沪教版2024-2025学年六年级上册同步提升讲义第06讲有理数的乘方(六大题型)(学生版+解析)
文档属性
| 名称 | 沪教版2024-2025学年六年级上册同步提升讲义第06讲有理数的乘方(六大题型)(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-07 12:02:22 | ||
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文档简介
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同有理数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的有理数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次方都是正数；（2）负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数；（3）0的任何正整数次方都是0；（4）任何一个数的偶次方都是非负数，即 ．
要点：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次方都是非负数．
三、科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.
要点：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；
（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.
【即学即练1】表示（ ）
A．6个相乘的积 B．乘以6的积 C．个6相乘的积 D．6与相乘的积
【即学即练2】计算： ， ， ．
【即学即练3】2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机万架，运营无人机的企业达万家．将万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练5】若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练5】计算：
题型1：有理数乘方的概念理解
【典例1】．对于（﹣2）3，指数是 ，底数是 ，（﹣2）3＝ ；对于﹣42，指数是 ，底数是 ，幂是 ．
【典例2】．用乘方的形式表示下列各式，并计算出结果．
=
= ；
=
【典例3】．对于（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（ ）
A．底数相同，指数相同
B．底数不同，指数不同
C．底数相同，运算结果不同
D．底数不同，运算结果相同
【典例4】．关于式子，正确的说法是（ ）
A．是底数，2是幂 B．4是底数，2是幂 C．4是底数，2是指数 D．是底数，2是指数
【典例5】．计算（ ）
A． B． C． D．
题型2：有理数的乘方运算
【典例6】．计算：
（1）； （2）； （3）
（4）； （5）； （6）．
【典例7】．下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【典例8】．计算：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）
【典例9】．口答：
(1)13
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
题型3：已知有理数的乘方运算的结果，求原数
【典例10】．某数的平方是4，则这个数的立方是（ ）
A．8 B．-8 C． D．
【典例11】．如果一个数的平方等于，那么这个数是 ，如果一个数的立方等于，那么这个数是 ．
【典例12】．平方等于16的数是 ，立方等于﹣27的数是 ．
【典例13】．若，则得值是 ；若，则得值是 ．
【典例14】．若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
题型4：乘方运算的符号法则、乘方的非负性
一、单选题
1．下列各组数中相等的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
2．关于式子，正确的说法是（ ）
A．是底数，2是幂 B．4是底数，2是幂 C．4是底数，2是指数 D．是底数，2是指数
3．下列选项最接近厘米的是（ ）
A．一本华师版七上数学书的长度 B．教师门的高度
C．中学生课桌的高度 D．天安门前旗杆的高度
4．国家外汇管理局3月7日公布最新一期外汇储备数据统计截至2月底我国外汇储备规模为32138亿美元．将32138亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．计算：正确的结果为（ ）
A．8052 B． C．4 D．
8．若是最大的负整数，是倒数等于它本身的自然数，是绝对值最小的有理数，则（ ）
A．2020 B．2021 C．2021或-2022 D．2020或-2022
9．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的绳子长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．为了求1+2+22+23+…+22008+22009的值，可令S=1+2+22+23+…+22008+22009，则2S=2+22+23+24+…+22008+22009+22010，因此2S﹣S=22010﹣1，所以1+2+22+23+…+22009=22010﹣1．仿照以上推理计算出1+5+52+53+…+52009的值是（ ）
A．52010+1 B．52010﹣1 C． D．
二、填空题
11．回答下列问题：
（1）与的区别是什么？
答：的底数是 ，指数是 ，结果是 ；
的底数是 ，指数是 ，结果是 ．
（2）和的区别是什么？
答：的底数是 ，指数是 ，结果是 ；的底数是 ，指数是 ，结果是 ．
12． 的绝对值是2， 的平方是9．
13．计算中常用到以下法则，负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ，0的任何正整数次幂都是 ．
14．计算： .
15．将×××写成幂的形式是 ．
16．已知|x﹣2y|+（y﹣2）2＝0，则xy＝ ．
17．若|x|＝3，y2＝4，且x＞y，则x﹣y＝ ．
18．观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）=
三、解答题
19．判断下列各式计算结果的正负：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
20．计算：
（1）． （2）． （3）．
（4）． （5）． （6）．
（7）． （8）． （9）．
21．下列是用科学记数法表示的数，求原数是多少？
（1）2×10；（2）3.14×10；（3）-5.012×10.
22．已知与互为相反数，求的值．
23．已知，求的值．
24．某沙漠可以粗略看成一个长方体，该沙漠的长度约是4800000m，沙层的深度大约是366cm，已知该沙漠中的体积约为33345km3立方千米．
（1）请将沙漠中沙的体积用科学记数法表示出来（单位：m3）；
（2）该沙漠的宽度是多少米（精确到万位）？
（3）如果一粒沙子体积大约是0.036mm3，那么，该沙漠中有多少粒沙子（用科学记数法表示）？
25．（1）计算下面两组算式：
①与；②与；
（2）根据以上计算结果想开去：等于什么 （直接写出结果）
（3）猜想与验证：当为正整数时， 等于什么 请你利用乘方的意义说明理由．
（4）利用上述结论，求的值．
26．你能比较20182019与20192018的大小吗？
为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较nn＋1与(n＋1)n的大小(n是正整数)，然后我们从分析n＝1，n＝2，n＝3，…中发现规律，经归纳、猜想得出结论．
(1)通过计算，比较下列各组中两数的大小：(在横线上填写“＞”“＝”或“＜”)
①12________21；②23________32；③34______43；④45________54；
⑤56________65.
(2)从第(1)题的结果中，经过归纳，猜想出nn＋1与(n＋1)n的大小关系；
(3)根据以上归纳、猜想得到的一般结论，试比较20182019与20192018的大小．
27．我们知道：加、减法运算是互逆运算，乘、除法运算也是互逆运算，乘方运算也有逆运算；如指数式23＝8可以转化为3＝log28，2＝log525也可以转化为52＝25．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．根据以上信息，解决以下问题：
（1）直接填写答案：log24＝ ，log216＝ ，log264＝ ；
（2）观察（1）的值有什么关系，你发现了什么结果？
（3）根据（2）中的结果，请归纳出一般性的结论并证明．
28．【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作a ，读作“a的圈c次方”．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第06讲 有理数的乘方（六大题型）
学习目标
1、理解有理数乘方的定义； 2、掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算； 3、掌握科学计数法。
一、有理数的乘方
定义：求n个相同有理数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：.在中，叫做底数， n叫做指数.
要点：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同有理数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的有理数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次方都是正数；（2）负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数；（3）0的任何正整数次方都是0；（4）任何一个数的偶次方都是非负数，即 ．
要点：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次方都是非负数．
三、科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.
要点：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；
（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.
【即学即练1】表示（ ）
A．6个相乘的积 B．乘以6的积 C．个6相乘的积 D．6与相乘的积
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的乘法的意义，了解乘方的意义是解答本题的关键，难度不大．
根据乘方的意义直接回答即可．
【解析】根据乘方的意义知：表示6个相乘的积，
故选A．
【即学即练2】计算： ， ， ．
【答案】 4 /
【分析】本题主要考查了去括号法则、有理数的乘方运算等知识点，熟记相关运算法则是解题的关键．
根据去括号法则、有理数的乘方运算进行计算即可．
【解析】解：；；．
故答案为：，4，．
【即学即练3】2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机万架，运营无人机的企业达万家．将万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．将一个数写成，（其中，为整数），即可得到答案．
【解析】解：万，
故选B．
【即学即练4】若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了非负数的性质，理解并掌握非负数的性质是解题关键．根据绝对值非负性和偶数次方的非负数性质，即可获得答案．
【解析】解：∵，
又∵，，
∴，，
解得，．
故选：D．
【即学即练5】计算：
【答案】
【分析】本题主要考查有理数的乘方，根据为奇数和偶数两种情况求解即可．
【解析】解：①当为奇数时，为奇数，所以，，
②当为偶数时，为奇数，所以，，
故答案为：．
题型1：有理数乘方的概念理解
【典例1】．对于（﹣2）3，指数是 ，底数是 ，（﹣2）3＝ ；对于﹣42，指数是 ，底数是 ，幂是 ．
【答案】 3 -2 -8 2 4 -16
【解析】【分析】根据乘方的定义可解决本题．
根据乘方的定义，得（﹣2）3的底数是﹣2，指数是3，（﹣2）3＝﹣2×（﹣2）×（﹣2）＝﹣8．
同理，﹣42的底数是4，指数是2，幂是﹣16．
故答案为：3，﹣2，﹣8，2，4，﹣16．
【典例2】．用乘方的形式表示下列各式，并计算出结果．
=
= ；
=
【答案】
【分析】根据幂指数代表底数相乘的次数可得出答案．
【解析】解：=；
=；
=
故答案为：，；，；，．
【点睛】本题考查幂指数所表示的意义以及有理数乘方的运算，比较基础，掌握基础概念是解题关键．
【典例3】．对于（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（ ）
A．底数相同，指数相同
B．底数不同，指数不同
C．底数相同，运算结果不同
D．底数不同，运算结果相同
【答案】D
【分析】根据幂的性质判断即可；
【解析】由（﹣4）3和﹣43可知：指数相同，底数不同，
，，运算结果相同；
故选D．
【点睛】本题主要考查了幂的认识和运算，准确分析判断是解题的关键．
【典例4】．关于式子，正确的说法是（ ）
A．是底数，2是幂 B．4是底数，2是幂 C．4是底数，2是指数 D．是底数，2是指数
【答案】D
【分析】由知，-4是底数，2是指数，是幂，逐一验证选项即可.
【解析】由知，-4是底数，2是指数，是幂，故选项A、B、C错误，D选项正确；
故选：D.
【点睛】本题考查了幂的有关概念，掌握幂的有关概念是解题的关键.
【典例5】．计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据乘法的含义，可得：2m，根据乘方的含义，可得：，据此求解即可．
【解析】解：2m+．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘法、有理数的乘方，解答此题的关键是要明确乘法、乘方的含义．
题型2：有理数的乘方运算
【典例6】．计算：
（1）； （2）； （3）
（4）； （5）； （6）．
【答案】（1）；（2）16；（3）2.89；（4）；（5）8；（6）36．
【分析】根据乘方的运算法则，分别进行计算，即可得到答案．
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
【点睛】本题考查了乘方的运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题．
【典例7】．下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方分别计算，然后作出判断．
【解析】原式各项计算得到结果，比较即可．
A选项：，，不相等，故该选项不符合题意；
B选项：，相等，故该选项符合题意；
C选项：，，不相等，故该选项不符合题意；
D选项：，，不相等，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟记概念是解题的关键．
【典例8】．计算：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）
【答案】（1）；（2）27；（3）；（4）；（5）；（6）
【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可．
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键．
【典例9】．口答：
(1)13
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)1
(2)
(3)1
(4)1
(5)
(6)
【分析】根据有理数乘方运算法则运算即可．
【解析】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【点睛】本题考查有理数乘方运算和相反数，解题关键是能够熟练应用有理数乘方运算法则，理解相反数的含义．
题型3：已知有理数的乘方运算的结果，求原数
【典例10】．某数的平方是4，则这个数的立方是（ ）
A．8 B．-8 C． D．
【答案】C
【分析】根据平方和立方的定义去计算．
【解析】解：∵这个数的平方是4，∴这个数可能是2或-2，
2的立方是8，-2的立方是-8．
故选：C ．
【点睛】本题考查平方和立方的定义，需要注意一个数的平方是4，这个数有两种可能，是．
【典例11】．如果一个数的平方等于，那么这个数是 ，如果一个数的立方等于，那么这个数是 ．
【答案】
【分析】根据平方与立方的运算即可求解．
【解析】∵（）2=，（）3=
故答案为：；．
【点睛】此题主要考查乘方与立方的运算，解题的关键是熟知乘方的运算法则．
【典例12】．平方等于16的数是 ，立方等于﹣27的数是 ．
【答案】 ±4； ﹣3．
【分析】根据有理数的乘方的概念进行解答即可．
【解析】解：∵（±4）2=16，
∴平方等于16的数是±4；
∵（﹣3）3=﹣27，
∴立方等于﹣27的数是﹣3．
故答案为：±4；﹣3．
【点睛】本题考查有理数的乘方．
【典例13】．若，则得值是 ；若，则得值是 ．
【答案】
【分析】根据平方和立方的定义进行求解，平方等于9的有两个数，立方等于-8的数有一个．
【解析】∵，
∴x=；
∵，
∴=-2，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了平方和立方的定义，掌握平方和立方的定义是解题的关键．
【典例14】．若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数乘方的逆运算即可得出结论．
【解析】解：若
∴a=±b，故A、B、C不一定成立；
∴，故D正确
故选D．
【点睛】此题考查的是有理数的乘方逆运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键．
题型4：乘方运算的符号法则、乘方的非负性
【典例15】．若│m－2│＋(n＋1)2＝0，则nm的值为 ．
【答案】
【分析】根据绝对值和平方的非负性，求得，，然后根据有理数的乘方运算求解即可．
【解析】解：由可得，，
，
故答案为：
【点睛】此题考查了绝对值和平方的非负性以及有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握相关性质以及运算法则．
【典例16】．计算的结果是（ ）
A． B．2 C．0 D．
【答案】C
【分析】根据有理数乘方的法则进行计算即可得出答案．
【解析】解：．
故选C
【点睛】本题考查的是有理数的乘方的法则，即正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【典例17】．若是正整数，则
【答案】或
【分析】分两种情况讨论，当为奇数时，当为偶数时，从而可得答案．
【解析】解：当为奇数时，
当为偶数时，
故答案为：或
【点睛】本题考查的是乘方符号的确定，有理数的加法运算，掌握以上知识是解题的关键．
【典例18】．已知n表示正整数，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不对
【答案】D
【分析】n为正整数，可能是偶数也可能是奇数，所以分当n为奇数， n为偶数时两种情况考虑，即可求解．
【解析】解：当n为奇数时：
1n+( 1)n+1=1+1=2；
当n为偶数时：
1n+( 1)n+1=1-1=0；
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【典例19】．已知|m＋3|与(n－2)2互为相反数，那么mn等于 ．
【答案】9
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解析】解：∵|m+3|与（n-2）2互为相反数，
∴|m+3|+（n-2）2=0，
∴m+3=0，n-2=0，
解得m=-3，n=2，
所以，mn=（-3）2=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【典例20】．计算中常用到以下法则，负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ，0的任何正整数次幂都是 ．
【答案】 负数 正数 0
【解析】略
【典例21】．观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（ ）
A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确
【答案】B
【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得．
【解析】解：由三组数的运算得：，
，
，
归纳类推得：当时，，式子①错误；
由三组数的运算得：，
，
，
归纳类推得：当时，，式子②正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
题型5：乘方的应用
【典例22】．假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给50个同学，假设每通知一个同学需要1分钟时间，同学接到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为（ ）
A．8分钟 B．7分钟 C．6分钟 D．5分钟
【答案】C
【解析】第一分钟通知到1个学生；第二分钟最多可通知到1+2＝3个学生；第三分钟最多可通知到3+4＝7个学生；第四分钟最多可通知到7+8＝15个学生；第五分钟最多可通知到15+16＝31个学生；第六分钟最多可通知到31+32＝63个学生，即可得到至少需要的时间为6分钟．
【解答】解：第一分钟通知到1个学生；
第二分钟最多可通知到1+2＝3个学生；
第三分钟最多可通知到3+4＝7个学生；
第四分钟最多可通知到7+8＝15个学生；
第五分钟最多可通知到15+16＝31个学生；
第六分钟最多可通知到31+32＝63个学生；
答：至少用6分钟．
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数乘方，解决本题的关键是得到每一分钟后，即知道消息的总人数．
【典例23】．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次(由一个分裂成两个)．经过3h，这种细菌由1个可分裂为（ ）
A．8个 B．16个 C．32个 D．64个
【答案】D
【分析】每半小时分裂一次，一个变为2个，实际是个．分裂第二次时，2个就变为了个．那么经过3小时，就要分裂6次．根据有理数的乘方的定义可得．
【解析】解：某种细菌原来有1个，
半小时后有：2个，1小时后有个，
小时后有个，小时后有个，
小时后有个，小时后有个，
又
经过3h，这种细菌由1个可分裂为个，
故选D
【点睛】本题考查的是乘方的含义与实际应用，简单数字规律的探究，掌握“探究规律的方法与乘方的意义”是解本题的关键.
【典例24】．1长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，第六次截去之后剩下的木棒是( )．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解析】解：第一次截去它的一半，剩下的木棒长为m，
第二次截去剩下的一半，剩下的木棒长为m，
第三次截去剩下的一半，剩下的木棒长为m，
…,
第六次截去剩下的一半，剩下的木棒长为m，
故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的乘方的应用，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
【典例25】．蟑螂对我们来说是非常熟悉的，它之所以被称为是打不死的小强，是因为它的繁殖速度非常惊人．某种蟑螂繁衍后代的数量为上一代数量的11倍，也就是说，如果它的始祖（第一代）有11只，则下一代就会有121只，以此类推，这种蟑螂第10代的只数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可；
【解析】∵第一代有11只，则下一代就会有121只，
以此类推，可知蟑螂第10代的只数是；
故选B．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，利用乘方的定义计算是解题的关键．
题型6：科学计数法
【典例26】．我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧 的煤所产生的能量．把 用科学记数法可表示为（ ）
A．1 B．0.1 C．1.3 D．1.3
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解析】解： ．
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，属于基础题．
【典例27】．5月11日发布的我国第七次全国人口普查数据显示，全国人口约141000万人，用科学记数法表示为（ ）
A．1.41×105人 B．1.41×108人 C．14.1×108人 D．1.41×109人
【答案】D
【分析】把原数表示成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式即可．
【解析】解：141000万人＝1410000000人＝1.41×109人．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，确定a和n的值是解答本题的关键．
【典例28】．截至2021年6月10日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新型病毒疫苗89277万剂次，其中89277万剂次用科学记数法表示为（ ）
A．89.277×107剂次 B．8.9277×108剂次
C．0.89277×109剂次 D．8.92777×109剂次
【答案】B
【分析】将89277万转换为892770000，而892770000等于8.9277×100000000，将100000000变为即可．
【解析】解：89277万=892770000=剂次，
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，在表示的过程中，能够数清数位是解决本题的关键．
【典例29】．某公司一年的销售利润是1.5万亿元．1.5万亿用科学记数法表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解析】解：1.5万亿．
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，解题的关键是正确确定的值以及的值．
【典例30】．第七次全国人口普查数据显示，江苏省常住人口约为8474.8万人，将84748000用科学记数法（精确到十万位）表示为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数．
【解析】解：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
【典例31】．用科学记数法表示2018≈ ．（保留两个有效数字）
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点；有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【解析】将2018用科学记数法表示为2.018×103，保留两位有效数字为2.0×103．
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法和有效数字，解题关键在于掌握用a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式表示数的方法叫科学记数法；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完，所以这些数字都叫这个近似数的有效数．
一、单选题
1．下列各组数中相等的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【分析】分别计算各项，然后判断即可．
【解析】解：A. =9与=8不相等，不符合题意；
B. =-9与=9不相等，不符合题意；
C. =36与=-12不相等，不符合题意；
D. =-8与=-8相等，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了乘方的运算，解题关键是分清指数和底数，准确运用乘方的定义计算．
2．关于式子，正确的说法是（ ）
A．是底数，2是幂 B．4是底数，2是幂 C．4是底数，2是指数 D．是底数，2是指数
【答案】D
【分析】由知，-4是底数，2是指数，是幂，逐一验证选项即可.
【解析】由知，-4是底数，2是指数，是幂，故选项A、B、C错误，D选项正确；
故选：D.
【点睛】本题考查了幂的有关概念，掌握幂的有关概念是解题的关键.
3．下列选项最接近厘米的是（ ）
A．一本华师版七上数学书的长度 B．教师门的高度
C．中学生课桌的高度 D．天安门前旗杆的高度
【答案】C
【分析】结合对生活的了解和对长度单位以及进率的认识,找出符合题意的答案．
【解析】解：厘米=81厘米，
最接近的是中学生课桌的高度，
故选C．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，以及近似值，是常识性的内容要掌握．
4．国家外汇管理局3月7日公布最新一期外汇储备数据统计截至2月底我国外汇储备规模为32138亿美元．将32138亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【解析】解：32138亿=3.2138×1012，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据乘方的运算和绝对值的意义来进行判断即可．
【解析】A、 ，故该选项正确；
B、 ，故该选项错误；
C、 ，故该选项错误；
D、当a＜0时，＜0，＞0，故该选项错误；
故选：A．
【点睛】此题考查的知识点是绝对值，有理数的乘方，注意乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行，注意任何数的绝对值为非负数．
6．若，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方运算将a和c算出结果，再比较大小．
【解析】解：，，，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查有理数的乘方运算，解题的关键是掌握有理数乘方的运算法则．
7．计算：正确的结果为（ ）
A．8052 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查有理数的乘方以及有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘方是解决本题的关键．根据有理数的乘方以及有理数的乘法解决本题．
【解析】解：
．
故选：D．
8．若是最大的负整数，是倒数等于它本身的自然数，是绝对值最小的有理数，则（ ）
A．2020 B．2021 C．2021或-2022 D．2020或-2022
【答案】A
【分析】由题意可知，然后代入进行求解即可．
【解析】解：由题意得：，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查有理数的分类、倒数及有理数的乘方，熟练掌握有理数的分类、倒数及有理数的乘方是解题的关键．
9．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的绳子长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】根据乘方的意义和题意可知：第2次后剩下的绳子的长度为()2米，那么依此类推得到第六次后剩下的绳子的长度为()6米．
【解析】∵1-=，
∴第2次后剩下的绳子的长度为()2米；
依此类推第六次后剩下的绳子的长度为()6米．
故选C．
【点睛】此题主要考查了乘方的意义．其中解题是正确理解题意是解题的关键，能够根据题意列出代数式是解题主要步骤．
10．为了求1+2+22+23+…+22008+22009的值，可令S=1+2+22+23+…+22008+22009，则2S=2+22+23+24+…+22008+22009+22010，因此2S﹣S=22010﹣1，所以1+2+22+23+…+22009=22010﹣1．仿照以上推理计算出1+5+52+53+…+52009的值是（ ）
A．52010+1 B．52010﹣1 C． D．
【答案】C
【解析】令S=1+5+52+53+…+52009，则5S=5+52+53+…+52010，5S-S=52010-1，则S= ；
故选C．
二、填空题
11．回答下列问题：
（1）与的区别是什么？
答：的底数是 ，指数是 ，结果是 ；
的底数是 ，指数是 ，结果是 ．
（2）和的区别是什么？
答：的底数是 ，指数是 ，结果是 ；的底数是 ，指数是 ，结果是 ．
【答案】 3 2 9 2 3 8 -3 4 81 3 4 -81
【解析】略
12． 的绝对值是2， 的平方是9．
【答案】 ±2 ±3.
【分析】根据绝对值与平方的定义即可求解.
【解析】∵±2的绝对值是2，±3的平方是9
故填：±2；±3.
【点睛】此题主要考查绝对值与平方的概念，解题的关键是熟知绝对值与平方的定义.
13．计算中常用到以下法则，负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ，0的任何正整数次幂都是 ．
【答案】 负数 正数 0
【解析】略
14．计算： .
【答案】
【分析】先算乘方，再算乘法即可求解.
【解析】解：原式，
故答案为.
【点睛】本题考查了有理数的乘法和乘方，解体的关键是熟练掌握计算法则正确进行计算.
15．将×××写成幂的形式是 ．
【答案】
【分析】根据有理数乘方的定义解答即可．
【解析】解：将×××写成幂的形式是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数乘方的意义，属于应知应会题型，熟知乘方的概念是关键．
16．已知|x﹣2y|+（y﹣2）2＝0，则xy＝ ．
【答案】16
【分析】利用平方和绝对值的非负性，可求出x＝4，y＝2，即可求解．
【解析】解：根据题意得，x﹣2y＝0，y﹣2＝0，
解得x＝4，y＝2，
所以，xy＝42＝16．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，乘方运算，准确得出x＝4，y＝2是解题的关键．
17．若|x|＝3，y2＝4，且x＞y，则x﹣y＝ ．
【答案】1或5．
【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义及平方根定义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．
【解析】解：根据题意得：x＝3，y＝2或x＝3，y＝﹣2，
则x﹣y＝1或5．
故答案为1或5．
【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）=
【答案】
【分析】先根据已知等式探索出变形规律，然后根据规律进行变形，计算有理数的乘法运算即可．
【解析】解：由已知等式可知：，
，
，
归纳类推得：，其中n为正整数，
则，
因此，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是有理数运算的规律题，根据已知等式探索出运算规律并应用是解题关键．
三、解答题
19．判断下列各式计算结果的正负：
=64
（2）
=
=
（3）
=
=
（4）
=
=
（5）
=
=32
（6）
=
=
（7）
=
=
（8）
=
=
（9）
=
=
=
【点睛】此题考查的是有理数的乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键．
21．下列是用科学记数法表示的数，求原数是多少？
（1）2×10；（2）3.14×10；（3）-5.012×10.
【答案】（1）20000；（2）314000；（3）-50120000．
【分析】（1）根据科学记数法的定义即可得；
（2）根据科学记数法的定义即可得；
（3）根据科学记数法的定义即可得．
【解析】科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，
（1）；
（2）；
（3）．
【点睛】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题关键．
22．已知与互为相反数，求的值．
【答案】0
【分析】根据相反数的性质得到，再根据绝对值非负性得到，，代入求解即可；
【解析】因为与互为相反数，所以，所以，，
所以，，
因此．
【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性应用、相反数的性质和代数式求值，准确计算是解题的关键．
23．已知，求的值．
【答案】-48
【分析】根据绝对值和平方的非负性求出，，，代入求值即可；
【解析】因为，
所以，
解得，，，
所以，．
【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性应用和代数式求值，准确计算是解题的关键．
24．某沙漠可以粗略看成一个长方体，该沙漠的长度约是4800000m，沙层的深度大约是366cm，已知该沙漠中的体积约为33345km3立方千米．
（1）请将沙漠中沙的体积用科学记数法表示出来（单位：m3）；
（2）该沙漠的宽度是多少米（精确到万位）？
=，
（2）
（3）．
（4）=．
【点睛】本题考查有理数乘法法则问题，先通过不同形式的计算，验证结果相同，达到初步认证，再次认证结果，通过证明先算计积再算乘法，与先算每个数的乘方再算积，验证结论成立，会逆用积的乘方运算来简便运算是解题关键．
26．你能比较20182019与20192018的大小吗？
为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较nn＋1与(n＋1)n的大小(n是正整数)，然后我们从分析n＝1，n＝2，n＝3，…中发现规律，经归纳、猜想得出结论．
(1)通过计算，比较下列各组中两数的大小：(在横线上填写“＞”“＝”或“＜”)
①12________21；②23________32；③34______43；④45________54；
⑤56________65.
(2)从第(1)题的结果中，经过归纳，猜想出nn＋1与(n＋1)n的大小关系；
(3)根据以上归纳、猜想得到的一般结论，试比较20182019与20192018的大小．
【答案】 (1)①＜；②＜；③＞；④＞；⑤＞；(2)当n＝1或n＝2时，nn＋1＜(n＋1)n；当n为大于或等于3的整数时，nn＋1＞(n＋1)n；(3)20182019＞201920.
【分析】（1）根据有理数的乘方的定义分别进行计算即可得解；
（2）根据（1）的计算结果分情况解答；
（3）根据（2）的结论解答即可．
【解析】（1）①12＝1，21＝2；
②23＝8，32＝9；
③34＝81，43＝64；
④45＝1024，54＝625；
⑤56＝15625，65＝7776；…
故答案为（1）＜；＜；＞；＞；＞；
（2）当n＜3时，nn＋1＜（n＋1）n，
当n≥3时，nn＋1＞（n＋1）n；
（3）∵2018＞3，
∴20182019＞20192018．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，有理数的大小比较，理解有理数的乘方的意义准确计算是解题的关键．
27．我们知道：加、减法运算是互逆运算，乘、除法运算也是互逆运算，乘方运算也有逆运算；如指数式23＝8可以转化为3＝log28，2＝log525也可以转化为52＝25．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．根据以上信息，解决以下问题：
（1）直接填写答案：log24＝ ，log216＝ ，log264＝ ；
（2）观察（1）的值有什么关系，你发现了什么结果？
（3）根据（2）中的结果，请归纳出一般性的结论并证明．
【答案】（1）2，4，6；（2）log24+log216＝log264，见解析；（3）logaM+logaN＝loga（MN），见解析．
【分析】（1）利用对数的定义求解；
（2）利用（1）的计算结果得到log24+log216＝log264；
（3）设am＝M，an＝N，利用对数的定义得到logaM＝m，logaN＝n，再根据积的乘方得到MN＝am an＝am+n，利用对数的定义得到loga（MN）＝m+n，从而得到logaM+logaN＝loga（MN）．
【解析】（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6；
故答案为2，4，6；
（2）结果为：log24+log216＝log264；
（3）一般结论为logaM+logaN＝loga（MN）（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）；
证明：设am＝M，an＝N，
∴logaM＝m，logaN＝n，
∴logaM+logaN＝m+n，
∵MN＝am an＝am+n，
∴loga（MN）＝m+n，
∴logaM+logaN＝loga（MN）．
【点睛】本题考查了有理数的乘方：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
28．【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作a ，读作“a的圈c次方”．
（1）【初步探究】直接写出计算结果：3③＝ ，（）⑤＝ ；
（2）关于除方，下列说法错误的是 ；
A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．对于任何正整数n，1 ＝1；C.3④＝4③；D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
（3）【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
Ⅰ．试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝ ；5⑥＝ ；⑩＝ ；
Ⅱ．想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ；
Ⅲ．算一算：④⑤⑥＝ ．
【答案】（1），﹣27；（2）C；（3）Ⅰ．；（ ）4；28；Ⅱ．a ＝（）n﹣2；Ⅲ．．
【分析】（1）根据新定义运算的法则进行运算即可；
（2）根据新定义运算对每个选项逐一分析判断，即可得到答案；
（3）Ⅰ．根据新定义的运算法则进行计算即可；Ⅱ．结合前面的具体计算进行归纳总结可得答案；Ⅲ.根据新定义运算，逐一先计算除方，再转化为有理数的乘除乘方运算，再计算即可.
【解析】解：概念学习：
（1）由新定义运算可得：3③＝3÷3÷3＝，
（）⑤＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）＝﹣27．
故答案为：，﹣27；
（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；所以选项A正确；
B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1 都等于1；所以选项B正确；
C、3④＝3÷3÷3÷3＝，4③＝4÷4÷4＝，则 3④≠4③；所以选项C错误；
D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；
本题选择说法错误的，故选C；
深入思考：
（3）Ⅰ．（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）
＝；
5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5
＝（）4；
同理得：（）⑩＝28；
故答案为：；（）4；28；
Ⅱ：由新定义运算及（1）（2）归纳总结可得：
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（2）底数一定是相同的有理数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次方都是正数；（2）负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数；（3）0的任何正整数次方都是0；（4）任何一个数的偶次方都是非负数，即 ．
要点：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次方都是非负数．
三、科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.
要点：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；
（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.
【即学即练1】表示（ ）
A．6个相乘的积 B．乘以6的积 C．个6相乘的积 D．6与相乘的积
【即学即练2】计算： ， ， ．
【即学即练3】2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机万架，运营无人机的企业达万家．将万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练5】若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练5】计算：
题型1：有理数乘方的概念理解
【典例1】．对于（﹣2）3，指数是 ，底数是 ，（﹣2）3＝ ；对于﹣42，指数是 ，底数是 ，幂是 ．
【典例2】．用乘方的形式表示下列各式，并计算出结果．
=
= ；
=
【典例3】．对于（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（ ）
A．底数相同，指数相同
B．底数不同，指数不同
C．底数相同，运算结果不同
D．底数不同，运算结果相同
【典例4】．关于式子，正确的说法是（ ）
A．是底数，2是幂 B．4是底数，2是幂 C．4是底数，2是指数 D．是底数，2是指数
【典例5】．计算（ ）
A． B． C． D．
题型2：有理数的乘方运算
【典例6】．计算：
（1）； （2）； （3）
（4）； （5）； （6）．
【典例7】．下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【典例8】．计算：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）
【典例9】．口答：
(1)13
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
题型3：已知有理数的乘方运算的结果，求原数
【典例10】．某数的平方是4，则这个数的立方是（ ）
A．8 B．-8 C． D．
【典例11】．如果一个数的平方等于，那么这个数是 ，如果一个数的立方等于，那么这个数是 ．
【典例12】．平方等于16的数是 ，立方等于﹣27的数是 ．
【典例13】．若，则得值是 ；若，则得值是 ．
【典例14】．若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
题型4：乘方运算的符号法则、乘方的非负性
一、单选题
1．下列各组数中相等的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
2．关于式子，正确的说法是（ ）
A．是底数，2是幂 B．4是底数，2是幂 C．4是底数，2是指数 D．是底数，2是指数
3．下列选项最接近厘米的是（ ）
A．一本华师版七上数学书的长度 B．教师门的高度
C．中学生课桌的高度 D．天安门前旗杆的高度
4．国家外汇管理局3月7日公布最新一期外汇储备数据统计截至2月底我国外汇储备规模为32138亿美元．将32138亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．计算：正确的结果为（ ）
A．8052 B． C．4 D．
8．若是最大的负整数，是倒数等于它本身的自然数，是绝对值最小的有理数，则（ ）
A．2020 B．2021 C．2021或-2022 D．2020或-2022
9．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的绳子长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．为了求1+2+22+23+…+22008+22009的值，可令S=1+2+22+23+…+22008+22009，则2S=2+22+23+24+…+22008+22009+22010，因此2S﹣S=22010﹣1，所以1+2+22+23+…+22009=22010﹣1．仿照以上推理计算出1+5+52+53+…+52009的值是（ ）
A．52010+1 B．52010﹣1 C． D．
二、填空题
11．回答下列问题：
（1）与的区别是什么？
答：的底数是 ，指数是 ，结果是 ；
的底数是 ，指数是 ，结果是 ．
（2）和的区别是什么？
答：的底数是 ，指数是 ，结果是 ；的底数是 ，指数是 ，结果是 ．
12． 的绝对值是2， 的平方是9．
13．计算中常用到以下法则，负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ，0的任何正整数次幂都是 ．
14．计算： .
15．将×××写成幂的形式是 ．
16．已知|x﹣2y|+（y﹣2）2＝0，则xy＝ ．
17．若|x|＝3，y2＝4，且x＞y，则x﹣y＝ ．
18．观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）=
三、解答题
19．判断下列各式计算结果的正负：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
20．计算：
（1）． （2）． （3）．
（4）． （5）． （6）．
（7）． （8）． （9）．
21．下列是用科学记数法表示的数，求原数是多少？
（1）2×10；（2）3.14×10；（3）-5.012×10.
22．已知与互为相反数，求的值．
23．已知，求的值．
24．某沙漠可以粗略看成一个长方体，该沙漠的长度约是4800000m，沙层的深度大约是366cm，已知该沙漠中的体积约为33345km3立方千米．
（1）请将沙漠中沙的体积用科学记数法表示出来（单位：m3）；
（2）该沙漠的宽度是多少米（精确到万位）？
（3）如果一粒沙子体积大约是0.036mm3，那么，该沙漠中有多少粒沙子（用科学记数法表示）？
25．（1）计算下面两组算式：
①与；②与；
（2）根据以上计算结果想开去：等于什么 （直接写出结果）
（3）猜想与验证：当为正整数时， 等于什么 请你利用乘方的意义说明理由．
（4）利用上述结论，求的值．
26．你能比较20182019与20192018的大小吗？
为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较nn＋1与(n＋1)n的大小(n是正整数)，然后我们从分析n＝1，n＝2，n＝3，…中发现规律，经归纳、猜想得出结论．
(1)通过计算，比较下列各组中两数的大小：(在横线上填写“＞”“＝”或“＜”)
①12________21；②23________32；③34______43；④45________54；
⑤56________65.
(2)从第(1)题的结果中，经过归纳，猜想出nn＋1与(n＋1)n的大小关系；
(3)根据以上归纳、猜想得到的一般结论，试比较20182019与20192018的大小．
27．我们知道：加、减法运算是互逆运算，乘、除法运算也是互逆运算，乘方运算也有逆运算；如指数式23＝8可以转化为3＝log28，2＝log525也可以转化为52＝25．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．根据以上信息，解决以下问题：
（1）直接填写答案：log24＝ ，log216＝ ，log264＝ ；
（2）观察（1）的值有什么关系，你发现了什么结果？
（3）根据（2）中的结果，请归纳出一般性的结论并证明．
28．【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作a ，读作“a的圈c次方”．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第06讲 有理数的乘方（六大题型）
学习目标
1、理解有理数乘方的定义； 2、掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算； 3、掌握科学计数法。
一、有理数的乘方
定义：求n个相同有理数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：.在中，叫做底数， n叫做指数.
要点：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同有理数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的有理数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次方都是正数；（2）负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数；（3）0的任何正整数次方都是0；（4）任何一个数的偶次方都是非负数，即 ．
要点：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次方都是非负数．
三、科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.
要点：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；
（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.
【即学即练1】表示（ ）
A．6个相乘的积 B．乘以6的积 C．个6相乘的积 D．6与相乘的积
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的乘法的意义，了解乘方的意义是解答本题的关键，难度不大．
根据乘方的意义直接回答即可．
【解析】根据乘方的意义知：表示6个相乘的积，
故选A．
【即学即练2】计算： ， ， ．
【答案】 4 /
【分析】本题主要考查了去括号法则、有理数的乘方运算等知识点，熟记相关运算法则是解题的关键．
根据去括号法则、有理数的乘方运算进行计算即可．
【解析】解：；；．
故答案为：，4，．
【即学即练3】2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机万架，运营无人机的企业达万家．将万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．将一个数写成，（其中，为整数），即可得到答案．
【解析】解：万，
故选B．
【即学即练4】若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了非负数的性质，理解并掌握非负数的性质是解题关键．根据绝对值非负性和偶数次方的非负数性质，即可获得答案．
【解析】解：∵，
又∵，，
∴，，
解得，．
故选：D．
【即学即练5】计算：
【答案】
【分析】本题主要考查有理数的乘方，根据为奇数和偶数两种情况求解即可．
【解析】解：①当为奇数时，为奇数，所以，，
②当为偶数时，为奇数，所以，，
故答案为：．
题型1：有理数乘方的概念理解
【典例1】．对于（﹣2）3，指数是 ，底数是 ，（﹣2）3＝ ；对于﹣42，指数是 ，底数是 ，幂是 ．
【答案】 3 -2 -8 2 4 -16
【解析】【分析】根据乘方的定义可解决本题．
根据乘方的定义，得（﹣2）3的底数是﹣2，指数是3，（﹣2）3＝﹣2×（﹣2）×（﹣2）＝﹣8．
同理，﹣42的底数是4，指数是2，幂是﹣16．
故答案为：3，﹣2，﹣8，2，4，﹣16．
【典例2】．用乘方的形式表示下列各式，并计算出结果．
=
= ；
=
【答案】
【分析】根据幂指数代表底数相乘的次数可得出答案．
【解析】解：=；
=；
=
故答案为：，；，；，．
【点睛】本题考查幂指数所表示的意义以及有理数乘方的运算，比较基础，掌握基础概念是解题关键．
【典例3】．对于（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（ ）
A．底数相同，指数相同
B．底数不同，指数不同
C．底数相同，运算结果不同
D．底数不同，运算结果相同
【答案】D
【分析】根据幂的性质判断即可；
【解析】由（﹣4）3和﹣43可知：指数相同，底数不同，
，，运算结果相同；
故选D．
【点睛】本题主要考查了幂的认识和运算，准确分析判断是解题的关键．
【典例4】．关于式子，正确的说法是（ ）
A．是底数，2是幂 B．4是底数，2是幂 C．4是底数，2是指数 D．是底数，2是指数
【答案】D
【分析】由知，-4是底数，2是指数，是幂，逐一验证选项即可.
【解析】由知，-4是底数，2是指数，是幂，故选项A、B、C错误，D选项正确；
故选：D.
【点睛】本题考查了幂的有关概念，掌握幂的有关概念是解题的关键.
【典例5】．计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据乘法的含义，可得：2m，根据乘方的含义，可得：，据此求解即可．
【解析】解：2m+．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘法、有理数的乘方，解答此题的关键是要明确乘法、乘方的含义．
题型2：有理数的乘方运算
【典例6】．计算：
（1）； （2）； （3）
（4）； （5）； （6）．
【答案】（1）；（2）16；（3）2.89；（4）；（5）8；（6）36．
【分析】根据乘方的运算法则，分别进行计算，即可得到答案．
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
【点睛】本题考查了乘方的运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题．
【典例7】．下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方分别计算，然后作出判断．
【解析】原式各项计算得到结果，比较即可．
A选项：，，不相等，故该选项不符合题意；
B选项：，相等，故该选项符合题意；
C选项：，，不相等，故该选项不符合题意；
D选项：，，不相等，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟记概念是解题的关键．
【典例8】．计算：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）
【答案】（1）；（2）27；（3）；（4）；（5）；（6）
【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可．
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键．
【典例9】．口答：
(1)13
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)1
(2)
(3)1
(4)1
(5)
(6)
【分析】根据有理数乘方运算法则运算即可．
【解析】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【点睛】本题考查有理数乘方运算和相反数，解题关键是能够熟练应用有理数乘方运算法则，理解相反数的含义．
题型3：已知有理数的乘方运算的结果，求原数
【典例10】．某数的平方是4，则这个数的立方是（ ）
A．8 B．-8 C． D．
【答案】C
【分析】根据平方和立方的定义去计算．
【解析】解：∵这个数的平方是4，∴这个数可能是2或-2，
2的立方是8，-2的立方是-8．
故选：C ．
【点睛】本题考查平方和立方的定义，需要注意一个数的平方是4，这个数有两种可能，是．
【典例11】．如果一个数的平方等于，那么这个数是 ，如果一个数的立方等于，那么这个数是 ．
【答案】
【分析】根据平方与立方的运算即可求解．
【解析】∵（）2=，（）3=
故答案为：；．
【点睛】此题主要考查乘方与立方的运算，解题的关键是熟知乘方的运算法则．
【典例12】．平方等于16的数是 ，立方等于﹣27的数是 ．
【答案】 ±4； ﹣3．
【分析】根据有理数的乘方的概念进行解答即可．
【解析】解：∵（±4）2=16，
∴平方等于16的数是±4；
∵（﹣3）3=﹣27，
∴立方等于﹣27的数是﹣3．
故答案为：±4；﹣3．
【点睛】本题考查有理数的乘方．
【典例13】．若，则得值是 ；若，则得值是 ．
【答案】
【分析】根据平方和立方的定义进行求解，平方等于9的有两个数，立方等于-8的数有一个．
【解析】∵，
∴x=；
∵，
∴=-2，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了平方和立方的定义，掌握平方和立方的定义是解题的关键．
【典例14】．若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据有理数乘方的逆运算即可得出结论．
【解析】解：若
∴a=±b，故A、B、C不一定成立；
∴，故D正确
故选D．
【点睛】此题考查的是有理数的乘方逆运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键．
题型4：乘方运算的符号法则、乘方的非负性
【典例15】．若│m－2│＋(n＋1)2＝0，则nm的值为 ．
【答案】
【分析】根据绝对值和平方的非负性，求得，，然后根据有理数的乘方运算求解即可．
【解析】解：由可得，，
，
故答案为：
【点睛】此题考查了绝对值和平方的非负性以及有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握相关性质以及运算法则．
【典例16】．计算的结果是（ ）
A． B．2 C．0 D．
【答案】C
【分析】根据有理数乘方的法则进行计算即可得出答案．
【解析】解：．
故选C
【点睛】本题考查的是有理数的乘方的法则，即正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【典例17】．若是正整数，则
【答案】或
【分析】分两种情况讨论，当为奇数时，当为偶数时，从而可得答案．
【解析】解：当为奇数时，
当为偶数时，
故答案为：或
【点睛】本题考查的是乘方符号的确定，有理数的加法运算，掌握以上知识是解题的关键．
【典例18】．已知n表示正整数，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不对
【答案】D
【分析】n为正整数，可能是偶数也可能是奇数，所以分当n为奇数， n为偶数时两种情况考虑，即可求解．
【解析】解：当n为奇数时：
1n+( 1)n+1=1+1=2；
当n为偶数时：
1n+( 1)n+1=1-1=0；
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【典例19】．已知|m＋3|与(n－2)2互为相反数，那么mn等于 ．
【答案】9
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解析】解：∵|m+3|与（n-2）2互为相反数，
∴|m+3|+（n-2）2=0，
∴m+3=0，n-2=0，
解得m=-3，n=2，
所以，mn=（-3）2=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【典例20】．计算中常用到以下法则，负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ，0的任何正整数次幂都是 ．
【答案】 负数 正数 0
【解析】略
【典例21】．观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（ ）
A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确
【答案】B
【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得．
【解析】解：由三组数的运算得：，
，
，
归纳类推得：当时，，式子①错误；
由三组数的运算得：，
，
，
归纳类推得：当时，，式子②正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
题型5：乘方的应用
【典例22】．假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给50个同学，假设每通知一个同学需要1分钟时间，同学接到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为（ ）
A．8分钟 B．7分钟 C．6分钟 D．5分钟
【答案】C
【解析】第一分钟通知到1个学生；第二分钟最多可通知到1+2＝3个学生；第三分钟最多可通知到3+4＝7个学生；第四分钟最多可通知到7+8＝15个学生；第五分钟最多可通知到15+16＝31个学生；第六分钟最多可通知到31+32＝63个学生，即可得到至少需要的时间为6分钟．
【解答】解：第一分钟通知到1个学生；
第二分钟最多可通知到1+2＝3个学生；
第三分钟最多可通知到3+4＝7个学生；
第四分钟最多可通知到7+8＝15个学生；
第五分钟最多可通知到15+16＝31个学生；
第六分钟最多可通知到31+32＝63个学生；
答：至少用6分钟．
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数乘方，解决本题的关键是得到每一分钟后，即知道消息的总人数．
【典例23】．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次(由一个分裂成两个)．经过3h，这种细菌由1个可分裂为（ ）
A．8个 B．16个 C．32个 D．64个
【答案】D
【分析】每半小时分裂一次，一个变为2个，实际是个．分裂第二次时，2个就变为了个．那么经过3小时，就要分裂6次．根据有理数的乘方的定义可得．
【解析】解：某种细菌原来有1个，
半小时后有：2个，1小时后有个，
小时后有个，小时后有个，
小时后有个，小时后有个，
又
经过3h，这种细菌由1个可分裂为个，
故选D
【点睛】本题考查的是乘方的含义与实际应用，简单数字规律的探究，掌握“探究规律的方法与乘方的意义”是解本题的关键.
【典例24】．1长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，第六次截去之后剩下的木棒是( )．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解析】解：第一次截去它的一半，剩下的木棒长为m，
第二次截去剩下的一半，剩下的木棒长为m，
第三次截去剩下的一半，剩下的木棒长为m，
…,
第六次截去剩下的一半，剩下的木棒长为m，
故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的乘方的应用，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
【典例25】．蟑螂对我们来说是非常熟悉的，它之所以被称为是打不死的小强，是因为它的繁殖速度非常惊人．某种蟑螂繁衍后代的数量为上一代数量的11倍，也就是说，如果它的始祖（第一代）有11只，则下一代就会有121只，以此类推，这种蟑螂第10代的只数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可；
【解析】∵第一代有11只，则下一代就会有121只，
以此类推，可知蟑螂第10代的只数是；
故选B．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，利用乘方的定义计算是解题的关键．
题型6：科学计数法
【典例26】．我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧 的煤所产生的能量．把 用科学记数法可表示为（ ）
A．1 B．0.1 C．1.3 D．1.3
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解析】解： ．
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，属于基础题．
【典例27】．5月11日发布的我国第七次全国人口普查数据显示，全国人口约141000万人，用科学记数法表示为（ ）
A．1.41×105人 B．1.41×108人 C．14.1×108人 D．1.41×109人
【答案】D
【分析】把原数表示成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式即可．
【解析】解：141000万人＝1410000000人＝1.41×109人．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，确定a和n的值是解答本题的关键．
【典例28】．截至2021年6月10日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新型病毒疫苗89277万剂次，其中89277万剂次用科学记数法表示为（ ）
A．89.277×107剂次 B．8.9277×108剂次
C．0.89277×109剂次 D．8.92777×109剂次
【答案】B
【分析】将89277万转换为892770000，而892770000等于8.9277×100000000，将100000000变为即可．
【解析】解：89277万=892770000=剂次，
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，在表示的过程中，能够数清数位是解决本题的关键．
【典例29】．某公司一年的销售利润是1.5万亿元．1.5万亿用科学记数法表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解析】解：1.5万亿．
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，解题的关键是正确确定的值以及的值．
【典例30】．第七次全国人口普查数据显示，江苏省常住人口约为8474.8万人，将84748000用科学记数法（精确到十万位）表示为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数．
【解析】解：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
【典例31】．用科学记数法表示2018≈ ．（保留两个有效数字）
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点；有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【解析】将2018用科学记数法表示为2.018×103，保留两位有效数字为2.0×103．
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法和有效数字，解题关键在于掌握用a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式表示数的方法叫科学记数法；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完，所以这些数字都叫这个近似数的有效数．
一、单选题
1．下列各组数中相等的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【分析】分别计算各项，然后判断即可．
【解析】解：A. =9与=8不相等，不符合题意；
B. =-9与=9不相等，不符合题意；
C. =36与=-12不相等，不符合题意；
D. =-8与=-8相等，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了乘方的运算，解题关键是分清指数和底数，准确运用乘方的定义计算．
2．关于式子，正确的说法是（ ）
A．是底数，2是幂 B．4是底数，2是幂 C．4是底数，2是指数 D．是底数，2是指数
【答案】D
【分析】由知，-4是底数，2是指数，是幂，逐一验证选项即可.
【解析】由知，-4是底数，2是指数，是幂，故选项A、B、C错误，D选项正确；
故选：D.
【点睛】本题考查了幂的有关概念，掌握幂的有关概念是解题的关键.
3．下列选项最接近厘米的是（ ）
A．一本华师版七上数学书的长度 B．教师门的高度
C．中学生课桌的高度 D．天安门前旗杆的高度
【答案】C
【分析】结合对生活的了解和对长度单位以及进率的认识,找出符合题意的答案．
【解析】解：厘米=81厘米，
最接近的是中学生课桌的高度，
故选C．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，以及近似值，是常识性的内容要掌握．
4．国家外汇管理局3月7日公布最新一期外汇储备数据统计截至2月底我国外汇储备规模为32138亿美元．将32138亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【解析】解：32138亿=3.2138×1012，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据乘方的运算和绝对值的意义来进行判断即可．
【解析】A、 ，故该选项正确；
B、 ，故该选项错误；
C、 ，故该选项错误；
D、当a＜0时，＜0，＞0，故该选项错误；
故选：A．
【点睛】此题考查的知识点是绝对值，有理数的乘方，注意乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行，注意任何数的绝对值为非负数．
6．若，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方运算将a和c算出结果，再比较大小．
【解析】解：，，，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查有理数的乘方运算，解题的关键是掌握有理数乘方的运算法则．
7．计算：正确的结果为（ ）
A．8052 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查有理数的乘方以及有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘方是解决本题的关键．根据有理数的乘方以及有理数的乘法解决本题．
【解析】解：
．
故选：D．
8．若是最大的负整数，是倒数等于它本身的自然数，是绝对值最小的有理数，则（ ）
A．2020 B．2021 C．2021或-2022 D．2020或-2022
【答案】A
【分析】由题意可知，然后代入进行求解即可．
【解析】解：由题意得：，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查有理数的分类、倒数及有理数的乘方，熟练掌握有理数的分类、倒数及有理数的乘方是解题的关键．
9．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的绳子长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】根据乘方的意义和题意可知：第2次后剩下的绳子的长度为()2米，那么依此类推得到第六次后剩下的绳子的长度为()6米．
【解析】∵1-=，
∴第2次后剩下的绳子的长度为()2米；
依此类推第六次后剩下的绳子的长度为()6米．
故选C．
【点睛】此题主要考查了乘方的意义．其中解题是正确理解题意是解题的关键，能够根据题意列出代数式是解题主要步骤．
10．为了求1+2+22+23+…+22008+22009的值，可令S=1+2+22+23+…+22008+22009，则2S=2+22+23+24+…+22008+22009+22010，因此2S﹣S=22010﹣1，所以1+2+22+23+…+22009=22010﹣1．仿照以上推理计算出1+5+52+53+…+52009的值是（ ）
A．52010+1 B．52010﹣1 C． D．
【答案】C
【解析】令S=1+5+52+53+…+52009，则5S=5+52+53+…+52010，5S-S=52010-1，则S= ；
故选C．
二、填空题
11．回答下列问题：
（1）与的区别是什么？
答：的底数是 ，指数是 ，结果是 ；
的底数是 ，指数是 ，结果是 ．
（2）和的区别是什么？
答：的底数是 ，指数是 ，结果是 ；的底数是 ，指数是 ，结果是 ．
【答案】 3 2 9 2 3 8 -3 4 81 3 4 -81
【解析】略
12． 的绝对值是2， 的平方是9．
【答案】 ±2 ±3.
【分析】根据绝对值与平方的定义即可求解.
【解析】∵±2的绝对值是2，±3的平方是9
故填：±2；±3.
【点睛】此题主要考查绝对值与平方的概念，解题的关键是熟知绝对值与平方的定义.
13．计算中常用到以下法则，负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ，0的任何正整数次幂都是 ．
【答案】 负数 正数 0
【解析】略
14．计算： .
【答案】
【分析】先算乘方，再算乘法即可求解.
【解析】解：原式，
故答案为.
【点睛】本题考查了有理数的乘法和乘方，解体的关键是熟练掌握计算法则正确进行计算.
15．将×××写成幂的形式是 ．
【答案】
【分析】根据有理数乘方的定义解答即可．
【解析】解：将×××写成幂的形式是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数乘方的意义，属于应知应会题型，熟知乘方的概念是关键．
16．已知|x﹣2y|+（y﹣2）2＝0，则xy＝ ．
【答案】16
【分析】利用平方和绝对值的非负性，可求出x＝4，y＝2，即可求解．
【解析】解：根据题意得，x﹣2y＝0，y﹣2＝0，
解得x＝4，y＝2，
所以，xy＝42＝16．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，乘方运算，准确得出x＝4，y＝2是解题的关键．
17．若|x|＝3，y2＝4，且x＞y，则x﹣y＝ ．
【答案】1或5．
【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义及平方根定义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．
【解析】解：根据题意得：x＝3，y＝2或x＝3，y＝﹣2，
则x﹣y＝1或5．
故答案为1或5．
【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．观察下列各式：1-=，1-=，1-=，根据上面的等式所反映的规律（1-）（1-）（1-）=
【答案】
【分析】先根据已知等式探索出变形规律，然后根据规律进行变形，计算有理数的乘法运算即可．
【解析】解：由已知等式可知：，
，
，
归纳类推得：，其中n为正整数，
则，
因此，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是有理数运算的规律题，根据已知等式探索出运算规律并应用是解题关键．
三、解答题
19．判断下列各式计算结果的正负：
=64
（2）
=
=
（3）
=
=
（4）
=
=
（5）
=
=32
（6）
=
=
（7）
=
=
（8）
=
=
（9）
=
=
=
【点睛】此题考查的是有理数的乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键．
21．下列是用科学记数法表示的数，求原数是多少？
（1）2×10；（2）3.14×10；（3）-5.012×10.
【答案】（1）20000；（2）314000；（3）-50120000．
【分析】（1）根据科学记数法的定义即可得；
（2）根据科学记数法的定义即可得；
（3）根据科学记数法的定义即可得．
【解析】科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，
（1）；
（2）；
（3）．
【点睛】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题关键．
22．已知与互为相反数，求的值．
【答案】0
【分析】根据相反数的性质得到，再根据绝对值非负性得到，，代入求解即可；
【解析】因为与互为相反数，所以，所以，，
所以，，
因此．
【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性应用、相反数的性质和代数式求值，准确计算是解题的关键．
23．已知，求的值．
【答案】-48
【分析】根据绝对值和平方的非负性求出，，，代入求值即可；
【解析】因为，
所以，
解得，，，
所以，．
【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性应用和代数式求值，准确计算是解题的关键．
24．某沙漠可以粗略看成一个长方体，该沙漠的长度约是4800000m，沙层的深度大约是366cm，已知该沙漠中的体积约为33345km3立方千米．
（1）请将沙漠中沙的体积用科学记数法表示出来（单位：m3）；
（2）该沙漠的宽度是多少米（精确到万位）？
=，
（2）
（3）．
（4）=．
【点睛】本题考查有理数乘法法则问题，先通过不同形式的计算，验证结果相同，达到初步认证，再次认证结果，通过证明先算计积再算乘法，与先算每个数的乘方再算积，验证结论成立，会逆用积的乘方运算来简便运算是解题关键．
26．你能比较20182019与20192018的大小吗？
为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较nn＋1与(n＋1)n的大小(n是正整数)，然后我们从分析n＝1，n＝2，n＝3，…中发现规律，经归纳、猜想得出结论．
(1)通过计算，比较下列各组中两数的大小：(在横线上填写“＞”“＝”或“＜”)
①12________21；②23________32；③34______43；④45________54；
⑤56________65.
(2)从第(1)题的结果中，经过归纳，猜想出nn＋1与(n＋1)n的大小关系；
(3)根据以上归纳、猜想得到的一般结论，试比较20182019与20192018的大小．
【答案】 (1)①＜；②＜；③＞；④＞；⑤＞；(2)当n＝1或n＝2时，nn＋1＜(n＋1)n；当n为大于或等于3的整数时，nn＋1＞(n＋1)n；(3)20182019＞201920.
【分析】（1）根据有理数的乘方的定义分别进行计算即可得解；
（2）根据（1）的计算结果分情况解答；
（3）根据（2）的结论解答即可．
【解析】（1）①12＝1，21＝2；
②23＝8，32＝9；
③34＝81，43＝64；
④45＝1024，54＝625；
⑤56＝15625，65＝7776；…
故答案为（1）＜；＜；＞；＞；＞；
（2）当n＜3时，nn＋1＜（n＋1）n，
当n≥3时，nn＋1＞（n＋1）n；
（3）∵2018＞3，
∴20182019＞20192018．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，有理数的大小比较，理解有理数的乘方的意义准确计算是解题的关键．
27．我们知道：加、减法运算是互逆运算，乘、除法运算也是互逆运算，乘方运算也有逆运算；如指数式23＝8可以转化为3＝log28，2＝log525也可以转化为52＝25．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．根据以上信息，解决以下问题：
（1）直接填写答案：log24＝ ，log216＝ ，log264＝ ；
（2）观察（1）的值有什么关系，你发现了什么结果？
（3）根据（2）中的结果，请归纳出一般性的结论并证明．
【答案】（1）2，4，6；（2）log24+log216＝log264，见解析；（3）logaM+logaN＝loga（MN），见解析．
【分析】（1）利用对数的定义求解；
（2）利用（1）的计算结果得到log24+log216＝log264；
（3）设am＝M，an＝N，利用对数的定义得到logaM＝m，logaN＝n，再根据积的乘方得到MN＝am an＝am+n，利用对数的定义得到loga（MN）＝m+n，从而得到logaM+logaN＝loga（MN）．
【解析】（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6；
故答案为2，4，6；
（2）结果为：log24+log216＝log264；
（3）一般结论为logaM+logaN＝loga（MN）（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）；
证明：设am＝M，an＝N，
∴logaM＝m，logaN＝n，
∴logaM+logaN＝m+n，
∵MN＝am an＝am+n，
∴loga（MN）＝m+n，
∴logaM+logaN＝loga（MN）．
【点睛】本题考查了有理数的乘方：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
28．【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作a ，读作“a的圈c次方”．
（1）【初步探究】直接写出计算结果：3③＝ ，（）⑤＝ ；
（2）关于除方，下列说法错误的是 ；
A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．对于任何正整数n，1 ＝1；C.3④＝4③；D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
（3）【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
Ⅰ．试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝ ；5⑥＝ ；⑩＝ ；
Ⅱ．想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ；
Ⅲ．算一算：④⑤⑥＝ ．
【答案】（1），﹣27；（2）C；（3）Ⅰ．；（ ）4；28；Ⅱ．a ＝（）n﹣2；Ⅲ．．
【分析】（1）根据新定义运算的法则进行运算即可；
（2）根据新定义运算对每个选项逐一分析判断，即可得到答案；
（3）Ⅰ．根据新定义的运算法则进行计算即可；Ⅱ．结合前面的具体计算进行归纳总结可得答案；Ⅲ.根据新定义运算，逐一先计算除方，再转化为有理数的乘除乘方运算，再计算即可.
【解析】解：概念学习：
（1）由新定义运算可得：3③＝3÷3÷3＝，
（）⑤＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）＝﹣27．
故答案为：，﹣27；
（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；所以选项A正确；
B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1 都等于1；所以选项B正确；
C、3④＝3÷3÷3÷3＝，4③＝4÷4÷4＝，则 3④≠4③；所以选项C错误；
D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；
本题选择说法错误的，故选C；
深入思考：
（3）Ⅰ．（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）
＝；
5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5
＝（）4；
同理得：（）⑩＝28；
故答案为：；（）4；28；
Ⅱ：由新定义运算及（1）（2）归纳总结可得：
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