人教版九年级上册数学第二十二章二次函数单元试题 (含解析)

人教版九年级上册数学第二十二章二次函数试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(每题3分，共30分)
1．抛物线的开口方向、顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上； B．开口向下；
C．开口向上； D．开口向下；
2．已知抛物线与x轴的交点分别为，，则该抛物线的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的最大值为3，则一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定
4．下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值，则方程的一个根的近似值可能是（ ）
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y 1 0.49
A．1.09 B．1.19 C．1.29 D．1.39
5．已知两点，均在抛物线上，点是该抛物线的顶点．若 ，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内只有一个实数根，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
7．二次函数的开口向下，则的值可以是（ ）
A．2 B． C．0 D．任意实数
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知抛物线，现有以下四个结论：①当时，随的增大而增大；②当时，抛物线经过坐标原点；③不论为何值，；④若关于的一元二次方程在的范围内有实数根，则的取值范围是．其中，正确的结论有（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题(每题3分，共30分)
11．将抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线是解析式为 ．
12．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围为
13．如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于x的不等式的解集是 ．
14．已知二次函数，当时，y的取值范围是 ．
15．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ．
16．已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是 ．
17．若二次函数的图象与x轴交于，则的值是 ．
18．已知一元二次方程有两个实数根，，则二次函数的对称轴是直线 ．
19．某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共y万元，如果平均每月增长率为x，则营业额y与月平均增长率x之间的函数关系式为 ．
20．如图，二次函数的图象经过点，与y轴交于点B，C、D分别为x轴、直线上的动点，当四边形的周长最小时，则点D的坐标为 ．
三、解答题(共60分)
21．抛物线经过点．
(1)求抛物线的解析式，并求出此抛物线与轴的交点坐标．
(2)当时，求函数的取值范围．
22．已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）．
(1)求点A、点B的坐标．
(2)求的面积．
23．如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从A，两点同时出发，设运动时间为，

(1)___________，___________，___________；
(2)为何值时的面积为？
(3)为何值时的面积最大？最大面积是多少？
24．如图，抛物线交x轴于A、B两点，与y轴交于点C．点在抛物线上．
(1)求四边形的面积；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大，若存在，试求出点P的坐标．
25．已知二次函数的图象经过点，且与轴的交点坐标为．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)直接写出这个二次函数的图象的对称轴和顶点坐标．
(3)当的取值范围为多少时，随的增大而减小？
26．在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．

(1)求该抛物线的解析式．
(2)求该抛物线的顶点坐标．
(3)斜坡上点处有一棵树，是的中点，小球恰好越过树的顶端，直线轴，横、纵坐标的每个单位长度均为1米．求这棵树的高度．
27．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)请直接写出：此抛物线的函数解析式为_____________；
(2)如图1，已知点在第二象限的抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在这样的、两点使得四边形为矩形？若存在，求、两点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，平移抛物线，使新抛物线的顶点在的延长线上，过点作轴于点，过原抛物线的顶点作轴，交新抛物线于点，若，求点的坐标．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式确定开口和点坐标的方法是解题的关键．
根据二次函数顶点式确定出开口方向和顶点坐标即可得解．
【详解】解：抛物线的开口向上，顶点坐标是．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线的对称性求解是解题的关键．
根据抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称求解即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴的交点坐标分别为和，
∴和关于抛物线的对称轴对称，
抛物线的对称轴为直线．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系，根据二次函数与一元二次方程的联系即可得．
【详解】解：∵二次函数的最大值为3，
∴直线与函数图象只有一个交点，且函数图象开口向下，
∴直线与二次函数图象没有交点，
∴方程没有实数根．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查图象法求一元二次方程的近似根，通过表中数据确定与x轴的交点横坐标的范围，从而得到一元二次方程的根．
观察表中数据得到二次函数与x轴的一个交点在和之间，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程的一个根的近似值．
【详解】当时，，
当时，，
二次函数与x轴的一个交点在和之间，
方程的一个根在1.1到1.2之间，
故选：B．
5．B
【分析】】本题考查了二次函数性质，主要利用了二次函数的增减性以及对称轴，判断出抛物线开口向上是解题的关键．先判断出抛物线开口向上，再根据二次函数的增减性作出判断即可．
【详解】解：∵点是该抛物线的顶点，，
∴抛物线有最小值，开口向上，
∵，，，
∴点到对称轴的距离比点到对称轴的距离大，
∴，
平方得，
解得．
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点及交点与一元二次方程的实数根的关系，明确二次函数的相关性质是解题的关键．
根据二次函数的对称轴求得b值，从而得出函数的解析式，将一元二次方程为实数)在的范围内有实数根可以看做与函数有交点，再由时的临界函数值及对称轴处的函数值得出的取值范围即可．
【详解】∵抛物线 的对称轴为直线 ，
解得：，
，
∴一元二次方程 有实数根可以看做与函数有交点，
∵方程 (t为实数) 在的范围内只有一个实数根，
当时，；
当时，；
当时，，只有唯一交点；
∴的取值范围是或，
故选: A．
7．A
【分析】本题考查二次函数的图象，根据二次函数的开口向下得到，进而即可解答．
【详解】解：∵二次函数的开口向下，
∴，即，
∴a的值可以是2．
故选：A
8．B
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是对参数和进行分类讨论．分当，时，当，时，当，时，当，时，四种情况讨论即可．
【详解】解：对于一次函数和二次函数的图象，
①当，时，一次函数的图象过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左侧，没有选项符合；
②当，时，一次函数的图象过第一、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴左侧，没有选项符合；
③当，时，一次函数的图象过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，选项B符合；
④当，时，一次函数的图象过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴右侧，没有选项符合；
故选：B．
9．B
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得抛物线的对称轴为直线，，然后根据“开口向上，离对称轴越近，其对应的函数值就越小”可进行求解
【详解】解：根据题意可知抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上．
∴，，，
∵，且开口向上，
∴；
故选B．
10．A
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，对称轴的性质，开口方向，增减性以及解不等式组的解集等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出对称轴为直线，结合开口向上，即可判断①；把代入，再化为顶点式，即可判断②；结合开口向上，抛物线在取到最小值，且为，即可判断③；根据增减性且把和分别代入，则，进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意，，
∴，
∴，
则开口向上，
则当时，随的增大而增大；
故①是正确的；
∵，
∴，
当时，，
∴抛物线经过坐标原点；
故②是正确的；
∵的对称轴为直线，
∴把代入，
得，
∵，开口向上，在取到最小值，且为，
不论为何值，；
故③是错误的；
∵在时，随的增大而增大，且关于的一元二次方程在的范围内有实数根，
∴，
∴，
∴，
故④是错误的；
故选：A．
11．
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”写出即可．
【详解】解：抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线是解析式为，
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得当时，y随x的增大而增大，求得当时，；时，，即可求解．
【详解】解：由题意得，，对称轴，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵当时，；时，，
∴当时，函数值y的取值范围为，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围．根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】∵抛物线与直线交于、两点，
∴由函数图象可得，不等式的解集是，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．先化为顶点式，求得开口方向与对称轴，进而得出最小值，根据x的范围得出时，求得函数的最大值，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，y的最大值为，
∴y的取值范围是，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，关键是数形结合思想的应用．
由二次函数的图象直接得出结论．
【详解】解：∵由函数图象可知，当时，函数图象在x轴的上方，即，
∴不等式的解集是．
故答案为：．
16．/
【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键．
利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标可得当在两交点之间时，据此可得的取值范围．
【详解】解：∵二次函数与一次函数的交点横坐标分别为，
∴使成立的的取值范围正好在两交点之间，即，
故答案为：．
17．2029
【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点和二次函数的性质，熟练掌握整体代入求代数式的值是解题的关键．将代入得：，即，代入到原式可得答案．
【详解】解：根据题意，将代入得：，
则，
，
故答案为：2029．
18．
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对于二次函数，当时求得的自变量的值，也就是二次函数图象与轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：二次函数与轴的交点分别为：，,
∴二次函数的对称轴是直线，
故答案为：．
19．
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．根据平均每月增长率为x，可求二月、三月的营业额，再根据一月、二月、三月的营业额共y万元列出函数解析式即可．
【详解】解：由题意，二月的营业额为，三月的营业额为，
∵一月、二月、三月的营业额共y万元，
∴．
故答案为：．
20．
【分析】本题考查了二次函数解析式的确定，对称点的确定与求解，三线段和最小问题，分别构造定点关于轴，对称轴的对称点是解题的关键．先把点代入解析式，确定函数的表达式，根据的长是定值，想使四边形的周长最小，只需的和最小，为此过点作对称轴的对称点，作点B关于x轴的对称点F，连接，交x轴于点C，交对称轴于点D，此时四边形的周长取得最小值，据此求解即可．
【详解】解：作点A关于对称轴的对称点E，则，作点B关于x轴的对称点F，
连接交x轴于点C，交对称轴于点D，此时四边形的周长取得最小值，
将点代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴点B坐标为，
则点，
设所在直线解析式为，
将，代入得，
解得，
所以所在直线解析式为．
当时，，
．
故答案为：．
21．(1)抛物线解析式为，与轴的交点坐标为；
(2)当时，．
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据抛物线的对称轴为直线，开口向下，得出当时，随的增大而减少，求得当的函数值，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴抛物线与轴的交点坐标为；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，，抛物线开口向下，
∴当时，随的增大而减少，
当时，，
∴当时，．
22．(1)交点A，B的坐标分别为，
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图像，一次函数与坐标轴的交点，解一元二次方程，联立两个函数得到点，的坐标是解题的关键．
（1）将两个函数的解析式联立组成方程组，求得方程组的解就可得到交点的坐标；
（2）根据题意得到，再利用即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
解得：或
在的右边
交点，的坐标分别为，；
（2）解：直线与轴交于点
当时，，即点坐标为
又，
点，到的距离分别为3，1
．
23．(1)，，
(2)当秒或4秒时，的面积是；
(3)当为3时的面积最大，最大面积是
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的几何应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
（1）由题意可直接利用t表示出，和；
（2）由三角形的面积公式可求出，结合题意即得出关于t的方程，解出t即可；
（3）由（2）可知，再变形为顶点式，结合二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）根据题意得：，，
∴，
故答案为：，，；
（2），
解得：或4，
∵，，
∴，
∴或4都符合题意，
∴即当秒或4秒时，的面积是；
（3）由（2）可知，
∵，，
∴当为3时的面积最大，最大面积是．
24．(1)9
(2)
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，求一次函数的解析式，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
（1）分别求得抛物线与轴和轴的交点，从而得出的值，进一步得出结果；
（2）连接，则，过当三点共线时最大，据此求出直线与对称轴的交点坐标即可得到答案，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图，连接，
当时，，
，
由得，，
，
当时，，
，
∴
；
（2）解：如图，
抛物线的对称轴为：直线，
连接，
根据抛物线对称性可得：，
则，
故当三点共线，的值最大，最大值即为的长，
设直线的解析式为：，
，
，
，
当时，，
．
25．(1)；
(2)对称轴为直线，顶点坐标为；
(3)时，y随x增大而减小
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，函数的增减性．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解；
（3）根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，据此即可求解．
【详解】（1）解：设这个二次函数解析式为：，
依题意得，
解得：，
∴二次函数解析式为：；
（2）解：对于，
∴对称轴为直线，
顶点坐标为；
（3）解：∵抛物线，对称轴为直线，
又∵，抛物线开口向上，
∴在对称轴的左侧y随x的增大而减小，
∴时，y随x增大而减小．
26．(1)
(2)
(3)米
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）将点代入抛物线，进行计算，即可作答．
（2）把化为顶点式，再作答即可．
（3）过点作轴的垂线，垂足为，取的中点，连接，证明是的一条中位线，然后求出点的坐标为．再求出点的坐标为，则，代入进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：将点代入抛物线，
得，
解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线，
∴该抛物线的顶点坐标为；
（3）解：如图，过点作轴的垂线，垂足为，取的中点，连接，
．
∵点的坐标为，
，．
是的中点，是的中点，
是的一条中位线，
，，
∴点的坐标为．
∵直线轴，
∴三点共线，
将代入，
得，
∴点的坐标为，
∴，
（米），
答：这棵树的高度是米．
27．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）首先求出对称轴为直线，，设，，首先根据平行四边形的性质得到，然后代入求出，，然后利用两点间距离公式得到，证明出四边形为矩形，符合题意，即可求解；
（3）首先求出抛物线的顶点坐标，求出所在直线表达式为，得到新抛物线的顶点P的坐标为，然后求出表示出，根据列方程求出，进而求解即可．
【详解】（1）解：将，代入函数解析式得，
，
解得，
此二次函数的解析式为；
（2）∵
∴对称轴为直线
当时，
∴
∵点在第二象限的抛物线上，点在抛物线的对称轴上
∴设，
当四边形为矩形时，四边形为平行四边形
∴，即
∴
∴，
∴，
∴
∴四边形为矩形，符合题意，
∴，；
（3）抛物线
∴顶点坐标
∵，
∴设所在直线表达式为
∴
∴
∴所在直线表达式为
∵平移抛物线，使新抛物线的顶点在的延长线上，
∴新抛物线的顶点P的坐标为
∴设新抛物线的表达式为
将代入得，
∴
∵
∴
解得或
∵新抛物线的顶点在的延长线上
∴，故应舍去
∴
∴．
【点睛】本题属于二次函数和一次函数综合题，考查了待定系数法，特殊四边形的存在性问题，抛物线的平移，勾股定理等知识，解题的关键是掌握待定系数法以及二次函数的性质．