3.1.3 组合与组合数
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册随堂小练
1.在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首.北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3个节气中含有“立春”的概率为( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A.2 B.5 C.2或5 D.2或6
3.电梯里有6位乘客，在一栋楼的5层中的每一层停留，如果有两位乘客从同一层出去，另两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，则不同的出电梯方法的种类数是( )
A.1600 B.2700 C.5400 D.10800
4.某艺术中心将举办一次以“雪花”为主题的剪纸比赛，要求参赛选手完成规定作品和创意设计作品各2幅，若选手共有不少于3幅作品入选，则该选手将获得“冰雪之韵”纪念品.某选手完成了规定作品和创意设计作品各6幅，指导教师评定其中规定作品4幅和创意设计作品3幅符合入选标准，现从这12幅作品中随机抽取规定作品和创意设计作品各2幅，则预测该选手获得“冰雪之韵”纪念品的概率是( )
A. B. C. D.
5.某校环保小组共有8人，该小组计划前往3个不同的景区开展活动，要求每个景区至少有2人，每个人都参与且只能去一个景区，则不同的分配方案有( )
A.490种 B.980种 C.2940种 D.5880种
6.（多选）2022年在全世界范围内，气温升高是十分显著的，世界气象组织预测2022年到2026年间，有93%的概率平均气温会超过2016年，达到历史上最高气温纪录．某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中5名男生5名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则( )
A.选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种
B.选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种
C.选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种
D.选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种
7.已知，则______________.
8.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有_________种.
9.某地举办高中数学竞赛，已知某校有15个参赛名额，现将这15个参赛名额分配给A，B，C，D四个班，其中1个班分配7个参赛名额，剩下的3个班都有参赛名额，则不同的分配方案有__________种.
10.把6张座位编号分别为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每个人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有_________种.（用数字作答）
答案以及解析
1.答案：B
解析：这3个节气中含有“立春”的概率为.故选B.
2.答案：C
解析：由，可得或，解得或.故选C.
3.答案：C
解析：先将电梯里的6个人分为4组，共有种分法，再把这4组分到5层楼中的任意4层，故所有的种类数为.故选C.
4.答案：D
解析：从12幅作品中随机抽取规定作品和创意设计作品各2幅，共有（种）选法，若选手获得“冰雪之韵”纪念品，共有（种）选法，所求概率为.
5.答案：C
解析：第一步：将8名成员分成3组，按照2，2，4的方式来分，有种分配方案；
按照2，3，3的方式来分，有种分配方案.
第二步：将3组成员分配到3个不同的景区开展环保活动，共有种分配方案.
故符合要求的分配方案共有种，故选C.
6.答案：AD
解析：选取的4名学生都是女生的不同选法共有种，故A正确；
恰有2名女生的不同选法共有种，故B错误；
至少有1名女生的不同选法共有种，故C错误；
选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有种，故D正确.
故选：AD．
7.答案：120
解析：由，得，解得，所以.
8.答案：36
解析：此题分两步完成：第一步，将4名同学分成3组，有种分法；第二步，将所分3组进行排列，有种排法.所以不同的安排方法共有（种）.
9.答案：84
解析：第一步，确定分配有7个名额的班，共有4种；第二步，利用隔板法，剩余8个参赛名额分给3个班的分配方式有种.
故不同的分配方案有（种）.
10.答案：144
解析：根据题意，可分为两步进行：
①先将票分为符合条件的4份，4人分6张票，且每人至少1张，至多2张，则有2个人各1张，2个人各2张，且分得的票必须连号，相当于将1，2，3，4，5，6这6个数字用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号，即在其中的5个空隙中插入3个板子，有种情况，
其中出现三连号的有123，4，5，6；1，234，5，6；1，2，345，6；1，2，3，456，共4种情况不满足题意，所以有种情况；
②再将分好的4份全排列，对应到4个人，有种情况.由分步乘法计数原理可得共有种不同的分法.3.1.2 排列与排列数
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1.已知，则( )
A.11 B.12 C.13 D.14
2.某校运动会计划在开幕式表演包含A，B，C在内的6个不同的节目，为了突出表演效果，计划将A排在后三位，B与C连续表演，则不同的表演方案的种数为( )
A.72 B.96 C.120 D.144
3.公元5世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围：，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到小于3.14的不同的数的个数为( )
A.240 B.360 C.600 D.720
4.加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须相邻，工序C，D不能相邻，那么不同的加工方法种数为( )
A.24 B.32 C.48 D.64
5.某电视台拍摄宣传片五组进行制作编辑，其中包括美食宣传片、地方风光宣传片各两个，运动场地宣传片一个，所有宣传片时长彼此不同，现将五组宣传片编辑在一起，要求相同题材的不相邻，则不同的排法共有( )
A.24种 B.48种 C.72种 D.120种
6.（多选）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是( )
A. B.
C. D.
7.计算：___________.
8.如图，某店铺销售某产品，该产品共剩A，B，C三种颜色的相同款式7盒，销售员随机抽取货架上的产品进行贴条投递，她总是取每堆中的最上面的一盒（全部拿完），则不同的取法有___________种.（用数字怍作答）
9.某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有__________种.
10.某公司安排甲、乙、丙等7人完成7天的值班任务，每人负责1天，已知甲不安排在第1天，乙不安排在第2天，甲和丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有__________种.
答案以及解析
1.答案：C
解析：根据题意得.由得，整理可得，解得，经检验满足题意.
2.答案：C
解析：B与C连续表演，有种，再将二者看作整体，与其他4个节目排列，有种，最后考虑A的排放，易知A排在前三位与排在后三位的情况数相同，所以不同的表演方案的种数共有种.
3.答案：A
解析：小于3.14的不同的数有两类：第一类：3.11开头的，剩余5个数字全排列有种；第二类：3.12开头的，剩余5个数字全排列有种.根据分类加法计数原理可知，共种.故选A.
4.答案：A
解析：根据题意，分两步进行分析：
第一步，将A，B看成一个整体，与E全排列，有种排法；
第二步，排好后，形成3个空位，将C，D安插在空位中，有种排法，
则有种不同的加工方法，故选A.
5.答案：B
解析：五组宣传片的全部排法有种，两个美食宣传片相邻，两个地方风光宣传片不相邻的排法有种，两个地方风光宣传片相邻，两个美食宣传片不相邻的排法有种，两个美食宣传片和两个地方风光宣传片均相邻的排法有种，所以相同题材不相邻的不同的排法共有种.故选B.
6.答案：ABD
解析：对于A，如果个位是0，则有个无重复数字的五位偶数；如果个位不是0，则有个无重复数字的五位偶数，所以共有个无重复数字的五位偶数，故A正确.
对于B，由排列数的计算可知，，所以，故B正确.
对于C，由于，所以，故C错误.
对于D，由于这10个数字组成无重复数字的五位数共有个，其中奇数共有个，则偶数共有个，故D正确.故选ABD.
7.答案：
解析：方法一：.
方法二：.
8.答案：210
解析：由题意可得将问题转化为7盒产品排成一列，其中A，B，C三种颜色的顺序是确定的，所以共有种.
9.答案：720
解析：原先七个节目的不同安排方法共有种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有（种）.
10.答案：1128
解析：将甲、丙作为一个整体，若甲、丙安排在前两天，则有（种）不同的安排方法，若甲、丙安排在第2，3两天，则有（种）不同的安排方法，若甲、丙安排在后面的5天中，则有（种）不同的安排方法.由分类加法计数原理可得共有（种）不同的安排方法.3.3 二项式定理与杨辉三角
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册随堂小练
1.的展开式的第4项的二项式系数为( )
A. B. C.15 D.20
2.的展开式中的系数为( )
A.80 B.-80 C.40 D.-40
3.二项式的展开式中为常数项的是( )
A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项
4.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.若，，则b的值可以是( )
A.2020 B.2021 C.2022 D.2023
5.在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则的系数为( )
A.50 B.70 C.90 D.120
6.（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是( )
A.
B.第2022行的第1011个数最大
C.第n行的所有数字之和为
D.第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为
7.若，则__________.
8.的展开式中含项的系数为__________.
9.的展开式中的系数是__________.
10.已知的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小，则__________.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由二项式定理可得二项式的展开式第4项的二项式系数为.故选D.
2.答案：D
解析：的展开式的通项为.令，可得的系数为，故选D.
3.答案：C
解析：由二项式定理可得展开式的通项为.令，得，所以二项展开式的第5项为常数项，故选C.
4.答案：B
解析：因为
，所以a被10除得的余数是1.
四个选项中，只有被10除得的余数是1.故选B.
5.答案：C
解析：在中，令得，即展开式中各项系数和为.又展开式中的二项式系数和为，由题意得，解得.故的展开式的通项为.令，得，则，所以的系数为90.故选C.
6.答案：ACD
解析：，，故A正确；
由题图可知，第n行有个数，则第2022行有2023个数，其中第1012个数最大，故B错误；
第n行是二项式展开式的二项式系数，则所有数字之和为，故C正确；
第34行从左到右第14个数是，第34行从左到右第15个数是，所以，故D正确.故选ACD.
7.答案：
解析：令可得，令可得，即，所以.
8.答案：
解析：展开式的通项为，令，得；令，得.故的展开式中含项的系数为.
9.答案：
解析：由题意可得的展开式中含的项为，而的展开式中含yz的项为，所以的系数为.
10.答案：255
解析：设，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B，则，，由已知得.
令，得，即，即，所以，所以.
所以.3.1.1 基本计数原理
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册随堂小练
1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有( )
A.3种 B.6种 C.9种 D.24种
2.设集合，集合，定义，则子集的个数是( )
A. B. C. D.10
3.为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有( )
A.48种 B.36种 C.24种 D.12种
4.有四张红桃纸牌、三张黑桃纸牌及两张梅花纸牌，每张纸牌上的数字不同，取出两张不同花色的纸牌，不同的取法共有( )
A.24种 B.9种 C.10种 D.26种
5.为了备战下一届排球世锦赛，中国国家队甲、乙、丙、丁四人练习传球，第1次由甲传给乙、丙、丁三人中的任意一人，第2次由持球者传给另外三人中的任意一人，往后依此类推，经过4次传球，球仍回到甲手中，则传法总数为( )
A.30 B.24 C.21 D.12
6.（多选）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有( )
A.所有可能的方法有种
B.如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
C.如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
7.某储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0~9中任选一个，则可设置的储蓄卡密码共有___________种.
8.若，且，则有序自然数对共有__________个.
9.某校准备召开高中毕业生代表会，把6个代表名额分配给了高三年级的3个班，每班至少一个名额，则不同的分配方案共有__________种.
10.给图中A，B，C，D，E五个区域填充颜色，每个区域只填充一种颜色，且相邻的区域不同色.若有四种颜色可供选择，则共有__________种不同的方案.
答案以及解析
1.答案：C
解析：从书架上任取1本书，有（种）不同的取法.故选C.
2.答案：B
解析：因为，，所以，，又，所以x有2种情况，y有5种情况，则由分步乘法计数原理可得的元素个数为，所以子集的个数是.故选B.
3.答案：B
解析：分三步完成：第一步，从2种主食中任选1种，有2种选法；第二步，从3种素菜中任选1种，有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选1种，有6种选法.根据分步计数原理知，共有种不同的选取方法，故选B.
4.答案：D
解析：因为取出的纸牌为两张不同花色，所以可以分成三类：红桃+黑桃：（种）；红桃+梅花：（种）；黑桃+梅花：（种）.
故取出两张不同花色的纸牌，共有（种）不同的取法，故选D.
5.答案：C
解析：由题意，四人练习传球，第1次由甲传给乙、丙、丁三人中的任意一人，第2次由持球者传给另外三人中的任意一人，经过4次传球，球仍回到甲手中，
第1次传球有3种方法，第2次传球后分成“在甲手中”和“不在甲手中”两类，
第3次传球后，球一定不在甲手中，第4次传球只能在甲手中.
当第2次传球后球在甲手中时，第3次传球可能为丙或乙或丁，共3种方法；
第2次传球后球不在甲手中时，有2种方法，则第3次传球有2种方法.
经过4次传球，球仍回到甲手中的传法总数为.故选C.
6.答案：BC
解析：对于选项A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，
故有种选择方案，错误；
对于选项B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），正确；
对于选项C：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），正确；
对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有（种），错误.故选：BC.
7.答案：
解析：每位上都有10个数字可选，由分步乘法计数原理知共有种.
8.答案：15
解析：按x的取值进行分类：
时，，共组成5个有序自然数对；
时，，共组成4个有序自然数对；
……
时，，共组成1个有序自然数对.
根据分类加法计数原理，共有（个）有序自然数对.
9.答案：10
解析：根据题意，3个班选出的6个代表名额分三种情况：
第一种情况，代表名额为2，2，2，有1种；
第二种情况，代表名额为3，2，1，有种；
第三种情况，代表名额为4，1，1，有3种.
所以不同的分配方案共有种.
10.答案：72
解析：解法一：按B，E是否同色分类：当B，E同色时，共有种不同的方案；当B，E不同色时，共有种不同的方案，所以共有种不同的方案.
解法二：按选用颜色种数分类：若选三种颜色，则B，E同色，且A，D同色，共有种不同的方案；若选四种颜色，则B，E同色或A，D同色，共有种不同的方案，所以共有种不同的方案.
