沪教版2024-2025学年七年级数学上册同步提升讲义第18讲因式分解单元综合检测(重点)(学生版+解析)

11．分解因式： ．
12．＝
13．分解因式： ．
14．因式分解： ．
15．如果x-3是整式2x2-11x-m的一个因式，则m的值 ．
16．若，则 ．
17．设为正整数，且，则等于 ．
18．要使整式x2﹣ax﹣20在整数范围内可因式分解，给出整数a＝ ．
三、解答题
19．把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
20．因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)；
21．因式分解
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
22．两位同学将一个二次三项式：(其中，，为常数，且)分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原整式分解因式.
23．阅读下列解答过程：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为
则，，
∴，∴
∴另一个因式为，m的值为-21．
请依照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值．
24．【提出问题】某数学活动小组对整式乘法进行如下探究：
①；
②；
③．
通过以上计算发现，形如的两个整式相乘，其结果一定为．（p，q为整数）
因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的整式因式分解成（p、q为整数）．
例如：．
【初步应用】
（1）用上面的方法分解因式：_________；
【类比应用】
（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________；
【拓展应用】
（3）分解因式：．
25．某校数学社团的小亮、小颖两个同学利用分组分解法进行的因式分解：
小亮：
=
=
=
小颖：
=
．
请你在他们解法的启发下，解决下面问题；
(1)因式分解；
(2)已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．
26．如图1，有A，B，C三种不同型号的卡片若干，其中 A型是边长为 a的正方形，B型是长为 b，宽为 a 的长方形，C型是边长为 b的正方形．
(1)若选取相应型号和数量的卡片拼出（或镶嵌）了一个符合某乘法公式的图形（如图2），则这个乘法公式是 ；
(2)请你选取相应型号和数量的卡片，拼出（或镶嵌）一个符合等式的长方形；
(3)现有 A 型卡片1张，B型卡片4张，C型卡片5张，从这10张卡片中拿掉一个卡片，余下的卡片全用上，能拼出（或镶嵌）一个长方形（或正方形）的有多少种拼法？ 请你通过计算说明理由．
27．【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．
【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式．
【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的整式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”．
（2）请利用“配方法”分解因式：
①；
②．
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第18讲 因式分解 单元综合检测（重点）
一、单选题
1．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．把一个整式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个整式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可．
【解析】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；
B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；
C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；
D．符合定义，故选项正确，符合题意．
2．若一个整式因式分解的结果是，则这个整式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用单项式乘整式运算法则，进而得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【解析】解：一个整式因式分解的结果是，
这个整式为：．
故选：．
3．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】分别利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解析】解：①x2-10x-25=（x-5）2，不符合题意；
②4a2-4a-1不能用完全平方公式分解；
③x2-2x-1不能用完全平方公式分解；
④ m2-m =-（m2-m-）=-（m-）2，不符合题意；
⑤4x4 x2-不能用完全平方公式分解．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．
4．已知是因式分解的结果，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查因式分解与整式相乘的关系，注意正确计算整式的乘法，然后系数对应相等．把整式相乘展开，再根据对应项系数相等求解即可．
【解析】∵，
∴
∴．
5．整式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据公因式的意义，将原式写成含有公因式乘积的形式即可．
【解析】解：因为，
所以的公因式为，
【点睛】本题考查了公因式，解题的关键是理解公因式的意义是得出正确答案的前提，将各个项写成含有公因式积的形式．
6．下列整式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（ ）
A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
【答案】B
【分析】根据公式法的特点即可分别求解．
【解析】①不能用公式法因式分解；
②，可以用公式法因式分解；
③不能用公式法因式分解；
④=，能用公式法因式分解；
⑤=，能用公式法因式分解．
∴能用公式法分解因式的是②④⑤
故选C．
【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知乘方公式的特点．
7．下列代数式与之积等于的因式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】认真读懂题意，分析清楚题目中的数量关系，根据平方差公式把因式分解得到-(7x-y2)(7x-y2)，再进一步计算，即可求得答案.
【解析】=-(49x2- y4)=-(7x-y2)(7x-y2)，
则与7x－y2的乘积等于的代数式是-(7x-y2)=-7x-y2，
所以答案为：D.
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握平方差公式.
8．已知，，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据提公因式法将因式分解，再代入数据计算即可．
【解析】
，
将，代入，得：．　
【点睛】本题考查因式分解，代数式求值．利用整体代入的思想是解题关键．
9．若整式分解因式，其中一个因式是，则另一个因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将整式因式分解，即可得到结果．
【解析】解：∵
=
∴另一个因式是，
【点睛】此题主要考查了因式分解，熟练应用提公因式法解题关键．
10．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：分别对应下列六个字：乌、爱、我、义、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．义乌游 C．爱我义乌 D．美我义乌
【答案】B
【分析】将所给的整式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息．
【解析】解：∵（x2-y2）a2-（x2-y2）b2=（x2-y2）（a2-b2）=（x-y）（x-y）（a-b）（a-b），
又∵a-b，x-y，x-y，a-b分别对应下列四个个字：乌、爱、我、义，
∴结果呈现的密码信息是：爱我义乌．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用．解题的关键是将整式因式分解，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止．
二、填空题
11．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解；将一个整式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【解析】解：直接提取公因式即可：，
故答案为：．
12．＝
【答案】
【分析】先提公因式，然后根据完全平方公式分解因式即可．
【解析】解：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．
13．分解因式： ．
【答案】/（x-y-2）（x-y-2）
【分析】先分组成，再利用完全平方公式化为，最后利用平方差公式解答．
【解析】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，涉及分组分解法、完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题的关键．
14．因式分解： ．
【答案】
【分析】先把原式化为 再利用平方差公式分解因式，再把其中一个因式按照平方差公式继续分解，从而可得答案.
【解析】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，注意分解因式一定要分解到每个因式都不能再分解为止.
15．如果x-3是整式2x2-11x-m的一个因式，则m的值 ．
【答案】15
【分析】如果x－3是整式2x2－11x＋m的一个因式，即方程2x2－11x＋m＝0的一个解是3，代入方程求出m的值．
【解析】把x＝3代入方程2x2－11x＋m＝0中得18－33＋m＝0，解得：m＝15．
故答案为15．
【点睛】本题主要考查的是因式分解一的意义以及一元二次方程的解，因式分解法解方程，分解成两个因式相乘值为0的形式，每一个因式为0，即可求出其中一个解．本题用的是逆向思维求m的值熟练掌握方法是本题的解题关键．
16．若，则 ．
【答案】2022
【分析】根据，得，然后局部运用因式分解的方法达到降次的目的，整体代入求解即可．
【解析】∵
∴
∴
故填“2022”．
【点睛】本题主要考查了因式分解，善于运用因式分解的方法达到降次的目的，渗透整体代入的思想是解决本题的关键．
17．设为正整数，且，则等于 ．
【答案】
【分析】将，转化为关于同一底数幂的形式，再代入中试解即可．
【解析】解：因为，所以只能是，只能是．（为整数）
同理，（为整数）．
由，得
，
，
故，，
所以，．
因此，，．，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了整数问题的综合运用，将题目条件进行转化，再进行试解是解题的关键，体现了转化思想在解题中的应用．
18．要使整式x2﹣ax﹣20在整数范围内可因式分解，给出整数a＝ ．
【答案】±1或±19或±8
【分析】把﹣20分成20和﹣1，﹣2和10，5和﹣4，﹣5和4，2和﹣10，﹣20和1，进而得出即原式分解为（x-20）（x﹣1），（x﹣2）（x-10），（x-5）（x﹣4），（x﹣5）（x-4），（x-2）（x﹣10），（x﹣20）（x-1），即可得到答案．
【解析】解：当x2﹣ax﹣20＝（x-20）（x﹣1）时，a＝20-（﹣1）＝19，
当x2﹣ax﹣20＝（x﹣2）（x-10）时，a＝﹣2-10＝8，
当x2﹣ax﹣20＝（x-5）（x﹣4）时，a＝5-（﹣4）＝1，
当x2﹣ax﹣20＝（x﹣5）（x-4）时，a＝﹣5-4＝﹣1，
当x2﹣ax﹣20＝（x-2）（x﹣10）时，a＝2-（﹣10）＝﹣8，
当x2﹣ax﹣20＝（x﹣20）（x-1）时，a＝﹣20-1＝﹣19，
综上所述：整数a的值为±1或±19或±8．
故答案为：±1或±19或±8．
【点睛】本题主要考查对因式分解 十字相乘法的理解和掌握，理解x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）是解此题的关键．
三、解答题
19．把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式即可；
（2）直接提取公因式3a，进而利用完全平方公式分解因式即可；
（3）直接提取公因式2，进而利用平方差公式、完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
【解析】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
．
20．因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式；
（2）先用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式；
（3）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式；
（4）先将原式分组，再利用平方差公式分解因式．
本题主要考查了分解因式．分解因式时，首先观察是否有公因式，如果有公因式，则先提公因式，然后再利用公式法分解因式．熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
21．因式分解
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对整式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
（1）此整式有公因式，应先提取公因式，再对余下的整式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解；
（2）根据平方差公式计算即可求解；
（3）根据十字相乘法分解因式即可求解；
（4）分组法和提取公因式法分解因式即可求解．
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
22．两位同学将一个二次三项式：(其中，，为常数，且)分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原整式分解因式.
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握运算法则．由于含字母的二次三项式的一般形式为(其中、、均为常数，且)，所以可设原整式为； 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将运用整式的乘法法则展开，进而求出与的值； 同理将运用整式的乘法法则展开，还可求出的值，从而确定原整式，再将原整式分解因式即可．
【解析】解：∵
∴ ，
∵
∴
∴
．
23．阅读下列解答过程：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为
则，，
∴，∴
∴另一个因式为，m的值为-21．
请依照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值．
【答案】另一个因式为x＋7，k的值为﹣14．
【分析】利用已知结合因式分解是把一个整式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，利用整式相等，对应项或对应项的系数相等进而得出方程组，可得答案．
【解析】解：设另一个因式为（x-m），由题意，得：
x2-5x-k＝（x﹣2）（x-m），
则x2-5x-k＝x2-（m﹣2）x﹣2m，
∴，
解得，
∴另一个因式为x＋7，k的值为﹣14．
【点睛】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，正确假设出另一个因式是解题的关键．
24．【提出问题】某数学活动小组对整式乘法进行如下探究：
①；
②；
③．
通过以上计算发现，形如的两个整式相乘，其结果一定为．（p，q为整数）
因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的整式因式分解成（p、q为整数）．
例如：．
【初步应用】
（1）用上面的方法分解因式：_________；
【类比应用】
（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________；
【拓展应用】
（3）分解因式：．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式．
（1）按照已知条件中方法进行分解因式即可；
（2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可；
（3）按照已知条件中的方法，先把分解成，然后把整式进行第一次分解因式，再把分解成，分解成，进行第二次分解因式即可．
【解析】解：（1）
，
，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
，
，
，
∴或 或或 ，
整数的值可能是或，
故答案为：或；
（3），
，
，
，
．
(1)若选取相应型号和数量的卡片拼出（或镶嵌）了一个符合某乘法公式的图形（如图2），则这个乘法公式是 ；
(2)请你选取相应型号和数量的卡片，拼出（或镶嵌）一个符合等式的长方形；
(3)现有 A 型卡片1张，B型卡片4张，C型卡片5张，从这10张卡片中拿掉一个卡片，余下的卡片全用上，能拼出（或镶嵌）一个长方形（或正方形）的有多少种拼法？ 请你通过计算说明理由．
【答案】(1)
(2)需要1张A型卡片，3张B型卡片，2张C型卡片
(3)共有两种拼法：①用4张B型卡片，5张C型卡片拼成长为，宽为b的长方形；②用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡拼成边长为的正方形
【分析】（1）由图2可得正方形的边长为，从而可得乘法公式为；
（2）因为，所以需要1张A型卡片，3张B型卡片，2张C型卡片，拼成长为，宽为的长方形，作图即可解答；
（3）分类三种情况讨论：拿走1张A型卡片，或1张B型卡片，或1张C型卡片，求出剩下的卡片的面积之和，然后在实数范围内因式分解，即可得到拼成的长方形．
【解析】（1）解：图（2）是边长为的正方形，面积为，
由其拼接图形可知：用了1张A型卡片，2张B型卡片，1张C型卡片，面积也可表示为，
∴可得乘法公式为：．
故答案为：
（2）解：∵，
∴需要1张A型卡片，3张B型卡片，2张C型卡片，拼成长为，宽为的长方形，如图所示．
（3）解：拿掉一个卡片，有三种情况：
①若拿掉1张A型卡片，则剩下卡片的面积之和为，
∵，
∴用4张B型卡片，5张C型卡片拼成长为，宽为b的长方形；
②若拿掉1张B型卡片，则剩下卡片的面积之和为，
∵在实数范围内无法因数分解，
∴用1张A型卡片，3张B型卡片，5张C型卡片无法拼出长方形；
③若拿掉1张C型卡片，则剩下卡片的面积之和为，
∵，
∴用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡拼成边长为的正方形．
综上所述，共有两种拼法：
①用4张B型卡片，5张C型卡片拼成长为，宽为b的长方形；
②用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡拼成边长为的正方形．
27．【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．
【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式．
【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的整式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”．
（2）请利用“配方法”分解因式：
①；
②．
【答案】（1）；（2）①，②
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可；
（2）①把式子加上9，再减去9，再仿照题意分解因式即可；
②把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可．
【解析】解：（1）
．
（2）①原式
．
②原式
．
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