沪教版2024-2025学年七年级数学上册同步提升讲义第13讲整式的乘除单元综合检测(难点)(学生版+解析)

第13讲 整式的乘除 单元综合检测（难点）
一、单选题
1．已知，若，则x的值（ ）
A．86.2 B．0.862 C． D．
2．下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．若，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．8
4．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．按如图所示的程序输出的结果是（ ）
A． B． C． D．1
6．使 乘积中不含 与 项，则 的值为（ ）
A． B． C． D．8
7．已知多项式除以时，所得的余数是1，除以时所得的余数是3，那么多项式除以时，所得的余式是（ ）
A． B． C． D．
8．已知：，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．用边长分别为的两种正方形和，拼成如图所示的两个图形，若图中阴影部分面积分别记为，下列关于的大小关系表述正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．设，且，则（　　）
A． B． C．674 D．673
(3)若，，用含的代数式表示．
20．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】①；
②；
③；
……
(1)【归纳】由此可得： ________；
(2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：_______；
(3)计算：______；
(4)若，求的值．
21．你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题．
(1)分别化简下列各式：
　　；
　　；
　　；
　　．
(2)请你利用上面的结论计算：= ．
22．已知，如图1，我们在2018年某月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”)该十字星的十字差为，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．
（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为 ．
（2）若将正整数依次填入6列的长方形数表中，不同位置十字星的“十字差”是一个定值吗 如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（3）若将正整数依次填入k列的长方形数表中(k≥3)，继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数有关的定值，请用表示出这个定值，并证明你的结论．
23．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．

(1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；
(2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，试用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______；
(3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，求的值；
(4)如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD、BF，若，，请利用（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积．
24．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数.
例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此.
(1)的商是______，余式是______.
(2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值.
(3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长.
25．【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________；
(2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则__________；
(3)如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______；
(4)如图4，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______．
【方法拓展】
(5)已知正数，，和，，，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明．
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第13讲 整式的乘除 单元综合检测（难点）
一、单选题
1．已知，若，则x的值（ ）
A．86.2 B．0.862 C． D．
【答案】B
【分析】由，可得，然后判断作答即可．
【解析】解：∵，
∴，，
∴，
【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
2．下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据完全平方公式，逐项验证即可得到答案．
【解析】解：A、
，该选项计算错误，不符合题意；
B、
，该选项计算错误，不符合题意；
C、，该选项计算准确，符合题意；
D、，该选项计算错误，不符合题意．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的变式，熟记完全平方公式是解决问题的关键．
3．若，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】D
【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘，利用幂的乘方、同底数幂相乘法则把变形为，然后把整体代入计算即可．
【解析】解∶∵，
∴
，
故选∶D．
4．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可．
【解析】因为，，，，
因为，
所以，
所以，
故即；
同理可证
所以，
故选A．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键．
5．按如图所示的程序输出的结果是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查了列代数式与整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据运算程序进行列式计算即可．
【解析】解∶根据题意，得
，
故选∶B．
6．使 乘积中不含 与 项，则 的值为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】D
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把p、q看作常数，合并关于 与 的同类项，令其系数为0，得出p与q的值，即可求出结果．
【解析】解：
乘积中不含 与 项，
，则
，
7．已知多项式除以时，所得的余数是1，除以时所得的余数是3，那么多项式除以时，所得的余式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设，除以时所得的余式为，商式为，再分别令、即可求出m、n的值，代入余式，即可求解．
【解析】解：设，除以时所得的余式为，商式为，
当时，，
当时，，
∴，，
∴多项式除以时，所得的余式为，
【点睛】本题考查带余数的除法，解题的关键是设出原式除以时所得的余式为，商式为，再用取特殊值法求解即可．
8．已知：，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知，得到，再利用完全平方公式，得出，然后根据平方的非负性，求得，代入计算即可求出的值．
【解析】解：，，
，
，
，
，，，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，平方的非负性，代数式求值，有理数的乘方，根据已知得出是解题关键．
9．用边长分别为的两种正方形和，拼成如图所示的两个图形，若图中阴影部分面积分别记为，下列关于的大小关系表述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了整式的混合运算：利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
【解析】解：
；
∵
∴
10．设，且，则（　　）
A． B． C．674 D．673
【答案】A
【分析】本题考查了整式的化简求值，化简过程中用到了两个重要的公式：完全平方公式、平方差公式，令求出之间的等式关系是解题关键．
令，可将的值用y与a表示，利用求出a的值，然后将所求的式子化简成只含有y与a的式子，再代入求解即可．
【解析】解：设，
则，
将的值代入可得：，
解得：，
，，
，
二、填空题
11．若，，则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了同底数幂运算的应用，根据题意可得出解方程即可得出答案．
【解析】解：由题意得：，
即
解得：，
故答案为：2．
12．若，代数式的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了代数式的值，整体代入是解题的关键．首先根据，可得，把代入，然后把代入化简后的算式计算即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴
．
∵，
∴，
∴原式
．
故答案为：．
13．若是正整数，且，则等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法运算；根据题意得出，代入代数式，即可求解．
【解析】解：∵，则
∴，
故答案为：．
14．阅读理解：引入新数，新数满足分配律、结合律与交换律，已知，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是根据平方差公式对所求式子进行化简．根据平方差公式对所求式子进行化简得到，再代入值计算即可．
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
原式，
故答案为：．
15．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字1~9填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于23，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、，则 ； ．
【答案】 12 22
【分析】本题考查了整式的运算、完全平方公式以及有理数的乘方运算，由每个圆圈上的四个数字的和都等于23，可得出三个大圆圈上的数字之和为63，结合9个小圆圈的数字之和为45，可求出，由，结合9个小圆圈上的数字的平方和为285，可得出，再代入，即可求出的值．
【解析】解：∵每个圆圈上的四个数字的和都等于23，，
∴三个大圆圈上的数字之和为，
∵各小圆圈上的数字之和为
，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴
∴，
∴
∴．
故答案为∶12，22．
16．正整数，那么除以3的余数是 ．
【答案】2
【分析】先求出除以3的余数是0，再得到时，除以3的余数是2，依此即可得到除以3的余数．
【解析】解：∵，
∴除以3的余数是0，
由知：
当时，,除以3的余数是2，
∴除以3的余数是2，
即除以3的余数是2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了同余问题，解题的关键是变形为．
17．已知，，，则代数式的值为 ．
【答案】3
【分析】把已知的式子化成的形式，然后代入求解．
【解析】解：，，，
，，，
则原式
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了代数式的求值，正确利用完全平方公式把所求的式子进行变形是关键．
18．如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图和图两种方式放置在长方形内（图和图中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边，的长度分别为，；设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，当时，的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的混合运算，面积的定义，根据平移的知识和面积的定义，列出算式，再去括号，合并同类项即可求解．
【解析】解：图1中阴影部分的面积，
图2中阴影部分的面积，
．
故答案为：．
三、解答题
19．在等式的运算中规定：若且，，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，，用含的代数式表示．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算：
（1）根据幂的乘方的逆运算法则把两边底数为成一样，再根据题目规定解答即可；
（2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把变形为，进而得到，据此即可解答；
（3）先求出，再根据进行求解即可．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】①；
②；
③；
……
(1)【归纳】由此可得： ________；
(2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：_______；
(3)计算：______；
(4)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)．
【分析】（1）利用已知得出式子变化规律，进而得出答案；
（2）利用（2）中变化规律进而得出答案；
（3）将转化为，再利用（2）中变化规律进而得出答案；
（4）利用（2）中变化规律得出x的值，进而得出答案．
【解析】（1）解：①；
②；
③；
……；
∴，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：
；
故答案为：；
（4）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了平方差公式以及数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律是解题关键．
21．你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题．
(1)分别化简下列各式：
　　；
　　；
　　；
　　．
(2)请你利用上面的结论计算：= ．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）归纳总结得到规律，写出结果即可；
（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．
【解析】（1）解：；
；
；
；
（2）．
22．已知，如图1，我们在2018年某月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”)该十字星的十字差为，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．
（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为 ．
（2）若将正整数依次填入6列的长方形数表中，不同位置十字星的“十字差”是一个定值吗 如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（3）若将正整数依次填入k列的长方形数表中(k≥3)，继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数有关的定值，请用表示出这个定值，并证明你的结论．
【答案】（1）24；（2）是，这个定值是35，理由见解析；（3）定值为，证明见解析.
【分析】（1）根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；
（2）设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x-1，x-1，上下两数分别为x-6，x-6，进而表示出十字差，化简即可得证；
（3）设十字星中心的数为y，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证．
【解析】解：（1）根据题意得：，
故答案为：24；
（2）是，这个定值是35．理由如下：
设十字星中心的数为，则十字星左右两数分别为，，上下两数分别为，，
十字差为：．
故不同位置十字星的“十字差”是一个定值，这个定值为35；
(3)定值为，证明如下：
设设十字星中心的数为y，则十字星左右两数分别为，，上下两数分别为，，
十字差为：，
故这个定值为．
【点睛】此题考查了整式运算的实际应用，正确理解题意以及熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．

(1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；
(2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，试用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______；
(3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，求的值；
(4)如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD、BF，若，，请利用（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)21
(4)36
【分析】（1）根据大正方形的边长为，而大正方形由两个边长为a，b的正方形和两个长为b，宽为a的长方形组成即可得出答案；
（2）分别表示出大正方形中每一个小正方形的面积及长方形的面积，然后根据这些小正方形的面积及长方形的面积等于大正方形的面积即可得出答案；
（3）由（2）得结论可得，然后将代入进行计算即可得出结论；
（4）分别求出，，，再根据又得，然后由（1）可知：，从而得，再将进行计算即可得出答案．
【解析】（1）依题意得：；
故答案为：．
（2）依题意得：；
故答案为：．
（3）由（2）可知：，
∴，
即：，
又∵
∴；
（4）
．
当，时，
原式．
【点睛】此题主要考查了集合背景下的完全平方公式及其应用，理解题意，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答此题的关键．
24．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数.
例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此.
(1)的商是______，余式是______.
(2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值.
(3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长.
【答案】(1)，．
(2)
(3)
【分析】（1）根据多项式除以多项式的法则计算．
（2）根据多项式除以多项式的法则计算．
（2）通过面积关系求长方形的边长．
【解析】（1）解：用竖式计算如下，
∴长方形C的另一边长为：3x-14．
【点睛】本题考查多项式除以多项式，抓住整除的定义找到系数的关系是求解本题的关键．
25．【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________；
(2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则__________；
(3)如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______；
(4)如图4，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______．
【方法拓展】
(5)已知正数，，和，，，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明．
【答案】(1)（2a-b）（a-b）=2a2-b2-3ab；（a-b-c）2=a2-b2-c2-2ab-2ac-2bc；
(2)155
(3)9
(4)a-2b；
(5)见解析
【分析】（1）大长方形的面积=长×宽，也等于3个小正方形和3个小长方形面积的和，两种方法求得的大长方形的面积相等，即“等积法”得到等式．
（2）用（1）的结论变形后代入求值．
（3）观察（2a-b）（a-2b）长方形找到x、y、z对应的值，代入求值．
（4）通过分析，找到可以拼成正方形的可能的情况，然后找到正方形的边长最大，
（5）通过构造边长为k的正方形，用3个长方形的面积表示al-bm-cn，用面积直观地说明al-bm-cn【解析】（1）解：由图2知，大长方形的面积=（2a-b）（a-b），
大长方形的面积=3个小正方形的面积-3个小长方形的面积=a2-a2-b2-3ab=2a2-b2-3ab，
∴（2a-b）（a-b）=2a2-b2-3ab；
由图3知，大正方形的面积=（a-b-c）2，
大正方形的面积=3个正方形的面积-2个小长方形的面积-2个小长方形的面积-2个小长方形的面积=a2-b2-c2-2ab-2ac-2bc，
∴（a-b-c）2=a2-b2-c2-2ab-2ac-2bc；
故答案为：（2a-b）（a-b）=2a2-b2-3ab； =a2-b2-c2-2ab-2ac-2bc；
（2）由图3得（a-b-c）2=a2-b2-c2-2ab-2ac-2bc，
∴a2-b2-c2=（a-b-c）2-（2ab-2ac-2bc）=（a-b-c）2-2（ab-ac-bc），
当，时，
a2-b2-c2=152-2×35=155；
故答案为：155
（3）解：∵（2a-b）（a-2b）=2a2-4ab-ab-2b2=2a2-5ab-2b2，2，
∴长方形可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形，
∴x=2，y=2，z=5，
∴x-y-z=9；
故答案为：9
（4）解：3张边长为a的正方形纸片的面积为3a2，4张边长分别为ab的长方形纸片的面积为4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积为5b2，
∵想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），
∴选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，
∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为ab的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片，
此时围成的正方形面积为a2-2ab-b2=（a-b）2，
∴此时正方形的边长=a-b；
选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为ab的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片，
此时围成的正方形面积为a2-4ab-4b2=（a-2b）2，
∴此时正方形的边长=a-2b，
∵a-b＜a-2b，
∴拼成的正方形的边长最长为a-2b；
故答案为：a-2b；
（5）解：如图，
如图，构造了一个边长为k的正方形，AC=CE=EG=AG=k，
在正方形的4个边上分别截取AB=a，CD=b，EF= HG=c，
∵a-m=b-n=c-l=k，
∴BC=m，DE=n，FG=l，AH=l，
∴3个长方形的面积和为al-bm-cn，大正方形的面积为k2，
∴．
【点睛】本题用“等积法”解决多项式乘积的代数问题，渗透数形结合的思想，用代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
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