2.4.1 函数的奇偶性第2课时 函数性质的应用 练习（含解析）2024-2025学年高一上学期北师大版（2019）必修 第一册

第2课时　函数性质的应用
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.下列函数中,既是偶函数又在(-∞,0)上单调递减的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=x2+1 B.y=
C.y=x3 D.y=2x-1
2.如果奇函数f(x)在区间[1,5]上单调递减,且最小值为3,那么f(x)在区间[-5,-1]上 (　 )
A.单调递增且最小值为3
B.单调递增且最大值为3
C.单调递减且最小值为-3
D.单调递减且最大值为-3
3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x2+2x,则当x>0时,f(x)的解析式为 (　 )
A.f(x)=-x2-2x
B.f(x)=x2-2x
C.f(x)=-x2+2x
D.f(x)=x2+2x
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在R上为减函数,若f(3x+1)+f(2)>0,则x的取值范围是 (　 )
A. B.(-∞,-1)
C. D.[1,+∞)
5.已知函数f(x)=+2在区间上的最大值为M,最小值为m,则M+m= (　 )
A.0 B.1
C.2 D.4
6.设f(x)为奇函数且在(-∞,0)上单调递减,f(2)=0,则<0的解集为 (　 )
A.{x|x<-2或x>2}
B.{x|x<-2或0C.{x|-22}
D.{x|-27.已知函数f(x)=x2-+5,则f(2x-2)A.(0,1)
B.(1,4)
C.(-∞,-1)∪(4,+∞)
D.(0,1)∪(1,4)
8.(多选题)已知定义域为R的函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增,且y=f(x-1)为偶函数,则下列结论正确的是 (　 )
A.f(x)的图象关于直线x=1对称
B.f(x)在(-1,+∞)上单调递减
C.f(-1)为f(x)的最大值
D.f(-3)9.(多选题)若函数y=f(x)满足:①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;②对于定义域上的任意x1,x2,且x1≠x2,恒有<0.则称函数y=f(x)为“理想函数”,下列函数中是“理想函数”的有 (　 )
A.y=-2x
B.y=x2
C.y=
D.y=
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2+ax+a-1,则f(-1)=　　　　.
11.设a∈R,已知奇函数f(x)的定义域是[-4,4],f(x)在[0,4]上单调递减,且f(a+1)>f(2a),则a的取值范围是　　　　.
12.已知函数f(x)=则不等式f(2-x2)+f(-x)≥0的解集为　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知函数f(x)=x+(a≠0)是奇函数,且f(1)=5.
(1)求实数a,b的值;
(2)判断函数f(x)在(0,2)上的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.
14.(10分)已知函数f(x)是R上的奇函数,f(1)=1,当x>0时,f(x)=x2-ax+4.
(1)求f(x)在R上的解析式;
(2)求不等式f(x)15.(5分)已知函数f(x)=x3++2,若存在a∈[1,2],使f(x2-ax-6)+f(3a-x)>4有解,则实数x的取值范围为　　　　　　.
16.(15分)已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)的单调性,并求f(x)在区间[-3,3]上的最大值;
(3)若f(x)第2课时　函数性质的应用
1.A　[解析] 对于A,y=x2+1为偶函数,且当x∈(-∞,0)时,函数单调递减;对于B,y=为奇函数;对于C,y=x3为奇函数;对于D,y=2x-1为非奇非偶函数.故选A.
2.D　[解析] 当-5≤x≤-1时,1≤-x≤5,所以f(-x)≥3,即-f(x)≥3,从而f(x)≤-3,即f(x)在[-5,-1]上的最大值为-3.奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,故f(x)在[-5,-1]上单调递减.故选D.
3.C　[解析] 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).当x>0时,-x<0,f(-x)=x2-2x=-f(x),所以f(x)=-x2+2x.故选C.
4.B　[解析] 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数且在R上为减函数,所以-f(2)=f(-2),故f(3x+1)+f(2)>0等价于f(3x+1)>-f(2),即f(3x+1)>f(-2),所以3x+1<-2,即x<-1.故选B.
5.D　[解析] 由题意,令g(x)=f(x)-2=,x∈,则g(-x)===-g(x),故g(x)=f(x)-2为奇函数,所以g(x)max+g(x)min=0,故f(x)max+f(x)min-4=M+m-4=0,即M+m=4.故选D.
6.A　[解析] 因为f(x)为奇函数且在(-∞,0)上单调递减,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(2)=0,所以f(-2)=-f(2)=0,故函数f(x)的大致图象如图所示.由<0,可得xf(x)<0,即x和f(x)异号,由图象可得x<-2或x>2.故<0的解集为{x|x<-2或x>2},故选A.
7.D　[解析] 由题意得f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(-x)=(-x)2-+5=x2-+5=f(x),所以f(x)为偶函数.当x>0时,f(x)=x2-+5,易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减.又f(2x-2)8.BD　[解析] 因为y=f(x-1)为偶函数,且函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增,所以f(x)的图象关于直线x=-1对称,且f(x)在(-1,+∞)上单调递减,所以A不正确,B正确;因为f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减,但没有明确函数图象是否连续,所以不能确定f(-1)的值,所以C不正确;因为f(0)=f(-2),f=f,且f(x)在(-∞,-1)上单调递增,所以f(-3)9.AC　[解析] 对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数.对于定义域上的任意x1,x2,且x1≠x2,恒有<0,即当x1f(x2),当x1>x2时,f(x1)-b2,所以y=是减函数,满足题意.y=-2x是减函数,满足题意.对于y=,当x<0时,函数单调递减,当x>0时,函数单调递减,当c<010.-2　[解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=a-1=0,解得a=1,则当x≥0时,f(x)=x2+x,所以f(1)=2,则f(-1)=-f(1)=-2.
11.(1,2]　[解析] ∵奇函数f(x)的定义域是[-4,4]且在[0,4]上单调递减,∴函数f(x)在[-4,0]上单调递减,∴函数f(x)在[-4,4]上是减函数,又∵f(a+1)>f(2a),∴解得112.[-2,1]　[解析] 函数f(x)=当x>0时,-x<0,f(-x)=-x3-1=-f(x),当x<0时,-x>0,f(-x)=-x3+1=-f(x),又f(0)=0,∴f(x)为奇函数.当x>0时,f(x)=x3+1单调递增,且f(x)>1,当x<0时,f(x)=x3-1单调递增,且f(x)<-1,又f(0)=0,∴f(x)在R上是增函数,∴原不等式即为f(2-x2)≥f(x),即2-x2≥x,解得-2≤x≤1,即原不等式的解集为[-2,1].
13.解:(1)根据题意,函数f(x)=x+(a≠0)是奇函数,则f(x)+f(-x)=+=-=-=0,∵a≠0,∴b=0.
由f(1)=5,即1+=5,得a=4.故a=4,b=0.
(2)由(1)知,f(x)=x+,f(x)在区间(0,2)上单调递减.证明如下:设00,即f(x1)>f(x2),故函数f(x)在区间(0,2)上单调递减.
14.解:(1)因为f(1)=1,所以1-a+4=1,得a=4.当x>0时,f(x)=x2-4x+4;当x<0时,-x>0,所以f(-x)=(-x)2-4(-x)+4=x2+4x+4,因为函数f(x)是R上的奇函数,所以当x<0时,-f(x)=x2+4x+4,即f(x)=-x2-4x-4.又由f(x)是R上的奇函数,得f(0)=0,所以f(x)=
(2)①当x>0时,x2-4x+40,得x<-3或-15.(-∞,0)∪(3,+∞)　[解析] 设g(x)=f(x)-2=x3+(x∈R),则g(-x)=-x3+=-g(x),故g(x)为奇函数.由f(x2-ax-6)+f(3a-x)>4,得f(x2-ax-6)-2>2-f(3a-x),即g(x2-ax-6)>-g(3a-x)=g(x-3a).当x>0时,g(x)=x3+=x3-+2,根据y=x3在(0,+∞)上单调递增,y=-+2在(0,+∞)上单调递增,得g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(x)为奇函数,g(x)的图象连接不断,故g(x)在R上单调递增.由g(x2-ax-6)>g(x-3a),得x2-ax-6>x-3a,即a(3-x)+x2-x-6>0,由题意,存在a∈[1,2],使得a(3-x)+x2-x-6>0有解.当3-x=0,即x=3时,a(3-x)+x2-x-6=0,不符合题意;当3-x>0,即x<3时,2(3-x)+x2-x-6>0,解得x<0或x>3,故x<0;当3-x<0,即x>3时,1×(3-x)+x2-x-6>0,解得x<-1或x>3,故x>3.综上可得,实数x的取值范围为(-∞,0)∪(3,+∞).
16.解:(1)令x=y=0,则f(0+0)=2f(0),所以f(0)=0.
令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,
所以f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,
所以函数f(x)为奇函数.
(2)任取x1,x2∈R且x10,
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)当x∈[-3,3]时,f(x)单调递减,
所以当x=-3时,f(x)取得最大值f(-3).
因为f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2×3=-6,所以f(-3)=-f(3)=6,
故f(x)在区间[-3,3]上的最大值为6.
(3)由(2)知f(x)在区间[-1,1]上单调递减,
所以当x∈[-1,1]时,f(x)≤f(-1)=-f(1)=2.
f(x)0对任意a∈[-1,1]恒成立,
令g(a)=-2am+m2,则即
解得m>2或m<-2.
故m的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).