沪教版2024-2025学年七年级数学上册同步提升讲义第19讲因式分解单元综合检测(难点)(学生版+解析)

第19讲 因式分解 单元综合检测（难点）
一、单选题
1．已知，则（　　）
A． B． C．7 D．11
2．对于任何整数，整式的值都能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被5整除
3．已知三个实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．因式分解x2-mx﹣12＝（x-p）（x-q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　）
A．1 B．4 C．11 D．12
5．小方将4张长为，宽为的长方形纸片先按图1所示方式拼成一个边长为的正方形，然后按图2所示连接了四条线段，并画出部分阴影图形，若大正方形的面积是图中阴影部分图形面积的3倍，则满足（ ）
A． B． C． D．
6．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．6858 B．6860 C．9260 D．9262
二、填空题
7．因式分解： ； ；
；
8．因式分解：
9．因式分解： ；
10．因式分解： ．
11．已知关于x的整式x2-kx﹣3能分解成两个一次整式的积，那么整数k的值为 ．
12．已知，则的值为
21．因式分解：．
22．分解因式：（n为大于2的正整数）
23．已知，求的值．
24．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8．
原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．
例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；
a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；
∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________；
(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．
(3)若M＝a2－3a-1，则M的最小值为________；
(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________；
25．如图，有型、型、型三种不同的纸板，其中型：边长为厘米的正方形；型：长为厘米，宽为1厘米的长方形；型：边长为1厘米的正方形．

(1)型2块，型4块，型4块．此时纸板的总面积为________；
①从这10块纸板中拿掉1块型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．这个大正方形的边长为________；
②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的面积是多少平方厘米？（计算说明）
(2)型12块、型12块、型4块，从这28块纸板中拿掉1块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出三个相同形状的大正方形，请直接写出大正方形的边长．
26．在因式分解的学习过程中，我们知道可以利用提公因式法或公式法将部分整式分解因式．下面以为例，介绍一种新的因式分解法——试根法．
①观察发现，时，，说明是方程的一个解（或“根”）．由此推断分解后有一个因式是．
②根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，另一个因式只能是一次式且一次项系数为7，所以设另一个因式是．
③于是．
根据对应项系数相等，得，则．
④所以．
以上因式分解的方法叫“试根法”．
利用“试根法”，解决下面的问题：
(1)因式分解：．
解：①把代入该式，得．所以该整式分解后有一个因式是．
②因为原整式最高次项系数为2，所以设另一个因式是．
请继续完成下列步骤：
③填空：______，______；
④观察的各项系数特点，利用“试根法”对进行因式分解；
⑤整式因式分解的结果为______．
(2)利用“试根法”因式分解：．
27．关于、、的整式，，，，在将字母、、轮换（即将换成，换成，换成）时，保持不变．这样的整式称为、、的轮换式．我们可以利用轮换式的特征帮助我们进行巧妙地因式分解，我们也叫轮换式法．
例题：分解因式
解：令时，原式
所以是原式的因式，由于原式是、、的轮换式，所以、也是原式的因式，从而可以设
，
（保证两边次数相同，其中是系数）
令，得，即
所以
阅读上述材料分解因式完成下列两题：
(1)对整式
令________，原式；令________，原式
所以设
令得________
(2)用轮换式法因式分解：
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因式分解 单元综合检测（难点）
一、单选题
1．已知，则（　　）
A． B． C．7 D．11
【答案】A
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用．根据题意可得，再由完全平方公式，可得，即可求解．
【解析】解：∵，
∴，
∴
∵，
∴．
故选B．
2．对于任何整数，整式的值都能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被5整除
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解的应用，先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可．
【解析】解：
，
为任意整数，
的值总能被3整除，
3．已知三个实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了等式的性质，因式分解的应用．熟练掌握完全平方公式，根据相等关系，代入消元，运用完全平方公式分解因式，判断各选项即可．
【解析】A．若，则，即，则：
，故A正确；
B．若，则，
把代入得：
，
∴，
把，代入得：
，
分解因式得：，
∴或
∴或，故B错误；
C．若，则，
∴，
∴，故C错误；
D．若，则
把代入得：，
∴，故D错误．
4．因式分解x2-mx﹣12＝（x-p）（x-q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　）
A．1 B．4 C．11 D．12
【答案】B
【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按整式乘以整式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可．
【解析】∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p-q）x-pq= x2＋mx－12
∴p-q=m，pq=-12．
∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1．
∴m的最大值为11．
故选C．
【点睛】此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用．
5．小方将4张长为，宽为的长方形纸片先按图1所示方式拼成一个边长为的正方形，然后按图2所示连接了四条线段，并画出部分阴影图形，若大正方形的面积是图中阴影部分图形面积的3倍，则满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设大正方形的面积为S，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，先用含有a、b的代数式分别表示出S、S1和S2，再根据S1=3S2得到关于a、b的等式，整理即可．
【解析】解：设大正方形的面积为S，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，
由题意，得S1=b（a-b）×2-ab×2-（a-b）2=a2-2b2，
S2=（a-b）2-S1=（a-b）2-（a2-2b2）=2ab-b2，
S=（a-b）2，
∵S=3S2，
∴（a-b）2=3（2ab-b2），
整理，得（a-2b）2=0，
∴a-2b=0，
∴a=2b．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式及因式分解的方法是解题的关键．
6．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．6858 B．6860 C．9260 D．9262
【答案】A
【分析】根据“和谐数”的概念找出公式：(2k-1)3﹣(2k﹣1)3＝2(12k2-1)（其中k为非负整数），然后再分析计算即可．
【解析】解：(2k-1)3﹣(2k﹣1)3＝[(2k-1)﹣(2k﹣1)][(2k-1)2-(2k-1)(2k﹣1)-(2k﹣1)2]＝2(12 k2-1)（其中 k为非负整数），由2(12k2-1)≤2019得，k≤9，
∴k＝0，1，2，…，8，9，即得所有不超过2019的“和谐数”，
它们的和为[13﹣(﹣1)3]-(33﹣13)-(53﹣33)-…-(173﹣153)-(193﹣173)＝193-1＝6860．
【点睛】本题考查了新定义，以及立方差公式，有一定难度，重点是理解题意，找出其中规律是解题的关键所在．
二、填空题
7．因式分解： ； ；
；
【答案】 / ； ； ．
【分析】利用完全平方公式、十字相乘法、提取公因式法以及分组分解法求解即可．
【解析】解：；
；
；
；
故答案为：；；；．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个整式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
8．因式分解：
【答案】
【分析】本题考查了提取公因式法和公式法分解因式，首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可，正确运用乘法公式分解因式是解题的关键．
【解析】解：
．
9．因式分解： ；
【答案】
【分析】先运用十字相乘法进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解即可．
【解析】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握十字相乘法和公式法进行因式分解是解答本题的关键．
10．因式分解： ．
【答案】
【分析】将原式进行拆解变形为后，先将前面几项利用十字相乘法因式分解，后面分组进行提公因式，然后进一步分解因式即可.
【解析】
=
=-
=
=.
所以答案为.
【点睛】本题主要考查了十字相乘法与提公因式法进行因式分解，熟练掌握相关方法并且合适地进行分组分解是解题关键.
11．已知关于x的整式x2-kx﹣3能分解成两个一次整式的积，那么整数k的值为 ．
【答案】
【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k就等于那两个整数之和．
【解析】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，
∴k＝﹣3-1＝﹣2或k＝﹣1-3＝2，
∴整数k的值为：±2，
故答案为：±2．
【点睛】本题考查因式分解—十字相乘法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
12．已知，则的值为
【答案】
【分析】先根据完全平方公式的变形求出，再把所求式子提取公因式得到，据此代值计算即可．
【解析】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，正确得到是解题的关键．
13．已知，那么整式的值为 .
【答案】//
【分析】先根据式子的特点展开，然后求出的值，再代入即可求解．
【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了乘法公式与因式分解的运算和求值的应用，熟练掌握整式的因式分解和整体代入的思想是解题的关键．
14．已知：，因式分解，结果为 ．
【答案】
【分析】将提出一个，再将提出一个，继续提出一个，以此类推，直到原式变为，再化简即可．
【解析】解：
…
故答案为：
【点睛】本题考查了提公因式法，一般地，如果整式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将整式写成整式与另一个因式的乘积的形式，在这种分解因式的方法叫做提公因式法．
15．甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．，记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为．
（1）若，则的值是 ；
（2）若，，则的值是 ．
【答案】 20
【分析】（1）根据已知条件得到乙正方形的边长为，于是得到结论；
（2）根据阴影部分的面积可得，，两式相除得到a、b的关系，再代入求解即可．
【解析】解：（1）∵，
∴乙正方形的边长为，
∴，
故答案为：20；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理，得，
即，
∴或，
∴或（舍去）
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查了整式与几何图形的面积以及因式分解，正确理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键．
16．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…一次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
【解析】解：，均为正整数，
，，，，…，
，，，，…，
，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，…，
当时，，得到的“智慧优数”分别为：，…，
把这些“智慧优数”从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…，
第9个智慧优数是，
故答案为：．
17．若a, b, c 满足，则
【答案】
【分析】关键整式的乘法法则运算，并整体代入变形即可.
【解析】因为
所以 ，即
因为
所以
因为
所以
因为
所以
即
因为
即
故答案为：
【点睛】本题考查的是整式的乘法，熟练掌握乘法法则并会对算式进行变形是关键.
18．已知关于x的整式，下列四个结论：
①当时，，则；
②若，则整式有一个因式是；
③若，则整式的最小值是0；
④若，则．
其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①②④
【分析】①将代入，即可判断；②当时，，即可判断；③，根据平方的非负性，即可判断；④当时，；时，，则，即可判断．
【解析】①将代入，得，所以①正确；
②若，则当时，，则整式有一个因式是；所以②正确
③，
时，
时，
∴若，则整式的最值是0，
所以③错误；
④
∴当时，
当时，
∴
∴
所以④正确
故答案为：①②④
【点睛】本题考查整式求值、平方的非负性，因式分解的应用，解题的关键是明确．
三、解答题
19．分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先去括号，再利用完全平方公式进行分解即可；
（2）直接利用完全平方公式进行分解即可；
（3）先利用平方差公式进行分解，再利用完全平方公式进行二次分解即可；
（4）先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【解析】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题考查公式法分解因式，积的乘方．掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解题的关键．
20．因式分解：；
【答案】
【分析】本题租用考查了分解因式，先分组得到，进而提取公因式得到，再利用平方差公式分解因式即可．
【解析】解：
．
21．因式分解：．
【答案】
【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式，先把后三项作为一组，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟练的分组是解本题的关键．
【解析】解：
．
22．分解因式：（n为大于2的正整数）
【答案】
【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，本题先提取公因式，再利用完全平方公式与平方差公式进行分解即可，熟记把整式的每个因式都分解到不能再分解为止是解本题的关键．
【解析】解：
．
23．已知，求的值．
【答案】
【解析】解：，，
，
．
24．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8．
原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）．
例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值；
a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1；
∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________；
(2)用配方法因式分解：a2－12a＋35．
(3)若M＝a2－3a-1，则M的最小值为________；
(4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________；
【答案】(1)25；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可；
（2）原式常数项35分为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可；
（3）配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；
（4）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出，，的值，代入原式计算即可．
【解析】（1）解：；
故答案为：25；
（2）解：
；
（3）解：
，
当，即时，取最小值，最小值为；
故答案为：；
（4）解：，
，
即，
，，，
，，，
解得：，，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式．
25．如图，有型、型、型三种不同的纸板，其中型：边长为厘米的正方形；型：长为厘米，宽为1厘米的长方形；型：边长为1厘米的正方形．

(1)型2块，型4块，型4块．此时纸板的总面积为________；
①从这10块纸板中拿掉1块型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．这个大正方形的边长为________；
②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的面积是多少平方厘米？（计算说明）
(2)型12块、型12块、型4块，从这28块纸板中拿掉1块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出三个相同形状的大正方形，请直接写出大正方形的边长．
【答案】(1) ①②
(2)
【分析】（1）由于1块型的面积为，1块型的面积为，1块型的面积为，所以型2
以上因式分解的方法叫“试根法”．
利用“试根法”，解决下面的问题：
(1)因式分解：．
解：①把代入该式，得．所以该整式分解后有一个因式是．
②因为原整式最高次项系数为2，所以设另一个因式是．
请继续完成下列步骤：
③填空：______，______；
④观察的各项系数特点，利用“试根法”对进行因式分解；
⑤整式因式分解的结果为______．
(2)利用“试根法”因式分解：．
【答案】(1)（1）③，；④；⑤
(2)
【分析】本题主要考查因式分解的拓展，解题的关键在于准确理解题意找到试根法的运算技巧.
（1）③把两个因式相乘，利用根据对应项系数相等建立方程求解即可；④通过试根确定两个因式为和，再把两个因式相乘，利用根据对应项系数相等建立方程求解即可；⑤直接利用前面的结论把三个因式写成积的形式即可；
（2）先用试根法分解为，再用试根法把分解为，最后综合在一起即可．
【解析】（1）解：③由题意，得，
根据对应项系数相等，得，
解得：，
故答案为：；
④当时，，所以该整式分解后有一个因式是，设另一个因式是．
于是，
根据对应项系数相等，得，
解得：，
∴；
⑤，
故答案为：；
（2）解：当时，，所以该整式分解后有一个因式是，设另一个因式是．
于是，
根据对应项系数相等，得，
解得：，
又当时，，所以该整式分解后有一个因式是，设另一个因式是．
于是，
根据对应项系数相等，得，
解得：，
∴．
27．关于、、的整式，，，，在将字母、、轮换（即将换成，换成，换成）时，保持不变．这样的整式称为、、的轮换式．我们可以利用轮换式的特征帮助我们进行巧妙地因式分解，我们也叫轮换式法．
例题：分解因式
解：令时，原式
所以是原式的因式，由于原式是、、的轮换式，所以、也是原式的因式，从而可以设
，
（保证两边次数相同，其中是系数）
令，得，即
所以
阅读上述材料分解因式完成下列两题：
(1)对整式
令________，原式；令________，原式
所以设
令得________
(2)用轮换式法因式分解：
【答案】(1)1，1，1
(2)
【分析】本题考查了因式分解，正确掌握轮换式法分解因式是解题关键．
（1）观察整式可得当时，整式的值等于0；再将代入即可求出的值；
（2）先分别求出当，，时，整式的值等于0，从而可设，再将代入求出的值即可得．
【解析】（1）解：对整式，
令，原式；令，原式，
所以设，
令得，，即，
故答案为：1，1，1．
（2）解：对整式，
令时，原式，
令时，原式，
令时，原式，
所以设（保证两边次数相同，其中是系数），
令时，，
解得，
所以，
即．
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