人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形12.1全等三角形
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形12.1全等三角形 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-07 09:14:16 | ||
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人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.1全等三角形
学习目标
1.了解全等形和全等三角形的概念.
2.能够找出全等三角形的对应元素.
3.掌握全等三角形的对应边、角相等.
【重点】探究全等三角形的性质.
【难点】掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素.
老师告诉你
全等三角形的性质的作用：
1.求角的度数
2.证明两个角相等
3.求线段的长度
4.证明两条线段相等
5.判断两条直线的位置关系
知识点拨
知识点1 全等图形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
在平面几何中，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
【新知导学】
例1-1．如图所示的各组图形中，不是全等形的是（ ）
A. B.
C. D.
【对应导练】
1．下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（ ）
A. B.
C. D.
2．下列图标中，不是由全等图形组合成的是（ ）
A. B.
C. D.
3．下列说法正确的是（ ）
A. 两个面积相等的图形一定是全等图形
B. 两个正方形是全等图形
C. 若两个图形的周长相等，则它们一定是全等图形
D. 两个全等图形的面积一定相等
4．请观察图中的5组图案，其中是全等形的是_____（填序号）．
知识点2 全等三角形及其对应元素
1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
2.对应边、对应角、对应顶点的定义：
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
3. 找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
【新知导学】
例2-1 .下列4个图形中，属于全等的2个图形是_________.（填序号）
例2-2 .已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（ ）
A．与是对应边 B．与是对应边
C．与是对应边 D．不能确定 的对应边
【对应导练】
1．如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的图形是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙 D. 都不是
2 .如图，如果△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∠B=∠D，对于以下结论：
①AB与CD是对应边；②AC与CA是对应边；③点A与点A是对应顶点；④点C与点C是对应顶点；⑤∠ACB与∠CAD是对应角，
其中正确的是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3 .如下图，与全等．用符号“”表示这两个三角形全等．已知与是对应角，写出其余的对应角和各对对应边．
知识点3 全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等；
（2）全等三角形的对应角相等；
后面还会学到：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
【新知导学】
例3-1．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）
A. 60° B. 55° C. 65° D. 66°
例3-2．如图，若△ABC≌△DEF，B，E，C，F四点在同一直线上，BC=7，CF=2，则EC的长是（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
例3-3．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=85°，∠B=60°，AB=8，EH=2．
（1）求∠F的度数与DH的长；
（2）求证：AB∥DE．
【对应导练】
1 .如图，，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，△ABE≌△DCE，点E在线段AD上，点F在CD延长线上，∠F=∠A，求证：AD∥BF．
3．已知，如图∠B=90°，△ABC≌△CDE，B、C、D三点共线．试说明：AC⊥CE．
4．如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．
（1）求证：∠CAE=∠BAD；
（2）若∠BAD=35°，求∠BED的度数．
题型训练
利用全等三角形性质判断两直线的位置
1．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE．
求证：（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．
2.如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：
（1）BD=DE+CE；
（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE．
.利用全等三角形求角度
3．如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．
（1）求证：∠CAE=∠BAD；
（2）若∠BAD=35°，求∠BED的度数．
4．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE=10，BC=4，∠D=30°，∠C=70°．
（1）求线段AE的长．
（2）求∠DBC的度数．
利用全等三角形求周长
5 .如图，△ACF≌△ADE，AD=12，AE=5，求DF的长．
6．如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE=162°，∠DBC=30°，AD=DC=2.5，BC=4．
（1）求∠CBE的度数．
（2）求△CDP与△BEP的周长和．
利用全等三角形判断图形形状
7 .如图，D、A、E三点在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且△ABD≌△CAE，AC=4．
(1)求∠BAC的度数；
(2)判断△ABC的形状，并求△ABC的面积．
牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是( )
A. B.
C. D.
2．下图中全等的三角形是( )
A.①和② B.②和④ C.②和③ D.①和③
3．如图,,且,,则的度数的值为( )
A. B. C. D.
4．如图，，，，则的长度为( )
A. B. C. D.
5．如图，若，则下列结论中一定成立的是( )
A. B. C. D.
6．2.下列图形中是全等形的是( )
A. B.
C. D.
7．如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，，则EC的长为( )
A.5 B.4.5 C.4 D.3.5
8．三个全等三角形按如图的形式摆放,则的度数是( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．已知，且的周长为6，若，则DF的长为_________.
10．如图，D在边上，，，则的度数为______.
11．如图，四边形四边形，若，，，则____________°.
12．如图，在平面直角坐标系中，，则点D的坐标是__________.
13．如图，在正方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点A运动.设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为_____.
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（8分）试在下列图形中，沿正方形的网格线（虚线）画线，将图形分割成两个全等的图形.
15．（8分）如图，A，C，E三点在同一直线上，且.
（1）求证：.
（2）若，求证：.
16．（8分）如图，在中，cm，cm，D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A以a cm/s的速度运动，设运动的时间为t s.
（1）求CP的长度（用含t的代数式表示）；
（2）若以点C，P，Q为顶点的三角形和以点B，D，P为顶点的三角形全等，且和是对应角，求a的值.
17．（8分）如图，，其中点A,B,C,D在一条直线上.
（1）若，，求的度数；
（2）若cm，cm，求AB的长.
18．（8分）如图，已知，点D在上，与交于点P.
（1）若，，求的 度数.
（2）若，，求与的周长之和.
19．如图，试说明:
(1)
(2)
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第12章 全等三角形
12.1全等三角形
学习目标
1.了解全等形和全等三角形的概念.
2.能够找出全等三角形的对应元素.
3.掌握全等三角形的对应边、角相等.
【重点】探究全等三角形的性质.
【难点】掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素.
老师告诉你
全等三角形的性质的作用：
1.求角的度数
2.证明两个角相等
3.求线段的长度
4.证明两条线段相等
5.判断两条直线的位置关系
知识点拨
知识点1 全等图形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
在平面几何中，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
【新知导学】
例1-1．如图所示的各组图形中，不是全等形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解．
解：观察发现，A、C、D选项的两个图形都可以完全重合，是全等图形，
B选项中圆与椭圆不可能完全重合，不是全等形．
故选：B．
【对应导练】
1．下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据全等形的概念进行判断即可．
解：A、长方形被对角线分成的两部分是全等形；
B、正六边形被对角线分成的两部分是全等形；
C、梯形被对角线分成的两部分不是全等形；
D、圆被对角线分成的两部分是全等形，
故选：C．
2．下列图标中，不是由全等图形组合成的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据全等图形的概念分析即可．
解：A、该图象是由三个全等的图形构成，故该选项不符合题意；
B、该图象是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意；
C、该图象不是由全等图形构成，故该选项符合题意；
D、该图象是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意；
故选：C．
3．下列说法正确的是（ ）
A. 两个面积相等的图形一定是全等图形
B. 两个正方形是全等图形
C. 若两个图形的周长相等，则它们一定是全等图形
D. 两个全等图形的面积一定相等
【答案】D
【解析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可．
解：A、两个面积相等的图形不一定是全等图形，说法错误，不符合题意；
B、两个边长相等的正方形是全等图形，说法错误，不符合题意；
C、若两个图形的周长相等，则它们不一定是全等图形，说法错误，不符合题意；
D、两个全等图形的面积一定相等，说法正确，符合题意；
故选：D．
4．请观察图中的5组图案，其中是全等形的是_____（填序号）．
【答案】（1）（4）（5）
【解析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可．
解：5组图案，其中是全等形的是（1）（4）（5）．
故答案为：是（1）（4）（5）．
知识点2 全等三角形及其对应元素
1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
2.对应边、对应角、对应顶点的定义：
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
3. 找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
【新知导学】
例2-1 .下列4个图形中，属于全等的2个图形是_________.（填序号）
【答案】①③
【分析】先求出的度数，然后分析求解即可.
【详解】解：在③中，，
∴与①中的相等，并且两夹边对应相等，
∴属于全等的2个图形是①③
故答案为①③.
【点评】本题考查了三角形全等的条件，熟悉全等三角形的判定定理是解题的关键.
例2-2 .已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（ ）
A．与是对应边 B．与是对应边
C．与是对应边 D．不能确定 的对应边
【答案】A
【分析】根据全等三角形的概念即可得到答案．
解：与是对应角，和是对应角，
和是对应角，
与是对应边，
故选A．
【点拨】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键．
【对应导练】
1．如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的图形是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙 D. 都不是
【答案】C
【解析】甲可根据ASA判定与△ABC全等；乙可根据AAS判定与△ABC全等，可得答案．
解：甲三角形夹b边的两角分别与已知三角形对应相等，故甲与△ABC全等；
乙三角形50°内角及所对边与△ABC对应相等且均有70°内角，可根据AAS判定乙与△ABC全等；
则与△ABC全等的有乙和甲，
故选：C．
2 .如图，如果△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∠B=∠D，对于以下结论：
①AB与CD是对应边；②AC与CA是对应边；③点A与点A是对应顶点；④点C与点C是对应顶点；⑤∠ACB与∠CAD是对应角，
其中正确的是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】由全等三角形的对应边相等、对应角相等对以下结论进行判定．
【详解】解：△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∠B=∠D．
①AB与CD是对应边．故①正确；
②AC与CA是对应边．故②正确；
③点A与点C是对应顶点．故③错误；
④点C与点A是对应顶点．故④错误；
⑤∠ACB与∠CAD是对应角．故⑤正确．
综上所述，正确的结论是①②⑤，共有3个．
故选B．
3 .如下图，与全等．用符号“”表示这两个三角形全等．已知与是对应角，写出其余的对应角和各对对应边．
【答案】．对应角是：与，与；
对应边是；OA与OB，OC与OD，AC与BD．
【分析】根据全等三角形的表示法以及全等三角形的性质即可得到答案．
解： ．
因为与是对应角，所以其余的对应角是：
与，与；
对应边是；OA与OB，OC与OD，AC与BD．
【点拨】本题主要考查全等三角形的表示法和性质，准确找到全等三角形的对应角和对应边是关键．
知识点3 全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等；
（2）全等三角形的对应角相等；
后面还会学到：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
【新知导学】
例3-1．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）
A. 60° B. 55° C. 65° D. 66°
【答案】C
【解析】直接利用全等三角形的性质得出∠1=∠2进而得出答案．
解：∵如图是两个全等三角形，
∴∠1=∠2=180°-60°-55°=65°．
故选：C．
例3-2．如图，若△ABC≌△DEF，B，E，C，F四点在同一直线上，BC=7，CF=2，则EC的长是（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】C
【解析】利用全等三角形的性质可得BC=EF=7，再利用线段的和差关系计算即可．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF=7，
∴CF=2，
∴EC=EF-CF=7-2=5，
故选：C．
例3-3．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=85°，∠B=60°，AB=8，EH=2．
（1）求∠F的度数与DH的长；
（2）求证：AB∥DE．
【解析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质得出AB=DE，∠F=∠ACB，即可得出答案；
（2）根据全等三角形的性质得出∠B=∠DEF，根据平行线的判定得出即可．
解：（1）∵∠A=85°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=35°，
∵△ABC≌△DEF，AB=8，
∴∠F=∠ACB=35°，DE=AB=8，
∵EH=2，
∴DH=8-2=6；
（2）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠DEF=∠B，
∴AB∥DE．
【对应导练】
1 .如图，，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据三角形内角和定理求出，然后根据全等三角形的性质得到，，最后利用三角形外角的性质求解即可．
解：∵，，
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∴．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
2．如图，△ABE≌△DCE，点E在线段AD上，点F在CD延长线上，∠F=∠A，求证：AD∥BF．
【解析】根据△ABE≌△DCE得到∠A=∠ADC，然后利用∠F=∠A得到∠F=∠EDC，利用同位角相等，两直线平行证得结论．
证明：∵△ABE≌△DCE，
∴∠A=∠ADC，
∵∠F=∠A，
∴∠F=∠EDC，
∴AD∥BF．
3．已知，如图∠B=90°，△ABC≌△CDE，B、C、D三点共线．试说明：AC⊥CE．
【解析】根据Rt△ABC≌Rt△CDE可得∠BCA=∠CED，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CED+∠ECD=90°，进而得到∠BCA+∠ECD=90°，再根据角之间的关系可得∠ACE=90°．
证明：∵∠B=90°，△ABC≌△CDE，
∴∠D=90°，
∴∠BCA=∠CED，
∵△DCE是直角三角形，
∴∠CED+∠ECD=90°，
∴∠BCA+∠ECD=90°，
∴∠ACE=180°-90°=90°，
∴AC⊥CE．
4．如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．
（1）求证：∠CAE=∠BAD；
（2）若∠BAD=35°，求∠BED的度数．
【解析】（1）根据全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAE，再求出答案即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠D=∠B，根据对顶角相等和三角形内角和定理得出∠AFD=∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD=180°，∠B+∠EFB+∠BED=180°，求出∠BED=∠BAD即可．
（1）证明：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠D=∠B，
∵∠AFD=∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD=180°，∠B+∠EFB+∠BED=180°，
∴∠BED=∠BAD，
∵∠BAD=35°，
∴∠BED=35°．
题型训练
利用全等三角形性质判断两直线的位置
1．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE．
求证：（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．
【解析】（1）根据平行线性质求出∠A=∠B，根据SAS推出即可．
（2）根据全等三角形性质推出CD=CE，根据等腰三角形性质求出即可．
证明：（1）∵AD∥BE，
∴∠A=∠B，
在△ACD和△BEC中
∴△ACD≌△BEC（SAS），
（2）∵△ACD≌△BEC，
∴CD=CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE．
2.如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：
（1）BD=DE+CE；
（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠ADB=90°．
【分析】（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE，AD=CE，代入求出即可；
（2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA=90°，推出∠BDE=90°，根据平行线的判定求出即可．
【详解】解：（1）∵△BAD≌△ACE，
∴BD=AE，AD=CE，
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，
即BD=DE+CE；
（2）△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥CE，
理由是：∵△BAD≌△ACE，
∴∠E=∠ADB=90°，
∴∠BDE=180° 90°=90°=∠E，
∴BD∥CE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力．
.利用全等三角形求角度
3．如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．
（1）求证：∠CAE=∠BAD；
（2）若∠BAD=35°，求∠BED的度数．
【解析】（1）根据全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAE，再求出答案即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠D=∠B，根据对顶角相等和三角形内角和定理得出∠AFD=∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD=180°，∠B+∠EFB+∠BED=180°，求出∠BED=∠BAD即可．
（1）证明：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠D=∠B，
∵∠AFD=∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD=180°，∠B+∠EFB+∠BED=180°，
∴∠BED=∠BAD，
∵∠BAD=35°，
∴∠BED=35°．
4．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE=10，BC=4，∠D=30°，∠C=70°．
（1）求线段AE的长．
（2）求∠DBC的度数．
【解析】（1）根据全等三角形的性质得到AB=DE=10，BE=BC=4，结合图形计算，得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠D=30°，∠DBE=∠C=70°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，计算即可．
解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE=10，BC=4，
∴AB=DE=10，BE=BC=4，
∴AE=AB-BE=6；
（2）∵△ABC≌△DEB，∠D=30°，∠C=70°，
∴∠BAC=∠D=30°，∠DBE=∠C=70°，
∴∠ABC=180°-30°-70°=80°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBE=10°．
利用全等三角形求周长
5 .如图，△ACF≌△ADE，AD=12，AE=5，求DF的长．
【解析】直接利用全等三角形的性质得出AC=AD，进而得出答案．
解：∵△ACF≌△ADE，AD=12，AE=5，
∴AC=AD=12，AE=AF=5，
∴DF=12-5=7．
6．如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE=162°，∠DBC=30°，AD=DC=2.5，BC=4．
（1）求∠CBE的度数．
（2）求△CDP与△BEP的周长和．
【解析】（1）根据全等三角形的性质得到∠ABC=∠DBE，计算即可；
（2）根据全等三角形的性质求出BE、DE，根据三角形的周长公式计算即可．
解：（1）∵∠ABE=162°，∠DBC=30°，
∴∠ABD+∠CBE=132°，
∵△ABC≌△DBE，
∴∠ABC=∠DBE，
∴∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°，
即∠CBE的度数为66°；
（2）∵△ABC≌△DBE，
∴DE=AC=AD+DC=5，BE=BC=4，
∴△CDP与△BEP的周长和=DC+DP+PC+BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE=2.5+5+4+4=15.5．
利用全等三角形判断图形形状
7 .如图，D、A、E三点在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且△ABD≌△CAE，AC=4．
(1)求∠BAC的度数；
(2)判断△ABC的形状，并求△ABC的面积．
【答案】(1)90°
等腰直角三角形，8
【分析】(1)根据垂直的定义得到∠D=90°，求得∠DBA+∠BAD=90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA=∠CAE，等量代换即可得到结论；
(2)根据全等三角形的性质得AC=AB=4，再根据三角形的面积求出答案．
【详解】（1）解：∵BD⊥DE，
∴∠D=90°，
∴∠DBA+∠BAD=90°，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠DBA=∠CAE
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠BAC=90°；
（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴AC=AB=4，
又∵∠BAC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴△ABC的面积=4×4÷2=8．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的面积公式，证得△ABC是直角三角形是解决本题的关键．
牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】：A
解析：观察选项可知，选项B，C，D中的虚线把图形分成全等的两部分，
故选：A.
【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．
2．下图中全等的三角形是( )
A.①和② B.②和④ C.②和③ D.①和③
【答案】D
解析：A、①和②，SA，角的另一条邻边不相等，两个三角形不全等，不符合题意；
B、②和④，5cm分别是图②和图④30°的邻边和对边，两个三角形不全等，不符合题意；
C、②和③，SA，角的另一条邻边不相等，两个三角形不全等，不符合题意；
D、①和③，SAS，两个三角形全等，符合题意；
故选D.
【点拨】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键．
3．如图,,且,,则的度数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
解析:,,
,,
,
,
,
.
故选:D.
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
4．如图，，，，则的长度为( )
A. B. C. D.
【答案】B
解析：，
，，
.
故选：B.
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
5．如图，若，则下列结论中一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】：B
解析：，
，，，，
，
即.
故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B.
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，，结合图形和题意找到角之间的关系是解题的关键．
6．2.下列图形中是全等形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】：D
解析：A.两个图形不能完全重合，不是全等形；
B.两个图形不能完全重合，不是全等形；
C.两个图形不能完全重合，不是全等形；
D.两个图形能完全重合，是全等形；
故选：D.
【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．
7．如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，，则EC的长为( )
A.5 B.4.5 C.4 D.3.5
【答案】：B
解析：，，
，
，，
，
，
故选：B.
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
8．三个全等三角形按如图的形式摆放,则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
解析:如图所示:
由图形可得:,
三个全等三角形,
,
又,
,
的度数是.
故选:D.
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和，结合图形和题意找到角之间的关系是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．已知，且的周长为6，若，则DF的长为_________.
【答案】2.1
解析：，，
，
的周长为6，
，
故答案为：2.1.
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等。
10．如图，D在边上，，，则的度数为______.
【答案】
解析：，
，，
，，
中，，
，
故答案为：.
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
11．如图，四边形四边形，若，，，则____________°.
【答案】105
解析：四边形四边形，
，，
，
，
，，
，
，
故答案为：105.
【点评】本题主要考查了全等图形的定义，解题的关键是熟练掌握形状和大小都相同的图形是全等图形．
12．如图，在平面直角坐标系中，，则点D的坐标是__________.
【答案】
解析：，，点D的坐标是.
【点评】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质，掌握全等三角形性质是解题的关键．
13．如图，在正方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点A运动.设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为_____.
答案：2或7
解析：正方形ABCD,
，，
是直角三角形，
为直角三角形，
点P只能在上或者上，
当点P在上时，如图，当时，有，
，
，
，
当点P在上时，则当时，有，
，
故答案为：2或7.
【点评】本题考查了全等三角形的性质，明确全等三角形的对应角所对的边为对应边是解本题的关键.
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（8分）试在下列图形中，沿正方形的网格线（虚线）画线，将图形分割成两个全等的图形.
答案：如图所示.
解析：
15．（8分）如图，A，C，E三点在同一直线上，且.
（1）求证：.
（2）若，求证：.
答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1），
，，
，
；
（2），
，，
，
.
【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力．
16．（8分）如图，在中，cm，cm，D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A以a cm/s的速度运动，设运动的时间为t s.
（1）求CP的长度（用含t的代数式表示）；
（2）若以点C，P，Q为顶点的三角形和以点B，D，P为顶点的三角形全等，且和是对应角，求a的值.
答案：（1）因为cm，cm，
所以cm.
（2）①当时，因为，D为AB的中点，
所以，所以，解得.
此时，
所以，即，解得.
②当时，，解得.
此时，
所以，即，解得.
综上所述，a的值为3或.
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
17．（8分）如图，，其中点A,B,C,D在一条直线上.
（1）若，，求的度数；
（2）若cm，cm，求AB的长.
答案：（1），.
，
，
.
（2），，
，即.
cm，cm，
（cm），
cm.
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
18．（8分）如图，已知，点D在上，与交于点P.
（1）若，，求的 度数.
（2）若，，求与的周长之和.
答案：（1）,
,
即,
（2）,
,
【点拨】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
19．如图，试说明:
(1)
(2)
答案：(1)
(2)时,
理由如下: (添加的条件是)
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定等，灵活选择性质和判定定理是解题的关键．
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人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.1全等三角形
学习目标
1.了解全等形和全等三角形的概念.
2.能够找出全等三角形的对应元素.
3.掌握全等三角形的对应边、角相等.
【重点】探究全等三角形的性质.
【难点】掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素.
老师告诉你
全等三角形的性质的作用：
1.求角的度数
2.证明两个角相等
3.求线段的长度
4.证明两条线段相等
5.判断两条直线的位置关系
知识点拨
知识点1 全等图形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
在平面几何中，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
【新知导学】
例1-1．如图所示的各组图形中，不是全等形的是（ ）
A. B.
C. D.
【对应导练】
1．下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（ ）
A. B.
C. D.
2．下列图标中，不是由全等图形组合成的是（ ）
A. B.
C. D.
3．下列说法正确的是（ ）
A. 两个面积相等的图形一定是全等图形
B. 两个正方形是全等图形
C. 若两个图形的周长相等，则它们一定是全等图形
D. 两个全等图形的面积一定相等
4．请观察图中的5组图案，其中是全等形的是_____（填序号）．
知识点2 全等三角形及其对应元素
1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
2.对应边、对应角、对应顶点的定义：
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
3. 找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
【新知导学】
例2-1 .下列4个图形中，属于全等的2个图形是_________.（填序号）
例2-2 .已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（ ）
A．与是对应边 B．与是对应边
C．与是对应边 D．不能确定 的对应边
【对应导练】
1．如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的图形是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙 D. 都不是
2 .如图，如果△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∠B=∠D，对于以下结论：
①AB与CD是对应边；②AC与CA是对应边；③点A与点A是对应顶点；④点C与点C是对应顶点；⑤∠ACB与∠CAD是对应角，
其中正确的是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3 .如下图，与全等．用符号“”表示这两个三角形全等．已知与是对应角，写出其余的对应角和各对对应边．
知识点3 全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等；
（2）全等三角形的对应角相等；
后面还会学到：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
【新知导学】
例3-1．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）
A. 60° B. 55° C. 65° D. 66°
例3-2．如图，若△ABC≌△DEF，B，E，C，F四点在同一直线上，BC=7，CF=2，则EC的长是（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
例3-3．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=85°，∠B=60°，AB=8，EH=2．
（1）求∠F的度数与DH的长；
（2）求证：AB∥DE．
【对应导练】
1 .如图，，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，△ABE≌△DCE，点E在线段AD上，点F在CD延长线上，∠F=∠A，求证：AD∥BF．
3．已知，如图∠B=90°，△ABC≌△CDE，B、C、D三点共线．试说明：AC⊥CE．
4．如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．
（1）求证：∠CAE=∠BAD；
（2）若∠BAD=35°，求∠BED的度数．
题型训练
利用全等三角形性质判断两直线的位置
1．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE．
求证：（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．
2.如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：
（1）BD=DE+CE；
（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE．
.利用全等三角形求角度
3．如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．
（1）求证：∠CAE=∠BAD；
（2）若∠BAD=35°，求∠BED的度数．
4．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE=10，BC=4，∠D=30°，∠C=70°．
（1）求线段AE的长．
（2）求∠DBC的度数．
利用全等三角形求周长
5 .如图，△ACF≌△ADE，AD=12，AE=5，求DF的长．
6．如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE=162°，∠DBC=30°，AD=DC=2.5，BC=4．
（1）求∠CBE的度数．
（2）求△CDP与△BEP的周长和．
利用全等三角形判断图形形状
7 .如图，D、A、E三点在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且△ABD≌△CAE，AC=4．
(1)求∠BAC的度数；
(2)判断△ABC的形状，并求△ABC的面积．
牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是( )
A. B.
C. D.
2．下图中全等的三角形是( )
A.①和② B.②和④ C.②和③ D.①和③
3．如图,,且,,则的度数的值为( )
A. B. C. D.
4．如图，，，，则的长度为( )
A. B. C. D.
5．如图，若，则下列结论中一定成立的是( )
A. B. C. D.
6．2.下列图形中是全等形的是( )
A. B.
C. D.
7．如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，，则EC的长为( )
A.5 B.4.5 C.4 D.3.5
8．三个全等三角形按如图的形式摆放,则的度数是( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．已知，且的周长为6，若，则DF的长为_________.
10．如图，D在边上，，，则的度数为______.
11．如图，四边形四边形，若，，，则____________°.
12．如图，在平面直角坐标系中，，则点D的坐标是__________.
13．如图，在正方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点A运动.设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为_____.
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（8分）试在下列图形中，沿正方形的网格线（虚线）画线，将图形分割成两个全等的图形.
15．（8分）如图，A，C，E三点在同一直线上，且.
（1）求证：.
（2）若，求证：.
16．（8分）如图，在中，cm，cm，D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A以a cm/s的速度运动，设运动的时间为t s.
（1）求CP的长度（用含t的代数式表示）；
（2）若以点C，P，Q为顶点的三角形和以点B，D，P为顶点的三角形全等，且和是对应角，求a的值.
17．（8分）如图，，其中点A,B,C,D在一条直线上.
（1）若，，求的度数；
（2）若cm，cm，求AB的长.
18．（8分）如图，已知，点D在上，与交于点P.
（1）若，，求的 度数.
（2）若，，求与的周长之和.
19．如图，试说明:
(1)
(2)
人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.1全等三角形
学习目标
1.了解全等形和全等三角形的概念.
2.能够找出全等三角形的对应元素.
3.掌握全等三角形的对应边、角相等.
【重点】探究全等三角形的性质.
【难点】掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素.
老师告诉你
全等三角形的性质的作用：
1.求角的度数
2.证明两个角相等
3.求线段的长度
4.证明两条线段相等
5.判断两条直线的位置关系
知识点拨
知识点1 全等图形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
在平面几何中，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
【新知导学】
例1-1．如图所示的各组图形中，不是全等形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解．
解：观察发现，A、C、D选项的两个图形都可以完全重合，是全等图形，
B选项中圆与椭圆不可能完全重合，不是全等形．
故选：B．
【对应导练】
1．下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据全等形的概念进行判断即可．
解：A、长方形被对角线分成的两部分是全等形；
B、正六边形被对角线分成的两部分是全等形；
C、梯形被对角线分成的两部分不是全等形；
D、圆被对角线分成的两部分是全等形，
故选：C．
2．下列图标中，不是由全等图形组合成的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据全等图形的概念分析即可．
解：A、该图象是由三个全等的图形构成，故该选项不符合题意；
B、该图象是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意；
C、该图象不是由全等图形构成，故该选项符合题意；
D、该图象是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意；
故选：C．
3．下列说法正确的是（ ）
A. 两个面积相等的图形一定是全等图形
B. 两个正方形是全等图形
C. 若两个图形的周长相等，则它们一定是全等图形
D. 两个全等图形的面积一定相等
【答案】D
【解析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可．
解：A、两个面积相等的图形不一定是全等图形，说法错误，不符合题意；
B、两个边长相等的正方形是全等图形，说法错误，不符合题意；
C、若两个图形的周长相等，则它们不一定是全等图形，说法错误，不符合题意；
D、两个全等图形的面积一定相等，说法正确，符合题意；
故选：D．
4．请观察图中的5组图案，其中是全等形的是_____（填序号）．
【答案】（1）（4）（5）
【解析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可．
解：5组图案，其中是全等形的是（1）（4）（5）．
故答案为：是（1）（4）（5）．
知识点2 全等三角形及其对应元素
1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
2.对应边、对应角、对应顶点的定义：
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
3. 找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
【新知导学】
例2-1 .下列4个图形中，属于全等的2个图形是_________.（填序号）
【答案】①③
【分析】先求出的度数，然后分析求解即可.
【详解】解：在③中，，
∴与①中的相等，并且两夹边对应相等，
∴属于全等的2个图形是①③
故答案为①③.
【点评】本题考查了三角形全等的条件，熟悉全等三角形的判定定理是解题的关键.
例2-2 .已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（ ）
A．与是对应边 B．与是对应边
C．与是对应边 D．不能确定 的对应边
【答案】A
【分析】根据全等三角形的概念即可得到答案．
解：与是对应角，和是对应角，
和是对应角，
与是对应边，
故选A．
【点拨】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键．
【对应导练】
1．如图，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的图形是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙 D. 都不是
【答案】C
【解析】甲可根据ASA判定与△ABC全等；乙可根据AAS判定与△ABC全等，可得答案．
解：甲三角形夹b边的两角分别与已知三角形对应相等，故甲与△ABC全等；
乙三角形50°内角及所对边与△ABC对应相等且均有70°内角，可根据AAS判定乙与△ABC全等；
则与△ABC全等的有乙和甲，
故选：C．
2 .如图，如果△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∠B=∠D，对于以下结论：
①AB与CD是对应边；②AC与CA是对应边；③点A与点A是对应顶点；④点C与点C是对应顶点；⑤∠ACB与∠CAD是对应角，
其中正确的是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】由全等三角形的对应边相等、对应角相等对以下结论进行判定．
【详解】解：△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∠B=∠D．
①AB与CD是对应边．故①正确；
②AC与CA是对应边．故②正确；
③点A与点C是对应顶点．故③错误；
④点C与点A是对应顶点．故④错误；
⑤∠ACB与∠CAD是对应角．故⑤正确．
综上所述，正确的结论是①②⑤，共有3个．
故选B．
3 .如下图，与全等．用符号“”表示这两个三角形全等．已知与是对应角，写出其余的对应角和各对对应边．
【答案】．对应角是：与，与；
对应边是；OA与OB，OC与OD，AC与BD．
【分析】根据全等三角形的表示法以及全等三角形的性质即可得到答案．
解： ．
因为与是对应角，所以其余的对应角是：
与，与；
对应边是；OA与OB，OC与OD，AC与BD．
【点拨】本题主要考查全等三角形的表示法和性质，准确找到全等三角形的对应角和对应边是关键．
知识点3 全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等；
（2）全等三角形的对应角相等；
后面还会学到：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
【新知导学】
例3-1．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）
A. 60° B. 55° C. 65° D. 66°
【答案】C
【解析】直接利用全等三角形的性质得出∠1=∠2进而得出答案．
解：∵如图是两个全等三角形，
∴∠1=∠2=180°-60°-55°=65°．
故选：C．
例3-2．如图，若△ABC≌△DEF，B，E，C，F四点在同一直线上，BC=7，CF=2，则EC的长是（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】C
【解析】利用全等三角形的性质可得BC=EF=7，再利用线段的和差关系计算即可．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF=7，
∴CF=2，
∴EC=EF-CF=7-2=5，
故选：C．
例3-3．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=85°，∠B=60°，AB=8，EH=2．
（1）求∠F的度数与DH的长；
（2）求证：AB∥DE．
【解析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质得出AB=DE，∠F=∠ACB，即可得出答案；
（2）根据全等三角形的性质得出∠B=∠DEF，根据平行线的判定得出即可．
解：（1）∵∠A=85°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=35°，
∵△ABC≌△DEF，AB=8，
∴∠F=∠ACB=35°，DE=AB=8，
∵EH=2，
∴DH=8-2=6；
（2）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠DEF=∠B，
∴AB∥DE．
【对应导练】
1 .如图，，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据三角形内角和定理求出，然后根据全等三角形的性质得到，，最后利用三角形外角的性质求解即可．
解：∵，，
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∴．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
2．如图，△ABE≌△DCE，点E在线段AD上，点F在CD延长线上，∠F=∠A，求证：AD∥BF．
【解析】根据△ABE≌△DCE得到∠A=∠ADC，然后利用∠F=∠A得到∠F=∠EDC，利用同位角相等，两直线平行证得结论．
证明：∵△ABE≌△DCE，
∴∠A=∠ADC，
∵∠F=∠A，
∴∠F=∠EDC，
∴AD∥BF．
3．已知，如图∠B=90°，△ABC≌△CDE，B、C、D三点共线．试说明：AC⊥CE．
【解析】根据Rt△ABC≌Rt△CDE可得∠BCA=∠CED，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CED+∠ECD=90°，进而得到∠BCA+∠ECD=90°，再根据角之间的关系可得∠ACE=90°．
证明：∵∠B=90°，△ABC≌△CDE，
∴∠D=90°，
∴∠BCA=∠CED，
∵△DCE是直角三角形，
∴∠CED+∠ECD=90°，
∴∠BCA+∠ECD=90°，
∴∠ACE=180°-90°=90°，
∴AC⊥CE．
4．如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．
（1）求证：∠CAE=∠BAD；
（2）若∠BAD=35°，求∠BED的度数．
【解析】（1）根据全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAE，再求出答案即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠D=∠B，根据对顶角相等和三角形内角和定理得出∠AFD=∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD=180°，∠B+∠EFB+∠BED=180°，求出∠BED=∠BAD即可．
（1）证明：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠D=∠B，
∵∠AFD=∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD=180°，∠B+∠EFB+∠BED=180°，
∴∠BED=∠BAD，
∵∠BAD=35°，
∴∠BED=35°．
题型训练
利用全等三角形性质判断两直线的位置
1．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE．
求证：（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．
【解析】（1）根据平行线性质求出∠A=∠B，根据SAS推出即可．
（2）根据全等三角形性质推出CD=CE，根据等腰三角形性质求出即可．
证明：（1）∵AD∥BE，
∴∠A=∠B，
在△ACD和△BEC中
∴△ACD≌△BEC（SAS），
（2）∵△ACD≌△BEC，
∴CD=CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE．
2.如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：
（1）BD=DE+CE；
（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠ADB=90°．
【分析】（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE，AD=CE，代入求出即可；
（2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA=90°，推出∠BDE=90°，根据平行线的判定求出即可．
【详解】解：（1）∵△BAD≌△ACE，
∴BD=AE，AD=CE，
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，
即BD=DE+CE；
（2）△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥CE，
理由是：∵△BAD≌△ACE，
∴∠E=∠ADB=90°，
∴∠BDE=180° 90°=90°=∠E，
∴BD∥CE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力．
.利用全等三角形求角度
3．如图，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．
（1）求证：∠CAE=∠BAD；
（2）若∠BAD=35°，求∠BED的度数．
【解析】（1）根据全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAE，再求出答案即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠D=∠B，根据对顶角相等和三角形内角和定理得出∠AFD=∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD=180°，∠B+∠EFB+∠BED=180°，求出∠BED=∠BAD即可．
（1）证明：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
∴∠CAE=∠BAD；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠D=∠B，
∵∠AFD=∠EFB，∠D+∠BAD+∠AFD=180°，∠B+∠EFB+∠BED=180°，
∴∠BED=∠BAD，
∵∠BAD=35°，
∴∠BED=35°．
4．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE=10，BC=4，∠D=30°，∠C=70°．
（1）求线段AE的长．
（2）求∠DBC的度数．
【解析】（1）根据全等三角形的性质得到AB=DE=10，BE=BC=4，结合图形计算，得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠D=30°，∠DBE=∠C=70°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，计算即可．
解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE=10，BC=4，
∴AB=DE=10，BE=BC=4，
∴AE=AB-BE=6；
（2）∵△ABC≌△DEB，∠D=30°，∠C=70°，
∴∠BAC=∠D=30°，∠DBE=∠C=70°，
∴∠ABC=180°-30°-70°=80°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBE=10°．
利用全等三角形求周长
5 .如图，△ACF≌△ADE，AD=12，AE=5，求DF的长．
【解析】直接利用全等三角形的性质得出AC=AD，进而得出答案．
解：∵△ACF≌△ADE，AD=12，AE=5，
∴AC=AD=12，AE=AF=5，
∴DF=12-5=7．
6．如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE=162°，∠DBC=30°，AD=DC=2.5，BC=4．
（1）求∠CBE的度数．
（2）求△CDP与△BEP的周长和．
【解析】（1）根据全等三角形的性质得到∠ABC=∠DBE，计算即可；
（2）根据全等三角形的性质求出BE、DE，根据三角形的周长公式计算即可．
解：（1）∵∠ABE=162°，∠DBC=30°，
∴∠ABD+∠CBE=132°，
∵△ABC≌△DBE，
∴∠ABC=∠DBE，
∴∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°，
即∠CBE的度数为66°；
（2）∵△ABC≌△DBE，
∴DE=AC=AD+DC=5，BE=BC=4，
∴△CDP与△BEP的周长和=DC+DP+PC+BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE=2.5+5+4+4=15.5．
利用全等三角形判断图形形状
7 .如图，D、A、E三点在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且△ABD≌△CAE，AC=4．
(1)求∠BAC的度数；
(2)判断△ABC的形状，并求△ABC的面积．
【答案】(1)90°
等腰直角三角形，8
【分析】(1)根据垂直的定义得到∠D=90°，求得∠DBA+∠BAD=90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA=∠CAE，等量代换即可得到结论；
(2)根据全等三角形的性质得AC=AB=4，再根据三角形的面积求出答案．
【详解】（1）解：∵BD⊥DE，
∴∠D=90°，
∴∠DBA+∠BAD=90°，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠DBA=∠CAE
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠BAC=90°；
（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴AC=AB=4，
又∵∠BAC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴△ABC的面积=4×4÷2=8．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的面积公式，证得△ABC是直角三角形是解决本题的关键．
牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】：A
解析：观察选项可知，选项B，C，D中的虚线把图形分成全等的两部分，
故选：A.
【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．
2．下图中全等的三角形是( )
A.①和② B.②和④ C.②和③ D.①和③
【答案】D
解析：A、①和②，SA，角的另一条邻边不相等，两个三角形不全等，不符合题意；
B、②和④，5cm分别是图②和图④30°的邻边和对边，两个三角形不全等，不符合题意；
C、②和③，SA，角的另一条邻边不相等，两个三角形不全等，不符合题意；
D、①和③，SAS，两个三角形全等，符合题意；
故选D.
【点拨】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键．
3．如图,,且,,则的度数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
解析:,,
,,
,
,
,
.
故选:D.
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
4．如图，，，，则的长度为( )
A. B. C. D.
【答案】B
解析：，
，，
.
故选：B.
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
5．如图，若，则下列结论中一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】：B
解析：，
，，，，
，
即.
故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B.
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，，结合图形和题意找到角之间的关系是解题的关键．
6．2.下列图形中是全等形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】：D
解析：A.两个图形不能完全重合，不是全等形；
B.两个图形不能完全重合，不是全等形；
C.两个图形不能完全重合，不是全等形；
D.两个图形能完全重合，是全等形；
故选：D.
【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．
7．如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，，则EC的长为( )
A.5 B.4.5 C.4 D.3.5
【答案】：B
解析：，，
，
，，
，
，
故选：B.
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
8．三个全等三角形按如图的形式摆放,则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
解析:如图所示:
由图形可得:,
三个全等三角形,
,
又,
,
的度数是.
故选:D.
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和，结合图形和题意找到角之间的关系是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．已知，且的周长为6，若，则DF的长为_________.
【答案】2.1
解析：，，
，
的周长为6，
，
故答案为：2.1.
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等。
10．如图，D在边上，，，则的度数为______.
【答案】
解析：，
，，
，，
中，，
，
故答案为：.
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
11．如图，四边形四边形，若，，，则____________°.
【答案】105
解析：四边形四边形，
，，
，
，
，，
，
，
故答案为：105.
【点评】本题主要考查了全等图形的定义，解题的关键是熟练掌握形状和大小都相同的图形是全等图形．
12．如图，在平面直角坐标系中，，则点D的坐标是__________.
【答案】
解析：，，点D的坐标是.
【点评】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质，掌握全等三角形性质是解题的关键．
13．如图，在正方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点A运动.设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为_____.
答案：2或7
解析：正方形ABCD,
，，
是直角三角形，
为直角三角形，
点P只能在上或者上，
当点P在上时，如图，当时，有，
，
，
，
当点P在上时，则当时，有，
，
故答案为：2或7.
【点评】本题考查了全等三角形的性质，明确全等三角形的对应角所对的边为对应边是解本题的关键.
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（8分）试在下列图形中，沿正方形的网格线（虚线）画线，将图形分割成两个全等的图形.
答案：如图所示.
解析：
15．（8分）如图，A，C，E三点在同一直线上，且.
（1）求证：.
（2）若，求证：.
答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1），
，，
，
；
（2），
，，
，
.
【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力．
16．（8分）如图，在中，cm，cm，D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A以a cm/s的速度运动，设运动的时间为t s.
（1）求CP的长度（用含t的代数式表示）；
（2）若以点C，P，Q为顶点的三角形和以点B，D，P为顶点的三角形全等，且和是对应角，求a的值.
答案：（1）因为cm，cm，
所以cm.
（2）①当时，因为，D为AB的中点，
所以，所以，解得.
此时，
所以，即，解得.
②当时，，解得.
此时，
所以，即，解得.
综上所述，a的值为3或.
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
17．（8分）如图，，其中点A,B,C,D在一条直线上.
（1）若，，求的度数；
（2）若cm，cm，求AB的长.
答案：（1），.
，
，
.
（2），，
，即.
cm，cm，
（cm），
cm.
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
18．（8分）如图，已知，点D在上，与交于点P.
（1）若，，求的 度数.
（2）若，，求与的周长之和.
答案：（1）,
,
即,
（2）,
,
【点拨】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
19．如图，试说明:
(1)
(2)
答案：(1)
(2)时,
理由如下: (添加的条件是)
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定等，灵活选择性质和判定定理是解题的关键．
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