3.1.2 椭圆的简单几何性质——高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册随堂小练
1.若椭圆比椭圆更扁，则C的长轴长的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆的长轴长等于焦距的4倍，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
3.已知，是椭圆的左，右焦点，以为直径的圆与椭圆C有公共点，则C的离心率的最小值为( )
A. B. C. D.
4.如果椭圆的离心率为，则( )
A. B.或 C. D.或
5.已知椭圆的长轴长为10，离心率为，则椭圆的短轴长为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
6.（多选）关于椭圆有以下结论，其中正确的有( )
A.离心率为 B.长轴长是
C.焦点在轴上 D.焦点坐标为，
7.（多选）已知椭圆：，：，则( )
A.，的焦点都在x轴上 B.，的焦距相等
C.，没有公共点 D.离心率比离心率小
8.若椭圆的离心率为，则m的值为___________.
9.椭圆的长轴长为_________.
10.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为；
（2）经过点和.
11.已知椭圆的离心率为，求m的值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：椭圆的离心率，椭圆离心率，因为椭圆比椭圆更扁，所以，即，解之得，则，所以椭圆C的长轴长的取值范围是.
故选：C.
2.答案：C
解析：设椭圆长轴长2a，焦距2c，则，即.故选：C.
3.答案：C
解析：，是椭圆的左，右焦点，以为直径的圆与椭圆C有公共点，，可得，即，故C的离心率.即C的离心率的最小值为.故选：C.
4.答案：B
解析：因为椭圆离心率为，当时，椭圆焦点在x轴上，可得：，，，，解得，当时，椭圆焦点在y轴上，可得：，，，，解得.或.故选：B.
5.答案：D
解析：由题意，得，，所以，所以，所以椭圆的短轴长为8.故选D.
6.答案：AD
解析：将椭圆方程化为标准方程为所以该椭圆的焦点在x轴上，故C错误；焦点坐标为，故D正确；长轴长是4故B错误因为，所以，离心率故A正确.故选：AD.
7.答案：BCD
解析：因为椭圆的标准方程为，所以的焦点在y上，所以A不正确；
因为椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确；
联立椭圆，的方程，消除，得，所以x无解，故椭圆，没有公共点，所以C正确；
因为椭圆的离心率为，的离心率为，所以，所以D正确.故选：BCD.
8.答案：4
解析：因为，所以该椭圆的焦点在横轴上，所以有，，
因为该椭圆的离心率为，所以，故答案为：4
9.答案：6
解析：由椭圆的定义可知，所以长轴长为，故答案为：6
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知可知焦点在x轴上，故设椭圆方程为，
则，得：，从而.
所以椭圆的标准方程为
（2）当焦点在x轴上时，设椭圆方程为，
带入两点得：，解得，不合题意，舍去，
当焦点在y轴上时，设陏圆方程为，
代入两点得：，解得，，所以椭圆方程为
11.答案：3或
解析：由已知可得椭圆方程为
当焦点在x轴上，即时，有，，则
依题意得，解得
当焦点在轴上，即时，有，
则，依题意有
解得，即m的值为3或.3.3.2 抛物线的简单几何性质——高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册随堂小练
1.已知抛物线的焦点为F，点，N是抛物线C上一点，当取得最小值时，的面积为( )
A. B.5 C. D.12
2.已知抛物线焦点为F，准线为l，点在C上，直线AF与l交于点B，则( )
A.1 B. C. D.2
3.抛物线上存在一点，M到抛物线焦点F的距离为3，直线MF交抛物线C于另一点N，则线段MN的长为( )
A. B. C. D.
4.双曲线的左，右顶点分别为A，B，曲线E上的一点C关于x轴的对称点为D，若直线AC的斜率为m，直线BD的斜率为n，则( )
A.3 B. C. D.
5.已知抛物线和，若和有且仅有两条公切线和，和、分别相切于M，N点，与、分别相切于P，Q两点，则线段PQ与MN( )
A.总是互相垂直 B.总是互相平分
C.总是互相垂直且平分 D.上述说法均不正确
6.（多选）设抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，点，若，且，则抛物线C的方程可以为( )
A. B. C. D.
7.（多选）已知抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交抛物线于A，B两点，以下结论中正确的有( )
A.直线l的方程为
B.原点到直线l的距离为
C.
D.以AB为直径的圆过原点
8.已知M是抛物线上一点，则点M到直线的最短距离为__________.
9.已知抛物线的焦点为F，过点的直线与C交于不同的两点M，N.若，则____________.
10.平面上的动点到定点的距离等于点P到直线的距离，记动点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程;
（2）直线与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点为M.是否存在这样的直线l，使得，若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由.
11.过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，已知.
（1）求抛物线的方程;
（2）O为坐标原点，求面积.
答案以及解析
1.答案：C
解析：当MN与抛物线C的准线垂直时，取得最小值，此时，则的面积为.
2.答案：A
解析：由在上，得，，，则直线AF的斜率，倾斜角为.过点A作l的垂线，垂足为H，由抛物线的定义可知，则为等边三角形，设l与x轴交于点G，则，由相似可知，所以.故选A.
3.答案：B
解析：由题可知，，，则，解得，故拋物线C的方程为，，不妨取直线MF的方程为，与抛物线C的方程联立得，解得或，则，，故选B.
4.答案：B
解析：双曲线的左，右顶点分别为，，设，，则，，，.故选：B.
5.答案：B
解析：抛物线和分别是经过平移、对称变换而得到，它们是全等的，具有中心对称性，和是它们的公切线，和、分别相切于M，N两点，和、分别相切于P，Q两点，M，N和P，Q都关于对称中心对称，线段PQ与MN互相平分，故选B.
6.答案：BC
解析：设，因为，所以，因为，所以，
即，所以，所以，解得，
所以，解得或，所以抛物线C的方程为或.故选：BC.
7.答案：ABC
解析：如图所示：
对选项A，抛物线的焦点为，所以直线l的方程为，故A正确;对选项B，，故B正确.对选项C，联立，设，，则，，所以，故C正确.
对选项D，，故D错误.故选：ABC.
8.答案：
解析：设，则点M到直线的距离.
9.答案：
解析：不妨设，，，.由题意，得抛物线的焦点为，所以，.又，所以，.所以直线l的方程为.由得，所以，，.故答案为.
10.答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题意，动点P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
故，所以曲线C的方程为.
（2），联立，得，
且，则，
故，，所以，
所以，又，即.
不满足，所以不存在满足要求的直线l.
11.答案：（1）;
（2）
解析：（1）设方程为，，
由并化简得，则，
，故
所以抛物线方程为.
（2）由（1）知方程为，
则原点O到的距离
所以.3.2.1 双曲线及其标准方程——高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册随堂小练
1.“”是“方程双曲线”的( )
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2.“”是“方程表示的曲线是双曲线”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知曲线，则“”是“曲线C的焦点在x轴上”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知双曲线的下、上焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为( )
A. B.
C. D.
5.若双曲线的一个焦点为，则( ).
A. B.8 C.9 D.12
6.（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是( )
A．若C为椭圆，则
B．若C为双曲线，则或
C．曲线C可能是圆
D．若C为椭圆，且长轴在s轴上，则
7.（多选）已知曲线，则下列说法正确的是( )
A.若，则C为椭圆
B.若，则C为双曲线
C.若C为椭圆，则其长轴长一定大于2
D.曲线C不能表示圆
8.双曲线的一个焦点是，则_______________.
9.双曲线的焦距为__________.
10.（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程.
11.(1)若实数m满足的方程表示焦点在y轴上的椭圆，求m的取值范围；
(2)若实数m满足的方程表示双曲线，求实数m的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：若方程双曲线，则，解得，所以“”是“方程双曲线”的充分必要条件.故选：A.
2.答案：A
解析：若曲线表示双曲线，则，解得或.故“”是“曲线表示双曲线”的充分不必要条件.
3.答案：A
解析：当时曲线表示焦点在x轴上的椭圆，故充分性成立；当时曲线表示焦点在x轴上的双曲线，故由曲线C的焦点在x轴上推不出，即必要性不成立；所以“”是“曲线C的焦点在x轴上”的充分不必要条件.故选：A.
4.答案：C
解析：因为双曲线的下、上焦点分别为，，所以设双曲线的方程为，半焦距为；又因为P是双曲线上一点且，
所以，即，则；所以双曲线的标准方程为.
故选：C.
5.答案：B
解析：由双曲线性质：，，，.故选：B.
6.答案：BC
解析：若C为椭圆，则，且，故A错误，若C为双曲线，则，，故B正确，若C为圆，则，，故C正确，若C为椭圆，且长轴在轴上，则，，故D错误故选：BC
7.答案：BC
解析：由题意，曲线中，A项，当时，，，但当即时，曲线为圆，故A错误；
B项，当时，，，为双曲线，B正确；
C项，若为椭圆，由A选项知，，当时，，
长轴为，当时，长轴为，故C正确；
D项，由A知当时，曲线为圆，D错误.故选：BC.
8.答案：
解析：双曲线方程为，依题意，，所以.故答案为：.
9.答案：6
解析：双曲线即为，可得，，，即有焦距为.故答案为：6.
10.答案：（1）椭圆的标准方程为：；
（2）双曲线的标准方程为：.
解析：（1）设椭圆标准方程为，则
焦距为4，长轴长为6，
，，，椭圆标准方程为；
（2）双曲线双曲线的焦点为，
设双曲线的方程为，可得，
将点代入双曲线方程可得，，解得，，
即有所求双曲线的方程为：.
11.答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意得，解得，即实数m的取值范围是.
(2)由题意得，
解得或，即实数m的取值范围是.3.3.1 抛物线及其标准方程——高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册随堂小练
1.已知抛物线的焦点在y轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为( )
A. B.或
C. D.或
2.抛物线的准线方程是，则实数a的值( )
A. B. C.8 D.
3.已知抛物线的焦点坐标为，则( )
A.2 B.3 C.5 D.7
4.已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为( )
A. B. C. D.
5.准线方程为的抛物线的标准方程是( )
A. B. C. D.
6.（多选）已知抛物线C过点，则( )
A.拋物线C的标准方程可能为
B.抛物线C的标准方程可能为
C.过点A与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D.过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条
7.（多选）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程可以为( )
A. B. C. D.
8.若抛物线过点，则该抛物线的焦点为________.
9.抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是_______________.
10.已知双曲线的右焦点与抛物线E的焦点重合.
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）若过双曲线C的右顶点且斜率为2的直线l与抛物线E交于M，N两点，求线段MN的长度.
11.已知抛物线C的顶点为，焦点为.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F的直线交抛物线C于A，B两点，求的面积.
答案以及解析
11.答案：D
解析：由题意可知该抛物线的焦点坐标为或，所以其对应标准方程为为或.故选：D
2.答案：A
解析：由题意可得：，解得.故选：A.
3.答案：A
解析：由于抛物线的焦点为，所以，.故选：A
4.答案：D
解析：在抛物线上，，，即抛物线方程为，
则抛物线C的准线方程为.
5.答案：D
解析：，又抛物线开口向下，所以抛物线的方程为，D正确.
6.答案：ABD
解析：对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为，将代入抛物线C中得，则拋物线C的方程为，故A正确；对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为，将代入拋物线C中得，则抛物线C为，故B正确；对于C、D选项，过点A与对称轴平行的直线，以及抛物线在点A处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确.故选：ABD.
7.答案：AC
解析：当焦点在x轴上时，设，将带入得，，故C正确，当焦点在y轴上时，设，将带入得，，故A正确，故选：AC
8.答案：
解析：将代入抛物线方程，可得，即，所以抛物线的焦点为.故答案为：.
9.答案：或.
解析：设抛物线上与焦点F的距离等于6的点为，即，由抛物线，可得焦点，准线方程为，根据抛物线的定义，可得，即，解得，将代入抛物线方程，可得，解得，所以点P的坐标为或.故答案为：或.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）双曲线中，，，
所以，解得，所以双曲线C的右焦点为.
所以可设抛物线E的标准方程为，
其焦点为，所以，即，所以抛物线E的标准方程为.
（2）由，得双曲线C的右顶点为，因为直线l过点且斜率为2，
所以直线l的方程为，
设，，联立直线l与抛物线E的方程，
消去y，得，所以，，
所以.
11.答案：（1）；
（2）.
解析：（1）抛物线C的顶点为，焦点为，
所以抛物线C的标准方程为：.
（2）由消去y得，设，
则，，
所以，
点到直线的距离，
所以的面积3.1.1椭圆及其标准方程——高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册随堂小练
1.若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则( )
A.2 B.-2 C. D.4
3.“”是“方程表示的曲线是椭圆”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5.“方程表示椭圆”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.（多选）椭圆的焦距等于2，则m的值为( )
A.6 B.9 C.4 D.1
7.（多选）椭圆的焦距是4，则实数m的值可能为( )
A.5 B.13 C.8 D.21
8.椭圆的焦距为4，则m的值为___________.
9.已知椭圆的短轴长为6，则实数m的值为__________.
10.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，且经过两个点和；
(2)经过点，.
11.求焦点坐标为、，且过点的椭圆方程.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为曲线表示椭圆，即表示椭圆
则应满足即.故选：D.
2.答案：C
解析：将椭圆化为标准形式为，因为椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，所以，解得，故选：C．
3.答案：C
解析：若方程表示的曲线是椭圆，则，，且，所以且.故“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件.
4.答案：C
解析：变形为，要表示椭圆需要满足，解得.故选：C.
5.答案：A
解析：方程表示椭圆，则，解得且，因此“方程表示椭圆”是“”的充分不必要条件.故选：A
6.答案：AC
解析：椭圆的焦点在x轴时，有.由题意得：，解得：.椭圆的焦点在y轴时，有.由题意得：，解得：.
故选：AC
7.答案：AB
解析：当焦点在x轴上时，；当焦点在y轴上时，，.
8.答案：10或2
解析：由椭圆的焦距为4，得，即.当，时，，；当，时，，.故m的值为10或2.
9.答案：3
解析：因为，所以，即.故答案为：3.
10.答案：(1)
(2)
解析：（1）焦点在y轴上的椭圆方程设为：.
由于椭圆经过两个点和，
所以，解得，
所以所求的椭圆的标准方程为.
（2）设椭圆的方程为：，
由于椭圆经过点，，
，解得，
所以所求椭圆的标准方程为.
11.答案：
解析：因为椭圆的焦点坐标为，，所以，
又椭圆过点，所以，，
所以，椭圆方程为.3.2.2 双曲线的简单几何性质——高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册随堂小练
1.若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
2.已知，分别是双曲线的左，右焦点，直线l过，且l与一条渐近线平行，若到l的距离大于a，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的渐近线与圆相切，则( )
A. B. C.3 D.
4.若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为( )
A. B.9 C. D.3
5.过双曲线（，）的左焦点作x轴的垂线交双曲线于点P，为右焦点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.2
6.（多选）下列关于双曲线的判断，正确的是( )
A.顶点坐标为 B.焦点坐标为
C.实轴长为 D.渐近线方程为
7.（多选）已知双曲线，则( )
A.实轴长为1 B.虚轴长为2 C.离心率 D.渐近线方程为
8.双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为________.
9.过点且与双曲线：的渐近线垂直的直线方程为__________.
10.(1)求长轴长为12，离心率为，焦点在轴上的椭圆标准方程；
(2)已知双曲线的渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程.
11.已知双曲线C的方程为，实轴长和离心率均为2.
（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（2）过且倾斜角为的直线l与双曲线C交于M，N两点，求的值（0为坐标原点）.
答案以及解析
1.答案：C
解析：已知双曲线的渐近线方程为，则，，
又双曲线过点，则，则，则，则双曲线的标准方程为，
故选：C.
2.答案：C
解析：设过与渐近线平行的直线l为，由题知到直线l的距离，即，可得，所以离心率.故选：C.
3.答案：B
解析：由题意得双曲线的渐近线方程为，根据对称性，不妨取，即，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，所以或(舍).
4.答案：A
解析：的渐近线方程满足，所以渐近线与平行，所以渐近线方程为，故.故选：A.
5.答案：B
解析：依题意可得，是等腰直角三角形，所以
则，.根据双曲线的几何定义可得，，所以，则，故选：B
6.答案：ACD
解析：对于双曲线，，，则，
对于A选项，双曲线的顶点坐标为，A对；
对于B选项，双曲线的焦点坐标为，B错；
对于C选项，双曲线的实轴长为，C对；
对于D选项，双曲线的渐近线方程为，即，D对.故选：ACD.
7.答案：BCD
解析：由可知，，，故实轴长为，虚轴长为，
离心率，渐近线方程为，即.故选：BCD
8.答案：
解析：因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以双曲线的离心率.故答案为：.
9.答案：，
解析：由双曲线：可得其渐近线方程为，过点且与双曲线：的渐近线垂直的直线方程为，
即，.故答案为：，.
10.答案：(1)
(2)
解析：(1)设椭圆方程为：且，
，，，，，
故椭圆方程为：；
(2)的焦点为：，，
根据题意得到：，则，解得：，
故，故双曲线的方程为：.
11.答案：（1）
（2）1
解析：（1）由离心率，又，，
又长轴长，所以，所以，
故双曲线的标准方程为；其渐近线方程为.
（2）直线l的倾斜角为，故其斜率为1，又l过点，
的方程为；
设，
则由得，，，
