四川省成都市石室阳安学校2024-2025学年高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年四川省成都市石室阳安学校高二（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某校高一年级有名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为的样本，则抽取男生和女生的人数分别为，，则该校高一年级的女生人数为( )
A. B. C. D.
2.已知平面，，直线，直线不在平面内，下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
3.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对名学生进行抽样，先将名学生进行编号，，，，，从中抽取个样本，如图提供随机数表的第行到第行，若从表中第行第列开始向右读取数据，则得到的第个样本编号是( )
A. B. C. D.
4.某校高一年级个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得个班的比赛得分如下：，，，，，，，，，，则这组数据的分位数为( )
A. B. C. D.
5.已知，，若，则实数( )
A. B. C. D.
6.已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生到之间取整数值的随机数，指定、、、表示命中，、、、、、表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下组随机数：据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率( )
A. B. C. D.
7.从装有红球、白球和黑球各个的口袋内一次取出个球，给出以下事件：
两球都不是白球； 两球中恰有一白球； 两球中至少有一个白球．
其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )
A. B. C. D.
8.已知事件，互斥，它们都不发生的概率为，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的名考生的成绩进
行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，
，，，，，若同一组中数据用该组
区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是( )
A. 考生参赛成绩的平均分约为分
B. 考生参赛成绩的第百分位数约为分
C. 分数在区间内的频率为
D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，则成绩在区间应抽取人
10.根据不同年龄段学生身心发展特点，小学生每天睡眠时间应达到小时，初中生应达到小时，高中生应达到小时某机构调查了万个学生时间利用信息得出如图所示的折线统计图，则以下判断错误的有( )
A. 高三年级学生平均学习时间最长
B. 中小学生的平均睡眠时间都没有达到标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准
C. 大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间
D. 与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠
11.不透明盒子里装有除颜色外完全相同的个黑球、个白球，现从盒子里随机取出个小球，记事件“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件“两个球中至多一个黑球”，事件“两个球均为白球”，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛甲、乙各投篮一次，甲投中的概率为，乙投中的概率为，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为______．
13.某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有名女员工，女员工的平均体重为，标准差为；有名男员工，男员工的平均体重为，标准差为则样本中所有员工的体重的标准差为______．
14.已知函数，其中系数、，任取一个函数有零点的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在正方体中，是棱的中点．
证明：平面；
若正方体棱长为，求三棱锥的体积．
16.本小题分
已知不透明的盒子中装有标号为，，的小球各个小球除颜色、标号外均相同．
若一次取出个小球，求取出的个小球上标号均不相同的概率；
若有放回地先后取出个小球，求取出的个小球上标号不相同的概率．
17.本小题分
为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准吨，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量单位：吨，将数据按照，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中．
求直方图中，的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数每组数据用该组区间中点值作为代表；
设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由；
若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准吨，估计的值，并说明理由．
18.本小题分
如图，平面，为圆的直径，，分别为棱，的中点．
证明：平面．
证明：平面平面．
19.本小题分
某校高一年级有男生人，女生人为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为的样本，并观测样本的指标价单位：，计算得男生样本的身高平均数为，方差为下表是抽取的女生样本的数据；
抽取次序
身高
记抽取的第个女生的身高为，样本平均数，方差参考数据：，，．
若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数；
用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值；
如果女生样本数据在之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差．
参考答案
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15.解：证明：连交于，连，
所以是的中位线，所以，
又面，面，
所以平面；
因为正方体中，平面，
所以．
16.解：分别记个小球为，，，，，，
从中任取个小球有个基本事件，分别为：
，，，，，，，
，，，，，，，
，，，，，，
个小球上标号均不相同的基本事件有个，分别为：
，，，，，，，，
取出的个小球上标号均不相同的概率为；
有放回地先后取出个小球，总的取法有种，
个小球上标号相同的取法有个，分别为：
，，，，，，，，，，，
取出的个小球上标号不相同的概率为：
．
17.解：由题意得：，
解得，．
由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数为：
．
由频率分布直方图得：
全市居民中月均用水量不低于吨的频率为：，
全市居民中月均用水量不低于吨的人数为：
．
前组的频率之和是，
而前组的频率之和为，
，
由，解得：，
因此，估计月用水量标准为吨时，的居民每月的用水量不超过标准．
18.证明：因为，分别为棱，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
因为为圆的直径，所以．
因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
由知，所以平面，又平面，
所以平面平面．
19.解：因女生样本中，身高在范围内的占比为，
故该校高一女生身高在范围内的人数估计为；
记总样本的平均数为，标准差为，
由题意，设男生样本人的身高平均数为，方差为，女生样本人的身高平均数为，方差，
则，
，
故；
因，，则，
即，约为，
由样本数据知，，为离群值，
剔除后，女生样本人的身高平均数为：，
由，
可得，则剔除后，女生样本人的身高的方差为：．
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