陕西省西安建筑科技大学附属中学2024-2025学年 高三（上）月考数学试卷（一模）（含答案）

2024-2025学年陕西省西安建筑科技大学附属中学高三（上）月考
数学试卷（一模）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.若数列满足，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则函数的零点为( )
A. B. C. D.
5.若椭圆的长轴长为，则( )
A. B. C. D.
6.在的展开式中，含的项的系数是，则( )
A. B. C. D.
7.圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数在与上的值域均为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 为偶函数 B.
C. 无零点 D. 在上单调递减
10.某地农科所为研究新的大豆品种，在面积相等的块豆田上种植一种新型的大豆，得到各块豆田的亩产量单位：，将所得数据按，，，，，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图，
则下列结论正确的是( )
A. 这块豆田的亩产量的中位数低于
B. 这块豆田的亩产量的极差不高于
C. 在这块豆田中，亩产量不低于的豆田所占比例为
D. 这块豆田的亩产量的第百分位数高于
11.如图，在平面直角坐标系中，点，，，，均在轴正半轴上，点，，，，均在轴正半轴上已知，，，，，，，四边形，，，，，，，，均为长方形当时，记为第个倒“”形，则( )
A. 第个倒“”形的面积为
B. 长方形的面积为
C. 点，，，，均在曲线上
D. 能被整除
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，满足，若，则 ______．
13.已知直线与曲线相切，则 ______．
14.如图，已知，分别是双曲线的左、右焦点，，分别为双曲线的左支、右支上异于顶点的点，且若：：：：，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，已知．
求角的大小；
若，，求；
若，求的值．
16.本小题分
良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的可能性，对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯，开展了“爱眼护眼”有奖知识竞赛活动，班主任将竞赛题目分为，两组，规定每名学生从，两组题目中各随机抽取道题作答已知该班学生甲答对组题的概率均为，答对组题的概率均为假设学生甲每道题是否答对相互独立．
求学生甲恰好答对道题的概率；
设学生甲共答对了道题，求的分布列及数学期望．
17.本小题分
如图，在九面体中，平面平面，平面平面，，，底面为正六边形．
证明：平面．
证明：平面．
求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知抛物线：的焦点为过作两条互相垂直的直线，，且直线与交于，两点，直线与交于，两点，，均在第一象限设，分别为弦，的中点，直线与直线交于点．
求的方程．
直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
证明：点在直线上．
19.本小题分
若函数在上存在，，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中，称为在上的中值点．
判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由．
已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，，是在上的中值点．
求的取值范围；
证明：．
参考答案
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15.解：由及正弦定理得，．
因为，所以，则，即．
因为，所以．
根据余弦定理得，即，解得或舍去，故．
方法一：由和正弦定理，得，即．
，即，则得．
方法二：根据余弦定理得，则．
，则角是锐角，故，
则．
16.解：易知学生甲恰好答对道题有以下两种情况：
第一种情况是学生甲答对组的道题和组的道题，
此时概率；
第二种情况是学生甲答对组的道题和组的道题，
此时概率．
则学生甲恰好答对道题的概率；
易知的所有可能取值为，，，，，
此时，
，
，
，
由知，
则的分布列为：
故．
17.解：证明：记，的中点分别为，，连接，，，
因为，所以，且
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
因为平面平面，所以平面平面，
同理可得：平面，，
所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
证明：由正六边形性质可知，，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为，所以平面．
由正六边形性质可知，，
以，所在直线分别为，轴，过其交点作平面的垂线为轴，建立如图所示空间直角坐标系．
则，
因为，
设平面的法向量为，则，，
则，取，得，
记与平面所成角为，则．
18.解：抛物线：的焦点为，
则有，
则，
所以抛物线的方程为．
解：直线，与抛物线各有两个交点，可知直线，斜率存在且不为，
设直线的斜率为，
则直线：，
设，，
由，
消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
由为弦的中点，
有，
则，
由垂直的条件，可将换为，
设，，
同理得，，
有，
当或时，直线的方程为，
当且时，直线的斜率为，方程为，
即，
可知时，
所以直线过定点，其坐标为．
证明：，
同理得，
此时直线的方程为，
即，
同理，直线的方程为，
由，
消去解得，
故直线与直线的交点在直线上．
19.解：函数是上的“双中值函数”理由如下：
因为，所以．
因为，，所以，
令，得，即，解得，
因为，所以是上的“双中值函数”．
因为，所以，
因为是上的“双中值函数”，所以．
由题意可得．
设，则，
当时，，则为减函数，即为减函数；
当时，，则为增函数，即为增函数，
故，
因为，所以，所以，即的取值范围为；
证明：不妨设，
则，，即，．
要证，即证，
设，
则，
设，则，
所以在上单调递增，所以，所以，
则在上单调递减．
因为，所以，即．
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
由可知在上单调递增，所以，即，得证
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