沪教版2024-2025学年七年级数学上册同步提升讲义第08讲整式的乘法(十二大题型)(学生版+解析)
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| 名称 | 沪教版2024-2025学年七年级数学上册同步提升讲义第08讲整式的乘法(十二大题型)(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-07 11:35:01 | ||
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第08讲 整式的乘法（十二大题型）
学习目标
1、会进行单项式的乘法,单项式与整式的乘法,整式的乘法计算 2、会利用整式的乘法求字母或代数式的值； 3、整式乘法的应用
一、单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
【方法规律】
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
二、单项式与整式相乘的运算法则
单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.
即.
【方法规律】
（1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
三、整式与整式相乘的运算法则
整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即.
【方法规律】整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积.
整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
【即学即练1】计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【即学即练2】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【即学即练3】先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中．
题型1：单项式乘以单项式
【典例1】．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【典例2】．计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
题型2：利用单项式的乘法求字母或代数式的值
【典例3】．先化简，再求值：，其中，．
【典例4】．若＝－10，则m－n等于（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【典例5】．若（am＋1bn＋2） （a2n-1b2m）＝a5b3，则m＋n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．﹣3
题型3：计算单项式乘以整式
【典例6】．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）计算：；
（4）计算：．
【典例7】．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【典例8】．计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
题型4：计算单项式乘以整式的求值问题
【典例9】．化简求值：，其中，．
【典例10】．先化简，再求值：，其中．
【典例11】．若，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【典例12】．已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（ ）
A．17 B． C． D．-17
题型5：利用单项式乘以整式求字母的值
【典例13】．若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．
【典例14】．如果的结果中不含x的五次项，那么m的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．
【典例15】．计算：□，□内应填写（ ）
A．－10xy B． C．＋40 D．＋40xy
题型6：单项式乘以整式的综合应用
【典例16】．某同学在计算﹣3x2乘一个整式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x-1，由此可以推断该整式是（ ）
A．4x2﹣x-1 B．x2﹣x-1 C．﹣2x2﹣x-1 D．无法确定
【典例17】．一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于（ ）
A． B． C． D．
【典例18】．如图，两正方形并排在一起，左边大正方形边长为右边小正方形边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（ ）．
A． B．
C． D．
【典例19】．8张如图1的长为，宽为（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，如果左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，则满足（ ）
A． B． C． D．
题型7：计算整式乘以整式及求值问题
【典例20】．计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【典例21】．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【典例22】．化简求值：，其中．
【典例23】．已知代数式化简后，不含有项和常数项．
(1)求，的值．
(2)求的值．
题型8：（x-p）（x-q）型整式乘法
【典例24】．若，则为（ ）
A．8 B．2 C． D．
【典例25】．，则，的值为（ ）.
A．， B．， C．， D．，
【典例26】．【阅读材料】代数式大小的比较
我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以．
【解决问题】若，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．由的取值而定
题型9：整式乘法不含某项求字母的值
【典例27】．若关于的整式展开合并后不含项,则的值是（ ）
A． B． C． D．
【典例28】．（1）若的展开式中不含和项，求m、n的值．
（2）求的值．
题型10：图形问题
【典例29】．如图所示，根据图形，写出一个正确的等式： ．
【典例30】．如图：已知长方形纸片长为，宽为，裁去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分面积为 ．
【典例31】．用如图所示的，，类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则，，类卡片一共需要 张．
题型11：整式的乘法综合
【典例32】．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【典例33】．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【典例34】．如图，在一块长方形土地上修建两个如图所示的四分之一圆水池，其余面积（阴影部分）进行绿化处理，两个四分之一圆的半径分别为、．
(1)用含，的代数式表示长方形的长；
(2)用含，的代数式表示绿化土地（阴影部分）的面积；
(3)当，时，求绿化土地（阴影部分）的面积．
【典例35】．在日历牌上，我们可以发现一些日期数满足一定的规律．如图是今年4月的日历牌，若任意选择图中上下相邻的四个日期（阴影部分），将其中四个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，不难发现，结果都是7
（1）请再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律．
（2）设符合条件的四个日期左上角位置上的数为a，请利用整式的运算对以上的规律加以证明．
题型12：材料、规律题
【典例36】．观察以下等式：
(1)按以上等式的规律，填空：
①______．
②______．
(2)利用整式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立．
(3)利用（1）中的公式化简；
【典例37】．阅读∶
在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
[观察]①；
②；
③；
……
(1)[归纳]由此可得∶
(2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题：
计算∶
(3)计算∶
【典例38】．在学习整式乘以整式时，我们知道的结果是一个整式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为－3x．
请参考上面的方法，解决下列问题：
(1)计算所得整式的一次项系数为______；
(2)如果计算所得整式不含一次项，则常数a的值是______；
(3)如果，则的值是______．
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各式中，计算结果是的是（ ）
A． B． C． D．
4．李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为b，则该长方形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则的值为（ ）
A． B． C．-8 D．9
6．已知 ，则代数式的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
7．通过计算，比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的算式是（ ）
A． B．
C． D．
8．若，，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．M与N的大小由y的取值而定
9．已知整式，，且，当整式A中不含x的2次项时，a的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
10．设实数满足，若，则的值为（ ）
A． B．14 C． D．6
二、填空题
11．计算： ．
12．（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ．
13．已知，则代数式的值为 ．
14．如图中的大长方形，分割成四个小长方形，计算其面积可发现公式： ．
15．在数学课上，小明计算时，已正确得出结果，但课后不小心将第二个括号中的常数染黑了，若结果中不含有一次项，则被染黑的常数为 ．
16．已知的展开式中不含三次项和四次项，则展开式中二次项和一次项的系数之和为 ．
17．如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片 张．
24．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
由上面计算的结果找规律，观察右图，填空：
．
25．长方形的长为厘米，宽为厘米，其中，如果将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形面积记为，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为．
（1）若、为正整数，请说明：与的差一定是5的倍数；
（2）如果，求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积．
26．阅读理解：
（1）计算后填空：______；______；
（2）归纳、猜想后填空：
；
（3）运用2的猜想结论，直接写出计算结果：
______.
27．方法探究：同学们在学习数学过程中，遇到难题可以考虑从简单到特殊的情况入手，例如：求的值．分别计算下列各式的值：
(1)填空：
；
；
；
由此可得 ；
(2)计算： ；
(3)根据以上结论，计算：
28．如图1，把边长为的正方形放在长方形中，其中正方形的两条边分别在，上，已知，．
(1)请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积： ；
(2)将另一长方形BEFG放入图1中得到图2，已知，；
①请用含a、b的代数式表示长方形的面积： ；请用含a、b的代数式表示长方形面积： ；
②若长方形的周长为6，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）．
29．阅读以下材料，回答下列问题：
小明遇到这样一个问题：求计算所得整式的一次项系数．小明想通过计算所得的整式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．
他决定从简单情况开始，先找所得整式中的一次项系数．通过观察发现：
也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数．
延续．上面的方法，求计算所得整式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
(1)计算所得整式的一次项系数为______．
(2)计算所得整式的一次项系数为______．
(3)若计算所得整式的一次项系数为0，则______．
(4)计算所得整式的一次项系数为______，二次项系数为______．
(5)计算所得整式的一次项系数为______，二次项系数为______．
30．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了如图2所示的大正方形．
(1)①观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系式______．
②图3是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到______．
(2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______；
(3)利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值．
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第08讲 整式的乘法（十二大题型）
学习目标
1、会进行单项式的乘法,单项式与整式的乘法,整式的乘法计算 2、会利用整式的乘法求字母或代数式的值； 3、整式乘法的应用
一、单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
【方法规律】
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
二、单项式与整式相乘的运算法则
单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.
即.
【方法规律】
（1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
三、整式与整式相乘的运算法则
整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即.
【方法规律】整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积.
整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
【即学即练1】计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，
（1）利用单项式乘单项式法则计算即可；
（2）利用单项式乘多项式法则计算即可；
（3）根据多项式乘多项式计算即可；
（4）根据多项式乘多项式计算即可；
【解析】（1）；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【即学即练2】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了整式的混合运算，单项式乘多项式，熟练掌握相关的运算法则是解题关键．
（1）根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可；
（2）根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可；
（3）根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可；
（4）根据单项式乘多项式的运算法则进行运算，再合并同类项即可．
【解析】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【即学即练3】先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中．
【答案】(1)，8
(2)，10
【分析】本题考查了整式的化简求值．细心运算是解题关键．
（1）直接利用单项式乘多项式乘法法则去括号，进而合并同类项，再将变形为即可求出答案；
（2）直接利用单项式乘多项式乘法法则去括号，进而合并同类项，再将已知数据代入求出答案．
【解析】（1）解：
，
∵，
∴，
即原式；
（2）
，
把代入得：原式．
题型1：单项式乘以单项式
【典例1】．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用单项式乘以单项式的计算法则直接计算即可；
（2）先根据幂的乘方与积的乘方的运算法则计算，再利用单项式乘以单项式的计算法则计算即可；
（3）先计算幂的乘方与单项式乘单项式，再合并同类项即可．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式、幂的乘方、积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【典例2】．计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）直接根据单项式乘以单项式法则计算即可；
（2）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可；
（3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可；
（4）利用整体法及单项式的乘法计算即可．
【解析】（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
【点睛】题目主要考查单项式的乘法及积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
题型2：利用单项式的乘法求字母或代数式的值
【典例3】．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，-16．
【分析】先化简，再把a=2，b=1代入求解即可．
【解析】解：原式．
当，时，原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是正确的化简．
【典例4】．若＝－10，则m－n等于（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】A
【分析】首先根据单项式乘单项式的运算法则计算求出m，n的值，然后代入计算即可．
【解析】
∴
∴
解得
∴m－n=1-2=-1，
【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握单项式乘单项式的运算法则是关键．
【典例5】．若（am＋1bn＋2） （a2n-1b2m）＝a5b3，则m＋n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．﹣3
【答案】A
【分析】先利用单项式乘单项式法则，可得（am-1bn-2） （a2n-1b2m）=am-2n bn-2m-2，从而得到关于m，n的方程组，即可求解．
【解析】解：（am-1bn-2） （a2n-1b2m）=am-1-2n-1 bn-2-2m=am-2n bn-2m-2，
∵（am＋1bn＋2） （a2n-1b2m）＝a5b3，
∴，
两式相加，得3m-3n=6，
解得m-n=2．
故选：B
【点睛】本题主要考查了利用单项式乘法求字母或代数式的值，熟练掌握单项式乘单项式法则是解题的关键．
题型3：计算单项式乘以整式
【典例6】．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）计算：；
（4）计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据单项式乘以整式的运算法则计算即可；
（2）先计算单项式乘以单项式及整式，然后合并同类项计算即可；
（3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以整式即可；
（4）先计算单项式乘以整式去括号，然后合并同类项即可．
【解析】解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式
．
（4）
．
【点睛】题目主要考查单项式乘以单项式及整式，合并同类项等的运算法则，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
【典例7】．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用单项式乘整式法则计算；
（2）先算积的乘方，再利用单项式乘整式法则计算；
（3）先算单项式乘整式，积的乘方，再去括号，合并同类项即可．
【解析】（1）解：
；
（2）
（3）
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及了单项式乘整式，合并同类项，积的乘方，掌握相应的运算法则，细心计算是解题的关键．
【典例8】．计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）根据单项式乘以整式进行计算即可求解；
（2）根据单项式乘以整式进行计算即可求解；
（3）根据单项式乘以整式进行计算即可求解；
（4）根据单项式乘以整式进行计算，然后合并同类项即可求解；
（5）根据单项式乘以整式进行计算即可求解；
（6）根据单项式乘以整式进行计算即可求解．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
．
【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．
题型4：计算单项式乘以整式的求值问题
【典例9】．化简求值：，其中，．
【答案】，0
【分析】原式利用单项式乘整式法则计算，去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
【解析】解：原式
，
当，时，
原式
．
【点睛】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【典例10】．先化简，再求值：，其中．
【答案】，2．
【分析】先将原式根据单项式乘整式的法则进行化简，再将整体代入计算即可．
【解析】解：
，
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值；熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键．
【典例11】．若，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了单项式乘以整式，根据单项式乘以整式的计算法则求出的结果即可得到答案．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
【典例12】．已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（ ）
A．17 B． C． D．-17
【答案】A
【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解．
【解析】解：，
∴，
∵，当x为任意数时该等式都成立，
∴，
∴
故选：B
题型5：利用单项式乘以整式求字母的值
【典例13】．若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】D
【分析】利用单项式乘整式的法则进行求解，再结合不含项，则其项的系数为0，从而求解．
【解析】解：
，
结果中不含有项，
，
解得 ，
【点睛】本题主要考查了单项式乘整式，合并同类项，解题的关机是熟练掌握相应的运算法则．
【典例14】．如果的结果中不含x的五次项，那么m的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．
【答案】A
【分析】根据单项式乘以整式法则计算，即可求解．
【解析】解：
∵结果中不含x的五次项，
∴，
解得：．
故选：B
【点睛】本题主要考查了单项式乘以整式法则，理解结果中不含x的五次项，即该项的系数等于0是解题的关键．
【典例15】．计算：□，□内应填写（ ）
A．－10xy B． C．＋40 D．＋40xy
【答案】D
【分析】运用单项式乘以整式法则展开，再根据对应项相等，即可求解．
【解析】解：∵-10xy2-5x2y□=-5xy(2y-x-8)=-10xy2-5x2y-40xy，
∴□=-40xy，
【点睛】本题考查单项式乘以整式，熟练掌握单项式乘以整式法则是解题的关键．
题型6：单项式乘以整式的综合应用
【典例16】．某同学在计算﹣3x2乘一个整式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x-1，由此可以推断该整式是（ ）
A．4x2﹣x-1 B．x2﹣x-1 C．﹣2x2﹣x-1 D．无法确定
【答案】D
【分析】根据整式的减法法则求出整式，得到答案．
【解析】根据题意得：整式为x2﹣x-1﹣（﹣3x2），
x2﹣x-1﹣（﹣3x2）
=x2﹣x-1-3x2
=4x2﹣x-1．
【点睛】本题考查的是单项式乘整式、整式的加减，能根据题意列出算式是解此题的关键．
【典例17】．一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查单项式乘整式的应用，根据长方体的体积长宽高，进行计算即可．
【解析】解：，
即长方体的体积为，
【典例18】．如图，两正方形并排在一起，左边大正方形边长为右边小正方形边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去空白部分的面积，即可求解．
【解析】解：根据题意得：阴影部分的面积为
故选：B
【点睛】本题主要考查了整式加减及乘法的应用，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
【典例19】张如图1的长为，宽为（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，如果左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，则满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用代数式表示出左上角与右下角部分的面积，根据面积相等求出a与b的关系式．
【解析】解：如图，左上角阴影部分的长为AE=AD-a，宽为AF＝4b，右下角阴影部分的长为PC=BC-4b=AD-4b，宽为CG=a，
四边形AEHF的面积为：，
四边形QPCG的面积为：，
∵左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，
∴，
∴，即，
【点睛】此题考查了整式的混合运算的应用，用代数式表示出两个阴影部分的面积是解本题的关键．
题型7：计算整式乘以整式及求值问题
【典例20】．计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）直接利用整式乘以整式运算法则计算得出答案．
（2）直接利用整式乘以整式运算法则、单项式乘整式运算法则计算得出答案．
（3）直接利用整式乘以整式运算法则计算得出答案．
（4）直接利用整式乘以整式运算法则计算得出答案．
【解析】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【点睛】本题考查了整式的乘法，掌握其计算法则是解题的关键．
【典例21】．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用整式乘整式，进行计算求解即可．
【解析】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
【点睛】本题考查了整式乘整式．解题的关键在于正确的运算．
【典例22】．化简求值：，其中．
【答案】；
【分析】根据整式乘法运算法则即可求出答案．
【解析】解：原式
．
当时，原式．
【点睛】本题考查了整式乘法运算法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【典例23】．已知代数式化简后，不含有项和常数项．
(1)求，的值．
(2)求的值．
【答案】(1)0.5；
(2)
【分析】（1）先算乘法，合并同类项，即可得出关于、的方程，求出即可；
（2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解析】（1）解：
，
∵代数式化简后，不含有项和常数项．，
∴，，
∴，；
（2）∵，，
∴
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中．
题型8：（x-p）（x-q）型整式乘法
【典例24】．若，则为（ ）
A．8 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了整式乘以整式，根据整式的乘法进行计算，即可求解．
【解析】解：∵
∴，
【典例25】．，则，的值为（ ）.
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】根据整式乘以整式进行计算，即可求解．
【解析】解：∵
∴,
【点睛】本题考查了整式乘以整式，熟练掌握整式乘以整式的运算法则是解题的关键．
【典例26】．【阅读材料】代数式大小的比较
我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以．
【解决问题】若，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．由的取值而定
【答案】D
【分析】根据，进行判断即可．
【解析】解：由题意知，，
∴，
【点睛】本题考查了整式乘整式．解题的关键在于正确的运算．
题型9：整式乘法不含某项求字母的值
【典例27】．若关于的整式展开合并后不含项,则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查整式乘整式,解题的关键是令含的系数为零,本题属于基础题型．
根据整式乘整式的乘法即可求出答案．
【解析】解:,
,
,
由题意可知：,
∴,
故选:．
【典例28】．（1）若的展开式中不含和项，求m、n的值．
（2）求的值．
【答案】（1）（2）
【分析】本题主要考查整式乘整式，熟练掌握整式乘整式的运算法则是解题的关键．
（1）利用整式乘整式的运算法则进行运算，再结合条件求出答案．
（2）整式乘整式的运算法则进行运算即可．
【解析】解：（1）
，
展开式中不含和项，
，
解得：；
（2）
．
题型10：图形问题
【典例29】．如图所示，根据图形，写出一个正确的等式： ．
【答案】
【分析】分别利用两种方法计算图形面积即可得出结果．
【解析】解：根据图形得，长方形的长为，宽为m，面积为，
当图形分为两个长方形时，总面积为，
∴可得等式：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查利用图象计算单项式乘以整式，结合图形求解是解题关键．
【典例30】．如图：已知长方形纸片长为，宽为，裁去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分面积为 ．
【答案】
【分析】长方形纸片的面积减去长方形，即可作答．
【解析】根据题意，有：
长方形的面积：，
长方形的面积：，
则剩余部分的面积为：，
即有：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用整式乘以整式求解图形的面积的知识，掌握整式乘以整式是解答本题的关键．
【典例31】．用如图所示的，，类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则，，类卡片一共需要 张．
【答案】10
【分析】根据长方形的面积公式即可得出结果．
【解析】解：由题可知：，，类卡片的面积分别为，，，
长方形的长为，宽为，
长方形的面积：，
，，类卡片一共需要张，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了整式乘整式的运算，找出对应卡片面积的系数，分别对应，即可找出所需卡片数量．
题型11：整式的乘法综合
【典例32】．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式乘除法，解题的关键是掌握相关的运算法则．
（1）先算乘方，再算加减，即可求解；
（2）根据单项式的乘除法法则计算即可；
（3）根据整式乘整式的计算法则求解即可；
（4）根据整式乘整式的计算法则求解即可．
【解析】（1）解：
（2）
（3）
（4）
【典例33】．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）先计算积的乘方，然后计算单项式乘单项式即可；
（2）根据单项式乘整式的计算法则求解即可；
（3）根据整式乘整式计算法则求解，然后合并同类项即可；
（4）整式乘整式计算法则和单项式乘整式的计算法则求解，然后合并同类项即可.
【解析】解：（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握整式的混合运算计算法则.
【典例34】．如图，在一块长方形土地上修建两个如图所示的四分之一圆水池，其余面积（阴影部分）进行绿化处理，两个四分之一圆的半径分别为、．
(1)用含，的代数式表示长方形的长；
(2)用含，的代数式表示绿化土地（阴影部分）的面积；
(3)当，时，求绿化土地（阴影部分）的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意表示求解即可；
（2）用长方形的面积减去两个四分之一圆水池求解即可；
（3）将，代入（2）表示的代数式求解即可．
【解析】（1）解：∵两个四分之一圆的半径分别为、
∴长方形的长为；
（2）解：根据题意可得，
；
（3）解：∵，
∴
．
【点睛】本题考查了列代数式，整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的法则是解本题的关键．
【典例35】．在日历牌上，我们可以发现一些日期数满足一定的规律．如图是今年4月的日历牌，若任意选择图中上下相邻的四个日期（阴影部分），将其中四个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，不难发现，结果都是7
（1）请再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律．
（2）设符合条件的四个日期左上角位置上的数为a，请利用整式的运算对以上的规律加以证明．
【答案】（1）符合；（2）见解析
【分析】（1）利用规定的方法计算，比较结果得出规律即可；
（2）其它三个分别为a-1，a-7，a-8，利用交叉相乘计算证明即可．
【解析】解：（1）8×14-7×15=7；
5×11-4×12=7，
符合这个规律；
（2）证明：设符合条件的四个日期左上角位置上的数为a，则其它三个分别为，，，
∴
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，数字的变化规律，由特殊到一般，得出一般性结论解决问题．
题型12：材料、规律题
【典例36】．观察以下等式：
(1)按以上等式的规律，填空：
①______．
②______．
(2)利用整式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立．
(3)利用（1）中的公式化简；
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键．
（1）根据材料提示的方法即可求解；
（2）运用整式乘以整式，再根据整式的运算法则即可求解；
（3）根据材料提示，分别计算与的值，再运用整式加减运算即可求解．
【解析】（1）解：根据材料提示，
①．
②．
故答案为：；；
（2）解：
；
（3）解：
．
【典例37】．阅读∶
在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
[观察]①；
②；
③；
……
(1)[归纳]由此可得∶
(2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题：
计算∶
(3)计算∶
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了整式乘法的规律，根据题意找到规律是解题的关键.
（1）根据题意得到规律即可；
（2）由即可得到答案；
（3）设①，则②，①＋②后即可得到答案.
【解析】（1）解：由题意可得，
故答案为：
（2）由题意可得， ，
∴
故答案为：
（3）设①
则②
①＋②得，
∴
【典例38】．在学习整式乘以整式时，我们知道的结果是一个整式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为－3x．
请参考上面的方法，解决下列问题：
(1)计算所得整式的一次项系数为______；
(2)如果计算所得整式不含一次项，则常数a的值是______；
(3)如果，则的值是______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了整式乘整式的规律探究，熟练掌握整式乘整式的运算法则是解题的关键．
（1）根据题干提示列式计算即可；
（2）根据给定的方法可得出一次项系数，进一步求解即可；
（3）根据给定的方法找出的一次项系数即可．
【解析】（1）解：所得整式的一次项系数为：
；
（2）根据题意，一次项系数，
即，
解得；
（3）的一次项系数为：
，
，
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了单项式乘单项式．根据单项式乘单项式的运算法则计算即可求解．
【解析】解：，
2．计算的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了单项式乘以整式．熟练掌握单项式乘以整式的法则是解题的关键．
根据单项式乘以整式的法则求解作答即可．
【解析】解：，
3．下列各式中，计算结果是的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将各项逐一展开合并同类项比较即可得．
【解析】解：A、，故本选项符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
【点睛】本题考查了整式乘整式，准确的将其展开是解题的关键．
4．李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为b，则该长方形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查整式的乘法，根据单项式乘整式法则求解即可．
【解析】解：长方形的面积为=，
5．已知，则的值为（ ）
A． B． C．-8 D．9
【答案】A
【分析】本题主要考查了整式乘以整式运算，掌握整式乘以整式的运算法则是解题关键．
先根据整式相等则对应项的系数相等求出m与n的值，然后代入计算即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴．
6．已知 ，则代数式的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】A
【分析】本题主要考查整式的混合运算，利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【解析】解：
，
∵，
∴原式
．
7．通过计算，比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的算式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查整式乘整式，单项式乘整式，整式运算．要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解．
【解析】解：图1中，阴影部分长宽长方形面积，
阴影部分的面积，
图2中，阴影部分大长方形面积长宽长方形面积长宽长方形面积边长的正方形面积，
阴影部分的面积，
．
8．若，，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．M与N的大小由y的取值而定
【答案】B
【分析】本题考查的是整式的混合运算．利用求差法、整式乘整式的运算法则进行计算，根据计算结果判断即可．
【解析】解：
，
∴，
9．已知整式，，且，当整式A中不含x的2次项时，a的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】本题考查的是整式的乘法—整式乘整式，正确进行整式的乘法是解答此题的关键．根据题意列出整式相乘的式子，再计算整式乘整式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于0即可．
【解析】解：∵
∴
∵整式A中不含x的2次项时，
∴
∴
故选D．
10．设实数满足，若，则的值为（ ）
A． B．14 C． D．6
【答案】A
【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可．
【解析】解：根据题意，设，
，
，
，，，
，
二、填空题
11．计算： ．
【答案】
【分析】先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可．
【解析】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查积的乘方运算、单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．
12．（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ．
【答案】 ．
【分析】（1）根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可；
（2）根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可；
（3）先计算乘方，然后根据根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可；
（4）先计算乘方，然后根据根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可；
（5）先计算乘方，然后根据根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可；
（6）先计算乘方，然后根据根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可．
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
故答案为：；；；；；．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方和幂的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解．
13．已知，则代数式的值为 ．
【答案】-5
【分析】先用单项式乘以整式法则展开，利用已知代数式的值整体代入计算即可．
【解析】解：∵，
∴
故答案为：-5．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，掌握代数式的求值方法，解题的关键是会利用整体代入法求值．
14．如图中的大长方形，分割成四个小长方形，计算其面积可发现公式： ．
【答案】
【分析】根据长方形面积公式可进行求解．
【解析】解：由图可知：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查整式乘以整式，熟知长方形的面积公式是解题的关键．
15．在数学课上，小明计算时，已正确得出结果，但课后不小心将第二个括号中的常数染黑了，若结果中不含有一次项，则被染黑的常数为 ．
【答案】2
【分析】设被染黑的常数为a，利用乘法公式展开，根据一次项系数为0即可求出a的值．
【解析】解：设被染黑的常数为a，
则，
∵结果中不含有一次项，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查整式乘以整式，解题的关键是掌握整式乘以整式的运算法则，本题也可以通过平方差公式快速求解．
16．已知的展开式中不含三次项和四次项，则展开式中二次项和一次项的系数之和为 ．
【答案】
【分析】利用整式乘整式法则将原式展开，根据题意展开式中不含三次项和四次项，可得，，求解即可得的值，然后代入求值可确定展开式中二次项和一次项的系数，求和即可得答案．
【解析】解：
根据题意，展开式中不含三次项和四次项，
∴，，
解得 ，，
∴，，
即展开式中二次项系数为4，一次项的系数为，
∴展开式中二次项和一次项的系数之和为．
【点睛】本题主要考查了整式乘整式运算、整式相关概念、代数式求值等知识，熟练掌握整式乘整式运算法则，正确展开原式是解题关键．
17．如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片 张．
【答案】3
【分析】拼成的大长方形的面积是，即需要一个边长为的正方形，2个边长为的正方形和3个类卡片．
【解析】解：由题意得，一个A类卡片的面积为，一个B类卡片的面积为，一个C卡片的面积为，
∵．
∴需要一个边长为的正方形，2个边长为的正方形和3个类卡片．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了整式乘整式的运算，需要熟练掌握运算法则并灵活运用，利用各个面积之和等于总的面积也比较关键．
18．观察以下等式：
，，……根据你所发现规律，计算： ．
【答案】
【分析】根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，利用规律来解答．
【解析】解：根据，
，
，
…的规律，得出：
，
，
．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题．
三、解答题
19．（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可；
（2）根据同底数幂的乘法计算法则进行求解即可．
【解析】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了整式的乘法计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
20．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案．
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
21．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；
（2）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；
（3）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；
（4）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；
（5）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；
（6）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案.
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）
【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，掌握“多项式乘以多项式的法则：把一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”是解题的关键.
22．某中学扩建教学楼，测量地基时，量得地基长为宽为，试用表示地基的面积，并计算当时地基的面积．
【答案】，1300．
【分析】根据题意可直接利用长×宽进行求解面积，然后把代入求解即可．
【解析】解：根据题意得：
地基的面积是：，
当时，地基面积为：
．
【点睛】本题主要考查整式的乘除的应用，熟练掌握整式的乘法是解题的关键．
23．甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是．
(1)求的值；
(2)若整式中的a的符号不抄错，且，请计算这道题的正确结果．
【答案】(1)-14．
(2)
【分析】（1）根据题意，列出关于a和b的代数式的值，直接代入计算即可；
（2）先求出b的值，再代入计算．
【解析】（1）解：甲抄错了a的符号的计算结果为：，
因为对应的系数相等，故，
乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：．
因为对应的系数相等，故，，
∴
（2）解：乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果得出：
，
故，
∴b=-1，
把a=3，b=-1代入，
得(x-3)(2x-1)=2x2-5x-3，
故答案为：2x2-5x-3．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心．
24．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
由上面计算的结果找规律，观察右图，填空：
．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；括号内依次填．
【分析】利用多项式乘多项式直接去括号，再合并同类项即可．根据前4个式子的结果可以得出规律，即可得出答案．
【解析】解：（1）
（2）
（3）
（4）
由上面的规律可知．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
25．长方形的长为厘米，宽为厘米，其中，如果将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形面积记为，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为．
（1）若、为正整数，请说明：与的差一定是5的倍数；
（2）如果，求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积．
【答案】（1）见解析；（2）将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积为50平方厘米
【分析】（1）由题意，根据长方形的面积公式分别写出S1与S2，再求差，变形即可得答案；
（2）根据S1＝2S2，得到ab 7a 7b＝1，再写出将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积，整体代入即可求得答案．
【解析】（1）证明：由题意得：S1=（a-3）（b-3）=ab-3（a-b）-9
S2=（a-2）（b-2）=ab-2（a-b）-4
S1-S2=[ab-3（a-b）-9]-[ab-2（a-b）-4]
=ab-3（a-b）-9-ab-2（a-b）-4
=5（a-b）-5
=5（a-b-1）
∴S1与S2的差一定是5的倍数．
（2）∵S1=2S2
∴ab-3（a-b）-9=2[ab-2（a-b）-4]
∴ab-7a-7b-1=0
∴ab-7a-7b=1
∴将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积为：（a-7）（b-7）=ab-7a-7b-49=1-49=50．
∴将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积为50平方厘米．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式在长方形面积问题中的应用，正确地根据题意列出算式，是解题的关键．
26．阅读理解：
（1）计算后填空：______；______；
（2）归纳、猜想后填空：
；
（3）运用2的猜想结论，直接写出计算结果：
______.
【答案】（1） ，；（2），；（3）
【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则即可求解.
（2）根据已知的等式找到规律即可求解；
（3）根据（2）中规律直接写出即可.
【解析】（1）=
=
故填： ，；
（2）根据已知的等式找到规律为
故填：，；
（3）由规律可得；
故填：.
【点睛】此题主要考查多项式的乘法，解题的关键是熟知多项式乘多项式的运算法则.
27．方法探究：同学们在学习数学过程中，遇到难题可以考虑从简单到特殊的情况入手，例如：求的值．分别计算下列各式的值：
(1)填空：
；
；
；
由此可得 ；
(2)计算： ；
(3)根据以上结论，计算：
【答案】(1)，，，；
(2)；
(3)．
【分析】（）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可；
（）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（）根据得出的规律将原式变形，计算得到结果，即可做出判断．
【解析】（1），
，
，
由此可得：，
故答案为：，，，；
（2），
故答案为：；
（3），
,
，
．
【点睛】此题考查了多项式的乘法、平方差公式以及探索数字规律，弄清题意，找出题目中因式多项式与乘积多项式之间的特征关系律是解题的关键．
28．如图1，把边长为的正方形放在长方形中，其中正方形的两条边分别在，上，已知，．
(1)请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积： ；
(2)将另一长方形BEFG放入图1中得到图2，已知，；
①请用含a、b的代数式表示长方形的面积： ；请用含a、b的代数式表示长方形面积： ；
②若长方形的周长为6，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）．
【答案】(1)；
(2)①，；②．
【分析】本题主要考查几何图形与多项式乘以多项式运算，掌握用整式表示阴影部分面积是解题的关键．
（1）用大长方形面积减去小正方形面积，即可；
（2）①用代数式表示出，，结合长方形的面积公式即可求解；
②由长方形的周长为6可得，结合即可得到答案．
【解析】（1）解：；
（2）①根据题意得，，，
∴，
；
②，
，
，
，
．
29．阅读以下材料，回答下列问题：
小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．
他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：
故答案为：；
（4）
一次项系数为：；
二次项系数为：．
故答案为：5，10；
（5）．
．
一次项系数为：，
二次项系数为：．
故答案为：10；．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数是解决问题的关键．
30．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了如图2所示的大正方形．
(1)①观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系式______．
②图3是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到______．
(2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______；
(3)利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值．
【答案】(1)① ②
(2)图见详解，
(3)5
【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何中的应用，面积法；
（1）分别用两种方法表示出面积为和，即可求解；
（2）分别用两种方法表示出面积为和，即可求解；
（3）将化为，由（2）可得，即可求解；
掌握面积的两种表示方法：整体法、部分法，会用整体代换法求整式的值是解题的关键．
【解析】（1）解：①方法一：图2的面积可表示为，
方法二：图2的面积可表示为：
，
，
故答案：；
②方法一：图3的面积可表示为，
方法二：图3的面积可表示为：
，
；
故答案：；
（2）解：如图，
；
故答案：；
（3）解：
由（2）可得：，
，
，
∴．
∴当时，
．
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学习目标
1、会进行单项式的乘法,单项式与整式的乘法,整式的乘法计算 2、会利用整式的乘法求字母或代数式的值； 3、整式乘法的应用
一、单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
【方法规律】
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
二、单项式与整式相乘的运算法则
单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.
即.
【方法规律】
（1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
三、整式与整式相乘的运算法则
整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即.
【方法规律】整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积.
整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
【即学即练1】计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【即学即练2】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【即学即练3】先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中．
题型1：单项式乘以单项式
【典例1】．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【典例2】．计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
题型2：利用单项式的乘法求字母或代数式的值
【典例3】．先化简，再求值：，其中，．
【典例4】．若＝－10，则m－n等于（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【典例5】．若（am＋1bn＋2） （a2n-1b2m）＝a5b3，则m＋n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．﹣3
题型3：计算单项式乘以整式
【典例6】．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）计算：；
（4）计算：．
【典例7】．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【典例8】．计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
题型4：计算单项式乘以整式的求值问题
【典例9】．化简求值：，其中，．
【典例10】．先化简，再求值：，其中．
【典例11】．若，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【典例12】．已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（ ）
A．17 B． C． D．-17
题型5：利用单项式乘以整式求字母的值
【典例13】．若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．
【典例14】．如果的结果中不含x的五次项，那么m的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．
【典例15】．计算：□，□内应填写（ ）
A．－10xy B． C．＋40 D．＋40xy
题型6：单项式乘以整式的综合应用
【典例16】．某同学在计算﹣3x2乘一个整式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x-1，由此可以推断该整式是（ ）
A．4x2﹣x-1 B．x2﹣x-1 C．﹣2x2﹣x-1 D．无法确定
【典例17】．一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于（ ）
A． B． C． D．
【典例18】．如图，两正方形并排在一起，左边大正方形边长为右边小正方形边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（ ）．
A． B．
C． D．
【典例19】．8张如图1的长为，宽为（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，如果左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，则满足（ ）
A． B． C． D．
题型7：计算整式乘以整式及求值问题
【典例20】．计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【典例21】．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【典例22】．化简求值：，其中．
【典例23】．已知代数式化简后，不含有项和常数项．
(1)求，的值．
(2)求的值．
题型8：（x-p）（x-q）型整式乘法
【典例24】．若，则为（ ）
A．8 B．2 C． D．
【典例25】．，则，的值为（ ）.
A．， B．， C．， D．，
【典例26】．【阅读材料】代数式大小的比较
我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以．
【解决问题】若，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．由的取值而定
题型9：整式乘法不含某项求字母的值
【典例27】．若关于的整式展开合并后不含项,则的值是（ ）
A． B． C． D．
【典例28】．（1）若的展开式中不含和项，求m、n的值．
（2）求的值．
题型10：图形问题
【典例29】．如图所示，根据图形，写出一个正确的等式： ．
【典例30】．如图：已知长方形纸片长为，宽为，裁去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分面积为 ．
【典例31】．用如图所示的，，类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则，，类卡片一共需要 张．
题型11：整式的乘法综合
【典例32】．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【典例33】．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【典例34】．如图，在一块长方形土地上修建两个如图所示的四分之一圆水池，其余面积（阴影部分）进行绿化处理，两个四分之一圆的半径分别为、．
(1)用含，的代数式表示长方形的长；
(2)用含，的代数式表示绿化土地（阴影部分）的面积；
(3)当，时，求绿化土地（阴影部分）的面积．
【典例35】．在日历牌上，我们可以发现一些日期数满足一定的规律．如图是今年4月的日历牌，若任意选择图中上下相邻的四个日期（阴影部分），将其中四个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，不难发现，结果都是7
（1）请再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律．
（2）设符合条件的四个日期左上角位置上的数为a，请利用整式的运算对以上的规律加以证明．
题型12：材料、规律题
【典例36】．观察以下等式：
(1)按以上等式的规律，填空：
①______．
②______．
(2)利用整式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立．
(3)利用（1）中的公式化简；
【典例37】．阅读∶
在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
[观察]①；
②；
③；
……
(1)[归纳]由此可得∶
(2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题：
计算∶
(3)计算∶
【典例38】．在学习整式乘以整式时，我们知道的结果是一个整式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为－3x．
请参考上面的方法，解决下列问题：
(1)计算所得整式的一次项系数为______；
(2)如果计算所得整式不含一次项，则常数a的值是______；
(3)如果，则的值是______．
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各式中，计算结果是的是（ ）
A． B． C． D．
4．李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为b，则该长方形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则的值为（ ）
A． B． C．-8 D．9
6．已知 ，则代数式的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
7．通过计算，比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的算式是（ ）
A． B．
C． D．
8．若，，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．M与N的大小由y的取值而定
9．已知整式，，且，当整式A中不含x的2次项时，a的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
10．设实数满足，若，则的值为（ ）
A． B．14 C． D．6
二、填空题
11．计算： ．
12．（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ．
13．已知，则代数式的值为 ．
14．如图中的大长方形，分割成四个小长方形，计算其面积可发现公式： ．
15．在数学课上，小明计算时，已正确得出结果，但课后不小心将第二个括号中的常数染黑了，若结果中不含有一次项，则被染黑的常数为 ．
16．已知的展开式中不含三次项和四次项，则展开式中二次项和一次项的系数之和为 ．
17．如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片 张．
24．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
由上面计算的结果找规律，观察右图，填空：
．
25．长方形的长为厘米，宽为厘米，其中，如果将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形面积记为，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为．
（1）若、为正整数，请说明：与的差一定是5的倍数；
（2）如果，求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积．
26．阅读理解：
（1）计算后填空：______；______；
（2）归纳、猜想后填空：
；
（3）运用2的猜想结论，直接写出计算结果：
______.
27．方法探究：同学们在学习数学过程中，遇到难题可以考虑从简单到特殊的情况入手，例如：求的值．分别计算下列各式的值：
(1)填空：
；
；
；
由此可得 ；
(2)计算： ；
(3)根据以上结论，计算：
28．如图1，把边长为的正方形放在长方形中，其中正方形的两条边分别在，上，已知，．
(1)请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积： ；
(2)将另一长方形BEFG放入图1中得到图2，已知，；
①请用含a、b的代数式表示长方形的面积： ；请用含a、b的代数式表示长方形面积： ；
②若长方形的周长为6，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）．
29．阅读以下材料，回答下列问题：
小明遇到这样一个问题：求计算所得整式的一次项系数．小明想通过计算所得的整式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．
他决定从简单情况开始，先找所得整式中的一次项系数．通过观察发现：
也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数．
延续．上面的方法，求计算所得整式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常数项4，相乘得到16；然后用的一次项系数3，的常数项2，的常数项3，相乘得到18，最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46．
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
(1)计算所得整式的一次项系数为______．
(2)计算所得整式的一次项系数为______．
(3)若计算所得整式的一次项系数为0，则______．
(4)计算所得整式的一次项系数为______，二次项系数为______．
(5)计算所得整式的一次项系数为______，二次项系数为______．
30．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了如图2所示的大正方形．
(1)①观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系式______．
②图3是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到______．
(2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______；
(3)利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值．
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第08讲 整式的乘法（十二大题型）
学习目标
1、会进行单项式的乘法,单项式与整式的乘法,整式的乘法计算 2、会利用整式的乘法求字母或代数式的值； 3、整式乘法的应用
一、单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
【方法规律】
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
二、单项式与整式相乘的运算法则
单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.
即.
【方法规律】
（1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
三、整式与整式相乘的运算法则
整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即.
【方法规律】整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积.
整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
【即学即练1】计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，
（1）利用单项式乘单项式法则计算即可；
（2）利用单项式乘多项式法则计算即可；
（3）根据多项式乘多项式计算即可；
（4）根据多项式乘多项式计算即可；
【解析】（1）；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【即学即练2】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了整式的混合运算，单项式乘多项式，熟练掌握相关的运算法则是解题关键．
（1）根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可；
（2）根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可；
（3）根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可；
（4）根据单项式乘多项式的运算法则进行运算，再合并同类项即可．
【解析】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【即学即练3】先化简，再求值：
(1)，其中；
(2)，其中．
【答案】(1)，8
(2)，10
【分析】本题考查了整式的化简求值．细心运算是解题关键．
（1）直接利用单项式乘多项式乘法法则去括号，进而合并同类项，再将变形为即可求出答案；
（2）直接利用单项式乘多项式乘法法则去括号，进而合并同类项，再将已知数据代入求出答案．
【解析】（1）解：
，
∵，
∴，
即原式；
（2）
，
把代入得：原式．
题型1：单项式乘以单项式
【典例1】．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用单项式乘以单项式的计算法则直接计算即可；
（2）先根据幂的乘方与积的乘方的运算法则计算，再利用单项式乘以单项式的计算法则计算即可；
（3）先计算幂的乘方与单项式乘单项式，再合并同类项即可．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式、幂的乘方、积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【典例2】．计算：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）直接根据单项式乘以单项式法则计算即可；
（2）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可；
（3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可；
（4）利用整体法及单项式的乘法计算即可．
【解析】（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
【点睛】题目主要考查单项式的乘法及积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
题型2：利用单项式的乘法求字母或代数式的值
【典例3】．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，-16．
【分析】先化简，再把a=2，b=1代入求解即可．
【解析】解：原式．
当，时，原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是正确的化简．
【典例4】．若＝－10，则m－n等于（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】A
【分析】首先根据单项式乘单项式的运算法则计算求出m，n的值，然后代入计算即可．
【解析】
∴
∴
解得
∴m－n=1-2=-1，
【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握单项式乘单项式的运算法则是关键．
【典例5】．若（am＋1bn＋2） （a2n-1b2m）＝a5b3，则m＋n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．﹣3
【答案】A
【分析】先利用单项式乘单项式法则，可得（am-1bn-2） （a2n-1b2m）=am-2n bn-2m-2，从而得到关于m，n的方程组，即可求解．
【解析】解：（am-1bn-2） （a2n-1b2m）=am-1-2n-1 bn-2-2m=am-2n bn-2m-2，
∵（am＋1bn＋2） （a2n-1b2m）＝a5b3，
∴，
两式相加，得3m-3n=6，
解得m-n=2．
故选：B
【点睛】本题主要考查了利用单项式乘法求字母或代数式的值，熟练掌握单项式乘单项式法则是解题的关键．
题型3：计算单项式乘以整式
【典例6】．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）计算：；
（4）计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据单项式乘以整式的运算法则计算即可；
（2）先计算单项式乘以单项式及整式，然后合并同类项计算即可；
（3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以整式即可；
（4）先计算单项式乘以整式去括号，然后合并同类项即可．
【解析】解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式
．
（4）
．
【点睛】题目主要考查单项式乘以单项式及整式，合并同类项等的运算法则，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
【典例7】．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用单项式乘整式法则计算；
（2）先算积的乘方，再利用单项式乘整式法则计算；
（3）先算单项式乘整式，积的乘方，再去括号，合并同类项即可．
【解析】（1）解：
；
（2）
（3）
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及了单项式乘整式，合并同类项，积的乘方，掌握相应的运算法则，细心计算是解题的关键．
【典例8】．计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）根据单项式乘以整式进行计算即可求解；
（2）根据单项式乘以整式进行计算即可求解；
（3）根据单项式乘以整式进行计算即可求解；
（4）根据单项式乘以整式进行计算，然后合并同类项即可求解；
（5）根据单项式乘以整式进行计算即可求解；
（6）根据单项式乘以整式进行计算即可求解．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
．
【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．
题型4：计算单项式乘以整式的求值问题
【典例9】．化简求值：，其中，．
【答案】，0
【分析】原式利用单项式乘整式法则计算，去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
【解析】解：原式
，
当，时，
原式
．
【点睛】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【典例10】．先化简，再求值：，其中．
【答案】，2．
【分析】先将原式根据单项式乘整式的法则进行化简，再将整体代入计算即可．
【解析】解：
，
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值；熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键．
【典例11】．若，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了单项式乘以整式，根据单项式乘以整式的计算法则求出的结果即可得到答案．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
【典例12】．已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（ ）
A．17 B． C． D．-17
【答案】A
【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解．
【解析】解：，
∴，
∵，当x为任意数时该等式都成立，
∴，
∴
故选：B
题型5：利用单项式乘以整式求字母的值
【典例13】．若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】D
【分析】利用单项式乘整式的法则进行求解，再结合不含项，则其项的系数为0，从而求解．
【解析】解：
，
结果中不含有项，
，
解得 ，
【点睛】本题主要考查了单项式乘整式，合并同类项，解题的关机是熟练掌握相应的运算法则．
【典例14】．如果的结果中不含x的五次项，那么m的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．
【答案】A
【分析】根据单项式乘以整式法则计算，即可求解．
【解析】解：
∵结果中不含x的五次项，
∴，
解得：．
故选：B
【点睛】本题主要考查了单项式乘以整式法则，理解结果中不含x的五次项，即该项的系数等于0是解题的关键．
【典例15】．计算：□，□内应填写（ ）
A．－10xy B． C．＋40 D．＋40xy
【答案】D
【分析】运用单项式乘以整式法则展开，再根据对应项相等，即可求解．
【解析】解：∵-10xy2-5x2y□=-5xy(2y-x-8)=-10xy2-5x2y-40xy，
∴□=-40xy，
【点睛】本题考查单项式乘以整式，熟练掌握单项式乘以整式法则是解题的关键．
题型6：单项式乘以整式的综合应用
【典例16】．某同学在计算﹣3x2乘一个整式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x-1，由此可以推断该整式是（ ）
A．4x2﹣x-1 B．x2﹣x-1 C．﹣2x2﹣x-1 D．无法确定
【答案】D
【分析】根据整式的减法法则求出整式，得到答案．
【解析】根据题意得：整式为x2﹣x-1﹣（﹣3x2），
x2﹣x-1﹣（﹣3x2）
=x2﹣x-1-3x2
=4x2﹣x-1．
【点睛】本题考查的是单项式乘整式、整式的加减，能根据题意列出算式是解此题的关键．
【典例17】．一个长方体的长、宽、高分别为、、，它的体积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查单项式乘整式的应用，根据长方体的体积长宽高，进行计算即可．
【解析】解：，
即长方体的体积为，
【典例18】．如图，两正方形并排在一起，左边大正方形边长为右边小正方形边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去空白部分的面积，即可求解．
【解析】解：根据题意得：阴影部分的面积为
故选：B
【点睛】本题主要考查了整式加减及乘法的应用，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
【典例19】张如图1的长为，宽为（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，如果左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，则满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用代数式表示出左上角与右下角部分的面积，根据面积相等求出a与b的关系式．
【解析】解：如图，左上角阴影部分的长为AE=AD-a，宽为AF＝4b，右下角阴影部分的长为PC=BC-4b=AD-4b，宽为CG=a，
四边形AEHF的面积为：，
四边形QPCG的面积为：，
∵左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，
∴，
∴，即，
【点睛】此题考查了整式的混合运算的应用，用代数式表示出两个阴影部分的面积是解本题的关键．
题型7：计算整式乘以整式及求值问题
【典例20】．计算下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）直接利用整式乘以整式运算法则计算得出答案．
（2）直接利用整式乘以整式运算法则、单项式乘整式运算法则计算得出答案．
（3）直接利用整式乘以整式运算法则计算得出答案．
（4）直接利用整式乘以整式运算法则计算得出答案．
【解析】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【点睛】本题考查了整式的乘法，掌握其计算法则是解题的关键．
【典例21】．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用整式乘整式，进行计算求解即可．
【解析】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
【点睛】本题考查了整式乘整式．解题的关键在于正确的运算．
【典例22】．化简求值：，其中．
【答案】；
【分析】根据整式乘法运算法则即可求出答案．
【解析】解：原式
．
当时，原式．
【点睛】本题考查了整式乘法运算法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【典例23】．已知代数式化简后，不含有项和常数项．
(1)求，的值．
(2)求的值．
【答案】(1)0.5；
(2)
【分析】（1）先算乘法，合并同类项，即可得出关于、的方程，求出即可；
（2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解析】（1）解：
，
∵代数式化简后，不含有项和常数项．，
∴，，
∴，；
（2）∵，，
∴
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中．
题型8：（x-p）（x-q）型整式乘法
【典例24】．若，则为（ ）
A．8 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了整式乘以整式，根据整式的乘法进行计算，即可求解．
【解析】解：∵
∴，
【典例25】．，则，的值为（ ）.
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】根据整式乘以整式进行计算，即可求解．
【解析】解：∵
∴,
【点睛】本题考查了整式乘以整式，熟练掌握整式乘以整式的运算法则是解题的关键．
【典例26】．【阅读材料】代数式大小的比较
我们通常用作差法比较代数式的大小.例如：已知，，比较和的大小．先求，若，则；若，则；若，则，反之亦成立．本题中因为，所以．
【解决问题】若，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．由的取值而定
【答案】D
【分析】根据，进行判断即可．
【解析】解：由题意知，，
∴，
【点睛】本题考查了整式乘整式．解题的关键在于正确的运算．
题型9：整式乘法不含某项求字母的值
【典例27】．若关于的整式展开合并后不含项,则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查整式乘整式,解题的关键是令含的系数为零,本题属于基础题型．
根据整式乘整式的乘法即可求出答案．
【解析】解:,
,
,
由题意可知：,
∴,
故选:．
【典例28】．（1）若的展开式中不含和项，求m、n的值．
（2）求的值．
【答案】（1）（2）
【分析】本题主要考查整式乘整式，熟练掌握整式乘整式的运算法则是解题的关键．
（1）利用整式乘整式的运算法则进行运算，再结合条件求出答案．
（2）整式乘整式的运算法则进行运算即可．
【解析】解：（1）
，
展开式中不含和项，
，
解得：；
（2）
．
题型10：图形问题
【典例29】．如图所示，根据图形，写出一个正确的等式： ．
【答案】
【分析】分别利用两种方法计算图形面积即可得出结果．
【解析】解：根据图形得，长方形的长为，宽为m，面积为，
当图形分为两个长方形时，总面积为，
∴可得等式：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查利用图象计算单项式乘以整式，结合图形求解是解题关键．
【典例30】．如图：已知长方形纸片长为，宽为，裁去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分面积为 ．
【答案】
【分析】长方形纸片的面积减去长方形，即可作答．
【解析】根据题意，有：
长方形的面积：，
长方形的面积：，
则剩余部分的面积为：，
即有：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用整式乘以整式求解图形的面积的知识，掌握整式乘以整式是解答本题的关键．
【典例31】．用如图所示的，，类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则，，类卡片一共需要 张．
【答案】10
【分析】根据长方形的面积公式即可得出结果．
【解析】解：由题可知：，，类卡片的面积分别为，，，
长方形的长为，宽为，
长方形的面积：，
，，类卡片一共需要张，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了整式乘整式的运算，找出对应卡片面积的系数，分别对应，即可找出所需卡片数量．
题型11：整式的乘法综合
【典例32】．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式乘除法，解题的关键是掌握相关的运算法则．
（1）先算乘方，再算加减，即可求解；
（2）根据单项式的乘除法法则计算即可；
（3）根据整式乘整式的计算法则求解即可；
（4）根据整式乘整式的计算法则求解即可．
【解析】（1）解：
（2）
（3）
（4）
【典例33】．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）先计算积的乘方，然后计算单项式乘单项式即可；
（2）根据单项式乘整式的计算法则求解即可；
（3）根据整式乘整式计算法则求解，然后合并同类项即可；
（4）整式乘整式计算法则和单项式乘整式的计算法则求解，然后合并同类项即可.
【解析】解：（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握整式的混合运算计算法则.
【典例34】．如图，在一块长方形土地上修建两个如图所示的四分之一圆水池，其余面积（阴影部分）进行绿化处理，两个四分之一圆的半径分别为、．
(1)用含，的代数式表示长方形的长；
(2)用含，的代数式表示绿化土地（阴影部分）的面积；
(3)当，时，求绿化土地（阴影部分）的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意表示求解即可；
（2）用长方形的面积减去两个四分之一圆水池求解即可；
（3）将，代入（2）表示的代数式求解即可．
【解析】（1）解：∵两个四分之一圆的半径分别为、
∴长方形的长为；
（2）解：根据题意可得，
；
（3）解：∵，
∴
．
【点睛】本题考查了列代数式，整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的法则是解本题的关键．
【典例35】．在日历牌上，我们可以发现一些日期数满足一定的规律．如图是今年4月的日历牌，若任意选择图中上下相邻的四个日期（阴影部分），将其中四个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，不难发现，结果都是7
（1）请再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律．
（2）设符合条件的四个日期左上角位置上的数为a，请利用整式的运算对以上的规律加以证明．
【答案】（1）符合；（2）见解析
【分析】（1）利用规定的方法计算，比较结果得出规律即可；
（2）其它三个分别为a-1，a-7，a-8，利用交叉相乘计算证明即可．
【解析】解：（1）8×14-7×15=7；
5×11-4×12=7，
符合这个规律；
（2）证明：设符合条件的四个日期左上角位置上的数为a，则其它三个分别为，，，
∴
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，数字的变化规律，由特殊到一般，得出一般性结论解决问题．
题型12：材料、规律题
【典例36】．观察以下等式：
(1)按以上等式的规律，填空：
①______．
②______．
(2)利用整式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立．
(3)利用（1）中的公式化简；
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键．
（1）根据材料提示的方法即可求解；
（2）运用整式乘以整式，再根据整式的运算法则即可求解；
（3）根据材料提示，分别计算与的值，再运用整式加减运算即可求解．
【解析】（1）解：根据材料提示，
①．
②．
故答案为：；；
（2）解：
；
（3）解：
．
【典例37】．阅读∶
在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
[观察]①；
②；
③；
……
(1)[归纳]由此可得∶
(2)[应用]请运用上面的结论，解决下列问题：
计算∶
(3)计算∶
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了整式乘法的规律，根据题意找到规律是解题的关键.
（1）根据题意得到规律即可；
（2）由即可得到答案；
（3）设①，则②，①＋②后即可得到答案.
【解析】（1）解：由题意可得，
故答案为：
（2）由题意可得， ，
∴
故答案为：
（3）设①
则②
①＋②得，
∴
【典例38】．在学习整式乘以整式时，我们知道的结果是一个整式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为－3x．
请参考上面的方法，解决下列问题：
(1)计算所得整式的一次项系数为______；
(2)如果计算所得整式不含一次项，则常数a的值是______；
(3)如果，则的值是______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了整式乘整式的规律探究，熟练掌握整式乘整式的运算法则是解题的关键．
（1）根据题干提示列式计算即可；
（2）根据给定的方法可得出一次项系数，进一步求解即可；
（3）根据给定的方法找出的一次项系数即可．
【解析】（1）解：所得整式的一次项系数为：
；
（2）根据题意，一次项系数，
即，
解得；
（3）的一次项系数为：
，
，
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了单项式乘单项式．根据单项式乘单项式的运算法则计算即可求解．
【解析】解：，
2．计算的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了单项式乘以整式．熟练掌握单项式乘以整式的法则是解题的关键．
根据单项式乘以整式的法则求解作答即可．
【解析】解：，
3．下列各式中，计算结果是的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将各项逐一展开合并同类项比较即可得．
【解析】解：A、，故本选项符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
【点睛】本题考查了整式乘整式，准确的将其展开是解题的关键．
4．李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为b，则该长方形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查整式的乘法，根据单项式乘整式法则求解即可．
【解析】解：长方形的面积为=，
5．已知，则的值为（ ）
A． B． C．-8 D．9
【答案】A
【分析】本题主要考查了整式乘以整式运算，掌握整式乘以整式的运算法则是解题关键．
先根据整式相等则对应项的系数相等求出m与n的值，然后代入计算即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴．
6．已知 ，则代数式的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】A
【分析】本题主要考查整式的混合运算，利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【解析】解：
，
∵，
∴原式
．
7．通过计算，比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的算式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查整式乘整式，单项式乘整式，整式运算．要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解．
【解析】解：图1中，阴影部分长宽长方形面积，
阴影部分的面积，
图2中，阴影部分大长方形面积长宽长方形面积长宽长方形面积边长的正方形面积，
阴影部分的面积，
．
8．若，，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．M与N的大小由y的取值而定
【答案】B
【分析】本题考查的是整式的混合运算．利用求差法、整式乘整式的运算法则进行计算，根据计算结果判断即可．
【解析】解：
，
∴，
9．已知整式，，且，当整式A中不含x的2次项时，a的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】本题考查的是整式的乘法—整式乘整式，正确进行整式的乘法是解答此题的关键．根据题意列出整式相乘的式子，再计算整式乘整式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于0即可．
【解析】解：∵
∴
∵整式A中不含x的2次项时，
∴
∴
故选D．
10．设实数满足，若，则的值为（ ）
A． B．14 C． D．6
【答案】A
【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可．
【解析】解：根据题意，设，
，
，
，，，
，
二、填空题
11．计算： ．
【答案】
【分析】先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式即可．
【解析】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查积的乘方运算、单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．
12．（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ．
【答案】 ．
【分析】（1）根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可；
（2）根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可；
（3）先计算乘方，然后根据根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可；
（4）先计算乘方，然后根据根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可；
（5）先计算乘方，然后根据根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可；
（6）先计算乘方，然后根据根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可．
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
故答案为：；；；；；．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方和幂的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解．
13．已知，则代数式的值为 ．
【答案】-5
【分析】先用单项式乘以整式法则展开，利用已知代数式的值整体代入计算即可．
【解析】解：∵，
∴
故答案为：-5．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，掌握代数式的求值方法，解题的关键是会利用整体代入法求值．
14．如图中的大长方形，分割成四个小长方形，计算其面积可发现公式： ．
【答案】
【分析】根据长方形面积公式可进行求解．
【解析】解：由图可知：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查整式乘以整式，熟知长方形的面积公式是解题的关键．
15．在数学课上，小明计算时，已正确得出结果，但课后不小心将第二个括号中的常数染黑了，若结果中不含有一次项，则被染黑的常数为 ．
【答案】2
【分析】设被染黑的常数为a，利用乘法公式展开，根据一次项系数为0即可求出a的值．
【解析】解：设被染黑的常数为a，
则，
∵结果中不含有一次项，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查整式乘以整式，解题的关键是掌握整式乘以整式的运算法则，本题也可以通过平方差公式快速求解．
16．已知的展开式中不含三次项和四次项，则展开式中二次项和一次项的系数之和为 ．
【答案】
【分析】利用整式乘整式法则将原式展开，根据题意展开式中不含三次项和四次项，可得，，求解即可得的值，然后代入求值可确定展开式中二次项和一次项的系数，求和即可得答案．
【解析】解：
根据题意，展开式中不含三次项和四次项，
∴，，
解得 ，，
∴，，
即展开式中二次项系数为4，一次项的系数为，
∴展开式中二次项和一次项的系数之和为．
【点睛】本题主要考查了整式乘整式运算、整式相关概念、代数式求值等知识，熟练掌握整式乘整式运算法则，正确展开原式是解题关键．
17．如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片 张．
【答案】3
【分析】拼成的大长方形的面积是，即需要一个边长为的正方形，2个边长为的正方形和3个类卡片．
【解析】解：由题意得，一个A类卡片的面积为，一个B类卡片的面积为，一个C卡片的面积为，
∵．
∴需要一个边长为的正方形，2个边长为的正方形和3个类卡片．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了整式乘整式的运算，需要熟练掌握运算法则并灵活运用，利用各个面积之和等于总的面积也比较关键．
18．观察以下等式：
，，……根据你所发现规律，计算： ．
【答案】
【分析】根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，利用规律来解答．
【解析】解：根据，
，
，
…的规律，得出：
，
，
．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题．
三、解答题
19．（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可；
（2）根据同底数幂的乘法计算法则进行求解即可．
【解析】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了整式的乘法计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
20．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案．
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
21．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；
（2）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；
（3）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；
（4）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；
（5）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；
（6）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案.
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）
【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，掌握“多项式乘以多项式的法则：把一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”是解题的关键.
22．某中学扩建教学楼，测量地基时，量得地基长为宽为，试用表示地基的面积，并计算当时地基的面积．
【答案】，1300．
【分析】根据题意可直接利用长×宽进行求解面积，然后把代入求解即可．
【解析】解：根据题意得：
地基的面积是：，
当时，地基面积为：
．
【点睛】本题主要考查整式的乘除的应用，熟练掌握整式的乘法是解题的关键．
23．甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是．
(1)求的值；
(2)若整式中的a的符号不抄错，且，请计算这道题的正确结果．
【答案】(1)-14．
(2)
【分析】（1）根据题意，列出关于a和b的代数式的值，直接代入计算即可；
（2）先求出b的值，再代入计算．
【解析】（1）解：甲抄错了a的符号的计算结果为：，
因为对应的系数相等，故，
乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：．
因为对应的系数相等，故，，
∴
（2）解：乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果得出：
，
故，
∴b=-1，
把a=3，b=-1代入，
得(x-3)(2x-1)=2x2-5x-3，
故答案为：2x2-5x-3．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心．
24．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
由上面计算的结果找规律，观察右图，填空：
．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；括号内依次填．
【分析】利用多项式乘多项式直接去括号，再合并同类项即可．根据前4个式子的结果可以得出规律，即可得出答案．
【解析】解：（1）
（2）
（3）
（4）
由上面的规律可知．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
25．长方形的长为厘米，宽为厘米，其中，如果将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形面积记为，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为．
（1）若、为正整数，请说明：与的差一定是5的倍数；
（2）如果，求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积．
【答案】（1）见解析；（2）将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积为50平方厘米
【分析】（1）由题意，根据长方形的面积公式分别写出S1与S2，再求差，变形即可得答案；
（2）根据S1＝2S2，得到ab 7a 7b＝1，再写出将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积，整体代入即可求得答案．
【解析】（1）证明：由题意得：S1=（a-3）（b-3）=ab-3（a-b）-9
S2=（a-2）（b-2）=ab-2（a-b）-4
S1-S2=[ab-3（a-b）-9]-[ab-2（a-b）-4]
=ab-3（a-b）-9-ab-2（a-b）-4
=5（a-b）-5
=5（a-b-1）
∴S1与S2的差一定是5的倍数．
（2）∵S1=2S2
∴ab-3（a-b）-9=2[ab-2（a-b）-4]
∴ab-7a-7b-1=0
∴ab-7a-7b=1
∴将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积为：（a-7）（b-7）=ab-7a-7b-49=1-49=50．
∴将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积为50平方厘米．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式在长方形面积问题中的应用，正确地根据题意列出算式，是解题的关键．
26．阅读理解：
（1）计算后填空：______；______；
（2）归纳、猜想后填空：
；
（3）运用2的猜想结论，直接写出计算结果：
______.
【答案】（1） ，；（2），；（3）
【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则即可求解.
（2）根据已知的等式找到规律即可求解；
（3）根据（2）中规律直接写出即可.
【解析】（1）=
=
故填： ，；
（2）根据已知的等式找到规律为
故填：，；
（3）由规律可得；
故填：.
【点睛】此题主要考查多项式的乘法，解题的关键是熟知多项式乘多项式的运算法则.
27．方法探究：同学们在学习数学过程中，遇到难题可以考虑从简单到特殊的情况入手，例如：求的值．分别计算下列各式的值：
(1)填空：
；
；
；
由此可得 ；
(2)计算： ；
(3)根据以上结论，计算：
【答案】(1)，，，；
(2)；
(3)．
【分析】（）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可；
（）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（）根据得出的规律将原式变形，计算得到结果，即可做出判断．
【解析】（1），
，
，
由此可得：，
故答案为：，，，；
（2），
故答案为：；
（3），
,
，
．
【点睛】此题考查了多项式的乘法、平方差公式以及探索数字规律，弄清题意，找出题目中因式多项式与乘积多项式之间的特征关系律是解题的关键．
28．如图1，把边长为的正方形放在长方形中，其中正方形的两条边分别在，上，已知，．
(1)请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积： ；
(2)将另一长方形BEFG放入图1中得到图2，已知，；
①请用含a、b的代数式表示长方形的面积： ；请用含a、b的代数式表示长方形面积： ；
②若长方形的周长为6，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）．
【答案】(1)；
(2)①，；②．
【分析】本题主要考查几何图形与多项式乘以多项式运算，掌握用整式表示阴影部分面积是解题的关键．
（1）用大长方形面积减去小正方形面积，即可；
（2）①用代数式表示出，，结合长方形的面积公式即可求解；
②由长方形的周长为6可得，结合即可得到答案．
【解析】（1）解：；
（2）①根据题意得，，，
∴，
；
②，
，
，
，
．
29．阅读以下材料，回答下列问题：
小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．
他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：
故答案为：；
（4）
一次项系数为：；
二次项系数为：．
故答案为：5，10；
（5）．
．
一次项系数为：，
二次项系数为：．
故答案为：10；．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数是解决问题的关键．
30．乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了如图2所示的大正方形．
(1)①观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系式______．
②图3是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到______．
(2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______；
(3)利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值．
【答案】(1)① ②
(2)图见详解，
(3)5
【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何中的应用，面积法；
（1）分别用两种方法表示出面积为和，即可求解；
（2）分别用两种方法表示出面积为和，即可求解；
（3）将化为，由（2）可得，即可求解；
掌握面积的两种表示方法：整体法、部分法，会用整体代换法求整式的值是解题的关键．
【解析】（1）解：①方法一：图2的面积可表示为，
方法二：图2的面积可表示为：
，
，
故答案：；
②方法一：图3的面积可表示为，
方法二：图3的面积可表示为：
，
；
故答案：；
（2）解：如图，
；
故答案：；
（3）解：
由（2）可得：，
，
，
∴．
∴当时，
．
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