1.2.5 空间中的距离
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册随堂小练
1.在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为( )
A. B. C. D.
2.已知直线l经过点，且是l的方向向量，则点到l的距离为( )
A. B. C. D.
3.在四棱锥中,底面是边长为3的正方形,底面,,点G在侧棱上.且满足,则异面直线和的距离为( )
A. B. C. D.
4.在棱长为1的正方体中,则平面与平面之间的距离为( )
A. B. C. D.
5.如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，，，平面ABCD，且，E是PA的中点，则PC到平面BED的距离为( )
A. B. C. D.
6.（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，的甲点，则下列结论正确的是( )
A.点F到点E的距离为 B.点F到直线的距离为
C.点F到平面的距离为 D.平面到平面的距离为
7.（多选）已知正方体的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且，点Q是棱的中点，点P是棱上的动点，则下面结论中正确的是( )
A.PQ与EF一定不垂直 B.二面角的正弦值是
C.的面积是 D.点P到平面QEF的距离是定值
8.已知正四棱柱中，，，点E为的中点，则直线到平面的距离为___________.
9.在底面为直角梯形的四棱锥中，侧棱底面，，，，，则点D到平面PBC的距离是__________.
10.如图，已知直四棱柱中，，，，，，N是的中点，M是的中点.
（1）求证平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点B到平面的距离.
答案以及解析
1.答案：D
解析：设平面ABCD的法向量为，则即令，可得，，则.
点P到平面ABCD的距离为，即为该四棱锥的高.故选D.
2.答案：C
解析：由题设得，
则，
所以.
又，故点P到l的距离为.故选C.
3.答案：A
解析：如图,以点A为原点,,,分别作为x, y, z轴正方向,
建立空间直角坐标系,
所以,,,
设为直线和的公垂线的方向向量,
则有,可取,
所以异面直线和的距离为,
故选：A.
4.答案：B
解析：建立如图所示的直角坐标系,则,,,,
所以,,,
设平面的一个法向量,则,
即,解得,故,
显然平面平面,
所以平面与平面之间的距离．
5.答案：A
解析：取CD的中点F，连接AF，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，.
设平面BED的法向量为，
则令，得，
，且，
平面，到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离.
，点P到平面BED的距离，到平面BED的距离为.故选A.
6.答案：ABC
解析：以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意知，，，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
所以则可得平面的一个法向量为.
点F到点E的距离，故A正确；点F到直线的距离为，故B正确
点F到平面的距离，故C正确；
由正方体的性质可知，平面平面，平面到平面的距离即为点F到平面的距离.故D错误.故选ABC.
7.答案：BCD
解析：对于A，当点P与点重合时，，故选项A错误.
对于B，由于点P是棱上的动点，EF是棱AB上的一条线段，所以平面PEF即为平面，平面QEF即为平面QAB.
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，.
设平面QAB的一个法向量为，则即
令，则.
设平面的法向量为，
则即
令，则.
设二面角的大小为，所以，故，故选项B正确.
对于C，由于平面，平面，所以，所以，所以是的高，所以，故选项C正确.
对于D，由于，且平面，平面QEF，所以平面QEF，又点P在上，所以点P到平面QEF的距离是定值，故选项D正确.故选BCD.
8.答案：1
解析：如图，连接，，且与相交于点O，连接，以D为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，所以，，，易知平面.
设平面的一个法向量是，
则令，则，，所以.又因为，
所以点A到平面的距离为，
故直线到平面的距离为1.
9.答案：
解析：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，.设为平面PBC的法向量，则即取，则.又，点D到平面PBC的距离为.
10.答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）以A为坐标原点，以，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意得，，，，，，，
则，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则，即，
取，得，，则.
，
所以，显然平面，所以平面.
（2）易知，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，得，，则.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）易知.
设点B到平面的距离为d，
则，
所以点B到平面的距离为.1.2.2 空间中的平面与空间向量
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册随堂小练
1.已知，，，则平面ABC的一个单位法向量是( )
A. B.
C. D.
2.若直线l的方向向量为b，平面的法向量为n，则可能使的是( )
A.， B.，
C.， D.，
3.若平面，的一个法向量分别为，，则( )
A. B.与相交但不垂直
C. D.或与重合
4.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则( )
A. B.4 C.-1 D.1
5.已知空间中三点，，，则下列说法正确的是( )
A.与是共线向量
B.与方向相同的单位向量是
C.与夹角的余弦值是
D.平面的一个法向量是
6.（多选）已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是( )
A. B. C. D.
7.（多选）在空间直角坐标系Oxyz中，已知，，，若存在一点P，使得平面OAB，则P点坐标可能为( )
A. B. C. D.
8.在空间直角坐标系中，点为平面ABC外一点，其中，.若平面ABC的一个法向量为，则__________.
9.若是平面的一个法向量，且向量，与平面都平行，则向量__________.
10.如图所示，已知矩形ABCD，，，平面ABCD.若在BC上只有一个点Q满足，则a的值等于__________.
答案以及解析
1.答案：D
解析：依题意，，，设平面ABC的法向量为，
则令，得，于是得与n同向的单位向量为，与n反向的单位向量为，D满足，显然选项A，B，C中的向量与不共线，即A，B，C不满足.故选D.
2.答案：D
解析：直线l的方向向量为b，平面的法向量为n，若可能有，则，即.
A选项，，不符合题意；B选项，，不符合题意；
C选项，，不符合题意；D选项，，符合题意.故选D.
3.答案：D
解析：，，或与重合.
4.答案：C
解析：因为，所以，
又，，
所以，解得，
故选C.
5.答案：C
解析：易知，，不存在实数，使得，所以与不共线，故A错误；因为，所以，所以与方向相同的单位向量是，故B错误；易知，又，所以，故C正确；令，因为，所以与n不垂直，即不是平面的一个法向量，故D错误.故选C.
6.答案：ACD
解析：选项A，由题设，故A正确；
选项B，由题设，或，故B错误；
选项C，由题设，故C正确；
选项D，由题设，故D正确.故选ACD.
7.答案：AD
解析：设，则，，，若平面OAB，则，，所以即
将代入，满足方程组，所以选项A符合题意；
将代入，不满足方程组，所以选项B不符合题意；
将代入，不满足方程组，所以选项C不符合题意；
将代入，满足方程组，所以选项D符合题意.故选AD.
8.答案：-2
解析：因为，，所以.因为平面ABC的一个法向量为，所以，所以，解得.
9.答案：
解析：由题意得
所以解得
所以.
10.答案：2
解析：平面，是PQ在平面ABCD内的射影.由，得，则为直角三角形.
设，则，，，那么，整理得.
由题意，该方程有两个相等的实根，故，即.又，.1.1.2 空间向量基本定理
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册随堂小练
1.已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点.若由确定的点M与A，B，C共面，则的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.如图，在三棱柱中，G为棱的中点，若，，，则( )
A. B.
C. D.
3.在四面体OABC中，，，，点D满足，E为AD的中点，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知a，b，c是不共面的三个向量，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是( )
A.3a，， B.2b，，
C.a，2b， D.c，，
5.如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F.若，，，则( )
A. B. C. D.
6.（多选）在下列条件中，不能使M与A，B，C一定共面的是( )
A. B.
C. D.
7.（多选）已知是空间的一组基底，则下列说法正确的是( )
A.
B.若，则
C.a在b上的投影向量为
D.，，一定能构成空间的一组基底
8.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为___________.
9.已知向量，，不共面，且，b，，若向量a，b，c共面，则_________.
10.在平行六面体中，，，，则__________.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由点M与A，B，C共面，且，可得，解得，故选B.
2.答案：D
解析：.
3.答案：A
解析：由题意作图如下.
.
因为E为AD的中点，所以，所以，则D为BC的中点，故点D满足，则.
4.答案：C
解析：对于A，因为，所以3a，，共面，不能构成空间的一个基底，故A不符合题意；
对于B，因为，所2b，，共面，不能构成空间的一个基底，故B不符合题意；
对于C，因为a，b，c不共面，显然不存在实数x，y，使得成立，所以a，2b，不共面，可以构成空间的一个基底，故C符合题意；
对于D，因为，所以c，，共面，不能构成空间的一个基底，故D不符合题意.选C.
5.答案：D
解析：由题意可知，
，
因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，，使，所以，所以，
所以所以.故选D.
6.答案：ABD
解析：对于A选项，由于，所以不能得出M，A，B，C共面.
对于B选项，由于，所以不能得出M，A，B，C共面.
对于C选项，由于，则，，为共面向量，所以M，A，B，C共面.
对于D选项，由得，而，所以不能得出M，A，B，C共面.故选ABD.
7.答案：BCD
解析：A选项，当a，c不共线时，与a共线，与c共线，故不可能成立，故A不正确.B选项，是空间的一组基底，故三个向量不共面且两两共面不共线，假设x，y，z不全为0，不妨设，此时有，故，矛盾；不妨设，，此时，故a，b共线，矛盾；若三者均不为0，即，此时a，b，c共面，矛盾，综上，假设不成立，故，B正确.C选项，a在b上的投影向量为，C正确.D选项，设，即无解，故，，不共面，一定能构成空间的一组基底，D正确.故选BCD.
8.答案：
解析：由题意可得，.又因为P是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，所以，解得.
9.答案：1
解析：因为向量a，b，c共面，所以存在实数m，n，使得，
即，
即，解得
10.答案：
解析：由题设，作出示意图.
由图得，，则.1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册随堂小练
1.若，在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
2.已知点，，C为线段AB上一点且，则点C的坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，棱AB，SC的中点分别为E，F.若直线EC与BF所成角的余弦值为，则( )
A.2 B. C.4 D.1
4.已知，分别是异面直线，的方向向量，则异面直线与所成的角满足( )
A. B. C. D.
5.如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是，的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.（多选）若，是直线l上的两点，则直线l的一个方向向量v的坐标可以是( )
A. B. C. D.
7.（多选）已知m，n为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与m，n都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则( )
A.直线AB与m所成角的最小值为
B.直线AB与m所成角的最大值为
C.当直线AB与m的夹角为时，AB与n的夹角为
D.当直线AB与m的夹角为时，AB与n的夹角为
8.已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则实数m的值为__________.
9.已知两条空间直线a，b的夹角为，a，b分别为直线a，b的方向向量，则__________.
10.已知O为坐标原点，在四面体OABC中，，，，直线，并且AD交坐标平面zOx于点D，则点D的坐标为__________.
答案以及解析
1.答案：C
解析：依题意，直线l的一个方向向量为，其他三个均不符合要求.故选C.
2.答案：C
解析：设，为线段AB上一点且，，即，，，.
3.答案：C
解析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设，则，，，，
所以，所以，.
因为直线EC与BF所成角的余弦值为，
所以，解得（负值舍去），即.故选C.
4.答案：C
解析：，，，，.又，，.
5.答案：B
解析：在直三棱柱中，，则以点C为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，则.
因此，异面直线AE与CF所成角的余弦值为.故选B.
6.答案：AC
解析：由题意得，，结合选项知A，C正确，B，D错误.
7.答案：ACD
解析：由题意知，m，n，AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图.
不妨设图中所示正方体的棱长为1，故，，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆.以C为坐标原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，直线m的单位方向向量，，直线n的单位方向向量，.设B点在运动过程中的坐标为，其中为以CD为始边，点C为旋转中心逆时针旋转的角，则，
，，
设与m所成的角为，则，则
，A正确，B错误.
设与n所成的角为，则，，当与m的夹角为，
即时，.
，，，，，此时直线与n的夹角为，故C正确.
当与m的夹角为，即时，，，，，，，此时直线与n的夹角为，故D正确.故选ACD.
8.答案：2
解析：因为，所以，则，解得.
9.答案：或
解析：由空间中两条直线所成的角与其方向向量的夹角的关系可知，或.
10.答案：
解析：平面zOx，设，则，.
直线，，
存在，使得，
，
点D的坐标为.1.2.3 直线与平面的夹角
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册随堂小练
1.直线l与平面所成的角是，若直线l在内的射影与内的直线m所成的角是，则l与m所成的角是( )
A. B. C. D.
2.在直三棱柱中，为等边三角形，，M是的中点，则AM与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
3.在正三棱柱中，，M是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
4.如图，在正四棱锥中，O为顶点S在底面ABCD内的射影，P为侧棱SD的中点，且，则直线CD与平面PAC的夹角是( )
A. B. C. D.
5.已知四棱锥的底面为矩形，平面，，，直线PD与平面PAC所成角的正弦值为，则四棱锥的体积为( )
A.4 B. C. D.8
6.（多选）在正方体中，下列说法正确的是( )
A. B.
C.与平面所成的角为 D.与平面ABCD所成的角为
7.（多选）已知正方体中，E，F分别为，的中点，则( )
A.直线BE与所成角为
B.直线与所成角为
C.直线与平面所成角为
D.直线与平面BFD所成角的正弦值为
8.如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，，则直线与平面所成角的正弦值为________.
9.如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，，，平面平面.P为线段BC上一动点，当_________时，直线DP与平面所成角的正弦值为.
10.如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意，，.由，得，.故选C.
2.答案：B
解析：如图所示，取AC的中点D，连接DM，BD，以D为原点，BD，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
不妨设，则，，，，所以，，.设平面的法向量为，则即取，则，，所以.
设AM与平面所成角为，向量与n所成的角为，所以，即AM与平面所成角的正弦值为.故选B.
3.答案：B
解析：取N是的中点，连接,，如下图所示：
设三棱柱底面边长为a，可得，
由正三棱柱性质可知平面，所以即为直线与平面所成角的平面角，
易知，由勾股定理可得，
所以；
即直线与平面所成角的正弦值为.
故选：B
4.答案：C
解析：如图，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
设，
则，，，，，
则，，.
设平面PAC的法向量为，
则，，
可取.
设直线CD与平面PAC的夹角为，
则，又，.故选C.
5.答案：B
解析：因为平面，平面ABCD，所以，，又，所以以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系.设，则，，，所以，.设平面PAC的法向量为，则取，得.又，与平面PAC所成角的正弦值为，所以，解得或（舍去），则，所以.
6.答案：ABD
解析：对A选项，连接，如图①，，，，，，，四边形为平行四边形，.，，故A正确.
对B选项，由题可得平面，.又，平面，平面，又平面，，故B正确.
对C选项，连接BD，交AC于点O，连接，如图②.
底面，平面ABCD，.，，平面，平面.
与平面所成的角为.设正方体的棱长为1，则，，.，，故C错误.
对D选项，底面，与平面ABCD所成的角为.易知为等腰直角三角形，，故D正确.故选ABD.
7.答案：ABC
解析：以D为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则，，，，，，，，，，则，，故，则，故直线BE与所成角为，A正确；
，，，又，故，即直线与所成角为，B正确；
，，，设平面的法向量为，则令，则，
故，因为直线与平面所成角的范围为，所以直线与平面所成角为，C正确；
，，设平面BFD的法向量为，
则令，
则，故，故直线与平面BFD所成角的正弦值为，D错误.故选ABC.
8.答案：
解析：以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系（图略），
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则
取，则，，
，
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
9.答案：1
解析：以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.
则，，，，，所以，.
设平面的法向量，所以
所以
取，可得平面的一个法向量，设，，所以，所以解得或（舍去），所以.
因为，所以.
10.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x轴、y轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
由题意知各点坐标如下：
，，，，，，
因此，，.
由得，
由得.
又，所以平面.
(2)设直线与平面所成的角为.
由(1)可知，，，
设平面的法向量，
由即可取，
所以.
因此，直线与平面所成角的正弦值是.1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册随堂小练
1.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体，则的中点E到AB的中点F的距离为( )
A. B. C.2 D.1
2.空间中，若向量，，共面，则( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.已知空间向量，，则向量b在向量a上的投影向量是( )
A. B.
C. D.
4.设x，，向量，，，且，，则( )
A. B.3 C. D.4
5.已知空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则( )
A. B.
C.或 D.或
6.（多选）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是( )
A.
B.与是共线向量
C.和夹角的余弦值是0
D.与同向的单位向量是
7.（多选）已知单位向量i，j，k两两的夹角均为，且.若空间向量a满足，则有序实数组称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列说法正确的有( )
A.已知，，则
B.已知，，其中，则当且仅当时，向量a，b的夹角取得最小值
C.已知，，则
D.已知，，，则三棱锥的表面积
8.在空间直角坐标系中，点关于xOy平面的对称点的坐标为___________.
9.已知向量，，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为__________.
10.已知空间向量，，，，若，则实数__________.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题知，，的中点，，，的中点，的中点E到AB的中点F的距离为.故选B.
2.答案：C
解析：因为，，所以b，c不共线，可以取为一组基底.若向量，，共面，则存在实数x，y，使得，即，即解得故选C.
3.答案：A
解析：根据题意，，，，则b在a上的投影向量为，故选A.
4.答案：C
解析：，，，，
，解得，
又，，解得，
，，，
.
5.答案：C
解析：空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，，，，又，，又为单位向量，.联立得或，，.故选C.
6.答案：ACD
解析：，，，所以，A选项正确；，所以与不共线，B选项错误；
，所以和夹角的余弦值是0，C选项正确；
与同向的单位向量是，D选项正确.故选ACD.
7.答案：BC
解析：由定义可得，因为，且，所以，故A错误；如图所示，设，，则点A在平面Oxy上，点B在z轴上，由图易知当时，取得最小值，即向量a与b的夹角取得最小值，故B正确；根据“仿射”坐标的定义可得，，故C正确；由已知可得三棱锥为正四面体，棱长为1，其表面积，故D错误.故选BC.
8.答案：
解析：点关于xOy平面的对称点的坐标为.
9.答案：
解析：；.
综上，且.
故实数t的取值范围为.
10.答案：
解析：由题意知，.
因为，所以设，
则解得.1.1.1 空间向量及其运算
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册随堂小练
1.在长方体中，( )
A. B. C. D.
2.如图，在三棱柱中，E，F分别是，的中点，G为的重心，则( )
A. B.
C. D.
3.已知空间向量a，b，，，且与a垂直，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
4.下列条件，能说明空间中不重合的A，B，C三点共线的是( )
A. B. C. D.
5.如图所示，在空间四边形OABC中，，且，则的值为( )
A. B.0 C. D.
6.（多选）已知a，b为空间中的任意两个非零向量，则下列各式正确的有( )
A. B.
C. D.
7.（多选）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为，，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
8.在空间四边形中，若是正三角形，且E为其中心，则___________.
9.在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.
10.如图，已知正方体的棱长为1，E为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影的数量的取值范围为__________.
答案以及解析
1.答案：A
解析：.故选A.
2.答案：A
解析：由题意可得.故选A.
3.答案：D
解析：与a垂直，，，.
，.
4.答案：C
解析：对于空间中的任意向量，都有，选项A不符合要求；
若，则，而，据此可知，即B，C两点重合，选项B不符合要求；
，则A，B，C三点共线，选项C符合要求；
，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D不符合要求.
5.答案：B
解析：在空间四边形OABC中，，，，
，.故选B.
6.答案：AD
解析：由数量积的性质和运算律可知AD是正确的.
7.答案：BC
解析：由空间单位向量，，两两之间的夹角均为，得，故A错误；
，故B正确；
由，得，由，得，则，
所以，则
，故C正确；
，所以，，故D错误.故选BC.
8.答案：0
解析：如图，连接，，取的中点F，连接.
是正三角形，且E为其中心，，
.
9.答案：
解析：如图，设，则.由正三棱柱可得且.又，，所以，.
10.答案：
解析：设.，，向量在向量方向上的投影的数量为，又，，向量在向量方向上的投影的数量的取值范围为.1.2.4 二面角
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册随堂小练
1.在三棱锥中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为，.若，则二面角的大小为( )
A. B. C.或 D.或
2.中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，，则二面角的正切值为( )
A.1 B.2 C. D.
3.如图，在正方体中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.如图所示，在四面体中，平面，，那么二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中，，，点D为棱BC的中点，点E为上的点，且满足，当二面角的余弦值为时，实数m的值为( )
A.1 B.2 C. D.3
6.（多选）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD，则( )
A.
B.PB与平面ABCD所成的角为
C.异面直线AB与PC所成角的余弦值为
D.平面PAB与平面ABCD所成的二面角为
7.（多选）如图，已知E，F分别是正方体的棱BC和CD的中点，则下列说法正确的是( )
A.与是异面直线
B.直线与EF所成角的大小为
C.直线与平面所成角的正弦值为
D.二面角的余弦值为
8.在二面角的棱上有A，B两点，AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内且都垂直于AB，若，，，，则此二面角的大小为__________.
9.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，且平面，，点F为PC的中点，则二面角的正切值为__________.
10.如图，在四棱锥中，是边长为3的正三角形，，，，平面平面ABCD.
（1）求证：平面ABCD；
（2）若，求二面角的平面角的正切值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：当二面角为锐角时，其大小为；当二面角为钝角时，其大小为.
2.答案：D
解析：如图，取AB的中点M，连接，.，，，，则为二面角的平面角.设，由，知，则，.
3.答案：B
解析：设正方体的棱长为1，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示，
则，，，.
设平面AMN的法向量为，
由于，，则
即
令，解得，，于是，
同理可求得平面BMN的一个法向量为，所以，
设平面MNA与平面MNB的夹角为，则.故所求两平面夹角的余弦值为.故选B.
4.答案：C
解析：如图所示，过点B作于点D，过点C作于点E.
设，则易得，，，所以，.
，，，
.
又二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为.
5.答案：A
解析：由题意知.以A为坐标原点，过点A在平面ABC内作垂直于AC的直线为x轴，
分别以，所在直线为y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
则，，，，则，，.
设平面ADE的法向量为，
则即
令，则，，.
取平面ADC的一个法向量为.
由二面角的余弦值为，得，所以，即，解得.故选A.
6.答案：AC
解析：设，则.因为，所以由余弦定理，得.所以，所以.又底面ABCD，所以DA，DB，DP三条直线两两垂直，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，所以，，，，.所以，所以，即，故A正确.
易知平面ABCD的一个法向量为.设直线PB与平面ABCD所成的角为，则，所以直线PB与平面ABCD所成的角为，故B错误.
设直线AB与PC所成的角为，则，故C正确.
设平面PAB的法向量为，则即取，则，，所以，所以，故D错误.选AC.
7.答案：AD
解析：对于A，因为点平面，点平面，平面，所以与是异面直线，故A正确.
对于B，连接BD，由E，F分别是BC，CD的中点知，，又，所以，即或其补角为与EF所成的角，在等边三角形中，，故B错误.
对于C，以D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体的棱长为2，则，，，，，
由题意可知，平面的法向量可取，，
设与平面所成的角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为，故C错误.
对于D，由C中坐标系可得，，，，所以，，，
设平面的法向量为，则令，得，
设平面的法向量为，则令，可得，则，又因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为，故D正确.故选AD.
8.答案：
解析：由题知，，，，，即，，即此二面角的大小为.
9.答案：
解析：如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.设，则，所以，，，，所以，，.显然为平面BDF的一个法向量.设平面BCF的一个法向量为，则令，可得，所以，，所以，故二面角的正切值为.
10.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：连接AC交BD于点O，由平面几何知识易知，
又平面平面PBD，平面平面，平面，平面PBD，
又平面，，又，，平面ABCD，
平面ABCD.
（2）以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
若，则，，，.
，.
设是平面PBC的法向量，
则即
令，则，，
即.
易知是平面PBD的一个法向量，
.
二面角的平面角为锐角，
二面角的平面角的余弦值为，
二面角的平面角的正弦值为，
二面角的平面角的正切值为.
