1.2.1必要条件与充分条件第1课时必要条件与充分条件 导学案(含答案）2024-2025学年高一上学期北师大版（2019）必修 第一册

§2　常用逻辑用语
2.1　必要条件与充分条件
第1课时　必要条件与充分条件
【学习目标】
1.理解必要条件、充分条件的概念.
2.能够判断命题之间的充分、必要关系.
3.通过对必要条件、充分条件的概念的理解和运用,培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力.
◆ 知识点一　必要条件与性质定理
一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的 　　　条件.也就是说,一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是必要的.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若A={中学生},B={学生},则“x∈A”是“x∈B”的必要条件. (　 )
(2)“x>5”是“x>3”的必要条件. (　 )
◆ 知识点二　充分条件与判定定理
一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的　　　　条件.
对于真命题“若p,则q”,即p q时,称q是p的　　　　条件,也称p是q的　　　　条件.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“两个三角形的面积相等”是“两个三角形全等”的充分条件. (　 )
(2)若p是q的必要条件,则q是p的充分条件. (　 )
2.如果p是q的充分条件,q是r的充分条件,那么p是r的充分条件吗
◆ 探究点一　必要条件的判定
例1 下列所给的各组p, q中,判断p是否为q的必要条件,q是否为p的必要条件.
(1)p:x>1,q:x2>1;
(2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是矩形;
(3)p:两个三角形相似,q:两个三角形的对应角相等.
变式 (多选题)[2024·四川绵阳中学月考] 下列命题中,p是q的必要条件的有 (　 )
A.p:x,y是偶数, q:x+y是偶数
B.p:a<2,q:方程x2-2x+a=0有实根
C.p:四边形的对角线互相垂直,q:四边形是菱形
D.p:ab=0,q:a=0
[素养小结]
(1)判断q是否为p的必要条件时,主要判断“若p成立,能否推出q成立”,若p q,则q是p的必要条件;判断p是否为q的必要条件时,主要判断“若q成立,能否推出p成立”,若q p,则p是q的必要条件.
(2)也可利用集合的关系判断,已知甲:x∈A,乙:x∈B,若A B,则甲是乙的必要条件.
◆ 探究点二　 充分条件的判定
例2 下列所给的各组p, q中,判断p是否为q的充分条件,q是否为p的充分条件.
(1)p:a∈A∩B,q:a∈A∪B;
(2)p:x>5或x<-5;q:x<-5;
(3)p:两个三角形的三边成比例,q:两个三角形相似;
(4)p:x2=1,q:x=1;
(5)p:a=b,q:ac=bc.
变式 (多选题)[2024·四川绵阳高一期中] 下列选项中满足p是q的充分条件的是 (　 )
A.p:x>,q:x>1
B.p:m=0,q:mn=0
C.p:x2≠0,q:x≠0
D.p:x>y,q:x2>y2
[素养小结]
(1)判断p是q的充分条件时,主要判断“若p成立,能否推出q成立”,若p q,则p是q的充分条件.
(2)也可利用集合的关系判断,已知甲:x∈A,乙:x∈B,若A B,则甲是乙的充分条件.
◆ 探究点三　由必要条件、充分条件求参数的范围
例3 [2024·江苏宿迁青华中学高一月考] 设全集U=R,集合A={x|1≤x≤5},非空集合B={x|2-a≤x≤1+2a}.
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数a的取值范围;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求实数a的取值范围.
变式 设p:x<1,q:xA.a>1 B.a<1
C.a≥1 D.a≤1
[素养小结]
利用必要条件或充分条件求参数的值或取值范围,关键是将已知条件转化为集合间的包含关系,再通过解不等式(组)来求解.但要注意集合为空集的情况,还要注意等号的取舍.
§2　常用逻辑用语
2.1　必要条件与充分条件
第1课时　必要条件与充分条件
【课前预习】
知识点一
必要
诊断分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)“x∈B”是“x∈A”的必要条件,故(1)错误.
(2)“x>3”是“x>5”的必要条件,故(2)错误.
知识点二
充分　必要　充分
诊断分析
1.(1)×　(2)√　[解析] (1)“两个三角形的面积相等”不能推出“两个三角形全等”,故(1)错误.
(2)符合充分条件、必要条件的定义,故(2)正确.
2.解:是.因为p q,q r,所以p r,所以p是r的充分条件.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)因为当x>1时,x2>1,所以p q,即q是p的必要条件;当x2>1时,x>1或x<-1,所以q / p,即p不是q的必要条件.
(2)因为当四边形的对角线相等时,四边形不一定是矩形,即p / q,所以q不是p的必要条件;当四边形是矩形时,四边形的对角线相等,即q p,所以p是q的必要条件.
(3)因为当两个三角形相似时,两个三角形的对应角相等,即p q,所以q是p的必要条件;当两个三角形的对应角相等时,两个三角形相似,即q p,所以p是q的必要条件.
变式　BCD　[解析] 对于A,x+y是偶数,不能保证x,y均是偶数,x,y也有可能都是奇数,故A不符合题意;对于B,若方程x2-2x+a=0有实根,则需满足Δ=4-4a≥0,即a≤1,可推出a<2,故B符合题意;对于C,若四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直,故C符合题意;对于D,若a=0,则ab=0,故D符合题意.故选BCD.
探究点二
例2　解:(1)若a∈A∩B,则a∈A且a∈B,可以推出a∈A∪B,反之不一定成立,即p q,q / p,所以p是q的充分条件,q不是p的充分条件 .
(2)x>5或x<-5推不出x<-5,反之成立,即p / q,q p,所以p不是q的充分条件,q是p的充分条件.
(3)根据相似三角形的判定定理,可得p q,所以p是q的充分条件.由相似三角形的性质可得q p,所以q是p的充分条件.
(4)由x2=1,得x=1或x=-1,推不出x=1,所以p不是q的充分条件.由x=1可以推出x2=1,所以q是p的充分条件.
(5)由等式的性质知, p q,所以p是q的充分条件;当c=0时,a与b不一定相等,q / p,故q不是p的充分条件.
变式　ABC　[解析] 对于A,由x>可推出x>1,所以“x>”是“x>1”的充分条件,A正确.对于B,由m=0可推出mn=0,所以“m=0”是“mn=0”的充分条件,B正确.对于C,由x2≠0可推出x≠0,所以“x2≠0”是“x≠0”的充分条件,C正确.对于D,当x=2,y=-2时,满足x>y,但是x2=y2,所以“x>y”不是“x2>y2”的充分条件,D错误.故选ABC.
探究点三
例3　解:(1)全集U=R,集合A={x|1≤x≤5},非空集合B={x|2-a≤x≤1+2a},
因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A B,
所以即解得a≥2,
所以实数a的取值范围是[2,+∞).
(2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,所以B A,
所以即解得≤a≤1,
所以实数a的取值范围是.
变式　C　[解析] 因为p:x<1,q:x