山西省长治市2024-2025学年 高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年山西省长治市高三（上）质检数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是( )
A. B. C. D.
4.已知下列四个命题：
：设直线是平面外的一条直线，若直线不平行于平面，则内不存在与平行的直线．
：过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行．
：如果直线，和平面满足，，那么．
：设，，均为直线，其中，在平面内，则“”是“且”的充分不必要条件．
其中真命题的个数是( )
A. B. C. D.
5.的展开式中的项系数为( )
A. B. C. D.
6.平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态若与的夹角为，则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.若直线与曲线和圆都相切，则的方程为( )
A. B. C. D.
8.已知矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点当的面积取最大值时，的长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图像如图所示，则( )
A.
B. 的图像关于点对称
C. 的图像关于直线对称
D. 函数为偶函数
10.已知，，有一组样本数据为，，，，，，，，，若在这组数据中再插入一个数，则( )
A. 平均数不变 B. 中位数不变 C. 方差不变 D. 极差不变
11.如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点含边界，则下列说法中正确的是( )
A. 直线平面
B. 棱与平面所成角的正切值为
C. 若平面，则动点的轨迹是一条线段
D. 若，那么点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，，，则 ______．
13.已知抛物线、分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，且与双曲线的一条渐近线交于点，若，则 ______．
14.已知实数，满足，，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在锐角中，，，分别为内角、，的对边，且．
求的大小；
求的取值范围．
16.本小题分
如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，是圆上不同于、的一点．
求证：平面平面；
若，，，求二面角的正弦值．
17.本小题分
已知函数，．
若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
求函数的单调区间；
当时，证明：．
18.本小题分
已知椭圆的右焦点为，且该椭圆过点，直线交椭圆于，两点．
求椭圆的方程；
若的中点坐标为，求直线的方程；
若直线方程为，过、作直线：的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点，求证：四边形为梯形．
19.本小题分
某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对辆汽车进行了单次最大续航里程理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程的测试现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：
估计这辆汽车的单次最大续航里程的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值代表．
由频率分布直方图计算得样本标准差的近似值为根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差．
利用该正态分布，求；
假设某企业从该汽车公司购买了辆该款新能源汽车，记表示这辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间的车辆数，求．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在轴上从原点出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都是，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向右移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点胜利大本营或点失败大本营时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券设遥控车移到点的概率为，试证明数列是等比数列，求出数列的通项公式，并比较和的大小．
参考答案
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15.解：由及正弦定理得，，
整理得，
由余弦定理得，，
，．
为锐角三角形，且，
，解得，
，
由，知，
，
，
故的取值范围为．
16.证明：平面，平面，，
是圆的直径，，
，、平面，平面，
平面，平面平面；
解：法一：如图，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，
则由，可得，
令，得，
设平面的法向量，
则有，令，得，
则，，
二面角的正弦值为．
法二：作于，作于，连接，
平面，平面，，
，、平面，平面，
平面，，
又，、平面，平面，
平面，，
为二面角的平面角，
，
平面，平面，
，，
平面，平面，，
，
则，
二面角的正弦值为．
17.解：，
由曲线在点处的切线与直线垂直得，
，．
的定义域为，，
当时，，在上是增函数；
当时，由，得．
当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
综上：当时，在上是增函数；
当时，在单调递增，在单调递减．
证明：当时，，
令，．
，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
，．
18.解：由题得，
将代入得：，
即，
则，，
椭圆的方程为．
解：设，，
则，
且，
两式相减得：，
可得，
则直线的方程为，
即．
证明：联立，
得，
则，且，
则
，
所以，
又直线的斜率存在且不为，与不平行，
所以四边形为梯形．
19.解：．
．
服从二项分布，
．
当时，，，
，，，
是以为首项，为公比的等比数列，
，
，，，，
累加得：
，，
，
，
，
．
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