人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形12.2 三角形全等的判定1
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形12.2 三角形全等的判定1 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 6.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-07 19:28:19 | ||
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文档简介
人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定1
学习目标
经历实验探究的过程，直观发现三边相等的两个三角形全等。会用直规作图法作“一条线段等于已知线段，一个角等于已知角”，提高动手操作能力。知道这样作图的理由。
能利用“SSS”进行有关的计算或证明。发展逻辑推理能力、计算能力和空间观念。
老师告诉你
用全等三角形探索线段的位置关系的方法
线段的位置关系有平行和垂直，一般先应用全等三角形证明出相等的两个角，然后利用三角形内角和等于180°、等角的余角相等、邻补角的定义等，转化为具有特殊位置关系的两个角的关系，从而判断出两条直线的位置关系，最后确定两条线段的位置关系。
知识点拨
知识点1 全等三角形的判定1：边边边（SSS）
文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.
图形：
符号：在与中，
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中；
③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论.
注意：（1）说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.
（2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.
【新知导学】
例1-1 .如图，已知AD=BC，根据“SSS”，还需要一个条件________，可证明△ABC≌△BAD；
【对应导练】
1 .如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ）
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
2.如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求．
3.如图，，，．
（1）图中有几对全等三角形？请一一写出来．
（2）过点作，，垂足分别为，．求证：．
知识点2 用尺规作一个角等于已知角
已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB．
作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C、D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
【新知导学】
例2-1 .用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是 （用字母写出）．
【对应导练】
1 . 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是（ ）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
2.如图，用直尺和圆规过直线l外一点P作直线l的平行线，能得出的依据是（ ）
A． B． C． D．
3 .如图，已知 ABC中∠C=45°,AC>AB，请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC=45°．
知识点3 运用边边边定理证明和计算
运用“SSS”证明两个三角形全等主要是找边相等，边相等除了题目中已知的边相等外，还有一些相等边隐含在题设或图形中。
【新知导学】
例3-1 .如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AB=CD，BF=DE，AE=CF．
求证：．
【对应导练】
1.如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
2.如图，在和中，点，，，在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
①；②；③；④；
解：我写的真命题是：
在和中，
已知：________________________．
求证：____________．（不能填序号）
证明：
题型训练
1.利用边边边尺规作角
1 .已知：如图1，在 ABC中，∠CAB=60°．求作：射线CP，使得CP//AB．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图2，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D,E两点；
②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在∠FCB内部交于点P；
④作射线CP．所以射线CP就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接FB，DE．
，，．
__________，
__________，
（__________）（填推理的依据）．
2 .如图，在中，D是边上一点．
(1)求作：，交边于点E．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)与的位置关系是______________，理由： ．
2.利用边边边证明角的关系
3.如图，在中，点D在上，点E在上，连接、．若，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD．
（1）求证：∠BAC＝∠EAD；
（2）写出∠1，∠2，∠3之间的数量关系，并予以证明．
3.利用边边边证明线段位置关系
5.已知：如图，点A，C，B，D都在一条直线上，AC=BD，AM=CN，BM=DN．求证：AM∥CN．
6 .如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
牛刀小试
选择题（每小题4分，共32分）
1 .用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ）
A． B． C． D．
2 .下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容：
则回答正确的是（ ）
A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA
3 .如图，在 ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠C=70°，则∠BAD的度数是（ ）
A．20° B．45° C．60° D．70°
4 .如图，在中，点D在上，点E在上，连接、．若，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5 .如图，点C在∠AOB的边OB上，尺规作图痕迹显示的是（ ）
A．作线段CE的垂直平分线 B．作∠AOB的平分线
C．连接EN，则 CEN是等边三角形 D．作CN//OA
6 .如图，，，，，，那么（ ）
A． B． C． D．
7 ..如图，，，则，其依据是（ ）
A． B． C． D．
8 .如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ）
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .如图，已知，，，直线与，分别交于点，，且，，则的度数为 ．
10 .如图，已知，点C为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；②以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接并延长交于点H．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11 .如图，，，，，，那么（ ）
A． B． C． D．
12 .如图，若、，，，则_________．
13..2024年8月22日，某中学八年级（4）班的同学观看了神舟18号升天全过程，同学们组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，，那么的依据是________
三、解答题（共6小题，48分）
14．（6分）如图，．求证：．
15．（8分）如图，已知在同一条直线上，，，．与交于点，
(1)求证；
(2)若，，求的度数．
16 .（8分）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB．求证：∠A=∠C．
17 .（8分）阅读材料：
已知，求作，使得．
作法：如图．
①作；
②分别以点为圆心，线段长为半径作弧，两弧相交于点；
③连接线段，则即为所求的三角形．
请你根据以上材料解答下列问题：
(1)完成下面说明过程（将正确答案填在相应的空上）；
由作图可知，在和中，
所以______．
(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号）．
①AAS ②ASA ③SAS ④SSS
18．（9分）如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF
(1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；
(2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？
(3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．
19 .（9分）如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想；
（2）过点D作交于点E，若，，求的长．
人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定1
学习目标
经历实验探究的过程，直观发现三边相等的两个三角形全等。会用直规作图法作“一条线段等于已知线段，一个角等于已知角”，提高动手操作能力。知道这样作图的理由。
能利用“SSS”进行有关的计算或证明。发展逻辑推理能力、计算能力和空间观念。
老师告诉你
用全等三角形探索线段的位置关系的方法
线段的位置关系有平行和垂直，一般先应用全等三角形证明出相等的两个角，然后利用三角形内角和等于180°、等角的余角相等、邻补角的定义等，转化为具有特殊位置关系的两个角的关系，从而判断出两条直线的位置关系，最后确定两条线段的位置关系。
知识点拨
1.知识点导航
2.知识点梳理
知识点1 全等三角形的判定1：边边边（SSS）
文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.
图形：
符号：在与中，
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中；
③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论.
注意：（1）说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.
（2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.
【新知导学】
例1-1 .如图，已知AD=BC，根据“SSS”，还需要一个条件________，可证明△ABC≌△BAD；
【答案】DB=CA
【解析】图形中隐含条件AB=BA，找出第三边BD和AC即可；
在△ABC和△BAD中 ，∴△ABC≌△BAD（SSS）
【点评】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．
【对应导练】
1 .如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ）
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
【答案】A
【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．
【详解】解：∵AE=FB，
∴AE+BE=FB+BE，
∴AB=FE，
在△ABC和△FED中，
，
∴△ABC≌△FED（SSS），
∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，
∴可利用的是①或②，
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．
2.如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求．
【答案】
【分析】根据题意，直接根据证明，再根据全等三角形对应角相等，即可求解．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等，对应角相等．判定三角形全等的方法是．
3.如图，，，．
（1）图中有几对全等三角形？请一一写出来．
（2）过点作，，垂足分别为，．求证：．
【答案】（1）解：∵，，
∴；
∵，，．
∴；
∵，，，
∴．
∴共有3对全等三角形：；；．
（2）证明：在和中，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
【思路点拨】（1）利用全等三角形的判定方法分析求解即可；
（2）先利用“SSS”证出可得，再结合求出即可.
知识点2 用尺规作一个角等于已知角
已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB．
作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C、D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
【新知导学】
例2-1 .用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是 （用字母写出）．
【分析】根据用直尺和圆规画一个角等于已知角的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等．
【解答】
解：①设已知角的顶点为O，以O为圆心，任意长度为半径画圆，交角两边为A，B两点；
②用直尺画一条射线，端点为M，以M为圆心，用同样的半径画圆，该圆为圆M，交射线为C点；
③以A为圆心，以AB为半径画圆，然后以C点为圆心，以同样的半径画圆，交圆M于D，E两点，随意连MD或者ME；得到的∠CMD就是所求的角；由以上作角过程不难看出有三个对应边相等．
∴证明全等的方法是SSS．故答案为：SSS．
【点评】本题考查的关键是作角的过程，作角过程中所产生的条件就是证明全等的条件．
【对应导练】
1 . 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是（ ）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】A
【规范解答】解：连接NC，MC.
在△ONC和△OMC中，
ON=OM，NC=MC，OC=OC，
∴△ONC≌△OMC(SSS）
由题意知B、C、D不符合题意.
故答案选A.
【思路点拨】用直尺和圆规作图，根据性质可得到OA=OB，同理AC=BC，OC为它们的公共边，所以两个三角形全等.
2.如图，用直尺和圆规过直线l外一点P作直线l的平行线，能得出的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【规范解答】如图所示：
根据作图过程可知：OA=OB=PC=PD，AB=CD，
∴△PCD≌△OAB（SSS），
∴，
故答案为：D.
【思路点拨】根据作图步骤可得OA=OB=PC=PD，AB=CD，再利用“SSS”证出△PCD≌△OAB即可.
3 .如图，已知 ABC中∠C=45°,AC>AB，请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC=45°．
【答案】见解析
【详解】根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可．
【分析】解：如图所示，点P即为所求．
【点评】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，熟知相关作图方法是解题的关键．
知识点3 运用边边边定理证明和计算
运用“SSS”证明两个三角形全等主要是找边相等，边相等除了题目中已知的边相等外，还有一些相等边隐含在题设或图形中。
【新知导学】
例3-1 .如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AB=CD，BF=DE，AE=CF．
求证：．
【答案】见解析
【思路点拨】要证明，把两角置于三角形中，证两三角形全等，由已知观察由AE=CF可得 AF=CE，利用三边对应相等的判定即可．
【规范解答】证明：
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【考点评析】本题考查三角形全等的证明问题，关键是会从条件AE=CF中，证出AF=CE，掌握全等的证明方法，会按要求书写证明过程．
【对应导练】
1.如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【思路点拨】（1）先根据得，由此可依据“”判定和全等；
（2）由得，进而根据三角形内角和定理可得的度数．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【规范解答】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）解：，，
由（1）可知：，
，
．
2.如图，在和中，点，，，在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
①；②；③；④；
解：我写的真命题是：
在和中，
已知：________________________．
求证：____________．（不能填序号）
证明：
【答案】见解析
【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．如果①②④联合，利用易证，从而可得；如果①③④联合，利用易证，从而可得．
【规范解答】解：已知：，，，
求证：，
证明：，
，即．
，，
，
．
（或已知：，，，
求证：，
证明：，
，即．
，，
．
．）
题型训练
1.利用边边边尺规作角
1 .已知：如图1，在 ABC中，∠CAB=60°．求作：射线CP，使得CP//AB．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图2，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D,E两点；
②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在∠FCB内部交于点P；
④作射线CP．所以射线CP就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接FB，DE．
，，．
__________，
__________，
（__________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；（2），，同位角相等两直线平行
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用全等三角形的性质证明即可．
【详解】解：（1）如图，射线即为所求作．
（2）连接，．
，，．
，
，
（同位角相等两直线平行）．
故答案为：，，同位角相等两直线平行．
【点评】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2 .如图，在中，D是边上一点．
(1)求作：，交边于点E．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)与的位置关系是______________，理由： ．
【答案】(1)见解析
(2)平行；同位角相等，两直线平行
【思路点拨】本题考查作图—基本作图和平行线的判定，解题的关键是掌握作图基本方法和平行线的判定方法．
（1）根据作一个角等于已知角的作图方法，作，与边交于点E，即可得到图形；
（2）根据同位角相等，两直线平行进行判定即可得到答案．
【规范解答】（1）解：如图，即为所求作的角．
（2）解：与的位置关系是平行，理由是：同位角相等，两直线平行；
∵，
∴．
2.利用边边边证明角的关系
3.如图，在中，点D在上，点E在上，连接、．若，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．
由，，求得，再根据“SSS”证明，得，所以，于是得到问题的答案．
【规范解答】解：，，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：B．
4.如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD．
（1）求证：∠BAC＝∠EAD；
（2）写出∠1，∠2，∠3之间的数量关系，并予以证明．
【答案】（1）见解析；（2）∠3=∠1+∠2，见解析
【分析】（1）根据SSS证△BAE≌△CAD，推出∠BAE=∠CAD即可；
（2）根据全等三角形性质推出∠1=∠BAE，∠2=∠ABE，代入∠3=∠BAE+∠ABE求出即可．
【详解】(1)证明：在△ABE和△ACD中,
∵AB=AC，AD=AE，BE=CD
∴△ABE≌△ACD(SSS),
∴∠BAE=∠CAD.
∴∠BAE+ EAC=∠CAD+ EAC .
∴∠BAC=∠EAD.
(2) ∠3=∠1+∠2;
理由如下：由图中知，
∠3=∠ABE+∠BAE
又由（1）中知△ABE≌△ACD，
∴ ∠ABE=∠2 , ∠BAE=∠1
∴ ∠3=∠1+∠2
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,三角形外角的性质，注意：全等三角形的对应角相等．
3.利用边边边证明线段位置关系
5.已知：如图，点A，C，B，D都在一条直线上，AC=BD，AM=CN，BM=DN．求证：AM∥CN．
【答案】证明见详解．
【分析】首先根据可得，再加上条件 可利用SSS定理证明≌即可．
【详解】证明：
即
在和中，
∴≌（SSS）,
∴∠A=∠NCD，
∴AM∥CN．
【点评】本题考查三角形全等判定，掌握三角形全等判定定理与方法是解题关键
6 .如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)9
【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差是解题的关键．
（1）证明，则，进而可证；
（2）由题意得，，由，可得，根据，计算求解即可．
【规范解答】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长度为9．
牛刀小试
选择题（每小题4分，共32分）
1 .用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】本题主要考查了基本作图、全等三角形的判定与性质等知识点，明确作图过程成为解答本题的关键．
通过分析作图的步骤，发现与的三条边分别对应相等，于是利用边边边判定，根据全等三角形对应角相等得．
【规范解答】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D；
②作射线，以为圆心， 长为半径画弧，交于点；
③以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；
④过点作射线．
所以就是与相等的角．
在与中，
，
，
，即运用的判定方法是．
故选：A．
2 .下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容：
则回答正确的是（ ）
A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA
【答案】B
【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定与性质可☆代表对应角，※代表，@代表，◎代表
【规范解答】解：∵在和中
，
∴，
∴（全等三角形的对应角相等），
∵，
∴，
∴；
故选：B．
3 .如图，在中，，D为中点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】证明得到，，即可利用三角形内角和定理求出答案．
【详解】解：∵D为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故选A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是解题的关键．
4 .如图，在中，点D在上，点E在上，连接、．若，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．
由，，求得，再根据“SSS”证明，得，所以，于是得到问题的答案．
【规范解答】解：，，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：B．
5 .如图，点C在的边OB上，尺规作图痕迹显示的是（ ）
A．作线段CE的垂直平分线 B．作的平分线
C．连接EN，则是等边三角形 D．作
【答案】D
【分析】根据作图得出△ODM≌△CEN（SSS），得出∠MAD=∠NCE，得出OM∥CN即可．
【详解】解：连结EN ,
在△ODM和△CEN中，
，
∴△ODM≌△CEN（SSS），
∴∠MAD=∠NCE，
∴OM∥CN，
故选D．
【点评】本题考查尺规作图，掌握基本作图，三角形全等判定与性质，平行线的判定是解题关键．
6 .如图，，，，，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理．先找出满足两个三角形全等的条件：三边对应相等，可证．再根据全等三角形的性质、三角形内角和定理可求．
【规范解答】证明：，
．
在与中，
，
．
，
．
故选：C．
7 ..如图，，，则，其依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可得，两个三角形三条对应边相等，则判断其全等依据为边边边．
解：在和中，
所以
故选：C
【点拨】本题考查三角形全等的判定，找到对应条件是解题的关键．
8 .如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ）
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
【答案】A
【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．
解：∵AE=FB，
∴AE+BE=FB+BE，
∴AB=FE，
在△ABC和△FED中，
，
∴△ABC≌△FED（SSS），
∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，
∴可利用的是①或②，
故选：A．
【点拨】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .如图，已知，，，直线与，分别交于点，，且，，则的度数为 ．
【答案】
【思路点拨】根据SSS得到，进而得到，，再结合对顶角相等，可得，最后再利用角的和差即可求解．
【规范解答】解：∵，，，
，
，，
与是对顶角，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10°．
【考点评析】本题考查全等三角形的判定与性质，对顶角的性质、角的和差计算等内容，识别出与这一组对顶角，得到的度数是解题的关键．
10 .如图，已知，点C为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；②以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接并延长交于点H．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路点拨】本题考查尺规基本作图-作一角等于已知角，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，
根据作图，由全等三角形的判定定理可以推知，得到，即，再利用三角形外角性质求解即可．
【规范解答】解：由作图可知，在与中，
，
则．
∴，即，
∴．
故选：D．
11 .如图，，，，，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理．先找出满足两个三角形全等的条件：三边对应相等，可证．再根据全等三角形的性质、三角形内角和定理可求．
【规范解答】证明：，
．
在与中，
，
．
，
．
故选：C．
12 .如图，若、，，，则_________．
【分析】连接并延长至点E，先证明，得到，，再利用三角形外角的性质，求得，即可求出的度数．
解：如图，连接并延长至点E，
在和中，
，
，
，，
，，
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
13..2024年8月22日，某中学八年级（4）班的同学观看了神舟18号升天全过程，同学们组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，，那么的依据是________
【答案】SSS
【分析】由E，F分别是，的中点，，得出；根据三边对应相等，证明．
解：∵E，F分别是，的中点，
∴
在与中
∴
故填SSS
【点拨】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
三、解答题（共6小题，48分）
14．（6分）如图，．求证：．
【答案】．见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
直接利用“”证明全等即可．
【详解】证明： 和中，
，
，
．
15．（8分）如图，已知在同一条直线上，，，．与交于点，
(1)求证；
(2)若，，求的度数．
【答案】．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由，可得，利用即可证明；
（）如图，由（）知，，则，得到，进而推导出，由三角形内角和定理可得，即可求解；
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：如图，
由（）知，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
16 .（8分）如图，在四边形ABCD中，，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】连接 证明再利用全等三角形的性质可得结论.
【详解】解：连接
四边形ABCD中，，，
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，构建全等三角形，利用证明三角形全等是解题的关键.
17 .（8分）阅读材料：
已知，求作，使得．
作法：如图．
①作；
②分别以点为圆心，线段长为半径作弧，两弧相交于点；
③连接线段，则即为所求的三角形．
请你根据以上材料解答下列问题：
(1)完成下面说明过程（将正确答案填在相应的空上）；
由作图可知，在和中，
所以______．
(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号）．
①AAS ②ASA ③SAS ④SSS
【答案】(1)，，
(2)④
【解析】略
18．（9分）如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF
(1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；
(2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？
(3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）成立，证明详见解析；（3）AD与CB不一定平行，理由详见解析.
【分析】（1）根据AF=CE可得AF+EF=CE+EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（2）根据AF=CE可得AF-EF=CE-EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（3）根据已知两个条件，不能判定△ADE≌△CBF，不能确定∠A=∠C，即可得AD和CB不一定平行.
【详解】（1）∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF.
（2）成立.理由如下：
∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF.
（3）AD与CB不一定平行，理由如下：
∵只给了两组对应相等的边，
∴不能判定△ADE≌△CBF，
∴不能判定∠A与∠C的大小关系，
∴AD与CB不一定平行，
【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。
19 .（9分）如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想；
（2）过点D作交于点E，若，，求的长．
【答案】（1）解：，理由如下：
在和中，
，
，
，
又
；
（2）解：，
，
，
，
，
，，
，
.
【思路点拨】（1）BD⊥AC，理由如下：首先由SSS证△ABD≌△CBD，由全等三角形的对应角相等得∠ABD=∠CBD，进而根据等腰三角形的三线合一可得结论；
（2）由二直线平行，内错角相等得∠EDB=∠ABD，由（1）可得∠ABD=∠CBD，则∠EDB=∠CBD，由等角对等边得DE=BE，进而根据线段的和差，由BE=BC-CE算出BE，即可得出DE的长.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定1
学习目标
经历实验探究的过程，直观发现三边相等的两个三角形全等。会用直规作图法作“一条线段等于已知线段，一个角等于已知角”，提高动手操作能力。知道这样作图的理由。
能利用“SSS”进行有关的计算或证明。发展逻辑推理能力、计算能力和空间观念。
老师告诉你
用全等三角形探索线段的位置关系的方法
线段的位置关系有平行和垂直，一般先应用全等三角形证明出相等的两个角，然后利用三角形内角和等于180°、等角的余角相等、邻补角的定义等，转化为具有特殊位置关系的两个角的关系，从而判断出两条直线的位置关系，最后确定两条线段的位置关系。
知识点拨
知识点1 全等三角形的判定1：边边边（SSS）
文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.
图形：
符号：在与中，
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中；
③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论.
注意：（1）说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.
（2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.
【新知导学】
例1-1 .如图，已知AD=BC，根据“SSS”，还需要一个条件________，可证明△ABC≌△BAD；
【对应导练】
1 .如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ）
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
2.如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求．
3.如图，，，．
（1）图中有几对全等三角形？请一一写出来．
（2）过点作，，垂足分别为，．求证：．
知识点2 用尺规作一个角等于已知角
已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB．
作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C、D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
【新知导学】
例2-1 .用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是 （用字母写出）．
【对应导练】
1 . 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是（ ）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
2.如图，用直尺和圆规过直线l外一点P作直线l的平行线，能得出的依据是（ ）
A． B． C． D．
3 .如图，已知 ABC中∠C=45°,AC>AB，请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC=45°．
知识点3 运用边边边定理证明和计算
运用“SSS”证明两个三角形全等主要是找边相等，边相等除了题目中已知的边相等外，还有一些相等边隐含在题设或图形中。
【新知导学】
例3-1 .如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AB=CD，BF=DE，AE=CF．
求证：．
【对应导练】
1.如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
2.如图，在和中，点，，，在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
①；②；③；④；
解：我写的真命题是：
在和中，
已知：________________________．
求证：____________．（不能填序号）
证明：
题型训练
1.利用边边边尺规作角
1 .已知：如图1，在 ABC中，∠CAB=60°．求作：射线CP，使得CP//AB．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图2，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D,E两点；
②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在∠FCB内部交于点P；
④作射线CP．所以射线CP就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接FB，DE．
，，．
__________，
__________，
（__________）（填推理的依据）．
2 .如图，在中，D是边上一点．
(1)求作：，交边于点E．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)与的位置关系是______________，理由： ．
2.利用边边边证明角的关系
3.如图，在中，点D在上，点E在上，连接、．若，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD．
（1）求证：∠BAC＝∠EAD；
（2）写出∠1，∠2，∠3之间的数量关系，并予以证明．
3.利用边边边证明线段位置关系
5.已知：如图，点A，C，B，D都在一条直线上，AC=BD，AM=CN，BM=DN．求证：AM∥CN．
6 .如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
牛刀小试
选择题（每小题4分，共32分）
1 .用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ）
A． B． C． D．
2 .下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容：
则回答正确的是（ ）
A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA
3 .如图，在 ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠C=70°，则∠BAD的度数是（ ）
A．20° B．45° C．60° D．70°
4 .如图，在中，点D在上，点E在上，连接、．若，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5 .如图，点C在∠AOB的边OB上，尺规作图痕迹显示的是（ ）
A．作线段CE的垂直平分线 B．作∠AOB的平分线
C．连接EN，则 CEN是等边三角形 D．作CN//OA
6 .如图，，，，，，那么（ ）
A． B． C． D．
7 ..如图，，，则，其依据是（ ）
A． B． C． D．
8 .如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ）
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .如图，已知，，，直线与，分别交于点，，且，，则的度数为 ．
10 .如图，已知，点C为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；②以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接并延长交于点H．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11 .如图，，，，，，那么（ ）
A． B． C． D．
12 .如图，若、，，，则_________．
13..2024年8月22日，某中学八年级（4）班的同学观看了神舟18号升天全过程，同学们组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，，那么的依据是________
三、解答题（共6小题，48分）
14．（6分）如图，．求证：．
15．（8分）如图，已知在同一条直线上，，，．与交于点，
(1)求证；
(2)若，，求的度数．
16 .（8分）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB．求证：∠A=∠C．
17 .（8分）阅读材料：
已知，求作，使得．
作法：如图．
①作；
②分别以点为圆心，线段长为半径作弧，两弧相交于点；
③连接线段，则即为所求的三角形．
请你根据以上材料解答下列问题：
(1)完成下面说明过程（将正确答案填在相应的空上）；
由作图可知，在和中，
所以______．
(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号）．
①AAS ②ASA ③SAS ④SSS
18．（9分）如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF
(1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；
(2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？
(3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．
19 .（9分）如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想；
（2）过点D作交于点E，若，，求的长．
人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定1
学习目标
经历实验探究的过程，直观发现三边相等的两个三角形全等。会用直规作图法作“一条线段等于已知线段，一个角等于已知角”，提高动手操作能力。知道这样作图的理由。
能利用“SSS”进行有关的计算或证明。发展逻辑推理能力、计算能力和空间观念。
老师告诉你
用全等三角形探索线段的位置关系的方法
线段的位置关系有平行和垂直，一般先应用全等三角形证明出相等的两个角，然后利用三角形内角和等于180°、等角的余角相等、邻补角的定义等，转化为具有特殊位置关系的两个角的关系，从而判断出两条直线的位置关系，最后确定两条线段的位置关系。
知识点拨
1.知识点导航
2.知识点梳理
知识点1 全等三角形的判定1：边边边（SSS）
文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.
图形：
符号：在与中，
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中；
③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论.
注意：（1）说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.
（2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.
【新知导学】
例1-1 .如图，已知AD=BC，根据“SSS”，还需要一个条件________，可证明△ABC≌△BAD；
【答案】DB=CA
【解析】图形中隐含条件AB=BA，找出第三边BD和AC即可；
在△ABC和△BAD中 ，∴△ABC≌△BAD（SSS）
【点评】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．
【对应导练】
1 .如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ）
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
【答案】A
【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．
【详解】解：∵AE=FB，
∴AE+BE=FB+BE，
∴AB=FE，
在△ABC和△FED中，
，
∴△ABC≌△FED（SSS），
∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，
∴可利用的是①或②，
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．
2.如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求．
【答案】
【分析】根据题意，直接根据证明，再根据全等三角形对应角相等，即可求解．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等，对应角相等．判定三角形全等的方法是．
3.如图，，，．
（1）图中有几对全等三角形？请一一写出来．
（2）过点作，，垂足分别为，．求证：．
【答案】（1）解：∵，，
∴；
∵，，．
∴；
∵，，，
∴．
∴共有3对全等三角形：；；．
（2）证明：在和中，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
【思路点拨】（1）利用全等三角形的判定方法分析求解即可；
（2）先利用“SSS”证出可得，再结合求出即可.
知识点2 用尺规作一个角等于已知角
已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB．
作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C、D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
【新知导学】
例2-1 .用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是 （用字母写出）．
【分析】根据用直尺和圆规画一个角等于已知角的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等．
【解答】
解：①设已知角的顶点为O，以O为圆心，任意长度为半径画圆，交角两边为A，B两点；
②用直尺画一条射线，端点为M，以M为圆心，用同样的半径画圆，该圆为圆M，交射线为C点；
③以A为圆心，以AB为半径画圆，然后以C点为圆心，以同样的半径画圆，交圆M于D，E两点，随意连MD或者ME；得到的∠CMD就是所求的角；由以上作角过程不难看出有三个对应边相等．
∴证明全等的方法是SSS．故答案为：SSS．
【点评】本题考查的关键是作角的过程，作角过程中所产生的条件就是证明全等的条件．
【对应导练】
1 . 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是（ ）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】A
【规范解答】解：连接NC，MC.
在△ONC和△OMC中，
ON=OM，NC=MC，OC=OC，
∴△ONC≌△OMC(SSS）
由题意知B、C、D不符合题意.
故答案选A.
【思路点拨】用直尺和圆规作图，根据性质可得到OA=OB，同理AC=BC，OC为它们的公共边，所以两个三角形全等.
2.如图，用直尺和圆规过直线l外一点P作直线l的平行线，能得出的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【规范解答】如图所示：
根据作图过程可知：OA=OB=PC=PD，AB=CD，
∴△PCD≌△OAB（SSS），
∴，
故答案为：D.
【思路点拨】根据作图步骤可得OA=OB=PC=PD，AB=CD，再利用“SSS”证出△PCD≌△OAB即可.
3 .如图，已知 ABC中∠C=45°,AC>AB，请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC=45°．
【答案】见解析
【详解】根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可．
【分析】解：如图所示，点P即为所求．
【点评】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，熟知相关作图方法是解题的关键．
知识点3 运用边边边定理证明和计算
运用“SSS”证明两个三角形全等主要是找边相等，边相等除了题目中已知的边相等外，还有一些相等边隐含在题设或图形中。
【新知导学】
例3-1 .如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AB=CD，BF=DE，AE=CF．
求证：．
【答案】见解析
【思路点拨】要证明，把两角置于三角形中，证两三角形全等，由已知观察由AE=CF可得 AF=CE，利用三边对应相等的判定即可．
【规范解答】证明：
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【考点评析】本题考查三角形全等的证明问题，关键是会从条件AE=CF中，证出AF=CE，掌握全等的证明方法，会按要求书写证明过程．
【对应导练】
1.如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【思路点拨】（1）先根据得，由此可依据“”判定和全等；
（2）由得，进而根据三角形内角和定理可得的度数．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【规范解答】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）解：，，
由（1）可知：，
，
．
2.如图，在和中，点，，，在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
①；②；③；④；
解：我写的真命题是：
在和中，
已知：________________________．
求证：____________．（不能填序号）
证明：
【答案】见解析
【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．如果①②④联合，利用易证，从而可得；如果①③④联合，利用易证，从而可得．
【规范解答】解：已知：，，，
求证：，
证明：，
，即．
，，
，
．
（或已知：，，，
求证：，
证明：，
，即．
，，
．
．）
题型训练
1.利用边边边尺规作角
1 .已知：如图1，在 ABC中，∠CAB=60°．求作：射线CP，使得CP//AB．
下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图2，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D,E两点；
②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在∠FCB内部交于点P；
④作射线CP．所以射线CP就是所求作的射线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接FB，DE．
，，．
__________，
__________，
（__________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；（2），，同位角相等两直线平行
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用全等三角形的性质证明即可．
【详解】解：（1）如图，射线即为所求作．
（2）连接，．
，，．
，
，
（同位角相等两直线平行）．
故答案为：，，同位角相等两直线平行．
【点评】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2 .如图，在中，D是边上一点．
(1)求作：，交边于点E．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)与的位置关系是______________，理由： ．
【答案】(1)见解析
(2)平行；同位角相等，两直线平行
【思路点拨】本题考查作图—基本作图和平行线的判定，解题的关键是掌握作图基本方法和平行线的判定方法．
（1）根据作一个角等于已知角的作图方法，作，与边交于点E，即可得到图形；
（2）根据同位角相等，两直线平行进行判定即可得到答案．
【规范解答】（1）解：如图，即为所求作的角．
（2）解：与的位置关系是平行，理由是：同位角相等，两直线平行；
∵，
∴．
2.利用边边边证明角的关系
3.如图，在中，点D在上，点E在上，连接、．若，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．
由，，求得，再根据“SSS”证明，得，所以，于是得到问题的答案．
【规范解答】解：，，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：B．
4.如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD．
（1）求证：∠BAC＝∠EAD；
（2）写出∠1，∠2，∠3之间的数量关系，并予以证明．
【答案】（1）见解析；（2）∠3=∠1+∠2，见解析
【分析】（1）根据SSS证△BAE≌△CAD，推出∠BAE=∠CAD即可；
（2）根据全等三角形性质推出∠1=∠BAE，∠2=∠ABE，代入∠3=∠BAE+∠ABE求出即可．
【详解】(1)证明：在△ABE和△ACD中,
∵AB=AC，AD=AE，BE=CD
∴△ABE≌△ACD(SSS),
∴∠BAE=∠CAD.
∴∠BAE+ EAC=∠CAD+ EAC .
∴∠BAC=∠EAD.
(2) ∠3=∠1+∠2;
理由如下：由图中知，
∠3=∠ABE+∠BAE
又由（1）中知△ABE≌△ACD，
∴ ∠ABE=∠2 , ∠BAE=∠1
∴ ∠3=∠1+∠2
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,三角形外角的性质，注意：全等三角形的对应角相等．
3.利用边边边证明线段位置关系
5.已知：如图，点A，C，B，D都在一条直线上，AC=BD，AM=CN，BM=DN．求证：AM∥CN．
【答案】证明见详解．
【分析】首先根据可得，再加上条件 可利用SSS定理证明≌即可．
【详解】证明：
即
在和中，
∴≌（SSS）,
∴∠A=∠NCD，
∴AM∥CN．
【点评】本题考查三角形全等判定，掌握三角形全等判定定理与方法是解题关键
6 .如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)9
【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差是解题的关键．
（1）证明，则，进而可证；
（2）由题意得，，由，可得，根据，计算求解即可．
【规范解答】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长度为9．
牛刀小试
选择题（每小题4分，共32分）
1 .用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】本题主要考查了基本作图、全等三角形的判定与性质等知识点，明确作图过程成为解答本题的关键．
通过分析作图的步骤，发现与的三条边分别对应相等，于是利用边边边判定，根据全等三角形对应角相等得．
【规范解答】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D；
②作射线，以为圆心， 长为半径画弧，交于点；
③以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；
④过点作射线．
所以就是与相等的角．
在与中，
，
，
，即运用的判定方法是．
故选：A．
2 .下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容：
则回答正确的是（ ）
A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA
【答案】B
【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定与性质可☆代表对应角，※代表，@代表，◎代表
【规范解答】解：∵在和中
，
∴，
∴（全等三角形的对应角相等），
∵，
∴，
∴；
故选：B．
3 .如图，在中，，D为中点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】证明得到，，即可利用三角形内角和定理求出答案．
【详解】解：∵D为中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
故选A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是解题的关键．
4 .如图，在中，点D在上，点E在上，连接、．若，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．
由，，求得，再根据“SSS”证明，得，所以，于是得到问题的答案．
【规范解答】解：，，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：B．
5 .如图，点C在的边OB上，尺规作图痕迹显示的是（ ）
A．作线段CE的垂直平分线 B．作的平分线
C．连接EN，则是等边三角形 D．作
【答案】D
【分析】根据作图得出△ODM≌△CEN（SSS），得出∠MAD=∠NCE，得出OM∥CN即可．
【详解】解：连结EN ,
在△ODM和△CEN中，
，
∴△ODM≌△CEN（SSS），
∴∠MAD=∠NCE，
∴OM∥CN，
故选D．
【点评】本题考查尺规作图，掌握基本作图，三角形全等判定与性质，平行线的判定是解题关键．
6 .如图，，，，，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理．先找出满足两个三角形全等的条件：三边对应相等，可证．再根据全等三角形的性质、三角形内角和定理可求．
【规范解答】证明：，
．
在与中，
，
．
，
．
故选：C．
7 ..如图，，，则，其依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可得，两个三角形三条对应边相等，则判断其全等依据为边边边．
解：在和中，
所以
故选：C
【点拨】本题考查三角形全等的判定，找到对应条件是解题的关键．
8 .如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ）
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
【答案】A
【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．
解：∵AE=FB，
∴AE+BE=FB+BE，
∴AB=FE，
在△ABC和△FED中，
，
∴△ABC≌△FED（SSS），
∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，
∴可利用的是①或②，
故选：A．
【点拨】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .如图，已知，，，直线与，分别交于点，，且，，则的度数为 ．
【答案】
【思路点拨】根据SSS得到，进而得到，，再结合对顶角相等，可得，最后再利用角的和差即可求解．
【规范解答】解：∵，，，
，
，，
与是对顶角，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10°．
【考点评析】本题考查全等三角形的判定与性质，对顶角的性质、角的和差计算等内容，识别出与这一组对顶角，得到的度数是解题的关键．
10 .如图，已知，点C为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；②以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接并延长交于点H．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路点拨】本题考查尺规基本作图-作一角等于已知角，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，
根据作图，由全等三角形的判定定理可以推知，得到，即，再利用三角形外角性质求解即可．
【规范解答】解：由作图可知，在与中，
，
则．
∴，即，
∴．
故选：D．
11 .如图，，，，，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理．先找出满足两个三角形全等的条件：三边对应相等，可证．再根据全等三角形的性质、三角形内角和定理可求．
【规范解答】证明：，
．
在与中，
，
．
，
．
故选：C．
12 .如图，若、，，，则_________．
【分析】连接并延长至点E，先证明，得到，，再利用三角形外角的性质，求得，即可求出的度数．
解：如图，连接并延长至点E，
在和中，
，
，
，，
，，
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
13..2024年8月22日，某中学八年级（4）班的同学观看了神舟18号升天全过程，同学们组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，，那么的依据是________
【答案】SSS
【分析】由E，F分别是，的中点，，得出；根据三边对应相等，证明．
解：∵E，F分别是，的中点，
∴
在与中
∴
故填SSS
【点拨】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
三、解答题（共6小题，48分）
14．（6分）如图，．求证：．
【答案】．见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
直接利用“”证明全等即可．
【详解】证明： 和中，
，
，
．
15．（8分）如图，已知在同一条直线上，，，．与交于点，
(1)求证；
(2)若，，求的度数．
【答案】．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由，可得，利用即可证明；
（）如图，由（）知，，则，得到，进而推导出，由三角形内角和定理可得，即可求解；
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：如图，
由（）知，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
16 .（8分）如图，在四边形ABCD中，，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】连接 证明再利用全等三角形的性质可得结论.
【详解】解：连接
四边形ABCD中，，，
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，构建全等三角形，利用证明三角形全等是解题的关键.
17 .（8分）阅读材料：
已知，求作，使得．
作法：如图．
①作；
②分别以点为圆心，线段长为半径作弧，两弧相交于点；
③连接线段，则即为所求的三角形．
请你根据以上材料解答下列问题：
(1)完成下面说明过程（将正确答案填在相应的空上）；
由作图可知，在和中，
所以______．
(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号）．
①AAS ②ASA ③SAS ④SSS
【答案】(1)，，
(2)④
【解析】略
18．（9分）如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF
(1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；
(2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？
(3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）成立，证明详见解析；（3）AD与CB不一定平行，理由详见解析.
【分析】（1）根据AF=CE可得AF+EF=CE+EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（2）根据AF=CE可得AF-EF=CE-EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（3）根据已知两个条件，不能判定△ADE≌△CBF，不能确定∠A=∠C，即可得AD和CB不一定平行.
【详解】（1）∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF.
（2）成立.理由如下：
∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF.
（3）AD与CB不一定平行，理由如下：
∵只给了两组对应相等的边，
∴不能判定△ADE≌△CBF，
∴不能判定∠A与∠C的大小关系，
∴AD与CB不一定平行，
【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。
19 .（9分）如图所示，人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）试猜想筝形的对角线与有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想；
（2）过点D作交于点E，若，，求的长．
【答案】（1）解：，理由如下：
在和中，
，
，
，
又
；
（2）解：，
，
，
，
，
，，
，
.
【思路点拨】（1）BD⊥AC，理由如下：首先由SSS证△ABD≌△CBD，由全等三角形的对应角相等得∠ABD=∠CBD，进而根据等腰三角形的三线合一可得结论；
（2）由二直线平行，内错角相等得∠EDB=∠ABD，由（1）可得∠ABD=∠CBD，则∠EDB=∠CBD，由等角对等边得DE=BE，进而根据线段的和差，由BE=BC-CE算出BE，即可得出DE的长.
试卷第1页，共3页
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