C
【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的解析式，由表格中点，，可知抛物线的对称轴为直线．设抛物线的解析式为，将，分别代入，可解得，再进一步解答即可．
【详解】解：∵点，在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为直线．
设抛物线的解析式为，将，分别代入，
，
可解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分自左至右是上升的．
将代入，得．
故选C．
11． 向下 y轴
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握的图象的性质是解题的关键．根据二次函数解析式，根据可知开口朝下，对称轴为，顶点坐标为
【详解】二次函数解析式，
开口朝下，对称轴为（或y轴），顶点坐标为
故答案为：向下，y轴，
12．
【分析】设与墙垂直的一边长为，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．
【详解】解：设与墙垂直的一边长为，围成的矩形面积为，则与墙平行的一边长为，
∴矩形围栏的面积为，
∵，
∴当时，矩形有最大面积为，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握抛物线与x轴两交点的横坐标为一元二次方程的两个根，是解题的关键．
根据二次函数图象与x轴的交点得方程的两个根为．
【详解】∵二次函数的图象与x轴交于 ，两点，
∴关于的一元二次方程的解为．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到二次函数开口向上，对称轴为直线，则在对称轴左侧y随x的增大而减小，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
故答案为：．
15．0或2
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．先求出抛物线的对称轴是直线，由和对应的函数值相等得到或，即可求出答案.
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线的对称轴是直线，
∵和对应的函数值相等，
∴或
解得，或，
故答案为：0或2
16． 9 9
【分析】本题考查了二次函数的应用．设矩形的长是a，宽各为b，由矩形的周长为36，得．因为旋转形成的圆柱侧面积是：，所以要求侧面积最大，即求的最大值，由此能求出结果．
【详解】解：设矩形的长为a，宽为b，
∵矩形的周长为36，
∴，
解得：，
∵旋转形成的圆柱侧面积是：，
∴要求侧面积最大，即求的最大值，
，
∴当时有最大值81，
此时．
答：矩形的长，宽都为时，旋转形成的圆柱侧面积最大．
故答案为：9；9．
17．
【分析】将顶点代入抛物线表达式中求的值确定抛物线的解析式，然后求得抛物线和直线的交点坐标，设，，分和两种情况，利用坐标与图形性质，用表示出，根据二次函数的性质分别求解即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点的坐标为，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
当时，得：，
解得：或，
∴，
联立方程组，
解得或，
∴抛物线与直线的交点坐标为，，
设，，
当时，，
∵，
∴当时，的长度随的增大而减小，不符合题意；
当时，，
∵，
∴当时，的长度随的增大而增大，当时，的长度随的增大而减小．
故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与坐标轴的交点，二次函数与一次函数的交点，二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的图像与性质是解答的关键．
18．4
【分析】如图所示，建立坐标系，然后求出抛物线解析式，然后求出N点纵坐标，即可求解．
本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意正确建立坐标系求解．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意得A点坐标，B点坐标为，C点坐标为，N点横坐标为6，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴当时，，
∴支柱的高度为：米，
故答案为：4．
19．
【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的关系．抛物线与x轴的交点横坐标即为二次函数函数值为0时的一元二次方程的解，据此进行求解即可．
【详解】解：∵根据图示知，抛物线与x轴的一个交点是，对称轴为直线，
∴根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为，
∴方程的解是．
故答案为：．
20．/
【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∵，，，，
∴，
∵存在，
∴，，且离对称轴最远，离对称轴最近，
∴，即，且，
∵，，
∴且，
解得，
故答案为： ．
21．(1)若面积为，菜园的长为，宽为
(2)当时，菜园有最大面积，最大面积为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，根据等量关系列出方程和函数关系式是解题的关键．
（1）设这个菜园一边长为，则另一边长为，根据菜园面积为列方程求解即可；
（2）设菜园的面积为，列出y关于x的函数关系式，根据二次函数的性质求得最值即可．
【详解】（1）解：设这个菜园一边长为，则另一边长为．
依题意，得，
解得（舍去），．
当时，．
答：若面积为，菜园的长为，宽为；
（2）解：设菜园的面积为，
依题意，菜园的面积为，
∵，
∴当时，菜园有最大面积，最大面积为．
22．(1)，
(2)当时，；当或时，
(3)
【分析】本题考查了抛物线的性质及二次函数与一元二次方程、不等式的关系．会读图用图是解决本题的关键．
（1）根据抛物线与轴的交点的横坐标就是二次方程的两个实数根，可直接得结论；
（2）观察图象，在轴上方的部分总大于0；在轴下方的部分总小于0；
（3）根据抛物线与轴交点的坐标，确定对称轴方程，结合图象得结论．
【详解】（1）二次函数的图象与轴交于、，
的根为：，．
故答案为：，
（2）二次函数的图象与轴交于、，
观察图象可知：当时，图象总在轴的上方．
不等式的解集为：．
观察图象可知：当或时，图象总在轴的下方．
当或时，，
（3）二次函数的图象与轴交于、，
该图象的对称轴为直线，
图象开口向下，
当时，随的增大而减小．
即随的增大而减少时．
23．(1)
(2)
(3)
(4)无解
【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数与直线交点的橫坐标是一元二次方程的解，是解决问题的关键．
（1）看二次函数与x轴交点的横坐标，然后结合图象即可求出答案；
（2）看二次函数与直线交点的横坐标，然后结合图象即可求出答案；
（3）看二次函数与直线交点的横坐标，然后结合图象即可求出答案；
（4）看二次函数与直线交点的情况，然后结合图象即可求出答案．
【详解】（1）由图象知，二次函数的图象交x轴于，两点，
∴方程的解为；
故答案为：；
（2）由图象知，直线与二次函数的图象交于，两点，
∴方程的解为；
故答案为：；
（3）由图象知，直线与二次函数的图象交于顶点，
∴方程的解为；
故答案为：；
（4）由图象知，直线与二次函数的图象无交点，
∴方程无解．
24．(1)抛物线的解析式为；
(2)该抛物线的对称轴为直线，顶点为；
(3)27
【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）设抛物线的解析式为，将点代入可求得，将的值代入可求得抛物线的解析式；
（2）把解析式化成顶点式，即可求得对称轴和顶点坐标；
（3）根据三角形面积公式求得即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
将点代入得：．
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：，
该抛物线的对称轴为直线，顶点为；
（3）解：．
故答案为：27．
25．(1)不存在，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）采用待定系数法求出抛物线M的解析式为，根据二次函数的性质得到当时，y随x的增大而增大，由可得当时，随x的增大而增大，即不存在最大值，即可解答；
（2）结合图象即可求解；
（3）对于直线，有，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线M的解析式为，
∵抛物线M经过和点和，
∴，解得
∴抛物线M的解析式为，
∴抛物线M的开口向上，对称轴为，
当时，y随x的增大而增大，
∵，
由抛物线M的增减性可得，当时，随x的增大而增大，
∴随x的增大而增大，即不存在最大值，
∴抛物线M上不存在最值点．
（2）解：∵直线交抛物线M于，两点，
∴由图象可得，直线不低于抛物线时，x的取值范围为．
（3）解：对于直线，有
，
∴当时，有最大值，
此时，
∴直线的最值点为．
【点睛】本题考查新定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，直线与抛物线的交点问题等，正确理解函数的“最值点”是解题的关键．
26．(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，描点法画函数图象，根据图像求函数值范围，熟练掌握待定系数法和描点法画函数图象是解题关键．
（1）再利用描点法画函数图象；
（2）根据表格得出抛物线过点、、，将点坐标代入抛物线解析式求出、、即可，
（3）分别求出，，时的函数值，利用图象可直接得到答案．
【详解】（1）解：抛物线图象如图，
（2）解：∵设二次函数的解析式为，
由题意得：当时，，
∴
∵时，，当时，，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵，
∴当时，
当时，，当时，，
∴由图象可得，当时，．
27．(1)
(2)这天的销售单价为16元
(3)销售单价应定为18元，每天的销售利润最大，最大利润为192元
【分析】本题考查二次函数的实际应用．根据题意，正确的求出二次函数解析式，利用二次函数的性质，进行求解是解题的关键．
（1）由表格可知，是的一次函数，设出函数解析式，利用待定系数法进行求解即可；
（2）利用总利润等于单件利润乘以数量，列出方程，进行求解即可；
（3）利用总利润等于单件利润乘以数量，求出函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：由表格可知，销售单价每涨1元，销售数量下降2个，
∴y是x的一次函数．
设，将，代入得
，
解得，
∴；
（2）解：由题意得，
解得或(不符合题意，舍去)．
答：这天的销售单价为16元；
（3）解：设每天的销售利润为w元，
由题意得
．
∵，
∴当时，w随x的增大而增大．
∵，
∴当时，w最大，最大值为(元)．
答：销售单价应定为18元，每天的销售利润最大，最大利润为192元．
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