2.4.1 函数的奇偶性 第1课时 函数的奇偶性 练习（含解析）2024-2025学年高一上学期北师大版（2019）必修 第一册

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1　函数的奇偶性
第1课时　函数的奇偶性
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.若函数f(x)的定义域为R,则“f(-2)=f(2)”是“函数f(x)为偶函数”的 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.函数f(x)=-x的图象关于 (　 )
A.y轴对称
B.直线y=-x对称
C.原点对称
D.直线y=x对称
3.已知函数f(x)=x3+9x+9,若f(t)=1,则f(-t)= (　 )
A.19 B.17
C.8 D.-1
4.函数f(x)=的大致图象为 (　 )
A B C D
5.[2024·贵州三新改革联盟校高一月考] 设函数f(x)=若f(x)是奇函数,则h(-1)= (　 )
A.-4 B.-2
C.2 D.4
6.已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且f(2)=0,若当x∈[0,5]时,函数f(x)的图象如图所示,
则不等式f(x)<0的解集是 (　 )
A.(2,5]
B.(-2,0)
C.(-5,-2]∪(2,5]
D.(-2,0)∪(2,5]
7.已知定义在R上的奇函数f(x)=的图象如图所示,则a,b,c的大小关系是 (　 )
A.a>b>c B.c>a>b
C.b>a>c D.a>c>b
8.(多选题)f(x)是定义在R上的奇函数,下列结论中正确的是 (　 )
A.f(-x)+f(x)=0
B.f(-x)-f(x)=2f(x)
C.f(-x)·f(x)≤0
D.=-1
9.(多选题)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,下列命题一定为真命题的有 (　 )
A. x∈R,有|f(x)|=|f(-x)|
B. x∈R,有[f(x)]3+[f(-x)]3=0
C. x∈R,使f(x)+f(-x)≠0
D. x1,x2∈R,使f()+f()=0
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.[2024·甘肃白银高一期末] 已知f(x)是偶函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=3,则a=　　　　　.
11.已知f(x)=ax2+bx-4a是偶函数,其定义域为[a-1,-2a],则a+b等于　　　　.
12.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(2)=　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=+;
(2)g(x)=·;
(3)h(x)=+.
14.(10分)设函数f(x)=x2-2|x-a|+3,x∈R.
(1)某同学认为,无论实数a取何值,f(x)都不可能是奇函数,该同学的观点正确吗 请说明你的理由.
(2)若f(x)是偶函数,求实数a的值.
(3)在(2)的情况下,求函数f(x)的单调递增区间.
15.(5分)设函数f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)≠0,则函数f(x) (　 )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.是非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
16.(15分)已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足f(y)-f(x)=,当x>0时,f(x)>0,且f(1)=1.
(1)求f(2),f(-1);
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.
§4　函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1　函数的奇偶性
第1课时　函数的奇偶性
1.B　[解析] ∵f(-2)=f(2)推不出函数f(x)为偶函数,而函数f(x)为偶函数可以推出f(-2)=f(2),∴“f(-2)=f(2)”是“函数f(x)为偶函数”的必要不充分条件.故选B.
2.C　[解析] ∵f(x)的定义域为{x|x≠0},f(-x)=-(-x)=-f(x),∴函数f(x)=-x是奇函数,其图象关于原点对称.故选C.
3.B　[解析] 设h(x)=f(x)-9,则h(x)=x3+9x,因为h(-x)=-x3-9x=-h(x),所以h(x)为奇函数,则f(-t)=h(-t)+9=-h(t)+9=-f(t)+9+9=17.故选B.
4.A　[解析] 函数f(x)的定义域为{x|x≠±1},f(-x)==f(x),则f(x)为偶函数,排除C,D;f(2)==-<0,排除B.故选A.
5.A　[解析] 由函数f(x)=可得f(1)=1+1=2,因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2,又f(-1)=h(-1),所以h(-1)=-2,所以h(-1)=-4.故选A.
6.D　[解析] 由题意,奇函数f(x)的定义域为[-5,5],f(-x)=-f(x),由奇函数图象的特征可得f(x)在[-5,5]上的图象(如图).由图可得f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,5].故选D.
7.D　[解析] ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)==0,x2+c≠0恒成立,∴b=0,c>0.∵f(1)==1,∴a=1+c>c.∴a>c>b,故选D.
8.AC　[解析] 由f(x)是定义在R上的奇函数,得f(-x)=-f(x),且f(0)=0,因此f(-x)+f(x)=0,A正确;f(-x)-f(x)=-2f(x),B错误;f(-x)·f(x)=-[f(x)]2≤0,C正确;当x=0时,f(-x)=f(0)=0,此时式子无意义,D错误.故选AC.
9.ABD　[解析] 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以 x∈R,有f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0.所以|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,则A为真命题;[f(x)]3+[f(-x)]3=[f(x)]3+[-f(x)]3=[f(x)]3-[f(x)]3=0,则B为真命题;易知C为假命题;令x1=-x2,则f()+f()=f(-)+f()=-f()+f()=0,则D为真命题.故选ABD.
10.2　[解析] 因为f(x)是偶函数,所以f(-3)=(-3)2-3a=9-3a=f(3)=3,解得a=2.
11.-1　[解析] 因为f(x)=ax2+bx-4a是偶函数,其定义域为[a-1,-2a],所以a-1+(-2a)=0,可得a=-1,则f(x)的定义域为[-2,2],f(x)=-x2+bx+4.由f(-x)=f(x)可得-x2-bx+4=-x2+bx+4,所以2bx=0,可得b=0,所以a+b=-1.
12.-4　[解析] 由f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,得f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).由f(x)-g(x)=x3+x2+1,得f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)=-x3+x2+1,则-2g(x)=2(x2+1),所以g(x)=-(x2+1),f(x)=x3,故f(1)+g(2)=1-5=-4.
13.解:(1)f(x)=+ 的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),∵f(-x)=+=+=f(x),∴f(x)是偶函数.
(2)由得x=±1,∴g(x)=0,且它的定义域为{1,-1}.∵g(x)的定义域关于原点对称,且g(x)=g(-x)=-g(x)=0,∴g(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)由得x>0,∴函数h(x)的定义域不关于原点对称,∴h(x)既不是奇函数也不是偶函数.
14.解:(1)该同学的观点正确,理由如下.f(a)=a2+3,f(-a)=a2-4|a|+3.
若f(x)为奇函数,则f(a)+f(-a)=0,
∴a2-2|a|+3=0,显然a2-2|a|+3=0无实数解,
∴f(x)不可能是奇函数.
(2)若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)恒成立,
即x2-2|x-a|+3=x2-2|-x-a|+3恒成立,可得|x-a|=|x+a|恒成立,两边同时平方,化简得ax=0恒成立,
又x不恒为0,∴a=0.
(3)由(2)知f(x)=x2-2|x|+3=作出其大致图象如图所示,
由图象知f(x)的单调递增区间为[-1,0]和[1,+∞).
15.B　[解析] 对任意x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),令y=0,得2f(x)=2f(x)f(0),∵f(0)≠0,∴f(0)=1.令x=0,得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),即f(-y)=f(y),令y=x,得f(-x)=f(x),即函数f(x)为偶函数.故选B.
16.解:(1)令x=2,y=1,可得f(1)-f(2)==f(2),解得f(2)=;令x=1,y=-1,可得f(-1)-f(1)=,解得f(-1)=-1.
(2)f(x)为奇函数,理由如下:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,f(-x)=f[(1-x)-1]==,而f(1-x)==,得f(-x)===-f(x),故f(x)为奇函数.