人教版八年级上册数学第十二章全等三角形单元试题(含解析)

人教版八年级上册数学第十二章全等三角形单元试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(每题3分，共30分)
1．下列各组图形中，不是全等图形的是（ ）
A． B．C． D．
2．如图，若，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是的角平分线，于点E，，，则长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
4．如图，在四边形中，，点，分别在边和边上，且与全等，与是对应边．若，，，则的长为（　　）
A．1 B．2或3 C．1或2 D．3或4
5．如图，是的中线，E、F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④．其中正确的有（ ）个
A．2 B．3 C．1 D．4
6．如下图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交于点，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的余角的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图是由相同的小正方形组成的网格，点A、B、C均在格点上，连接．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，若，，，则（ ）
A．10 B．7 C．6 D．6或7
10．榫卯结构是我国古代建筑、家具及其他木制器械的主要结构方式．如图，将两块全等的木楔（）水平钉入长为的长方形木条中（点在同一条直线上）．若，则木楔的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题 (每题3分，共30分)
11．如图，在中，于点D，于点E，与交于点H，，，则 ．
12．如图，已知，，，则 ．
13．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块．
14．如图，若是的高线，，，，则 ．

15．如图，直角三角形直角三角形，已知，若，，，则图中阴影部分的面积为 ．
16．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明 （写出全等的简写）．
17．如图，，于点，于点，且．点从点开始以的速度向点运动；点从点开始以的速度向点运动．、两点同时出发，要使，则运动的时间为 ．
18．如图，已知：度，，若，则C点坐标 ．

19．如图，，P是上一动点，则的最小值为 ．

20．如图，，平分，，交延长线于点F，且垂足为点 E，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．(填写序号)
三、解答题(共60分)
21．如图，点D在上，点E在上，，与交于点O．求证：．
22．已知，如图，相交于点E，且E是的中点．求证：
(1)；
(2) ．
23．如图，在和中，点、、、在一条直线上，，于点，于点，．求证：．
24．如图，在中，点D是上一点，，过点D作，且．
(1)求证：；
(2)若点D是的中点，的面积是20，求的面积，
25．如图，点在同一条直线上，，，，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
26．如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证：

(1)；
(2)．
27．【观察发现】
（1）如图1，，，且点B、C、E在一条直线上，连接和相交于点P，则线段和的数量关系是__________，的度数是__________．（只要求写出结论，不必说出理由）
【深入探究1】
（2）如图2，，，，连接和相交于点P，则线段和的数量关系，以及的度数．请说明理由．
【深入探究2】
（3）如图3，，，且，连接，过点C作，并延长交于点Q．求证：Q为中点．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A C D A A B C B
1．A
【分析】本题考查的是全等图形的识别本题主要考查可能性的大小，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据能够完全重合的两个图形是全等图形，再对各选项分析即可得解．
【详解】解：A. 选项中两个图形不可能完全重合，故它们不是全等图形，故选项正确；
B. 选项中两个图形能够完全重合，故它们是全等图形，故选项错误；
C. 选项中两个图形能够完全重合，故它们是全等图形，故选项错误；
D. 选项中两个图形能够完全重合，故它们是全等图形，故选项错误．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，邻补角的性质，由三角形内角和定理可得，进而由全等三角形的性质可得，最后利用邻补角的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
3．A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于F，则由角平分线的性质得到，再根据，列式计算即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于F，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质“对应边相等”即可求解，注意分类讨论．
【详解】解：当时，
∴，
∴；
当时，
∴，
∴；
综上，的长为1或2．
故答案为：C．
5．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，三角形中线的性质，由中线可知和是同底等高的两个三角形，面积相等；利用即可证明，利用全等三角形性质即可得到，，可以判定出．
【详解】解：是的中线，
，
和面积相等，故①正确；
在与中，
，
，故②正确；
，，故③正确，
，故④正确；
综上所述，正确的有：①②③④，共4个，
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作图复杂作图，余角，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定．
根据作图过程可得，，利用证明，得，从而得出，然后利用余角定义即可得结果．
【详解】解；根据作图过程可知：，，
在和中，
，
，
，
，
则的度数为，
∴的余角的度数为．
故选：A．
7．A
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明是解题的关键．根据题意得出，再根据证明，即可利用全等三角形的性质得解．
【详解】解：，
，
即，
在和中，
，
，
，
故选：A
8．B
【分析】本题主要考查了格点三角形．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理，直角三角形两锐角互余，是解题关键．证明，即得出，从而由，可求出．
【详解】解：如图，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
9．C
【分析】本题考查了全等，了解全等图形中对应边相等是解决本题的关键．根据全等图形中的对应边相等即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：．
10．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等得到，再根据线段的和差关系求解即可．
【详解】解；∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
11．1
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质等知识，先利用等角的余角相等得到，证明，由全等三角形的性质得到，最后由线段的和差解得的长．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，，
∴．
故答案为：1．
12．/35度
【分析】本题考查了全等的性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
由全等的性质可知，，根据，求解作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．4
【分析】本题考查了全等三角形的判定：根据标有1、2、3、4的四块玻璃与原三角形的玻璃的联系，结合全等三角形的判定定理进行求解即可，全等三角形的判定定理有：．
【详解】解：标有1的玻璃与原三角形的玻璃有一个角相等，但没有任何边相等，故不带标有1的玻璃去；
标有2的玻璃与原三角形的玻璃任何角相等，也没有任何边相等，故不带标有2的玻璃去；
标有3的玻璃与原三角形的玻璃没有任何角相等，也没有任何边相等，故不带标有3的玻璃去；
标有4的玻璃与原三角形的玻璃两个角相等，且这两个角的夹边相等，故带标有4的玻璃去；
故答案为：4．
14．/度
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．先求出，再证明，则．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的高线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：
15．36
【分析】本题考查了全等三角形的性质，由得，则阴影部分的面积梯形的面积，再根据梯形的面积公式即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：36．
16．
【分析】本题考查尺规作图-作角相等的相关知识，由作两个角相等的操作步骤，确定从而得到答案，熟记尺规作图-作角相等的操作是解决问题的关键．
【详解】解：由尺规作图的操作可知，，，
，
故答案为：．
17．4
【分析】此题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质得到，则，根据路程除以速度即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
点A的运动时间是，
点Q的运动时间是，
则当时，两个三角形全等，
故答案为：4
18．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，过点C作轴于D，证明，，再由，得到，则，即可得到．
【详解】解：如图所示，过点C作轴于D，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

19．
【分析】本题考查了垂线段最短和角平分线的性质，根据垂线段最短得出时，的值最小，根据角平分线的性质得出，再求出答案即可，能熟记垂线段最短和角平分线上的点到这个角两边的距离相等是解此题的关键．
【详解】解：如图，过点作的垂线，交于点，

当时，有最小值，
∵，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
20．①②④
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先证明，进而可证明得到，则可判断①；根据角平分线的定义得到，则，据此可判断②；过点D作于H，证明，得到，根据，得到，据此可判断③；证明，得到，据此可判断④．
【详解】解：∵，，
∴．
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，故①正确．
∵平分，
∴．
∵，
∴，故②正确．
如图所示，过点D作于H，则，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
∴正确的有①②④，
故答案为：①②④．
21．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是关键；
先证明，得到，从而得，进而即可得到结论
【详解】解：在和中，
．
，
，
，
在和中
．
22．(1)见详解；
(2)见详解
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
（1）先根据线段中点的定义得到，再利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，再根据内错角相等，两直线平行即可证明 ．
【详解】（1）证明：∵E是的中点．
∴
在和中，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴ ．
23．见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据已知得出，进而根据证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵点、、、在一条直线上，，
∴，即，
∵于点，于点，
∴，
在和中，
∴，
∴．
24．(1)见解析
(2)40
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据两直线平行，内错角相等可得，再利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形面积相等，结合三角形中线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵点是的中点，
∴．
25．(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查全等三角形判定及性质．
（1）根据题意证明即可；
（2）利用（1）证明，继而得到，再利用已知条件即可得到本题答案．
【详解】（1）解：证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．
（1）由“”可证；
（2）先由（1）可知，证，从而由三角形全等的性质可得，然后由线段的和差即可得证．
【详解】（1）证明：∵，，
∴在与中，
，
；
（2）证明：由（1）知，
，
∵，，
，
在与中，
，
，
，
，
．
27．（1）相等，；（2），与相交构成的锐角的度数为；（3）证明见详解
【分析】（1）根据，得到，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，根据全等三角形对应角相等可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出；
（2）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）分别过点A点D作的垂线，垂足分别为，证明，可得，推出，再证明，可得，即可证明结论．
【详解】解：（1）∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
由三角形的外角性质，，
，
∴；
故答案为：相等，；
（2）与相交构成的锐角的度数为．
证明：∵，
∴ ，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）证明：如图3，分别过点A点D作的垂线，垂足分别为，
，
，
，，且，
，
，
，
，
同理：，
，
，
，
，
，
Q为中点．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟记性质与判定方法是解题的关键．