人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程试题（含解析）

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人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(每题3分，共30分)
1．下列是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
3．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．3 B．8 C． D．
4．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（ ）
A． B．且
C．且 D．
6．在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的情况为（ ）
A．无解 B．两个不相等的实数根
C．两个相等的实数根 D．无法确定
7．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
8．已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A． B．12 C．3 D．0
9．如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“阿凡达”方程．已知是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．为执行“均衡教育”政策，某区2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年累计投入亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(每题3分，共30分)
11．用公式法解方程时， ， ， ．
12．若一元二次方程的两个实数根为，，则的值是 ．
13．关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ．
14．已知两不相等实数m，n满足，，则 ．
15．设是一元二次方程的两个根，且，则 ， ．
16．一元二次方程有解，则的取值范围是 ．
17．已知三角形的两边长是6和8，第三边长是方程的一个根，则该三角形的面积是 ．
18．德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，在每轮传染中，平均一个人传染的人数为 ．
19．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ．
20．若是一元二次方程一个解，则代数式的值是 ．
三、解答题(共60分)
21．解下列一元二次方程：
(1)（配方法）． (2)． (3)．
22．若关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围．
23．已知关于的方程
(1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
(2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根 ．
24．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，几秒钟后的面积为？
25．用长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设为．
(1)如果要围成面积为的花圃，的长度是多少？
(2)能围成面积为的花圃吗？请说明理由．
26．如图，某农场老板准备建造一个矩形养兔场，他打算让矩形养兔场的一边完全靠着墙，墙可利用的长度为24米，另外三面用长度为50米的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设矩形垂直于墙的边的长为x 米，矩形的面积记为y平方米．
(1)当时， 米， 平方米；
(2)若要使矩形养兔场的面积为300平方米，则垂直于墙的一边的长为多少米？
27．有一种葡萄：从树上摘下后不保鲜最多只能存放一周，如果放在冷藏室，可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质，假设保鲜期内的重量基本保持不变，现有一位个体户，按市场价收购了这种葡萄200千克放在冷藏室内，此时市场价为每千克2元，据测算，此后每千克鲜葡萄的市场价格每天可以上涨0.2元，平均每天还有1千克葡萄变质丢弃．
(1)设5天后每千克鲜葡萄的市场价为P元，则________；
(2)如果该个体户将这批葡萄一次性出售后销售金额为760元，为了尽快回收资金，那么他应存放多少天后再一次性售出？
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D A B B D B A D
1．D
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，不是一元二次方程，故A不符合题意；
B、，不是一元二次方程，故B不符合题意；
C、，不是一元二次方程，故C不符合题意；
D、，是一元二次方程，故D符合题意；
故选：D
2．C
【分析】本题考查一元二次方程的解，根据“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”，将代入可得答案．
【详解】解：将代入，得：，
．
故选C．
3．D
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，由此即可得出答案．
【详解】解：一元二次方程的一次项系数是，
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．对于，当， 方程有两个不相等的实根，当， 方程有两个相等的实根，， 方程没有实根，根据原理作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
5．B
【分析】此题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，根据题意得到，即可求出答案，正确掌握一元二次方程根的三种情况是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴
∴且
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．由直线解析式求得，然后确定的符号即可．
【详解】解：直线不经过第四象限，
，
关于的方程，
，
关于的方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
7．D
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，掌握“一元二次方程有实数根，则”是解题的关键．
根据一元二次方程有实数根，则列出不等式，解不等式即可，需要注意．
【详解】解：由题意得，
解得：且，
故选：D．
8．B
【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系，即可得出，，再将其代入，计算即可．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义是解决本题的关键．
【详解】解：，是关于的方程的两根，
，，．
．
故选：B
9．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，掌握根的判别式与根的关系成为解题的关键．
由判别式的意义可得，根据“阿凡达”方程的定义可得，即，把代入可得到，则，然后再逐项判断即可．
【详解】解：∵是“阿凡达”方程，且有两个相等的实数根，
∴，，即，
∴，即，即
∴
∴．
故选：A．
10．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．投入教育经费的年平均增长百分率为，根据年投入教育经费万元，到年底三年累计投入亿元，列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设投入教育经费的年平均增长百分率为，根据题意得，
，
故选：D．
11． 1 3
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】∵，
∴
∴，，
故答案为：1，3，．
12．15
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系可得，再将代入式化为，整体代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，
∴，
故答案为：15．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查的是利用一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值，当时，由，，构造一元二次方程，则其两根为，利用根与系数的关系可得答案．
【详解】解：、满足，，，
、是关于的方程的两根，
，，
则
故答案为：．
15． 4 3
【分析】本题考查了根与系数的关系，由根与系数的关系得到，，代入，即可求出m的值．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，
∵，，
∵，
∴，
解得，
故答案为：，．
16．且
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此根据二次项系数不为0 和判别式可得，解之即可．
【详解】解：∵一元二次方程有解，
∴，
解得且，
故答案为：且．
17．24或
【分析】本题考查了解一元二次方程、勾股定理及其逆定理，解题的关键是分类讨论思想的运用．先解出一元二次方程的两个根，然后分两种情况求出三角形的面积．
【详解】解：∵
∴
∴
①当三角形的三条边长分别为时，，
根据勾股定理的逆定理可知，此时三角形是直角三角形，两条直角的边长为6与8，
因此三角形的面积为：；
②当三角形的三条边长分别为时，此时三角形为等腰三角形（如图）

利用勾股定理可求得等腰三角形底边上的高：
因此，三角形的面积为：
∴三角形的面积为24或．
18．11
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，解方程即可．
本题考查根据实际问题列出一元二次方程，先用含有x的代数式表示出第一轮感染后的人数，再在第一轮感染人数的基础上表示出第二轮感染后的人数，列出等式，能够找到等量关系是解决本题的关键．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意，得，
，
解方程，得（舍去）．
故答案为：11．
19．
【分析】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．
根据一元二次方程的定义得到，，由此求得的值．
【详解】解：∵是一元二次方程，
∴，，
解得，
故答案是：．
20．2
【分析】本题考查了一元二次方程的解、分式的加减法、分式的化简求值等知识点，理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．
根据已知易得即，则，然后代入式子中计算即可．
【详解】解：∵是一元二次方程一个解，
∴，即，
∴
∴．
故答案为：2．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握公式法和因式分解法解方程是关键；
（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可
【详解】（1）解：
∴
（2）解：
，
∴，
∴
（3）解：
或，
∴
22．且
【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．根据一元二次方程有实数根，得到，结合求解即可得到答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
23．(1)见解析
(2)，方程的另一个根为
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况；
（2）设方程的另外一个根为，利用根与系数的关系列出关于和的二元一次方程组，解之即可得到答案．
【详解】（1）证明：
无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：设方程的另外一个根为，则
解得：，
故的值为，方程的另一个根为．
24．运动1秒或5秒后的面积为．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，，
，
，
，
，
解得：，．
答：运动1秒或5秒后的面积为．
25．(1)5
(2)不能，见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，函数解析式的综合运用，根据已知条件列出函数解析式是解题的关键，要注意题中自变量的取值范围．
（1）将面积用函数解析式表达出来，进而代数求值；
（2）根据判别式来判断根的情况，得到答案．
【详解】（1）解：由题可知，花圃的宽为，则为米，则，
当时，，
解得，
，
，故舍去，
．
故若要围成面积为的花圃，则的长是米；
（2）解：不能．
假设能围成面积为的花圃，，
，
，
故方程无实数根，所以不能围成面积为的花圃．
26．(1)10；200
(2)的长为15米
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用．
（1）根据题意可得，即可求出，根据长方形面积公式，即可求出y；
（2）根据题意可得，则，根据长方形面积公式，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
，
故答案为：10，200；
（2）解：由题意知：，则，
∴，
整理得：，
解得：，，
当时，，应舍去，
∴的长为15米．
27．(1)3
(2)10天
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据金额、售价、质量之间的关系列出方程是解题的关键．
（1）市场价等于原价与5天上涨的价格之和，由此可解；
（2）根据销售金额等于x天后的市场价可售葡萄的总质量列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
故答案为：3；
（2）解：设应存放x天后再一次性售出，
由题意得，
整理，得，
解得，，
要尽快回收资金，
，
即他应存放10天后再一次性售出．
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