4.3.1 一元线性回归模型
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册随堂小练
1.已知变量x与y的数据如下表所示，若y关于x的经验回归方程是，则表中( )
x 1 2 3 4 5
y 10 11 m 13 15
A.11 B.12 C.12.5 D.13
2.袁隆平院士是我国的杂交水稻之父，他一生致力于杂交水稻的研究，为解决中国人民的温饱和保障国家粮食安全作出了重大贡献.某杂交水稻研究小组先培育出第一代杂交水稻，再由第一代培育出第二代，带二代培育出第三代，以此类推，且亲代与子代的每穗总粒数之间的关系如下表示：（注：亲代是产生后一代生物的生物，对后代生物来说是亲代，所产生的后一代交子代）通过上面四组数据得到了x与y之间的线性回归方程是，预测第五代杂交水稻每穗的总粒数为( )
代数代码x 1 2 3 4
总粒数y 197 193 201 209
A.211 B.212 C.213 D.214
3.已知变量x和y的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为( )
x 4 4.5 5 5.5 6
y 7 6 4 2 1
A.0.2 B. C.0.4 D.
4.云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下：
年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年
年份代码x 1 2 3 4 5
云计算市场规模y/千万元 7.4 11 20 36.6 66.7
2 2.4 3 3.6 4
由上表可得回归直线方程为，则2025年该科技公司云计算市场规模y（单位：千万元）的估计值为( )
A. B. C. D.
5.某中学有学生近600人，要求学生在每天上午之前进校，现有一个调查小组调查某天进校人数的情况，得到如下图表（表中的y表示第分钟至第x分钟到校人数，，，如当时，表示在这一分钟内进校的人数为4人）.根据调查所得数据，甲同学得到的回归直线方程是（图中的实线表示），乙同学得到的回归方程是（图中的虚线表示），则下列结论中错误的是( )
x 1 5 9 15 19 21 24 27 28 29 30
y 1 3 4 4 11 21 36 66 94 101 106
A.内，每分钟的进校人数y与相应时间x呈正相关
B.乙同学的回归方程拟合效果更好
C.根据甲同学得到的回归方程可知该校当天这一分钟内的进校人数一定是9人
D.该校超过半数的学生都选择在规定到校时间的前5分钟内进校
6.（多选）新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分.从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月购买碳酸锂价格与月份的统计数据.
月份代码x 1 2 3 4 5
碳酸锂价格y 0.5 0.8 1 1.2 1.5
若y关于x的回归直线方程为，则下列说法中正确的有( )
A.y与x的样本相关系数
B.
C.回归直线方程经过点
D.由回归直线方程可预测6月份的碳酸锂价格约为1.72
7.某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
时间x 1 2 3 4 5
销售量y（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
若y与x线性相关，且线性回归方程为，则__________.
8.经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）之间的关系近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如表：
x 15 16 18 19 22
y 102 98 115 m 120
若由表中样本数据求得线性回归方程为，则实数________.
9.已知变量y关于x的回归方程为，设，则，其一组数据如表所示.
x 1 2 3 4
y e
z 1 3 4 6
若，则预测y的值可能为__________.
10.2023年春节到来之前，某市物价部门对本市5家商场的某种商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的这种商品的价格x（单位：元/件）与销售量y（单位：件）之间的一组数据如下表所示：
价格x 8 9.5 m 10.5 12
销售量y 16 n 8 6 5
经分析知，销售量y（件）与价格x（元/件）之间有较强的线性关系，其线性回归方程为，且，则__________.
答案以及解析
1.答案：A
解析：，，因为经验回归方程经过样本中心，所以，解得：.故选：A.
2.答案：A
解析：由表中数据可得，，
，线性回归方程是，，解得，当时，.故选A.
3.答案：D
解析：因为，，
则样本中心点为，代入，可得，
所以回归直线方程为y，当时，，所以时的残差为.故选D.
4.答案：B
解析：由题知，，所以，因此回归直线方程为，当时，，所以，所以2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为，故选B.
5.答案：C
解析：对于A，根据题中散点图知，内，每分钟的进校人数y与相应时间x呈正相关，故A正确；
对于B，由题图知，曲线的拟合效果更好，故乙同学的回归方程拟合效果更好，故B正确；
对于C，表格中并未给出这一分钟内的进校人数对应的值，而由甲的回归方程得到的只能是估计值，不一定是实际值，故C错误；
对于D，全校学生近600人，从表格中的数据知，进校的人数超过300，故D正确，故选C.
6.答案：BCD
解析：由题意可得，，
，，
，
，则y与x的样.故A错误；
由y关于x的回归直线方程为且回归直线恒过样本点中心，则有，解得，故B正确，C正确；
由回归直线方程可预测6月份的碳酸锂价格约为，故D正确.故选BCD.
7.答案：0.28
解析：，，
所以，.
8.答案：115
解析：依题意，，，
而线性回归方程为，则，
所以.
9.答案：
解析：依题意，，.
由，得，
解得，于是，则.
所以当时，.
10.答案：10
解析：由题表中的数据，得，，
将代入，得，即，
所以，又因为，所以，.4.3.2 独立性检验
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册随堂小练
1.为考察高中生的性别与是否喜欢数学之间的关系，运用列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与是否喜欢数学有关”犯错误的概率不超过( )
0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A. B. C. D.
2.如表是一个列联表，则表中a，b的值分别为( )
总计
a 21 73
22 25 47
总计 b 46 120
A.94，72 B.52，50 C.52，74 D.74，52
3.现在，很多人都喜欢骑共享单车，但也有很多人并不认可这种交通方式.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到如下列联表：
A B 总计
认可 13 5 18
不认可 7 15 22
总计 20 20 40
附：，.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
根据表中的数据，下列说法中正确的是( )
A.没有以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
B.有以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
C.可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
D.可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
4.某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生调查，结果形成以下列联表，通过数据分析，认为喜欢课外阅读与学生性别之间( )
喜欢课外阅读 不喜欢课外阅读 合计
男生 5 20 25
女生 15 10 25
合计 20 30 50
参考数据及公式如下：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
A.不能根据小概率的的独立性检验认为两者有关
B.根据小概率的的独立性检验认为两者有关
C.根据小概率的的独立性检验认为两者有关
D.根据小概率的的独立性检验认为两者无关
5.近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生(包含初中生与高中生)对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示：
附：，
喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间
初中生 160 40
高中生 140 60
附：，
0.10 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
以下结论中错误的是( )
A.有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
B.没有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
C.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关
D.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度无关
6.（多选）为了解高中生选科时是否选物理与数学成绩之间的关系，某教研机构随机抽取了50名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
选物理 不选物理
数学成绩优异 20 7
数学成绩一般 10 13
由以上数据，计算得到，根据参考数据，以下说法正确的是( )
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.有的把握认为是否选择物理与数学成绩有关
B.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否选择物理与数学成绩有关
C.的数学成绩优异的同学选择物理
D.若表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同条件下，结论不会发生变化
7.为了判断高二年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名高二年级学生，得到如下列联表.
理科 文科
男 13 10
女 7 20
已知，.根据表中数据，得到，则认为学生选修文科与性别有关系出错的可能性为___________.
8.博鳌亚洲论坛2022年年会于4月20日至4月22日在海南博鳌镇举行.为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了50名记者负责对外翻译工作，在下面“性别与会俄语”的列联表中，___________.
会俄语 不会俄语 总计
男 a b 20
女 6 d
总计 18 50
9.有两个分类变量x和y，其中一组观测值为如表所示的列联表：
总计
a 15
50
总计 20 45 65
其中a，均为大于5的整数，则_________时，在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为“x和y之间有关系”.
附：.
0.10 0.05 0.010 0.005
k 2.706 3.841 6.635 7.879
10.某公司人力资源部为了解员工的工作积极性和对待公司改革态度的关系，调查了75名员工，得到以下列联表：
支持改革情况 工作态度 合计
积极 欠积极
支持 40 20 60
不支持 5 10 15
合计 45 30 75
根据统计结果，认为“平时工作态度积极和支持公司改革有关”犯错误的概率不超过__________.
附：，其中.
0.10 0.05 0.005 0.001
2.706 3.841 7.879 10.828
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为，结合表格可知，所以认为“性别与是否喜欢数学有关”犯错误的概率不超过0.01，故选B.
2.答案：C
解析：，.故选C.
3.答案：D
解析：由题意，根据列联表中的数据，得，又，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下（即有的把握）认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”.故选D.
4.答案：B
解析：由数表知，，而，
所以根据小概率值的独立性检验认为两者有关.故选B
5.答案：D
解析：完善列联表如下：
喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间 总计
初中生 160 40 200
高中生 140 60 200
总计 300 100 400
零假设：不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联，
则，
没有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关.
因为，，所以有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关.
在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关.
6.答案：AB
解析：因为，由参考数据知，，所以有的把握认为是否选择物理与数学成绩有关，也即在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否选择物理与数学成绩有关，但不能说明有的数学成绩优异的同学选择物理，故AB正确，C错误；
若表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，则，又，故结论会发生变化，D错误.故选AB.
7.答案：
解析：，且，
认为学生选修文科与性别有关系出错的可能性为.
8.答案：28
解析：由题得解得所以.
9.答案：9
解析：由题意知，
则，
解得或，因为且，，
所以，，所以.
10.答案：0.05
解析：设零假设：平时工作态度积极和支持公司改革无关，
，
故认为“平时工作态度积极和支持公司改革有关”犯错误的概率不超过0.05.4.2.3 二项分布与超几何分布
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册随堂小练
1.某人测试一次，通过某语言测试的概率是，若他连续测试3次（各次测试互不影响），则其中恰有1次通过的概率是( )
A. B. C. D.
2.某校团委举办“鉴史知来”读书活动，经过选拔，共10人的作品被选为优秀作品，其中高一年级5人，高二年级5人，现采取抽签方式决定作品播出顺序，则高二年级5名同学的作品在前7顺位全部被播放完的概率为( )
A. B. C. D.
3.某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为( )
A. B. C. D.
4.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次停止.设停止时共取了X次球，则( )
A. B.
C. D.
5.泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值.当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中.一般地，当且时，泊松分布可作为二项分布的近似.若随机变量，则的近似值为( )
A. B. C. D.
6.（多选）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是( )
A.取出的白球个数X服从二项分布
B.取出的黑球个数Y服从超几何分布
C.取出2个白球的概率为
D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
7.设随机变量，则_________.
8.若随机变量的分布列为，其中，，则称服从超几何分布，记为，并将记为，则_________.
9.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，恰好出现3次正面朝上的概率为__________.
10.假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为_________.
答案以及解析
1.答案：C
解析：某人测试一次，通过某语言测试的概率是，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率，故选C.
2.答案：A
解析：由题意知，若X表示抽到高二年级同学的作品数，则，，
，，.故选A.
3.答案：D
解析：设建议栽种乙树木的人数为随机变量X，由题意可知，
所以至少有3人建议栽种乙树木的概率.故选D.
4.答案：D
解析：由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次取到红球，2次取到白球，由于每次取到红球的概率为，
由二项分布知识可知，故选D.
5.答案：B
解析：因为，，所以泊松分布可作为三项分布的近似，
此时，所以.
所以，，则.故选B.
6.答案：BD
解析：对于A，B，取出的白球个数X，黑球个数Y均服从超几何分布，故A错误，B正确；
对于C，取出2个白球的概率为，故C错误；
对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出4个黑球的总得分最大，总得分最大的概率为，故D正确.故选BD.
7.答案：
解析：随机变量服从，.
8.答案：
解析：根据题意，，，，，
.
9.答案：
解析：设“正面向上”为事件A，则，，所以恰好出现3次正面向上的概率.
10.答案：
解析：设该射手每次射击的命中率为，两次射击命中的次数为X，则，由题可知，即，解得.4.2.1 随机变量及其与事件的联系
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册随堂小练
1.同时抛掷3枚硬币，正面朝上的个数是随机变量，这个随机变量的所有可能取值为( )
A.3 B.0 C.1、2、3 D.0、1、2、3
2.甲、乙两班进行足球对抗赛，每场比赛赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，共进行三场.用表示甲的得分，则表示( )
A.甲赢三场 B.甲赢一场、输两场
C.甲、乙平局三次 D.甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次
3.袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，不放回，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )
A.1，2，…，6 B.1，2，…，7 C.1，2，…，11 D.1，2，3，…
4.下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数；
②一个沿直线进行随机运动的质点，它在该直线上的位置；
③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X；
④某同学离开学校的距离Y；
其中是离散型随机变量的为( )
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
5.同时掷两个质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数.设两个骰子出现的点数分别为，，记，则( )
A. B. C. D.
6.（多选）下列说法正确的是( )
A.随机变量的取值只能是有限个
B.抛掷一枚质地均匀的硬币一次，“出现正面的次数”为随机变量
C.随机变量是用来表示不同试验结果的量
D.体积为的球的半径是随机变量
7.袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能取值的个数为____________.
8.在一次考试中，某位同学需回答三个问题，考试规则如下：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分.则这名同学回答这三个问题的总得分的所有可能取值是___________.
9.已知离散型随机变量X的分布满足，其中.令，则__________.
10.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分（即得分），若每个抢答题都有队伍抢答，X是甲队在该轮比赛获胜时的得分（分数高者胜），则X的可能取值是__________.
答案以及解析
1.答案：D
解析：同时抛掷3枚硬币，正面朝上的个数可能为0、1、2、3.故选D.
2.答案：D
解析：由于赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，所以可以分成两种情况，即或，即甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次.故选D.
3.答案：B
解析：从袋中每次取出一个球，不放回，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出白球，也有可能取完6个红球后才取出白球.
4.答案：C
解析：对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；
对于②，沿直线进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；
对于③，5分钟内接到的雷达电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；
对于④，某同学离开学校的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量.
所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.故选C.
5.答案：B
解析：依题意，随机变量X满足的事件是，，的3个互斥事件的和，
而，，，所以.故选B.
6.答案：BC
解析：因为随机变量的每一个取值均代表一个试验结果，试验结果有有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个，因此A错误；
因为抛掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准，如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量，的取值是0，1，因此B正确；
由随机变量的定义可知选项C正确；
球的体积为时，球的半径为定值，不是随机变量.D错误.故选BC.
7.答案：10
解析：X的所有可能取值为2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，共10个.
8.答案：300，100，-100，-300
解析：可能有全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，-100分，-300分.
9.答案：
解析：由已知，Y的所有可能取值为0，2，4，6，8，且，，，，.则.
10.答案：，0，1，2，3
解析：表示：甲队抢到1题且答错，乙队抢到两题均答错.
表示：甲队没有抢到题，乙队抢到3题且至少答错其中的2题；甲队抢到2题且答对1题答错1题，乙队抢到1题且答错.
表示：甲队抢到1题且答对，乙队抢到2题且至少答错其中的1题;甲队抢到3题且答对其中的2题，乙队没有抢到题.
表示：甲队抢到2题均答对.
表示：甲队抢到3题均答对.4.1.3 独立性与条件概率的关系
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册随堂小练
1.已知，，则事件A与事件B( )
A.互斥 B.对立 C.相互独立 D.以上均不正确
2.一次射击比赛中，若连续2次未击中目标，那么中止射击，甲击中目标的概率是，假设甲各次射击是否击中目标相互之间没有影响，甲恰好射击5次后中止的概率为( )
A. B. C. D.
3.羽毛球单打实行“三局两胜”制（无平局）.甲、乙两人争夺比赛的冠军.甲在每局比赛中获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知事件A，B满足，，则( )
A. B.
C.事件A，B相互独立 D.事件A，B互斥
5.在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6，0.8和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为( )
A. B. C. D.
6.（多选）已知事件A，B满足，，则( )
A.若，则
B.若A与B互斥，则
C.若，则A与B相互独立
D.若A与B相互独立，则
7.已知A，B独立，且，，则____________.
8.立德中学高三年级大课间事件提供三项体育活动，足球、篮球、乒乓球供学生选择.小明、小红从这三项运动中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响，在小明选择篮球的前提下，两人的选择不同的概率为_________.
9.有甲、乙、丙三个开关和A，B，C三盏灯，各开关对灯的控制互不影响.当甲闭合时A，B亮，当乙闭合 时B，C亮， 当丙闭合时A，C亮.若甲、乙、丙闭合的概率分别为，，且相互独立， 则在A亮 的条件下，B也亮的概率为__________.
10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6.从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球的数字是1”，B表示事件“第二次取出的球的数字是2”.C表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，D表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列命题正确的序号有______.
①A与C互斥；
②；
③A与D相互独立；
④B与C相互独立.
答案以及解析
1.答案：C
解析：依题意知，则，即，于是得，所以事件A与事件B相互独立.故选C.
2.答案：A
解析：甲击中目标的概率是，所以甲没有击中目标的概率是，甲恰好射击5次后中止的情况是第一、二次至少击中其中一次，第三次击中，第四、五次没有击中，且相互之间是独立的，所以甲恰好射击5次后中止的概率为.故选A.
3.答案：A
解析：甲获得冠军的概率为，
而甲获得冠军且比赛进行了三局，对应概率为，
所以在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为.故选A.
4.答案：C
解析：由题得，所以，即A，B相互独立，同一试验中不互斥，而未知，所以无法确定，的值.故选C.
5.答案：B
解析：设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件A、B、C，
则，，，且A、B、C相互独立，
设甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级为事件D，
则，
设乙没有达优秀等级为事件E，则，
所以.
故选：B.
6.答案：BD
解析：对于A，因为，，，所以，故A错误；
对于B，因为A与B互斥，所以，故B正确；
对于C，因为，即，所以，又因为，所以，故C错误；
对于D，因为A与B相互独立，所以A与相互独立，因为，所以，所以，故D正确.故选BD.
7.答案：
解析：因为A，B独立，所以与B独立，且，又，所以，所以.
8.答案：
解析：记事件A小明选择篮球，事件B：小明、小红的选择不同，
则，，
由条件概率公式可得.
故答案为：.
9.答案：
解析：设事件M为A灯亮， 事件N为B灯亮， 事件X为开关甲闭合， 事件Y为开关乙闭合，事件Z为开关丙闭合，则，
其中，
，
所以.
10.答案：①③
解析：因为A与C不可能同时发生，所以A与C互斥，故①正确；
C包含：，，，，，共5个基本事件，D包含：，，，，，，共6个基本事件，
故，，，，
则，故③正确；
，故④错误；
，故②错误；
故答案为：①③4.2.4 随机变量的数字特征
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册随堂小练
1.已知离散型随机变量X的概率分布如表所示：
X 0 2 4
P
则( )
A. B. C. D.
2.若离散型随机变量，则和分别为( )
A.， B.， C.， D.，
3.甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经一段时间考察后，X，Y的分布列分别是
X 0 1 2 3
P 0.7 0.1 0.1 0.1
Y 0 1 2 3
P 0.5 0.3 0.2 0
据此判定( )
A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好
C.甲与乙质量相同 D.无法判定
4.已知随机变量X服从二项分布，若，则等于( )
A. B.8 C.12 D.24
5.已知离散型随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且，，若X的数学期望，则( )
A.19 B.16 C. D.
6.（多选）从装有大小相同的3个白球和m个黑球的不透明布袋中随机摸取1个球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X，已知，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
7.已知随机变量，且，则__________.
8.已知，随机变量X的分布列如表所示.
X 1 2 3
P m n
则的取值范围是__________.
9.盒中有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个蓝球，从盒中随机取球，每次取1个，取后不放回，直到蓝球全部被取出为止，在这一过程中取球次数为，则的方差__________.
10.甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1，2，3.分别从两个盒子中随机取一个球，用X表示两球上数字之积，X的方差为，则__________.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由已知得，，
所以.
2.答案：B
解析：因为离散型随机变量，所以，.故选B.
3.答案：A
解析：由题可知，，，由于，故甲比乙质量好.
4.答案：D
解析：随机变量X服从二项分布，，
因为，所以，因为，所以.故选D.
5.答案：A
解析：由题知，设，则，所以离散型随机变量X的概率分布如表所示：
X 0 1 2 3
P a
故，
因为，所以，解得，
所以，
因此.故选A.
6.答案：BC
解析：由题可知，从装有大小相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取1个球，有放回地摸取5次，每次取到白球的概率为.
有放回地摸取5次，摸得白球个数为X，.
，，解得，
.故选BC.
7.答案：
解析：因为随机变量，所以，所以，所以.
8.答案：
解析：由题可知，.
由，得，则，所以.
9.答案：
解析：由题意可知，随机变量的可能取值有2，3，4，
，，，
所以随机变量的分布列如表所示.
2 3 4
P
所以，因此，.
10.答案：
解析：由题意可得X的可能取值为1，2，3，4，6，9，
其分布列为
X 1 2 3 4 6 9
P
，，
.4.1.2 乘法公式与全概率公式
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册随堂小练
1.你正在做一道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为；而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是，那么这一刻，你答对这道选择题的概率为( )
A. B. C. D.
2.某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队荻胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为( )
A. B. C. D.
3.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为;如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为( )
A. B. C. D.
4.某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失1箱，但不知丢失哪1箱.现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是英语书，则丢失的1箱也是英语书的概率为( )
A. B. C. D.
5.一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选.已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为.经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为( )
A. B. C. D.
6.（多选）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A，B存在如下关系:.现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件，甲车床加工的次品率为，乙车床加工的次品率，丙车床加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，且甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的，，，设事件，，分别表示取到的零件来自甲、乙、丙车床，事件B表示任取一个零件为次品，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
7.已知随机事件A，B，且，，条件概率，则___________.
8.某同学连续两次投篮，已知第一次投中的概率为0.8，在第一次投中的情况下，第二次也投中的概率为0.7，在第一次投不中的情况下，第二次投中的概率为0.5，则在第二次投中的条件下，第一次也投中的概率为________.
9.甲盒中装有6个红球和2个黑球，乙盒中装有3个红球和5个黑球，这些球除颜色外完全相同.先从甲 乙两个盒子中随机选1个盒子，再从该盒子中随机取出1个球，若摸出的球是黑球，则选中的盒子为甲盒的概率是__________.
10.设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占、、，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为和.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为，则推测丙车间的次品率为_________.
答案以及解析
1.答案：A
解析：依题意，由全概率公式，得答对这道选择题的概率为.
故选：A
2.答案：D
解析：依题意，记选“初心”队为事件A，选“使命”队为事件B，该单位获胜为事件M，则，，.所以.故选D.
3.答案：B
解析：记事件A为“第1球投进”，事件B为“第2球投进”，
，，，由全概率公式可得.故选B.
4.答案：B
解析：用A表示“丢失1箱后任取2箱是英语书”，用表示“丢失的1箱为k，分别表示英语书、数学书、语文书”.
由全概率公式得.
.故选B.
5.答案：A
解析：记事件：放入水果分选机的苹果为大果，事件：放入水果分选机的苹果为小果，记事件B：水果分选机筛选的苹果为“大果”，则，，，，
由全概率公式可得，
，
因此，.故选A.
6.答案：ACD
解析：，，，
，，.所以答案B错，答案A正确;由全概率公式，得，答案C正确;由贝叶斯公式:，答案D正确，故选ACD.
7.答案：0.82
解析：，，.
由乘法公式得.
.
8.答案：
解析：设事件A表示“第一次投中”，事件B表示“第二次投中"，则所求概率为
.
9.答案：
解析：记“选到甲盒子”为事件，“选到乙盒子”为事件，“摸到黑球”为事件B.
由全概率公式得，
由条件概率公式得，
故答案为：.
10.答案：5%
解析：A表示“取到的是一件次品”，，，分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，显然，，是样本空间S的一个划分，且有，，.由于，，设，由全概率公式得
，
而，故.4.1.1 条件概率
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册随堂小练
1.把一枚硬币任意掷两次，事件“第一次出现正面”，事件“第二次出现正面”，则( )
A. B. C. D.
2.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优的概率是0.8，连续两天的空气质量为优的概率是0.6.已知某天的空气质量为优，则随后一天的空气质量为优的概率是( )
A.0.75 B.0.7 C.0.6 D.0.45
3.甲、乙两人准备分别从历史、文学、哲学这类书中随机选择一本阅读，且两人的选择结果互不影响记事件“甲选择历史书”，事件“甲和乙选择的书不同”，则( )
A. B. C. D.
4.某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则( )
A. B. C. D.
5.2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕，某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛.高二学生代表队由A，B，C，D，E共5名成员组成，现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为( )
A. B. C. D.
6.（多选）已知事件A，B满足，且，则一定有( )
A. B. C. D.
7.从1~100这100个整数中，任取1个数，已知取出的是不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率等于___________.
8.已知，，则__________.
9.小王喜爱逛街和吃火锅.在周末，她下午去逛街的概率为.若她下午去逛街，则晚上一定去吃火锅；若下午不去逛街，则晚上去吃火锅的概率为.已知小王在某个周末晚间去吃火锅，则下午逛街的概率为_______________.
10.某同学喜爱篮球和跑步运动.在暑假期间，该同学下午去打篮球的概率为.若该同学下午去打篮球，则晚上一定去跑步；若下午不去打篮球，则晚上去跑步的概率为.已知该同学在某天晚上去跑步，则下午打过篮球的概率为__________.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由题意知，第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是，.
2.答案：A
解析：设某天的空气质量为优的事件是A，随后一天的空气质量为优的事件是B，
则，，若某天的空气质量为优， 则随后一天的空气质量为优的概率为:，故选：A.
3.答案：D
解析：事件“甲选择历史书”，则，事件“甲和乙选择的书不同”，
则事件“甲选择历史书，乙选择的是文学书或哲学书”，所以，
所以.故选：D.
4.答案：A
解析：由题意可知，，所以.故选：A.
5.答案：B
解析：记事件A：学生A被抽到，事件B：学生B被抽到，所以，，所以（另解：）.故选B.
6.答案：BC
解析：对于A，因为，所以，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，故C正确；
对于D，因为，所以，所以，若，则，故D错误.
7.答案：
解析：根据题意可知取出的1个数是不大于50的数，则这样的数共有50个，其中是2或3的倍数的共有33个，故所求概率为.
8.答案：
解析：由题意得，而，得，
而，解得.
9.答案：
解析：设其周末晚间去吃火锅的概率为，下午去逛街的概率为，
则，，则.
10.答案：
解析：设下午打篮球为事件A，晚上跑步为事件B，易知，，
，
.4.2.2 离散型随机变量的分布列
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册随堂小练
1.已知随机变量的概率分布如下表（其中a为常数）：
X 0 1 2 3 4 5
P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1
则( )
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7
2.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述一次试验的成功次数，则( )
A.0 B. C. D.
3.已知离散型随机变量X的分布列，则( )
A. B. C. D.
4.随机变量的分布列如下：其中，则等于( )
0 1
P a b c
A. B. C. D.
5.若离散型随机变量X的分布列为，则的值为( )
A. B. C. D.
6.（多选）如果X是一个离散型随机变量，那么下列说法中正确的是( )
A.X取每一个可能值的概率是正数
B.X取所有可能值的概率和为1
C.X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和
D.X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
7.随机变量X的分布列如表所示：
X 1 2 3 4
P 0.1 m 0.3 m
则___________.
8.袋中共有5个除了颜色外完全相同的球，其中有3个白球，2个红球.从袋中不放回地逐个取球，取完所有的红球就停止，记停止时取得的球的数量为随机变量X，则__________.
9.已知随机变量X服从两点分布，且，则______.
10.一袋中装有4只同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，现从中随机取出2个球，以X表示取出球的最大号码，则X的分布列为_____________.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为，所以，所以.故选C.
2.答案：C
解析：设失败率为p，则成功率为2p，由题意，表示“试验失败”，表示“试验成功”，则X的分布列为
X 0 1
P p 2p
由，得，即.
3.答案：A
解析：由离散型随机变量X的分布列，则，，由可得或，故.故选A.
4.答案：D
解析：根据分布列可得，解得，
则.故选：D.
5.答案：A
解析：由题意及分布列的性质可得
，，故.故选A.
6.答案：BC
解析：对于A选项，X取每一个可能值的概率是非负数，故A选项错误；
对于B选项，X取所有可能值的概率和为1，故B选项正确；
对于C选项，X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和，故C选项正确；
对于D选项，X在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，故D选项错误.故选BC.
7.答案：0.3
解析：由分布列的性质得，，解得，所以.
8.答案：
解析：最后一次取到的一定是红球，前三次是一红球两白球，所以.
9.答案：
解析：由随机变量X服从两点分布，得，
又因为，所以.
10.答案：
X 2 3 4
P
解析：由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4.
且，，.
因此X的分布列为：
X 2 3 4
P4.2.5 正态分布
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第二册随堂小练
1.已知随机变量X服从正态分布，若，则( )
A.0.477 B.0.682 C.0.954 D.0.977
2.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
3.已知某种零件的尺寸(单位：)在内的为合格品.某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为( )
A.1700 B.1600 C.1400 D.600
4.某次大型联考名学生参加,考试成绩（满分100分）近似服从正态分布（其中和分别为样本的均值和标准差）,若本次考试平均成绩为65分,87分以上共有228人,学生甲的成绩为76分,则学生甲的名次大致是____名( )
附：若随机变量X服从正态分布,则,,．
A. B. C. D.
5.设随机变量,,这两个正态分布密度曲线如图所示,则( )
A. B.
C. D.
6.（多选）李明每天从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则( )
A.
B.
C.李明计划前到校，应选择坐公交车
D.李明计划前到校，应选择骑自行车
7.已知随机变量X服从正态分布，且，则___________.
8.在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为__________.
9.为了监控某种食品的一条生产线的生产包装过程，检验员每天从该生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线在正常状态下生产的每包食品质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为_________.
附：若随机变量X服从正态分布，则.
10.某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布.已知，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由于随机变量X服从正态分布，故.故选C.
2.答案：A
解析：由，且，得，根据正态曲线的对称性可知，.
3.答案：C
解析：，，
，
估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为.故选C.
4.答案：D
解析：由题知,,
所以,
得到,所以,
得到学生甲的名次大致是,
故选：D.
5.答案：D
解析：X的密度曲线的对称轴在的密度曲线的对称轴的左边,即.
X的密度曲线较为分散,Y的密度曲线较为集中,即,故AB错误;
因为,所以C错误;
因为,所以D正确;
故选：D.
6.答案：BCD
解析：由题意可得，，故，故A错误；，，所以，故B正确；，所以，故C正确；，，所以，故D正确.故选BCD.
7.答案：0.14
解析：因为，所以，所以.
8.答案：0.4
解析：因为服从正态分布，即正态曲线的对称轴为直线，根据正态曲线的对称性，可知在与取值的概率相同，所以在内取值的概率为0.4.
9.答案：19
解析：依题意，所以在之外的概率，则，则.因为0.05，所以，解得.因为，所以的最小值为19.
10.答案：8
解析：因为考试的成绩X服从正态分布，所以正态曲线关于对称，
因为，
所以.
所以该班数学成绩在120分以上的人数为.
故答案为：8.
