1.2.1必要条件与充分条件第2课时 充要条件 导学案(含答案）2024-2025学年高一上学期北师大版（2019）必修 第一册

第2课时　充要条件
【学习目标】
1.理解充要条件的定义,掌握充分、必要条件的四种类型.
2.会判断条件和结论的关系.
3.通过判断p与q的关系引导充要条件的定义,由诱导探究的方法归纳出判断“p是q的什么条件”的步骤及方法(定义法、集合法、传递法).
◆ 知识点　充要条件
1.一般地,如果p q,且q p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的　　　　　,记作p　　　　q.
p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”,或“p与q等价”.
当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.
2.如果p q,q / p,则称p是q的充分不必要条件;
如果p / q,q p,则称p是q的必要不充分条件;
如果p / q,q / p,则称p是q的既不充分也不必要条件.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x=y=0”是“x2+y2=0”的充要条件. (　 )
(2)若“p不能推出q”和“q不能推出p”有一个成立,则p一定不是q的充要条件. (　 )
◆ 探究点一　充要条件的判定　　　　　 　　　　　 　　　　　
例1 (1)设A,B是两个集合,则“A B”是“A∪B=B”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(多选题)[2024·广东东莞东华高级中学月考] 下列四个选项中,p是q的充要条件的有(　 )
A.p:三角形是等腰三角形,q:三角形存在两角相等
B.p:两个三角形全等,q:两个三角形的三边分别相等
C.p:xy>0,q:x>0,y>0
D.p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分
[素养小结]
判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.
(2)集合法:即利用集合之间的包含关系判断.
(3)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1 p2 … pn,可得p1 pn;充要条件也有传递性.
◆ 探究点二　根据充要条件求参数
例2 求“关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0有两个不同的正根”的充要条件.(附:由a2-12a+20>0,得a<2或a>10)
变式 [2024·河北邢台翰林中学高一月考] 若集合A={-2,m2},集合B={2,4},则“A∩B={4}”的充要条件是 　　　　.
[素养小结]
p是q的充要条件意味着“p成立则q成立;p不成立则q不成立”.已知两个条件为充要条件求参数的值,通常转化为两个集合相等列方程(组)来求解.
◆ 探究点三　充要条件的证明
例3 求证:“关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1”的充要条件是“a+b+c=0”.
变式 在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,求证:“a2-b2-ac+bc=0”的充要条件是“∠A=∠B”.
[素养小结]
有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,谁是谁的什么条件.证明充要条件要分两个环节:一是证明充分性成立;二是证明必要性成立.
第2课时　充要条件
【课前预习】
知识点
1.充要条件　
诊断分析
(1)√　(2)√　[解析] (1)若x=y=0成立,则x2+y2=0成立;若x2+y2=0成立,则x=y=0成立.故(1)正确.
(2)当p q且q p时,p才是q的充要条件,故(2)正确.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)C　(2)AB　[解析] (1)由A∪B=B可得A B,由A B可得A∪B=B,所以“A B”是“A∪B=B”的充要条件.故选C.
(2)若三角形是等腰三角形,则该三角形的两底角相等;反之,当三角形中有两角相等时,这两角所对的边相等,即该三角形为等腰三角形,所以“三角形是等腰三角形”是“三角形存在两角相等”的充要条件,故A正确.若两个三角形全等,则两个三角形的三边分别相等;反之,若两个三角形的三边分别相等,则这两个三角形全等.所以“两个三角形全等”是“两个三角形的三边分别相等”的充要条件,故B正确.当xy>0时,可能x<0,y<0或者x>0,y>0,故“xy>0”不是“x>0,y>0”的充要条件,故C错误.正方形的对角线互相垂直且平分,但是对角线互相垂直且平分的四边形可以是任意的菱形,不一定是正方形,故“四边形是正方形”不是“四边形的对角线互相垂直且平分”的充要条件,故D错误.故选AB.
探究点二
例2　解:设x1,x2是方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0的两个根,由已知可得解得110,即所求充要条件为“110”.
变式　m=±2　[解析] 因为A∩B={4},所以4∈A,又-2≠4,所以m2=4,解得m=±2.经验证m=±2符合题意,则所求充要条件是“m=±2”.
探究点三
例3　证明:若关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
则x=1满足方程ax2+bx+c=0,
∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
若a+b+c=0,则c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0,因此,方程有一个根为1.故“关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1”的充要条件是“a+b+c=0”.
变式　证明:必要性:若∠A=∠B,则a=b,得a2-b2-ac+bc=0.
充分性:a2-b2-ac+bc=(a+b)·(a-b)-c(a-b)=(a-b)(a+b-c),若a2-b2-ac+bc=0成立,
则(a-b)(a+b-c)=0成立.∵在△ABC中,a+b-c>0,
∴a-b=0,∴a=b,∴∠A=∠B.
综上可知,“a2-b2-ac+bc=0”的充要条件是“∠A=∠B”.