1.3 空间向量及其运算的坐标表示——高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册随堂小练
1.已知，，则等于( )
A. B. C. D.
2.已知，，若，则实数的值为( )
A.-1 B.1或-3 C.-1或3 D.3
3.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
4.若向量，，且，则( )
A.2 B. C. D.
5.已知向量，，且，则x的值为( )
A.4 B. C.5 D.
6.（多选）已知向量，，则下列结论正确的是( )
A.若，则， B.若，则
C.若，则 D.若，则
7.（多选）已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
8.已知向量，，且，则________.
9.已知，.则______.
10.已知空间三点，，，设，.
（1）若，，求；
（2）求，夹角的余弦值.
11.已知向量，，.
（1）当时，若向量与垂直，求实数k的值；
（2）若向量与向量，共面，求实数x的值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：，.故选：A.
2.答案：C
解析：由题意可知，；
因为，所以，所以，
所以或3.故选：C.
3.答案：B
解析：对于A，，故A错误，对于B，，故B正确，
对于C，，故C错误，对于D，，故D错误.
故选：B.
4.答案：B
解析：因为，所以，即，
即，解得，所以.故选：B.
5.答案：A
解析：由题意得，解得.故选：A
6.答案：AC
解析：若，则，得，，故A正确，B错误；
若，则，即，故C正确，D错误；故选：AC.
7.答案：AD
解析：，，，，，，故选：AD.
8.答案：
解析：向量，，且，则，解得，，故.故答案为：.
9.答案：
解析：根据题意，，所以.故答案为：
10.答案：（1）或；
（2）
解析：（1），，则，
，可设，，
，，解得，
或；
（2），，，
，，
.
11.答案：（1）3
（2）
解析：（1）因为，所以，解得，即，
由，且得，解得，
即k的值为3.
（2）因为向量与向量，共面，所以设(，)，
因此，
即解得，，，所以x的值为.1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系——高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册随堂小练
1.设是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是( )
A.圆 B.直线 C.平面 D.线段
2.已知平面和平面的法向量分别为，，则( )
A. B. C.与相交但不垂直 D.以上都不对
3.给出以下命题，其中正确的是( )
A.直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
B.直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C.平面、的法向量分别为，，则
D.平面经过三个点，，，向量是平面的法向量，则
4.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数( )
A. B. C.4 D.
5.平面的法向量为，平面的法向量为，若，则( )
A. B. C. D.
6.（多选）已知m，n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是( )
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，则
D.若，，，则
7.（多选）如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是( )
A. B.
C. D.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直
8.已知直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则________.
9.已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，且平面，则______.
10.如图，在正方体中，点E F分别为棱 的中点，点P为底面对角线AC与BD的交点，点Q是棱上一动点.
（1）证明：直线平面；
（2）证明：.
11.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.
（1）求证：平面ADEF；
（2）求证：平面BDE.
答案以及解析
1.答案：C
解析：构成的图形是经过点，且以为法向量的平面.
2.答案：A
解析：因为，，所以有，即m与n共线（平行），可知平面和平面相互平行，答案选A.
3.答案：A
解析：对于A，，，与m垂直，A正确；
对于B，与n不共线，直线l不垂直平面，B错误；
对于C，与不共线，平面与平面不平行，C错误；
对于D，，，由，，解得，，，D错误.故选A.
4.答案：B
解析：若，则有，即，解得.故选：B.
5.答案：D
解析：因为，所以，解得.故选：D
6.答案：BC
解析：对于A，当，时，m，n有可能异面，故A错误；
对于B，因为，，所以m，n对应的方向向量，分别是，的法向量，
又，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，，由面面平行的性质易知，故C正确；
对于D，当，，时，m，n有可能异面，故D错误.故选：BC.
7.答案：BC
解析：对于A，设，平面平面ADC，而，，则有为二面角的平面角，即，则，故，，故A错误；
对于B，平面平面ADC，其交线为AD，又由，且CD含于面ADD，则面ABD，则有，故B正确；
对于C，同理可证，故C正确；
对于D，平面ADC与平面ABC不垂直，则平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不能互相垂直，故D错误；故选：BC.
8.答案：
解析：由，可知，则有，解之得，故答案为：.
9.答案：
解析：因为平面，所以，则，解得.故答案为：
10.答案：（1）证明见详解；
（2）证明见详解
解析：（1）如图，以D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴所在的直线，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，，，
可得，，可知，
则，且平面，平面，所以平面.
（2）设，则，可得，
由（1）可知：，
因为，所以.
11.答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）根据题意可知平面平面ABCD，
平面平面，
又ADEF是正方形，所以，平面ADEF，
所以平面ABCD，即，，两两垂直；
以D为原点，分别以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，，
又M为CE的中点，所以，
则，，，
所以，故，，共面.
又平面ADEF，所以平面ADEF；
（2），，
易知，所以；
又，可得；又，DB，平面BDE，
所以平面BDE1.1.2 空间向量的数量积运算——高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册随堂小练
1.已知i，j，k是两两垂直的单位向量，若，，则等于( )
A.1 B.2 C. D.-3
2.已知MN是长方体外接球的直径，点P在长方体表面上运动，若长方体的长、宽、高分别为1，1，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.在正三棱锥中，O是的中心，，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量a，b的夹角的余弦值为，，，则( )
A.-4 B.-1 C.1 D.4
6.（多选）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有( )
A. B.
C. D.
7.（多选）如图，已知四边形ABCD为矩形，平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是( )
A.与 B.与 C.与 D.与
8.如图，在直三棱柱中，，E、F分别为棱、的中点，则______.
9.在平行六面体中，，，，，则的长为________________.
10.如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且.
（1）试用，，表示向量；
（2）若，，，，求的值.
11.如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且.
（1）试用，，表示向量
（2）若，，，，，求的值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为i，j，k是两两垂直的单位向量，所以，，
所以.
2.答案：A
解析：设长方体外接球的球心为O，半径为r，则，解得，
易知，，
.
3.答案：C
解析：设与的夹角为.由，得，两边平方，得，
所以，解得，又，所以，故选：C.
4.答案：A
解析：为正三棱锥，O为的中心，
平面ABC，是等边三角形，，
，
故.
5.答案：C
解析：由题意得，则，
所以，所以.
6.答案：AD
解析：由数量积的性质和运算律可知AD是正确的；
而运算后是实数，没有这种运算，B不正确；
，故选：AD.
7.答案：BCD
解析：因为平面ABCD，所以，故；因为，，且，所以平面PAB，故，则；同理可得；而PC与AD所成角为，显然不垂直.
8.答案：9
解析：因为平面，平面ABC，则，同理可知，所以，.故答案为9.
9.答案：
解析：由题意得：，
故
，
故.故答案为：.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1），，.
又，
（2）由（1）可知
.
11.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1），
，
又
（2）由（1）可得知1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题——高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册随堂小练
1.在正方体中，棱BC，的中点分别为E，F，则直线EF与所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，分别为平面，的法向量，则平面与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知平面的一个法向量为，点在平面内，则平面外一点到平面的距离为( )
A. B. C. D.1
4.直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为( )
A. B. C.2 D.3
5.在棱长为2的正方体中，分别取棱，的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点G到平面的距离为( )
A. B. C.1 D.
6.（多选）点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为的直线l的距离为，则点M的坐标是( )
A. B. C. D.
7.（多选）已知空间直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为，则下列说法错误的是( )
A.点P到原点O的距离是 B.点P到x轴的距离是
C.点P到平面的距离是3 D.点P到平面的距离是3
8.已知直线l经过，两点，则点到直线l的距离为________.
9.设直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成角的正弦值为_____________.
10.如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点.
（1）求异面直线EF与所成角的大小.
（2）证明：平面.
11.如图，正方体的棱长为2，点E为的中点.
（1）求点D到平面的距离为d；
（2）求到平面的距离.
答案以及解析
1.答案：D
解析：依题意，，所以点P到平面的距离为.故选：D
2.答案：C
解析：
以D为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，，，，，，
设异面直线与所成的角为，，
则，所以.故选：C
3.答案：D
解析：由题意，，，
如图所示，建立空间直角坐标系.
则，，
平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，
.故选：D.
4.答案：C
解析：，，，又，
在方向上的投影，
P到l距离.故选：C.
5.答案：A
解析：如图所示，点E，F分别是，的中点，
平面，点G到平面的距离即为点E或F到平面的距离.
方法1：等体积法
为等边三角形， ，，
设F到平面的距离为d，， ，解得.
方法2：向量法
建立如图所示的空间直角坐标系，
可求得平面的法向量为，，.
6.答案：AB
解析：设，则，又直线l的方向向量为，
所以点M直线l的距离，所以，则或.故选：AB.
7.答案：AD
解析：由题可知，，A中说法错误；
由点P的坐标可知，点P到x轴的距离为，B中说法正确；
由点P的坐标可知，点P到平面距离为3，C中说法正确；
由点P的坐标可知，点P到平面的距离为1，D中说法错误.故选：AD.
8.答案：
解析：由题可知，，则，，，故点P到直线l的距离为.故答案为：
9.答案：
解析：，所以直线l与平面所成角的正弦值为.
10.答案：（1）；
（2）证明见解析.
解析：据题意，建立如图坐标系.于是：
，，，，，
，，，.
（1），
异面直线EF和所成的角为.
（2），
，即，，即.
又，平面且，平面.
11.答案：（1）
（2）
解析：（1）以D为原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，，
所以平面所的法向量为，又，
所以点D到平面的距离.
（2）由（1）可得平面的法向量为，
，，，
，
，平面，
所以到平面的距离可以转化为点B到平面的距离，
由，所以到平面的距离为.1.1.1 空间向量及其线性运算——高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册随堂小练
1.如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AC的中点，则化简的结果为( )
A. B. C. D.
2.在空间四边形中，( )
A. B. C. D.
3.如图，在平行六面体中，已知，，，则用向量，，可表示向量( )
A. B. C. D.
4.在四面体OABC中记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则( )
A. B.
C. D.
5.如图，在三棱柱中，( )
A. B.
C. D.
6.（多选）如图，在底而为平行四边形的四梭倠中，E为PC的中点，则( )
A. B.
C. D.
7.（多选）下列说法中正确的是( )
A.单位向量都相等
B.任一向量与它的相反向量不相等
C.四边形是平行四边形的充要条件是
D.模为0是一个向量方向不确定的充要条件
8.如图，在三棱锥中，D是BC的中点，若，，，则等于____________.
9.在空间四边形中，若是正三角形，且E为其中心，则___________.
10.如图，在三棱柱中，M是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)；
(2)；
(3).
11.如图所示，在正方体中，化简向量表达式：
（1）；
（2）；
（3）.
答案以及解析
1.答案：C
解析：．故选：C．
2.答案：C
解析：.
3.答案：D
解析：
4.答案：B
解析：由题意得：.
故选：B.
5.答案：D
解析：
6.答案：AD
解析：，A正确，B错误.，D正确，C错误.
7.答案：CD
解析：A不正确，单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同.B不正确，零向量的相反向量仍是零向量，是相等的.C正确.D正确.
8.答案：
解析：由图可得.
故答案为：.
9.答案：0
解析：如图，连接，，取的中点F，连接.
是正三角形，且E为其中心，，
.
10.答案：(1)
(2)
(3)
解析：（1）
（2）因为M是的中点，所以.又，所以，
所以.
（3）.
11.答案：(1)
(2)
(3)
解析：（1）
（2）由图知，
所以
（3）由图知，
所以由（2）可得1.2 空间向量的基本定理——高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册随堂小练
1.已知M是四面体的棱的中点，点N在线段上，点P在线段上，且，，以，，为基底，则可以表示为( )
A. B.
C. D.
2.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面ABCD，且，若，则( )
A.1 B.2 C. D.
3.已知矩形，P为平面外一点，且平面，M，N分别为，上的点，，则( )
A. B. C.1 D.
4.如图，在平行六面体中，E为的中点，若，则( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
5.如图，空间四边形OABC中，，，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
6.（多选）下列说法正确的是( )
A.任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底
B.空间的基底有且仅有一个
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D.直线的方向向量有且仅有一个
7.（多选）已知A，B，C，D，E是空间五点，且任何三点不共线.若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有( )
A.，，不能构成空间的一个基底
B.，，不能构成空间的一个基底
C.，，不能构成空间的一个基底
D.，，能构成空间的一个基底
8.在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N，P分别是，的中点，设，，，若，则_________.
9.已知向量，，可作为空间的一组基底，若，且在基底下满足，则__.
10.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PA的长为4，且PA与AB，AD的夹角都等于60°，N是PC的中点，设，，.
（1）用基底表示向量；
（2）求AN的长.
11.如图，在平行六面体中，，，，E为的中点，F为与的交点.
（1）用基底表示向量；
（2）化简，并在图中标出化简结果.
答案以及解析
1.答案：D
解析：依题意，
.
故选：D.
2.答案：A
解析：，，
，
，，，.故选：A.
3.答案：B
解析：因为，，
所以
，
故，，，故.故选：B.
4.答案：B
解析：因为，
所以，，故选：B.
5.答案：C
解析：依题意
，所以，，.故选：C.
6.答案：AC
解析：对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A正确，B错误；
对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；
对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误，故选：AC
7.答案：ABC
解析：因为，，与，，均不能构成空间的一个基底，
且A，B，C，D，E是空间五点，且任何三点不共线所以空间五点A，B，C，D，E共面，
所以这五点A，B，C，D，E中，任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，
所以ABC正确，D错误.故选：ABC.
8.答案：
解析：，
故.故答案为：.
9.答案：2
解析：因为，且，
所以，解得，故答案为：2.
10.答案：（1）
（2）.
解析：（1）由题意得
；
（2）由已知，得，，
，，
，，
所以，
所以AN的长为.
11.答案：（1）
（2），图标见解析
解析：（1）.
.
.
（2）.
如图，连接，则即为所求.
