2.3　函数的单调性和最值 第2课时　函数的单调性和最值的应用 练习（含解析）

第2课时　函数的单调性和最值的应用
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.若函数y=(k-1)x+b在(-∞,+∞)上是增函数,则 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.k>1 B.k<1
C.k<-1 D.k>-1
2.函数y=x-在[1,2]上的最大值为 (　 )
A.0 B.
C.2 D.3
3.已知函数f(x)是定义在[0,+∞)上的增函数,则满足f(2x-1)A. B.
C. D.
4.定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则 (　 )
A.f(-2)B.f(1)C.f(3)D.f(3)5.已知f(x)是定义在R上的减函数,且对任意x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)恒成立,若f>0,则x的取值范围为 (　 )
A.(1,+∞) B.(0,1)
C.(0,+∞) D.(-1,0)
6.已知函数f(x)=x|x|,若f(2m+1)>f(m-1),则m的取值范围为 (　 )
A.(-∞,-1)
B.(-∞,-2)
C.(-1,+∞)
D.(-2,+∞)
7.若函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围是 (　 )
A.(0,2) B.(0,+∞)
C.[2,+∞) D.(0,2]
8.已知函数f(x)=则满足不等式f(x2+x+3)>f(3x2-3)的x的取值范围是 (　 )
A.(-2,1) B.
C. D.
9.(多选题)若函数f(x)=x2-2ax+2在区间(-∞,1]上单调递减,则实数a的值可以是 (　 )
A.0 B.1
C.2 D.3
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.函数f(x)=的单调递减区间为　　　　.
11.函数f(x)=x2-4x+8,x∈[1,a](a>1),且f(x)的最大值是f(a),则实数a的取值范围是　　　　.
12.已知函数f(x)=则满足不等式f(3-x2)>f(x)的x的取值范围是　　　　　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知函数f(x)=,x∈[3,5].
(1)判断函数f(x)的单调性;
(2)求函数f(x)的最大值和最小值.
14.(10分)已知函数f(x)=,x∈(2,+∞).
(1)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明;
(2)若f(2a+1)>f(4-a),求a的取值范围.
15.(5分)函数f(x)在R上单调递增,f[f(x)-3x]=2,则f=　　　　.
16.(15分)已知函数f(x)=,x∈[1,+∞).
(1)当a=时,判断并证明函数f(x)在[1,+∞)上的单调性;
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
第2课时　函数的单调性和最值的应用
1.A　[解析] 因为y=(k-1)x+b在(-∞,+∞)上是增函数,所以k-1>0,即k>1.故选A.
2.B　[解析] 因为函数y=x-在[1,2]上单调递增,所以当x=2时,ymax=2-=.
3.D　[解析] 因为函数f(x)是定义在[0,+∞)上的增函数,且f(2x-1)4.A　[解析] 因为对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,所以函数f(x)在R上是增函数,所以f(-2)5.A　[解析] 因为对任意x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)恒成立,所以令x=y=0,可得f(0)=0.因为f(x)是定义在R上的减函数,且f>0,所以-1<0,解得x>1,故选A.
6.D　[解析] 因为f(x)=x|x|=所以由函数f(x)的图象可知,f(x)在R上是增函数.因为f(2m+1)>f(m-1),所以2m+1>m-1,解得m>-2,所以m的取值范围为(-2,+∞).故选D.
7.D　[解析] 因为函数f(x)=在R上单调递增,所以解得08.C　[解析] 当x<1时,f(x)=2x-1,f(x)单调递增;当x≥1时,f(x)=x2,f(x)单调递增.因为2×1-1=12,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.由f(x2+x+3)>f(3x2-3),得x2+x+3>3x2-3,即2x2-x-6<0,解得-9.BCD　[解析] 由题意得,函数f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=a,则f(x)在(-∞,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增,因为f(x)在(-∞,1]上单调递减,所以a≥1,结合选项可知,a的值可以是1或2或3.故选BCD.
10.(-∞,1]　[解析] 由x2-3x+2≥0,解得x≤1或x≥2,即f(x)的定义域为(-∞,1]∪[2,+∞).因为y=x2-3x+2在(-∞,1]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1].
11.[3,+∞)　[解析] 因为函数y=x2-4x+8=(x-2)2+4图象的对称轴为直线x=2,图象开口向上,所以y=x2-4x+8在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.要使f(x)=x2-4x+8,x∈[1,a]在x=a处取得最大值,只需解得a≥3,即实数a的取值范围是[3,+∞).
12.-f(x)等价于3-x2>x,即x2+x-3<0,解得-13.解:(1)任取x1,x2∈[3,5],且x1则f(x1)-f(x2)=-=
=
=.
∵x1,x2∈[3,5],且x10,x2+2>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴函数f(x)=,x∈[3,5]是增函数.
(2)由(1)知,当x=3时,函数f(x)取得最小值,最小值为f(3)=,当x=5时,函数f(x)取得最大值,最大值为f(5)=.
14.解:(1)函数f(x)为增函数.
证明如下:任取2由20,=+<1,即x1x2>x1+x2,
所以f(x1)-f(x2)=<0,即f(x1)(2)由(1)知函数f(x)是定义在(2,+∞)上的增函数,
又f(2a+1)>f(4-a),所以解得115.5　[解析] 因为函数f(x)在R上单调递增,所以存在唯一的实数t,使得f(t)=2,又因为f[f(x)-3x]=2,所以f(x)-3x=t,即f(x)=3x+t,所以f(t)=4t=2,解得t=,所以f(x)=3x+,故f=3×+=5.
16.解:(1)当a=时,f(x)在[1,+∞)上是增函数.证明如下:设x1,x2∈[1,+∞),且x1因为x1,x2∈[1,+∞),x10,当a=时,x1x2-a>0,所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)(2)由(1)知,当a≤1时,x1x2>a,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)1时,当1≤x10,即f(x1)>f(x2),则f(x)在[1,]上单调递减;当a,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)1时,f(x)在(,+∞)上单调递增,在[1,]上单调递减.故当a≤1时,f(1)=3+a>0,即a>-3,所以-31时,f(x)min=f()==2+2>0恒成立,所以a>1满足题意.综上,a的取值范围是(-3,+∞).