人教版八年级上册数学 第十三章轴对称 单元试题（含详解）

人教版八年级上册数学第十三章 轴对称单元试题
一、单选题(每题3分，共30分)
1．下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，平分，那么下列结论不一定成立的是（　　）
A． B．是的高线
C．是的角平分线 D．是等边三角形
3．如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，且，连接，，当的值最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图的三角形纸片中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为（ ）．
A．6 B．7 C．8 D．11
5．如图，和关于直线l 对称，若，，则∠B 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，分别以， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于，两点，且分别与相交于，两点，连接，若，则 （ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，高、相交于点．若，则图中的全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
8．如图所示，在中，，，为的中点，交于点，若，的大小是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在是边上的高，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，交于点F，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，点A，B，C在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论：①；②；③为等边三角形；④平分；⑤；其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每题3分，共30分)
11．小明在穿衣镜里看到身后墙上电子钟显示，则此时实际时刻为 ．
12．若等腰三角形两边的长分别为和，则周长是 ．
13．如图，中，是的垂直平分线，，则的周长是 ．
14．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为 ．
15．如图，在中，，，，为边上一动点，将沿着直线，使与重合，连接，则的最小值为 ．
16．点和点关于轴对称，则的值是 ．
17．如图， 于点D，D为的中点，连接的平分线交于点O，连接，若，则
18．如图，在中，，平分，F为上一点，且．若，则的度数是

19．如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则 ．
20．如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ．
三、解答题(共60分)
21．如图，，是线段的垂直平分线，与交于点，，求的周长．
22．如图，中，平分，平分，过点作的平行线，交于，交于，若，，求的周长．
23．如图，在中，垂直平分，交于点E，，，连接．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的周长．
24．如图，三个顶点的坐标分别为，，．

(1)请画出关于轴对称的；
(2)请画出关于轴对称的；
(3)连接，，，请直接写出的面积．
25．如图，点、为线段上两点，于，于，连接、，，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，设与相交于点，连接、并延长相交于点，请直接写出图中对全等的三角形．（除外）
26．如图，在等边三角形中，D是边上的动点，以为一边，向上作等边三角形，连接．
(1)求证：；
(2)若与交于点O，当时，求的长．
27．四边形中，点为线段的中点．
(1)，平分．
①如图1，若，，则_______；
②如图2，若，求证：平分；
(2)和不平行时，，求证：．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断，利用排除法求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2．D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，三角形全等的判定，根据三角形全等的判定方法，可得出，根据等腰三角形三线合一可得出是的高线，是的角平分线．
【详解】解：∵在中，，平分，
∴是的高线，是的角平分线，是中线，
∴，
∵，
∴，
无法判断是等边三角形，故D符合题意，不符合题意．
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．将拼接到，连接交于点，推出，当点与点重合时，的值最小，据此求解即可．
【详解】解：如图，将拼接到，连接交于点，
则，
，，，
，
当A，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，
，，
，
，，
，
即最小时，的度数为．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了翻折的特性，解题的关键是掌握翻折前和翻折后对应边相等；由折叠的性质可得，，可求的长，即可求的周长．
【详解】解：由折叠可知，，，
则，
∴的周长为：，
故选：B．
5．D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，三角形内角和定理，先根据轴对称图形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】解：∵和关于直线l 对称，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，由作图可知垂直平分，垂直平分，则，，从而有，，然后根据三角形的内角和定理即可求解，熟练掌握垂直平分线的尺规作图是解题的关键．
【详解】解：由作图可知，垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
7．C
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，熟知全等三角形的判定方法是解答的关键．根据全等三角形的判定方法结合图形可求解．
【详解】解：∵在中，高、相交于点，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，则，
在和中，
，
∴；
在和中，
，
∴，
综上，共3对全等三角形，
故选：C．
8．C
【分析】作交于点，交于点，、相交于点，利用“角角边”证明，再根据全等三角形性质得到后可利用“边角边”证明，根据全等三角形性质、即可得到．
【详解】解：作交于点，交于点，、相交于点，
中，，
，
，
，
是的外角，
是的外角，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
点在上，且，
，
即．
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、外角的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
9．C
【分析】根据角平分线定义判断A；根据和都是的余角判断B；根据含的直角三角形性质判断C；根据和都是的余角，是的外角，是的外角，判断D．
【详解】A、由作图知，平分，
∴，
∴A正确，不符合题意；
B、∵是边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴B正确，不符合题意；
C、当时，
，
，
∴C不一定正确，C符合题意；
D、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴D正确，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线和直角三角形．熟练掌握角的平分线定义，直角三角形角性质，余角定义，含的直角三角形边性质，三角形外角性质，是解题的关键．
10．D
【分析】由等边三角形的性质得出，，，得出，由即可证出，即可判断①；由，得出，根据三角形外角的性质得出，即可判断②；由证明，得出对应边相等，即可得出为等边三角形，即可判断③过点B作于点F，作于点G，由得到，，从而，根据角平分线的判定定理即可得到平分，即可判断④；由得到，要使，则需要，题中没有条件，故无法证得，即可判断⑤．
【详解】解：、为等边三角形，
，，，
∴，
即，
在和中，
，
，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，
∵，
为等边三角形，故③正确；
过点B作于点F，作于点G，
，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴平分，故④正确；
∵，
∴，
∵，
∴当时，，则，
题中没有条件，故无法证得，故⑤错误．
综上，结论正确的有①②③④，共4个．
故选：D
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定定理，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
11．
【分析】本题考查了镜面对称，熟练掌握镜面对称是解题的关键；根据镜面对称进行求解即可．
【详解】解：根据题意，平面镜里看到其对面墙上电子钟显示数与实际的时间显示数成轴对称，据此可知实际时间为，
故答案为：．
12．15或18
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分当腰长为时，当腰长为时，根据等腰三角形的定义确定等腰三角形的三边长，再根据构成三角形的条件和三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解：当腰长为时，则该三角形的三边长分别为，，，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴此等腰三角形的周长为；
当腰长为时，则该三角形的三边长分别为，，，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴此等腰三角形的周长为；
综上所述，该等腰三角形的周长为或，
故答案为：15或18．
13．13
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线．熟练掌握线段垂直平分线性质，三角形周长定义，是解决问题的关键．根据线段垂直平分线性质得到，得到，即可得到的周长为13．
【详解】解：∵是边的垂直平分线，
∴，
∴,
∵，
∴的周长：．
故答案为：13．
14．
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义结合平行线的性质可得，由等角对等边得出，再由，即可得解，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，是解此题的关键．
【详解】解：的平分线相交于点，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
故答案为：．
15．4
【分析】此题考查了折叠性质，三角形三边关系的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据折叠性质得到，然后由得到当点A，，B三点共线时，的值最小，即的长度，进而求解即可．
【详解】∵将沿着直线，使与重合，
∴
∴
∴当点A，，B三点共线时，的值最小，即的长度
∴的最小值为4．
故答案为：4．
16．
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可．
【详解】解：∵点和点关于轴对称，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了三角形的外角性质以及垂直平分线的判定与性质，等边对等角，以及角平分线的定义，先由三角形的外角性质得，因为，D为的中点，所以是的垂直平分线，则，因为是的角平分线，则是的角平分线，即可作答．
【详解】解：，，
∴，
∵，D为的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
故答案为：．
18．
【分析】先根据等边对等角得到，再由三线合一定理得到，则由三角形内角和定理得到，再由等边对等角得到，据此根据三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵．
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质和三线合一定理，熟知等边对等角是解题的关键．
19．84
【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，多边形内角和定理，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接，并延长到P，根据线段的垂直平分线的性质得，，根据四边形的内角和为得，根据外角的性质得，相加可得结论．
【详解】解：连接，并延长到P，
∵线段、的垂直平分线、相交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴；
故答案为：84．
20．3
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，由此可得，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当三点共线且时最短，根据三角形的面积公式可求出的长，即的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵在中，，平分，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
如图，当三点共线且时， ，此时最小，即的值最小，
∵，
∴，
解得，
∴的最小值为，
故答案为：．
21．
【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质；根据线段的垂直平分线的性质，可得，进而根据三角形的周长公式，即可求解．
【详解】解：是的垂直平分，
．
的周长（）．
22．13
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，再根据等角对等边可得,同理可得，从而确定出等腰三角形，再求出的周长，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
；
同理：，
的周长，
，
，
，
∵，，
的周长．
23．(1)
(2)的周长为
【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，即可得出答案；
（2）根据已知能推出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，，垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（2）解：由（1）知：，
∵，
∴，
∴的周长为．
答：的周长为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，三角形的外角性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了轴对称变换，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征、正确找出各点的对应点是解题的关键．
（1）分别作出点、、关于轴对称的点，然后顺次连接即可；
（2）分别作出点、、关于轴对称的点，然后顺次连接即可；
（3）根据三角形的面积公式即可得．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：如图所示，为所求，

（3）解：如图，
的面积．
25．(1)证明见解析；
(2)，，，
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）由可得，根据于，于，可得，即可证明；
（2）根据全等三角形的判定与性质求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
于，于，
，
在和中，
,
；
（2）解：，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
在和中，
，
，
在和中，
，
，
在和中，
，
，
图中对全等的三角形为：，，，．
26．(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形：
（1）根据等边三角形的性质，利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵等边三角形，等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵等边三角形，等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴．
27．(1)①；②证明见解析；
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）①根据平行线的性质，证明，得到，，再根据等边对等角的性质以及角平分线的定义，得出，即可求出的度数；
②延长交的延长线于点，证明，，根据等边对等角的性质以及角平分线的定义，得到，进而得到，再结合等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（2）延长至点，使得，证明，得到，再根据垂直平分线的性质，得到，最后利用三角形的三边关系证明即可．
【详解】（1）解：①，
，，，
，
，
点为线段的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：；
② 如图，延长交的延长线于点，
，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，
，
是的中点，
平分；
（2）证明：如图，延长至点，使得，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
．