江苏常州联盟校2024-2025学年高三10月学情调研数学试题含答案

常州市联盟学校 2024—2025学年度第一学期学情调研
高三年级数学试卷
2024.10
考试时间 120分钟
本试卷共 19大题 满分 150分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合 A 3, 2, 1,0,1, 2,3 ， B x x 1 0 ，则集合 A B的真子集的个数为（ ）
x 2
A．7 B．8 C．15 D．16
2．已知复数 1 i 2 m i 在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（ ）
A． , 2 B． 2, C． , 2 D． 2, 2
3.在空间中，设m， n为两条不同直线， ， 为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m / / 且 / / ，则m / /
B．若m n是异面直线，m ,m∥ ,n ,n∥ ，则 ∥
C．若 ，m ， n ，则m n
D．若m n，m ， // ，则 n//
f ' (x)
4.函数 f (x)的图象如图所示，设 f (x)的导函数为 f ' (x)，则 0的解集为 ( )
f (x)
A．(1,6) B．(1,4) C．(－∞，1)∪(6，＋∞) D．(1,4)∪(6，＋∞)
5 第 4题图．已知 cos
π
sin
2 π
，则 cos 2 （ ）
6 3 3
5 1 1 5
A． B． C． D．
9 9 9 9
6．已知m 0， n 0，直线 y 1 x m与曲线 y lnx n 4相切，则 1 1 的最小值是（ ）
e m n
A．4 B．3 C．2 D．1
7．将函数 f (x) sin π 1 x 图象上所有点的横坐标变为原来的 ( 0)，纵坐标不变，所得图象在区
6
间 0, 2π 上恰有两个零点，且在
π
,
π
上单调递增，则 的取值范围为（ ） 3 12 12
9
A ． ,3
9 11 11 B．
4
, 4 C． , 44 D．
, 6
4 4
8．若函数 f x 的定义域为 ，且有 f x 1 为奇函数，f x 2 为偶函数，当 x 0,1 时，f (x) a x b ．若
f (2) f (0) 2，则 f log2200 所在的区间是（ ）
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A． , 1 B． 1 1 ,0

2
C． 1, D． ∞
2
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9.已知0 π π， sin 5 cos 2 5 ， ，下列选项正确的有（ ）
2 5 5
A． cos 2 5
5
B． sin
5 5
C． cos 3 D． sin 11 5
5 25
10．如图，正方体 ABCD A BC D棱长为 2，P、Q1 1 1 1 分别是棱CC1，棱 BC的中点，点 M是其侧面 ADD1A1
上的动点（含边界），下列结论正确的是（ ）
A．沿正方体的表面从点 A到点 P的最短距离为 17
B 9．过点 A,P,Q的平面截该正方体所得的截面面积为
2
C．当 PM 2 2 时，点 M的轨迹长度为 2π Q
3
第 10题图
D．保持PM 与 BD1垂直时，点 M的运动轨迹长度为 2 2
11.已知 f x 2x3 3x2 1 a x b，则下列结论正确的是（ ）
A．若 f x 在 0, 上单调递增，则 a的取值范围是 , 0
B．当 a 1且 x 0, π 时， f sin x f sin 2 x
C．若过点 1,m 可作出曲线 y f x a 1 x b 的三条切线，则m的取值范围是 5 , 1
4
D．若 f x 存在极值点 x0，且 f x f x
3
0 1 ，其中 x0 x1，则 2x0 x1 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．在平面直角坐标系 xOy中，已知角 的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点 P 3 4 ,

5 5
，则

2cos π
．
cos sin π
π 13．已知边长为 2的菱形 ABCD中， DAB ，点 F 为线段 BD（含端点）上一动点，点 E满足DE 3EC，
3

则 AF DE的取值范围为 ．
x
14．在平面直角坐标系 xOy中，M为曲线 y e 上一点且位于第一象限，将线段 OM绕 x轴旋转一周，
x
得到一个圆锥的侧面，再将其展开成扇形，则该扇形的圆心角的最小值为 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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15．(13分) 在VABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，向量m 2cos
C , sinC ，n cos
C , 2sinC ，
2 2

且m n .
(1) 求角C的值；
(2) 若 c 3， sin A sin B 6 ，求VABC的面积．
2
x a
16．(15分) 已知函数 f (x)
(x 1)2
(1) 当 a＝0时，求曲线 y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程；
(2) 求函数 f (x)的单调区间．
17．(15分)如图，已知 AB 平面 ACD，DE 平面 ACD， ACD为
等边三角形， AD DE 2AB 4， F 为CD的中点.
(1) 求证： AF //平面 BCE；
(2) 求证：平面 BCE 平面CDE；
(3) 求直线 BF 和平面 BCE所成角的正弦值.
第 17题图
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18．(17分) 如图，在平面四边形 ABCD中，点 B与点D分别在 AC的两侧，对角线 AC与 BD交于点 E，
AB BC 2 .
(1) VABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若VABC的面积为
3 S b2 2 c2 a2 ， AE AC，求 ABC的大小和 CBD；
4 3
(2) 设 BAC ，已知 AD 2CD，且 ADC π ，求对角线 BD的最大值
3
和此时 的值.
第 18题图
19．(17分) 对于函数 f x ，若在定义域内存在实数 x0，且 x0 0，满足 f x0 f x0 ，则称 f x 为
“弱偶函数”.若在定义域内存在实数 x0，满足 f x0 f x0 ，则称 f x 为“弱奇函数”.
1
(1)判断函数 , x 0f x x 是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”并说明理由；
x
3 , x 0
2
3x 2m 3x 4, x 1
(2)已知函数 h x ，为其定义域上的“弱奇函数”，求实数m的取值范围；
4, x 1
3
(3) 2已知 a 1，对于任意的b 1, ,函数 h x ln x 1 a x x b都是定义域为 1,1 上的“弱奇 2
函数”，求实数 a的取值范围.
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常州市联盟学校 2024—2025学年度第一学期学情调研
高三年级数学试卷答案 2024.10
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．A 2．C 3．B 4．D 5.B 6.D 7. C 8．C
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．ACD 10. BC 11．BCD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
3 2
12. 6 13 ． ,3
14． 2e π
2 16 e4
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(13分)(1) m n m n 0 …………1分
2cos2 C 2sin2C 1 cosC 2sin2C 1 cosC 2 1 cos2C 2cos2C cosC 1 02
解得： cosC 1或 cosC 1 ， C 0, ， C ； …………6分
2 3
（2）因为C 2π ．
3
由正弦定理， a b c 3 2， …………8分
sin A sinB sinC 3
2
所以 sin B b ， sin A a ．
2 2
又因为 sin A sin B 6 ，所以 a b 6 ，得 a b 6，
2 2 2 2
由余弦定理有： c2 a2 b2 2abcosC，所以 ab 1．
所以 S 1 ab sinC 1 3 3 1 ． …………13分 ABC 2 2 2 4
x
16.(15分)(1)当 a＝0时，f(x)＝ 2 (x≠－1)，则 f(0)＝0，(x 1)
' 1 x
因为 f (x) 3 ，所以 f ′(0)＝1.(x 1)
所以曲线 y＝f(x)在(0，0)处的切线方程为 y＝x. …………5分
(x (2a 1))
(2) '函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． f (x) ，
(x 1)3
令 f′(x)＝0，解得 x＝2a＋1. …………7分
1 x 1
①当 2a＋1＝－1，即 a '＝－1时， f (x) 0
(x 1)3 (x 1)2
所以函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间； ………9分
②当 2a＋1<－1，即 a<－1时，
令 f′(x)<0，则 x∈(－∞，2a＋1)∪(－1，＋∞)，
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令 f′(x)>0，则 x∈(a＋1，－1)，
函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，2a＋1)和(－1，＋∞)，单调递增区间为(2a＋1，－1)； …12分
③当 2a＋1>－1，即 a>－1时，
令 f′(x)<0，则 x∈(－∞，－1)∪(2a＋1，＋∞)，
令 f′(x)>0，则 x∈(－1，2a＋1)，
函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(2a＋1，＋∞)，单调递增区间为(－1，2a＋1)． …14分
综上所述：
当 a＝－2时，函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，无单调递增区间；
当 a<－2时，函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，a＋1)和(－1，＋∞)，
单调递增区间为(a＋1，－1)；
当 a>－2时，函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(a＋1，＋∞)，
单调递增区间为(－1，a＋1)． …………15分
17.(15分) (1) 证明：如图取CE的中点G，连接 FG、 BG .
F为CD的中点， GF / /DE且GF 1 DE，
2
由 AB 平面 ACD，DE 平面 ACD，
AB / /DE， GF / /AB .又 AB 1 DE， GF AB，
2
四边形GFAB为平行四边形，则 AF / /BG，
AF 平面 BCE， BG 平面 BCE， AF / /平面BCE . …………5分
(2) 证明： ACD为等边三角形， F为CD的中点，
AF CD . DE 平面 ACD， AF 平面 ACD， DE AF ，
BG / /AF ，所以DE BG， BG CD，
又CD DE E，CD、DE 平面CDE， BG 平面CDE，
BG 平面 BCE， 平面BCE 平面CDE . …………10分
(3) 如图：在平面CDE内，过 F作 FH CE于点H，连接 BH ，
平面 BCE 平面CDE，平面 BCE 平面CDE CE，FH 平面CDE，
FH 平面 BCE . FBH为 BF和平面BCE所成的角，
因为 AD DE 4， AB 2，
则FH CF sin 45 2，BF AB2 AF2 4，
在Rt FHB中， sin FBH FH 2 ，
BF 4
直线 BF和平面 BCE所成角的正弦值为 2 . …………15分
4
（向量法略）
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18．(17分) (1)在VABC中，由余弦定理，b2 a2 c2 2ac cos ABC，
因为 S 3 (b2 a2 c2 ) 1 ac sin ABC，所以 3 cos ABC sin ABC ，
4 2
即 tan B 3，又因为 B (0 ,180 )，所以 ABC 120 . …………4分
AB BC 2 BAC ACB ，设 CBD ，则0
2π
，
6 3
在 BCE中，由正弦定理得 CE BE ，
sin sin ACB
在 ABE中，由正弦定理得 BE AE ，
sin BAC sin 2π

3
AB BC 2 BAC ACB CE AE
6 ，
，
sin sin 2π
3
sin
2π



因为 AE 2 AC AE，则 AE 2，所以， 3 2， 3 cos 3 sin 3 tan
3 CE sin CE 2 2 3
因为0 2π，所以， π ，即 CBD

…………10分
3 6 6
（2）解： AD 2CD，且 π ADC ， BAC ，
3
由余弦定理可得 AC2 AD2 CD2 2AD CDcos ADC 3CD2，
AC 3CD AC2 CD2 AD2 ACD
2
在△ABC中， AB BC 2， BAC ACB
由正弦定理得 AC AB ， AC 2sin( 2 ) 4cos
sin( 2 ) sin sin
AC 3CD 4cos ，CD 4 3 cos
3
在△BCD π中， BC 2， BCD ，
2
由余弦定理可得 BD2 BC 2 CD2 2BC CD cos( π ) 4 16 cos2 2 2 4 3 cos sin ，
2 3 3
BD2 4 8 1 cos 2 8 3 sin 2 16 sin 2 π 20
3 3 3 6
，
3
易知0 π ，则 π 2 π 5π ，
2 6 6 6
故当 2 π π 时，即当 π 时， BD取最大值，且最大值为 2 3 . …………17分
6 2 6
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19.(17分) (1) 若 f x f x
当 x 0时，则 x 0， x3 1 x4 1，无实数解，舍去；
x
当 x 0时，则 x 0， 1 x3 x4 1，无实数解，舍去；
x
则 f x 不是“弱偶函数”， …………2分
若 f x f x
当 x 0时，则 x 0， x3 1 x4 1，解得 x 1（正舍），
x
当 x 0时，则 x 0，若 x3 1 ，解得 x 1（负舍），
x
则存在实数 x0 1，满足 f x0 f x0 ，
所以 f x 是“弱奇函数”. …………5分
x 2 x
(2) g x 3 2m 3 4, x 1 ，定义域为R .
4, x 1
①当在区间 1,1 上存在 x0，满足 g x0 g x0 时，
2 2 2
则 3x0 2m 3x0 4 3 x0 2m 3 x0 4 0 ，即 3x0 3 x0 2m 3x0 3 x0 10 0.
令 t 3x0 3 x0 ，则 t 2 3x0 3 x0 2，当且仅当 x0 0时取等号.
又 x0 1,1 ，所以 t 31 3 1 10 ，即 t 2,
10 ，
3 3
2
所以 3x0 3 x0 2 2m 3x t 10 t 5 3 10 3 x0 10 t 2 2mt 10 0 ，所以m , 2t 2 t 2 6
②当在区间 , 1 上存在 x0，满足 g x0 g x0 时，
x 2则 3 0 2m 3 x0 4 4 ，即m 1 x 4 3x0 有解.2 3 0
因为 y 1 x 4 3
x0 在区间 , 1 上单调递减，所以m 1 .
2 3 0 6
1,
③当在区间 上存在 x0，满足 g x0 g x0 时，
2 x0
则 4 3 4 3x0 2m 3x0 4 ，即m 有解. 2 3x0
x0 1,
因为 y 3 4 在区间 上单调递增，所以 1x m .2 3 0 6
综上所述，实数 m的取值范围为 m m
3
. …………11分
2
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(3)由题意知, b 1, 3 , h x h x 在 x 1,1 上都有解, 2
即 b 1,
3 2
, ln x 1 a x x b ln x 1 a x
2 x b在 x 1,1 上都有解，
2
即 b 3
2
1, , ln

a 1 x
2 2
2x 2b在 x 1,1 上都有解， 2
令 x2 s 0,1 ,令 s ln a 1
2 s 2s
，
由题意知 s 在 s 0,1 上的值域包含 2,3 ，
因为 s 1 2，又因为 s 0,1 ,a 1, , 2所以 a 1 s 3，
a 1 2 s
所以 s 0 ,所以 s 在 s 0,1 上单调递增，
0 2 a e 1
所以 1

3 a e 1 1 1 a e 1

a 1

a 1
综上:1 a e 1． …………17分
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