2.4.2 简单幂函数的图象和性质 练习（含解析）2024-2025学年高一上学期北师大版（2019）必修 第一册

4.2　简单幂函数的图象和性质
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.[2024·河北沧州献县实验中学高一期中] 下列函数中是幂函数的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=x2-1 B.y=0.3x
C.y= D.y=x0.3
2.设a∈,则使函数y=xa的定义域为R且为奇函数的a的所有取值为 (　 )
A.1,3 B.1,3,-
C.1,3, D.1,,3,-
3.已知幂函数的图象经过点P,则该幂函数的大致图象是 (　 )
A B C D
4.已知幂函数f(x)=(3m2-m-1)xm在其定义域内不单调,则实数m= (　 )
A.- B.1
C. D.-1
5.图中C1,C2,C3分别为三个幂函数y=,y=,y=在第一象限内的大致图象,则a1,a2,a3的值分别可以是 (　 )
A.0.5,3,-1 B.-1,3,0.5
C.0.5,-1,3 D.-1,0.5,3
6.已知幂函数f(x)=mxn的图象过点(,2),设a=f(m),b=f(n),c=f(0.8),则 (　 )
A.cB.cC.bD.a7.[2024·昆明一中西山学校高一月考] 若幂函数f(x)=xα的图象过点,且f(a+2)A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(-2,2) D.(-2,+∞)
8.(多选题)下列关于幂函数图象和性质的描述中,正确的是 (　 )
A.幂函数的图象都过点(1,1)
B.幂函数的图象都不经过第四象限
C.幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种
D.幂函数必定是增函数或减函数中的一种
9.(多选题)已知幂函数f(x)=(m2-3)xn(m,n∈R),则下列说法正确的是 (　 )
A.m=2
B.当f(x)的图象经过点(-1,-1)时,f(x)为奇函数
C.若幂函数f(x)的图象经过点,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减
D.函数f(x)的图象不经过第四象限
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.[2024·沈阳高一期末] 已知幂函数f(x)的图象经过点(8,2),则f(-27)=　　　　.
11.已知函数f(x)=(n2-n-1)为幂函数,则f(2)=　　　　.
12.已知幂函数y=(m2-m-1)xm(m∈R)的图象不经过第二象限,则m=　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知f(x)=(m2+2m).
(1)当m为何值时,f(x)是幂函数
(2)当m为何值时,f(x)是正比例函数
(3)当m为何值时,f(x)是反比例函数
14.(10分)比较下列各组数的大小.
(1)和3.;
(2)4.,3.和.
15.(5分)若(a-3<(1+2a,则实数a的取值范围为　　　　　　　　.
16.(15分)[2024·云南曲靖二中高一期中] 已知幂函数f(x)的图象过点(2,).
(1)求出函数f(x)的解析式;
(2)判断并证明f(x)在[0,+∞)上的单调性;
(3)函数g(x)是R上的偶函数,当x≥0时,g(x)=f(x),求满足g(1-m)≤的实数m的取值范围.
4.2　简单幂函数的图象和性质
1.D　[解析] 幂函数的一般表达式为y=xa,其中x是自变量,a是常数.对于A,y=x2-1是二次函数;对于B,y=0.3x是一次函数;对于C,y==,的系数不为1,故y=不是幂函数;对于D,y=x0.3满足幂函数的一般表达式,故y=x0.3是幂函数.故选D.
2.A　[解析] 函数y=xa的定义域为R,则a=1,,3,又函数y=xa为奇函数,所以a=1,3.故选A.
3.A　[解析] 设该幂函数为f(x)=xα,因为该幂函数的图象经过点P,所以4α=,即22α=2-1,解得α=-,则函数f(x)=,易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),所以排除C,D;因为α=-<0,所以f(x)=在(0,+∞)上为减函数,所以排除B.故选A.
4.A　[解析] 由幂函数的定义,得3m2-m-1=1,解得m=-或m=1,又f(x)在定义域内不单调,所以m=-,故选A.
5.D　[解析] 由三个幂函数在第一象限内的图象知,a1<0,01,所以a1,a2,a3的值分别可以是-1,0.5,3.故选D.
6.B　[解析] 因为幂函数f(x)=mxn的图象过点(,2),所以解得所以幂函数f(x)的解析式为f(x)=x3.函数f(x)为R上的增函数,0.8<1<3,所以f(0.8)7.B　[解析] 由已知条件可得f==,解得α=3,则f(x)=x3,所以函数f(x)在R上为增函数,由f(a+2)2.故选B.
8.AB　[解析] 设幂函数的解析式为y=xα(α为常数).因为1α=1,所以幂函数的图象都经过点(1,1),故A正确;当x>0时,xα>0,幂函数的图象都不经过第四象限,故B正确;y=的定义域为[0,+∞),为非奇非偶函数,故C错误;y=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,但在定义域上不是减函数,故D错误.故选AB.
9.BCD　[解析] 因为f(x)=(m2-3)xn(m,n∈R)是幂函数,所以m2-3=1,解得m=±2,则f(x)=xn(n∈R).对于选项A,m=±2,故选项A错误;对于选项B,当f(x)的图象经过点(-1,-1)时,有-1=(-1)n(n∈R),则f(-x)=(-x)n=(-1)n·xn=-xn=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,故选项B正确;对于选项C,若幂函数f(x)的图象经过点,则=2n(n∈R),解得n=-2,则f(x)=x-2,此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,故选项C正确;对于选项D,因为f(x)=xn(n∈R),当x>0时,由不等式性质可得xn>0(n∈R),所以函数f(x)的图象不经过第四象限,故选项D正确.故选BCD.
10.-3　[解析] 设幂函数的解析式为f(x)=xα,将(8,2)代入函数解析式得8α=2,即23α=2,解得α=,所以幂函数的解析式为f(x)=,所以f(-27)=(-27=-3.
11.8　[解析] 因为函数f(x)=(n2-n-1)为幂函数,所以n2-n-1=1,即n2-n-2=0,解得n=-1或2,所以f(x)=x3,因此f(2)=23=8.
12.-1　[解析] 因为y=(m2-m-1)xm是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.当m=-1时,y=x-1=,显然其图象不经过第二象限,满足题意;当m=2时,y=x2,显然其图象经过第二象限,不满足题意.综上,m=-1.
13.解:(1)若f(x)是幂函数,则m2+2m=1,解得m=-1±.
(2)若f(x)是正比例函数,则解得m=1±.
(3)若f(x)是反比例函数,
则解得m=2.
14.解:(1)∵-<0,∴函数y=在(0,+∞)上单调递减,又3<3.1,∴>3..
(2)∵>0,∴函数y=在(0,+∞)上单调递增,又4.1>1,∴4.>=1.
∵-<0,∴函数y=在(0,+∞)上单调递减,
又3.8>1,∴3.<=1,且3.>0.
∵<0,∴<3.<4..
15.(-∞,-4)∪　[解析] 函数f(x)==的定义域为{x|x≠0},f(-x)==-=-f(x),则函数f(x)=为奇函数.由幂函数的基本性质可知,函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上也单调递减,且当x>0时,f(x)>0,当x<0时,f(x)<0.由(a-3<(1+2a可得或或解得a<-4或-16.解:(1)根据题意,设幂函数的解析式为f(x)=xα,
将(2,)代入解析式中得=2α,解得α=,所以幂函数的解析式为f(x)=.
(2)幂函数f(x)=,即f(x)=在[0,+∞)上是增函数.
证明如下:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-=
=,
因为x10,
所以f(x1)即幂函数f(x)=在[0,+∞)上是增函数.
(3)当x≥0时,g(x)=f(x),而幂函数f(x)=在[0,+∞)上是增函数,所以g(x)在[0,+∞)上单调递增.
又因为函数g(x)是R上的偶函数,所以g(x)在(-∞,0]上单调递减.易知g(5)=,由g(1-m)≤,得g(1-m)≤g(5),可得|1-m|≤5,即-4≤m≤6,
所以满足g(1-m)≤的实数m的取值范围为[-4,6].