上海市上南中学南校2014～2015学年度八年级上学期月考数学试卷（12月份）（解析版）【解析版】

上海市上南中学南校2014～2015学年度八年级上学期月考数学试卷（12月份）（4-6班）
　
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
　
2．方程x2=4x的解是（　　）
A．x=4 B．x=2 C．x=4或x=0 D．x=0
　
3．下列命题中真命题是（　　）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．两锐角之和为钝角
C．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
　
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，BC=8，BD=5，那么点D到AB的距离是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
　
5．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　）
A．6米 B．9米 C．12米 D．15米
　
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AC=2，如果将这个三角形折叠，使得点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N，那么BN等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
　
　
二、填空题（每小题3分，共36分）
7．计算：=　　　　　　．
　
8．方程（x﹣1）2﹣4=0的解为　　　　　　．
　
9．在实数范围内分解因式：3x2﹣6x+1=　　　　　　．
　
10．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是　　　　　　．
　
11．如果关于x的一元二次方程x2﹣x+a=0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是　　　　　　．
　
12．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足是E，DF⊥AC，垂足是F，且△ABC的面积为28，AC=4，AB=10，则DE=　　　　　　．
　
13．平面内到点O的距离等于3厘米的点的轨迹是　　　　　　．
　
14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，那么∠B=　　　　　　度．
　
15．点C在x轴上，点C到点A（﹣1，4）与点B（2，﹣5）的距离相等，则点C的坐标为　　　　　　．
　
16．在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足是E，则AE：BE=　　　　　　．
　
17．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD=2CD，AD是∠BAC的角平分线，则∠B=　　　　　　度．
　
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=28°，D为AB的中点，∠ACD=　　　　　　度．
　
　
三、解答题
19．计算：．
　
20．用配方法解方程：4x2﹣2x﹣1=0．
　
21．要对一块长60米，宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化、设计方案如图所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．
　
22．已知：如图，Rt△ABC和Rt△ADC，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点．
求证：∠EBD=∠EDB．
　
　
四、解答题（23、24题，每题8分；25题10分，共26分）
23．已知：如图，∠AOB和∠AOB内一点C．尺规作图：点P，使PC=PO，且点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．（不写作法，写出结论）
　
24．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，E、D分别是AB、EB中点．求证：CD⊥AB．
证明：∵∠A=30°，∠ACB=90°
∴　　　　　　=AB（　　　　　　）
又∵E是AB中点
∴　　　　　　=　　　　　　（　　　　　　）
∴　　　　　　=　　　　　　
又∵D是EB中点
∴CD⊥AB（　　　　　　）
　
25．如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米，BC长15米，CD长为20米，DA长7米，∠C=90°，求绿地ABCD的面积．
　
　
上海市上南中学南校2014～2015学年度八年级上学期月考数学试卷（12月份）（4-6班）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数含分母，不是最简二次根式，故A选项错误；
B、=2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故B选项错误；
C、满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，故C选项正确；
D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
　
2．方程x2=4x的解是（　　）
A．x=4 B．x=2 C．x=4或x=0 D．x=0
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】本题可先进行移项得到：x2﹣4x=0，然后提取出公因式x，两式相乘为0，则这两个单项式必有一项为0．
【解答】解：原方程可化为：x2﹣4x=0，提取公因式：x（x﹣4）=0，
∴x=0或x=4．
故选：C．
【点评】本题考查了运用提取公因式的方法解一元二次方程的方法．
　
3．下列命题中真命题是（　　）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．两锐角之和为钝角
C．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【考点】直角三角形斜边上的中线；角的计算；平行线的判定；角平分线的性质．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、因为同旁内角互补，两直线平行，故本选项错误；
B、两锐角之和不一定为钝角，例如25°+35°=60°仍为锐角，故本选项错误；
C、到角的两边距离相等的点不一定在这个角的平分线上，故本选项错误；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故本选项正确．
故选D．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
　
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，BC=8，BD=5，那么点D到AB的距离是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】角平分线的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据角平分线的性质可得，DE=DC，根据BD=5，BC=8，求得CD即可求解．
【解答】解：∵∠C=90°，AD是△ABC中∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，
∴DE=DC，
∴BD=5，BC=8，
∴DC=BC﹣CD=8﹣5=3，
∴DE=3．
故选A．
【点评】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
　
5．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　）
A．6米 B．9米 C．12米 D．15米
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】常规题型．
【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
【解答】解：如图，根据题意BC=3米，
∵∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×3=6米，
∴3+6=9米．
故选B．
【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
　
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AC=2，如果将这个三角形折叠，使得点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N，那么BN等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】连接AN．根据题意，得MN是AB的垂直平分线，则AN=BN，∠BAN=∠B=15°．根据三角形外角的性质，得∠ANC=30°，再根据30°直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：如图，连接AN．
根据题意，得MN是AB的垂直平分线，
则AN=BN，∠BAN=∠B=15°．
根据三角形外角的性质，得∠ANC=30°，
所以AN=2AC=4，
则BN=4．
故选B．
【点评】此题综合运用了折叠的性质、线段垂直平分线的性质、30°直角三角形的性质．
　
二、填空题（每小题3分，共36分）
7．计算：=　　．
【考点】二次根式的加减法．
【专题】计算题．
【分析】先化简=2，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：=2﹣=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减，属于基础题型．
　
8．方程（x﹣1）2﹣4=0的解为　﹣1，3　．
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】直接利用开平方法解方程得出答案．
【解答】解：（x﹣1）2﹣4=0
则x﹣1=±2，
解得：x1=﹣1，x2=3．
故答案为：﹣1，3．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
　
9．在实数范围内分解因式：3x2﹣6x+1=　3（x﹣）（x﹣）　．
【考点】实数范围内分解因式．
【分析】先将代数式变形为一个平方形式与另一个数的差，再用平方差公式分解因式．
【解答】解：3x2﹣6x+1
=3（x2﹣2x+）
=3[（x﹣1）2﹣]
=3（x﹣1+）（x﹣1﹣）
=3（x﹣）（x﹣）．
故答案为3（x﹣）（x﹣）．
【点评】本题主要考查实数范围内分解因式，其中涉及完全平方公式和平方差公式．
　
10．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是　两个角相等三角形是等腰三角形　．
【考点】命题与定理．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．
【点评】根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
　
11．如果关于x的一元二次方程x2﹣x+a=0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是　　．
【考点】根的判别式．
【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，方程x2﹣x+a=0有两个不相等的实数根，方程必须满足△=b2﹣4ac＞0，即可求得．
【解答】解：x的一元二次方程x2﹣x+a=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=1﹣4a＞0，
解得a＜．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
　
12．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足是E，DF⊥AC，垂足是F，且△ABC的面积为28，AC=4，AB=10，则DE=　4　．
【考点】角平分线的性质；三角形的面积．
【专题】计算题．
【分析】根据角平分线性质得出DE=DF，根据三角形的面积公式得出AB×DE+AC×DF=28，代入求出即可．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵△ABC的面积为28，
∴S△ABD+S△ACD=28，
∴AB×DE+AC×DF=28，
即：10DE+4DE=56，
DE=4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查对三角形的面积，角平分线性质等知识点的理解和掌握，能求出DE=DF是解此题的关键．
　
13．平面内到点O的距离等于3厘米的点的轨迹是　以点O为圆心，3厘米长为半径的圆　．
【考点】轨迹．
【分析】只需根据圆的定义就可解决问题．
【解答】解：平面内到点O的距离等于3厘米的点的轨迹是以点O为圆心，3厘米长为半径的圆．
故答案为：以点O为圆心，3厘米长为半径的圆．
【点评】本题主要考查的是圆的定义，其中圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
　
14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，那么∠B=　60　度．
【考点】解直角三角形．
【分析】在直角三角形中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半的逆定理推知∠A=30°；然后根据直角三角形的两个锐角互为余角求得∠B=60°．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=，BC=，
∴BC=AB，
∴∠A=30°，
∴∠B=60°（直角三角形的两个锐角互为余角）．
故答案是：60°．
【点评】本题考查了解直角三角形．在直角三角形中，要熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
　
15．点C在x轴上，点C到点A（﹣1，4）与点B（2，﹣5）的距离相等，则点C的坐标为　（2，0）　．
【考点】两点间的距离公式．
【专题】计算题．
【分析】设点C的坐标为（x，0），根据两点间的距离公式列式求解即可，两点间的距离公式：d=．
【解答】解：设点C坐标为（x，0）．
利用两点间的距离公式，得 AC=，BC=．
根据题意，得AC=BC，∴AC2=BC2．
即（x﹣2）2+25=（x+1）2+16．
解得x=2．
所以，点C的坐标是（2，0）．
【点评】本题考查了两点间的距离公式，熟记公式与熟练解方程是解答本题的关键．
　
16．在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足是E，则AE：BE=　1：3　．
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【分析】易得∠B=30°，∠BAD=60°，AD⊥BC，那么在△ADE中，AD=2AE；在△ABD中，AB=2AD，即得AB=4AE，即可得出结果．
【解答】解：连接AD，如图所示：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵D是BC中点，
∴AD⊥BC且AD平分∠BAC，
∴∠BAD=60°，
∴∠ADB=90°，
∴AD=AB，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∠ADE=∠DEA﹣∠BAD=90°﹣60°=30°，
∴AE=AD，
∴AE=AB，
∴BE=3AE，
∴AE：BE=1：3；
故答案为：1：3．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质；由含30度角的直角三角形的性得出AE=AB是解决问题的关键．
　
17．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD=2CD，AD是∠BAC的角平分线，则∠B=　30　度．
【考点】含30度角的直角三角形；角平分线的性质．
【专题】证明题．
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质得出DE=CD，推出BD=2DE，根据含30度角的直角三角形性质即可求出答案．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
∵BD=2CD，
∴BD=2DE，
∵∠BED=90°，
∴∠B=30°．
故答案为：30．
【点评】本题主要考查对含30度角的直角三角形性质，角平分线性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并求出BD=2DE是解此题的关键．
　
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=28°，D为AB的中点，∠ACD=　62　度．
【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠A，根据直角三角形斜边上的中线求出CD=AD，根据等腰三角形性质即可求出答案．
【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=28°，
∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=62°，
∵∠ACB=90°，CD是△ABC斜边上的中线，
∴CD=AB=AD，
∴∠ACD=∠A=62°，
故答案为：62．
【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等知识点的理解和掌握，能求出CD=AD是解此题的关键．
　
三、解答题
19．计算：．
【考点】二次根式的乘除法．
【分析】首先根据二次根式的乘除法法则进行运算，化简，最后进行乘法运算，把结果化为最简二次根式即可．
【解答】解：原式=
=
=
=．
【点评】本题主要考查二次根式的乘除法法则，关键在于对法则的熟练运用，注意结果要化为最简．
　
20．用配方法解方程：4x2﹣2x﹣1=0．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：移项得：4x2﹣2x=1，
把二次项的系数化为1得：4（x2﹣x）=1，
配方得：4（x2﹣x+）=，
（x﹣）2=，
∴x﹣=±，
∴原方程的解为：x1=，x2=．
【点评】此题主要考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
　
21．要对一块长60米，宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化、设计方案如图所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】可把P，Q通过平移看做一个矩形，设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米，用含x的代数式分别表示出绿地的长为60﹣3x，宽为40﹣2x，利用“两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的”作为相等关系列方程求解即可．
【解答】解：设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米，根据题意，得
解之得
x1=10，x2=30
经检验，x2=30不符合题意，舍去．
答：两块绿地周围的硬化路面宽都为10米．
【点评】解题的关键是通过平移的方法，把分开的两块绿地合成一块长方形的绿地，利用其面积是矩形ABCD面积的作为相等关系列方程．
　
22．已知：如图，Rt△ABC和Rt△ADC，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点．
求证：∠EBD=∠EDB．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质推出EB=AC，ED=AC，得到EB=ED，根据等腰三角形的性质推出即可．
【解答】证明：∵∠ABC=90°，且点E是AC的中点，
∴EB=AC，
同理：ED=AC，
∴EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB．
【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线等知识点的理解和掌握，能推出EB=ED是解此题的关键．
　
四、解答题（23、24题，每题8分；25题10分，共26分）
23．已知：如图，∠AOB和∠AOB内一点C．尺规作图：点P，使PC=PO，且点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．（不写作法，写出结论）
【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】作出∠AOB的平分线，再作CO的垂直平分线，进而得出交点P．
【解答】解：如图所示：P点即为所求．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质与作法等知识，正确把握相关性质是解题关键．
　
24．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，E、D分别是AB、EB中点．求证：CD⊥AB．
证明：∵∠A=30°，∠ACB=90°
∴　BC　=AB（　直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半　）
又∵E是AB中点
∴　CE　=　AB　（　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半　）
∴　CE　=　CB　
又∵D是EB中点
∴CD⊥AB（　等腰三角形三线合一　）
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】推理填空题．
【分析】根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CE=CB，根据等腰三角形的性质证明即可．
【解答】证明：∵∠A=30°，∠ACB=90°
∴BC=AB（直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半）
又∵E是AB中点
∴CE=AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴CE=CB，
又∵D是EB中点，
∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一），
故答案为：BC；直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半；CE；AB；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；CE；CB；等腰三角形三线合一．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
　
25．如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米，BC长15米，CD长为20米，DA长7米，∠C=90°，求绿地ABCD的面积．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD的长，再由勾股定理的逆定理判定△ABD为直角三角形，则四边形ABCD的面积=直角△BCD的面积+直角△ABD的面积．
【解答】解：连接BD．如图所示：
∵∠C=90°，BC=15米，CD=20米，
∴BD===25（米）；
在△ABD中，∵BD=25米，AB=24米，DA=7米，
242+72=252，即AB2+BD2=AD2，
∴△ABD是直角三角形．
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
=AB BD+BC CD
=×24×7+×15×20
=84+150
=234（平方米）；
即绿地ABCD的面积为234平方米．
【点评】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，求出BD的长．