2.1 生活中的变量关系 导学案(含答案）2024-2025学年高一上学期北师大版（2019）必修 第一册

第二章　函数
§1　生活中的变量关系
【学习目标】
1.通过生活中的实际例子,认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系.能够利用初中对函数的认识,了解依赖关系与函数关系的联系与区别.
2.培养类比分析问题的能力,并通过对现实生活中依赖关系的观察、分析归纳和比较来提高实践能力.
◆ 知识点一　依赖关系与函数关系
1.依赖关系
在某变化过程中有两个变量,如果其中一个变量的值发生了变化,另一个变量的值也会随之发生变化,那么就称这两个变量具有依赖关系.
2.函数关系
如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于变量x的　　　　,变量y都有　　　　的值和它对应,那么y就是x的　　　　,其中x是　　　　,y是　　　　　.
注意:函数关系一定是依赖关系,而依赖关系不一定是函数关系,要确定两变量间的函数关系,关键是分清楚谁是自变量,谁是因变量.
【诊断分析】 下列两个变量之间存在依赖关系的是　　　　,其中是函数关系的是　　　　.
①圆的周长和它的半径;
②某同学的数学成绩与他在数学学科上所花的时间;
③家庭收入与消费支出.
◆ 知识点二　分段函数
有些函数在其定义域中,对于自变量x的不同　　　　　,有着不同的　　　　　,这样的函数叫作分段函数.
【诊断分析】 分段函数中x的取值集合分别是各段函数中x的取值集合的　　　,y的取值集合分别是各段函数中y的取值集合的　　　.
◆ 探究点一　变量间的关系
例1 (1)(多选题)若变量y是变量x的函数,则 (　 )
A.变量x,y之间具有依赖关系
B.变量x是变量y的函数
C.当x每取一个值时,变量y都有唯一的值与之对应
D.当y每取一个值时,变量x都有唯一的值与之对应
(2)下列变量间的关系是函数关系的是 (　 )
A.某种农作物单位种植面积的施肥量与产量
B.某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C.正方形的面积S与其边长a之间的关系
D.光照时间和苹果的亩产量
变式 下列过程中,各变量之间是否存在依赖关系 其中哪些是函数关系
(1)做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系;
(2)商品的销售额与广告费之间的关系;
(3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系.
[素养小结]
依赖关系与函数关系的判断方法与步骤:对于两个变量,首先判断一个变量的改变是否影响另一个变量,若是,则两个变量具有依赖关系;若不是,则两个变量不具有依赖关系.当两个变量具有依赖关系时,再判断一个变量的确定是否决定另一个变量的确定,若是,则两个变量是函数关系;若不是,则两个变量是非函数关系.
◆ 探究点二　变量关系的应用
例2 大家都听说过“龟兔赛跑”的故事:领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉.当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点.用S1,S2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则下列图象中与故事情节相吻合的是 (　 )
A B C D
变式 (多选题)一辆赛车在一个周长为3 km的封闭跑道上行驶,跑道由几段直道和弯道组成,图①反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系.
根据图①,以下说法中正确的是 (　 )
A.在这第二圈的2.6 km到2.8 km之间,赛车速度逐渐增加
B.在整个跑道,最长的直线路程不超过0.6 km
C.大约在这第二圈的0.4 km到0.6 km之间,赛车开始了那段最长直线路程的行驶
D.在图②的四条曲线(注:S为初始记录数据时的位置)中,曲线B最能符合赛车的运动轨迹
[素养小结]
利用图象表示两个变量间的关系更加直观,更能反映两个变量相互影响的变化趋势.解题时要注意关注图象的上升、下降,增加、减小的速度快慢等特征.还要注意利用图象中的数据.
拓展 列车从A地出发直达500 km外的B地,途中要经过离A地200 km的C地.假设列车匀速行驶,5 h后从A地到达B地.
(1)求列车的行驶速度,并建立列车与C地的距离s(单位:km)关于时间t(单位:h)的函数关系;
(2)在平面直角坐标系中画出函数的图象.
第二章　函数
§1　生活中的变量关系
【课前预习】
知识点一
2.每一个值　唯一确定　函数　自变量　因变量
诊断分析
①②③　①
知识点二
取值范围　对应关系
诊断分析
并集　并集
【课中探究】
探究点一
例1　(1)AC　(2)C　[解析] (1)因为变量y是变量x的函数,所以变量x,y之间具有依赖关系,且当x每取一个值时,变量y都有唯一的值与之对应,故选AC.
(2)A是依赖关系,B是依赖关系,C是函数关系,D是依赖关系.故选C.
变式　解:(1)科学家通过实验发现,做自由落体运动的物体下落的距离h与时间t的关系为h=gt2,其中g是常量,很显然,对于时间t在其变化范围内的每一个取值,都有唯一的下落距离h与之对应,故这两个变量之间存在依赖关系,且下落距离是时间的函数.
(2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系,但商品的销售额还受其他因素的影响,如产品的质量、价格、售后服务等,所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系.
(3)家庭的食品支出与电视机价格之间不存在依赖关系.
探究点二
例2　D　[解析] 对于A,此函数图象中,S2先取到最大值,即兔子先到达终点,不符合题意.对于B,此函数图象中,S2第2段随时间的增加一直保持不变,与“当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶”不符.对于C,此函数图象中,S1,S2同时到达终点,不符合题意.对于D,易知符合题意.故选D.
变式　AD　[解析] 由题图①知,在2.6 km到2.8 km之间,图象上升,故在这第二圈的2.6 km到2.8 km之间,赛车速度逐渐增加,故A正确;在整个跑道上,高速行驶时长最长在1.8 km到2.4 km之间,但直道加减速也有过程,故最长的直线路程一定超过0.6 km,故B不正确;最长直线路程应在1.4 km到1.8 km之间开始,故C不正确;由图①可知,跑道应有3个弯道,且直线路段两长一短,故D正确.故选AD.
拓展　解:(1)列车的行驶速度为500÷5=100(km/h).
由题意知s=
(2)图象如图所示.