湖北省襄阳五中2024-2025学年高三上学期9月数学试题（含答案）

襄阳五中2025届高三上学期9月月考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知实数，，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3. 中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊马铃若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是 （ ）参考数据：，铜的密度为
A. B. C. D.
4. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 在中，为边上一点，，，，且的面积为，则( )
A. B. C. D.
6. 已知随机事件 、 满足 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 直线l过双曲线E：的左顶点A，斜率为，与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，且 ，则E的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
8. 已知函数，若存在使得关于的不等式成立，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知数列 是等差数列， 是等比数列，则下列说法中正确的是（ ）
A. 将数列的前m项去掉，其余各项依次构成的数列是等差数列
B. 数列，，，…，是等差数列
C. 将数列的前m项去掉，其余各项依次构成的数列不是等比数列
D. 数列，，，，…，是等比数列
10. 如图，棱长为2的正方体 中， 为棱 的中点， 为正方形 内一个动点（包括边界），且 平面 ，则下列说法正确的有（ ）
A. 动点轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的最小值为
C.与不可能垂直 D. 三棱锥的体积为定值
11. 已知函数 的定义域为R， ， ，则（ ）
A. B.
C. 为奇函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若 ，则sin=________________.
13. 现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为 ，则 ________________.
14. 已知函数 若存在实数 满足 ，且 ，则 的取值范围为________________.
四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 的内角 所对的边分别为 ， 是 边上的一点，且满足 ，若 ， ．
(1)求 ；
(2)求三角形 的面积．
16. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ，四边形 为梯形， ， ， ， ， ， ， 交 于点 ，点 在线段 上，且 .
(1)证明： 平面 .
(2)求二面角 的正弦值.
17. 已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)设 ，若 对于 恒成立，求 的最小值．
18. 已知椭圆的标准方程，其左右焦点分别为．
(1)过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；
(2)直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，证直线过定点,并求面积的最大值．
19. 已知 为有穷正整数数列，其最大项的值为 ，且当 时，均有 .设 ，对于 ，定义 ，其中， 表示数集 中最小的数.
（1）若 ，写出 的值；
（2）若存在 满足： ，求 的最小值.
参考答案
1-8 BBAAA AAC
9-11 ABD ABD BCD
12. 13. 14.
15. 解：（1）因为，由正弦定理得，
整理可得sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosB，即sin（A+B）=sinC=2sinCcosB，
且0＜C＜π，则sinC＞0，可得，
因为0＜B＜π，所以；
（2）因为CD=2AD，可得，
两边平方得，
即，
整理得a2+6a-135=0，结合a为正数,解得a=9，
所以三角形ABC的面积．
16. 解：（1）证明：
平面 平面 ，且两平面交于 ，又 ，
平面，
在 中，
， ，
，
且 ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
又 ，
为等腰直角三角形，，
，
∴ ，
又 ，
所以 ，
又 平面 , 平面 ，
平面；
（2）
由（1）得 平面 ，且 ，
所以以E为原点，EB、ED、EA所在直线为x，y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
可得 ， ， ，
即 ，，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令x=1，得y=1,z=,
故平面 的一个法向量为，
平面 的法向量为，
设二面角 为 ，
所以 ，
则 .
17. 解：（1）由题 ，在 处， ， ，
所以曲线 在 处的切线方程为 .
（2）,
当 时， ， ，所以，故 单调递减；
当 时， ， ，所以，故 单调递增，
所以 的单调递增区间是 ，递减区间是 .
（3） 且 时 ，又由（2）知函数 在 上单调递增，
若 对于 恒成立，则 ，
两边取对数 得 ，
所以 对于 恒成立，
设 ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，
所以 的最小值为 .
18. 解：(1)由椭圆方程知，(-1,0)，
显然直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x+2)(k0),A(,),B(,),
联立，消去y得,(1+)+x+-2=0,
所以=-4(1+)(-2)=8(1-)>0,
即0<<，且+=-,=,
因为，
所以，
所以(-1-,-)(-1-,-)=0,
即1++++=0,
所以1++++k(+2)k(+2)=0,
整理得(1+)(+)+(1+)+1+=0,
即(1+)(-)++1+=0,
化简得-1=0,即k=满足条件,
则y=(x+2)或y=-(x+2),
即直线AB的方程为x-2y+2=0或x+2y+2=0；
(2) 由题意,(1,0) ,
设直线的方程为y=k(x+1),C(,),D(,),
则直线的方程为y=-(x+1),E(,),F(,),
联立，消去y得(1+)-x+-2=0,
所以+=,=，
所以==,=k(-1)=-，
所以M(,),
同理联立，消去y得(1+)-2x+1-=0,
所以+=,=，
所以==,=-(-1)=，
所以N(,),
即MN的中点T(,0)，
所以直线MN过定点T(,0)，
=-|=||==,
当且仅当2|k|=,即k=时取等号,
所以的面积最大值为.
19. 解：（1）由 ， ，则 ，故 ，
则 ，故 ，
则 ，故 ；
（2）由题意可知， ，当 时，由 ， ，
故 ，则 ，
由题意可得 ，故 、 总有一个大于 ，即 或 ，
，由 ，故 、 、 总有一个大于 ，
故 ，故当 时， ，不符，故 ，
当 时，取数列 ，
有 ， ， ，即 ，符合要求，故 的最小值为 ；