人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程 单元试题(含解析)

人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程试题
一、单选题(每题3分，共30分)
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．（a，b，c为常数） B．
C． D．
2．一元二次方程，常数项为（ ）
A．1 B． C． D．7
3．已知1为关于的一元二次方程的根，则值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（ ）
A．27 B．72 C．27或16 D．或
5．若关于x的方程是一元二次方程，那么m的值为（　　）
A． B． C． D．
6．关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
7．某校准备修建一个面积为181平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．设a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2026 B．2025 C．2024 D．2027
9．若是关于的方程的一个解，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．已知关于的一元二次方程，则下列分析正确的是（ ）
A．当时，方程有两个相等的实数根 B．当时，方程有两个不相等的实数根
C．当时，方程没有实数根 D．方程的根的情况与的值无关
二、填空题(每题3分，共30分)
11．若关于的方程有两个不等的实数根，则的值为 ．
12．已知一元二次方程的两个根为、，则的值为 ．
13．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
14．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则 ．
15．写出一个以和4为根且二次项系数为1的一元二次方程是 ．（用一般形式表示）
16．如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为 ．
17．某工厂1月份生产零件10万件，第一季度共生产零件万件，则该工厂二、三月份生产该零件的月平均增长率为 ．
18．已知是方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边长，则该等腰三角形的周长为 ．
19．已知实数a，b满足，则的值为 ．
20．三角形两边的长分别是4和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是 ．
三、解答题(共60分)
21．用合适的方法解方程：
(1)； (2)．
(3)（用配方法） (4)
22．【规定】．
【尝试】
(1)若，求x的值；
(2)是否存在m的值，使？说明理由．
23．已知关于x的一元二次方程．
(1)证明：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根：
(2)若方程的两个实数根分别为，且，求的值．
24．近年来，随着我国数字技术的持续创新，全民的阅读方式也在经历着深刻的变化．某市2021年数字阅读市场规模为400万元，2023年数字阅读市场规模为576万元，若年平均增长率不变，预计2024年该市数字阅读市场规模是多少万元？
25．已知关于的一元二次方程．
(1)若是该方程的一个根，是否存在另一个不等于1的根？若存在，求出此根；若不存在，请说明理由．
(2)在实数范围内讨论此方程根的情况．
26．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
(1)花圃的面积为 平方米（用含a的式子表示）；
(2)如果花圃所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽．
27．如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为．
(1)当__________时，四边形是矩形；
(2)当__________时，四边形是菱形；
(3)是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．
(4)在运动过程中，沿着把翻折，当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在边上．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查的是一元二次方程的概念，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程解题即可．
【详解】解：A、（a，b，c为常数），一次项系数可以为任意数，二次项系数一定不能为0，此方程才为一元二次方程，但题目中并没给出这个条件，故此方程不一定是一元二次方程，不符合题意；
B、，是一元二次方程，符合题意；
C、，含有两个未知数，最高次数是2，不是一元二次方程，不符合题意；
D、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，在一元二次方程（其中a、b、c是常数，且）中，c叫做一元二次方程的常数项，据此把原方程化为一般式即可得到答案．
【详解】解：把原方程化为一般式得，
∴原方程的常数项为，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，将代入方程可得，解一元一次方程即可得解．
【详解】解：∵1为关于的一元二次方程的根，
∴，
∴，
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，根据题意得：
，
整理得，
解得，(不合题意，舍去)，
∴，，
∴这个两位数是27．
故选：A．
5．A
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义可得，且，再解即可．
【详解】解：由题意得：，且，
解得：，
故选：A．
6．A
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．计算判别式的值，再确定根的情况即可．
【详解】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
7．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可．
【详解】解：设宽为米，则长为米，
根据题意得：，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，求解即可．
【详解】∵a，b是方程的两个实数根，
∴，即，
∴
故选：B．
9．A
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．把代入方程列出关于a的方程，通过解方程来求a的值．
【详解】解：把代入方程得，
解得：，
故选：A．
10．B
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式；先将该方程整理成一般式，再求得其根的判别式为，再判断各选项的正确与否即可．
【详解】解：方程可整理为，
∴．
当时，，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项A不符合题意；
当时，，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选项B符合题意；
当时，的正负无法确定，
∴无法判断该方程实数根的情况，
故选项C不符合题意；
∵方程的根的情况和的值有关，
故选项D不符合题意．
故选B．
11．且
【分析】本题考查一元二次方程判别式，熟练掌握方程有两个不相等的实数根，则是解题的关键．根据方程有两个不相等的实数根，，结合一元二次方程的定义求解即可．
【详解】解：由根与系数的关系可知，当一元二次方程有两个不等的实数根，
则，且，
即，
解得，，
∴且．
故答案为：且
12．5
【分析】本题考查了韦达定理，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据韦达定理进行计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：5．
13．且
【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，据此即可解答，掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴即，且，
即有，
解得，
∴的取值范围是且，
故答案为：且．
14．
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程求出，据此利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴把代入中得：，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，根与系数的关系式，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此根据根与系数的关系确定一次项系数和常数项即可得到答案．
【详解】解：由根与系数的关系可得，一次项系数为，常数项为，
∴符合题意的一元二次方程为，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程解的定义得到，然后把变形为，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故答案为：．
17．
【分析】此题考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．设这两个月的生产零件的平均月增长率x，根据题意列出一元二次方程，求解即可得．
【详解】解：设这两个月生产零件的平均月增长率x，
根据题意可得：，
解得：，（舍去），
∴这两个月生产零件的平均月增长率．
故答案为：．
18．或/14或13
【分析】本题考查了一元二次方程的解，也考查了三角形三边的关系．把代入原方程得，然后解关于的方程即可求得的值，从而得到原方程为，进而解方程得，，根据三角形三边的关系得到等腰三角形的腰长和底边长，然后计算三角形的周长．
【详解】解：把代入方程得，
，
解得；
∴方程为，
解得，，
当腰长为4，底边长为5时，，
∴该等腰三角形的周长为；
当腰长为5，底边长为4时，，
∴该等腰三角形的周长为；
综上，该等腰三角形的周长为或．
故答案为：或．
19．3
【分析】本题考查了一元二次方程解法的应用，解决本题的关键是用换元法解一元二次方程．把看作是一个整体，设，则原式可转化为，解方程可得x， 即)的值，注意x为非负数．
【详解】解：设，
则：，整理得：，
即，
解得，
，
的值为3．
故答案为：3．
20．
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形三边关系的应用等知识．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，三角形三边关系的应用是解题的关键．
因式分解法解一元二次方程，然后根据三角形三边关系，确定第三边的长，最后求周长即可．
【详解】解：，
，
∴或，
解得，或，
由构成三角形的三边关系可知，第三边的长为6，
∴，
∴该三角形的周长是，
故答案为：．
21．(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）用因式分解法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可；
（3）用配方法求解即可；
（4）用直接开平方法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
∴或，
∴，；
（2）解：，
，
，，
∴或，
∴，；
（3）解：，
，
，
，
，
，
∴或，
∴，；
（4）解：，
，
∴
∴或，
∴，．
22．(1)
(2)存在m的值，使
【分析】本题考查了新定义运算、一元二次方程的求解与根的判别式，解题的关键是准确列出新定义运算的表达式．
（1）根据新定义运算法则写出正确的表达式，建立一元二次方程并求解即可．
（2）根据新定义运算及一元二次方程根的判别式即可得出结论．
【详解】（1）∵
∴
∵
∴
解方程得：
（2）存在m的值，使，理由如下：
∵，
∴，
整理得：，
∵，
∴存在m的值，使．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系：
（1）只需要证明即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，再由已知条件建立方程组求出，据此代值计算即可．
【详解】（1）证明：由题意得，，
∵，
∴，
∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根：
（2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，
∴，
又∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
24．预计2024年该市数字阅读市场规模约是691.2万元
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设年平均增长率为x，结合2023年数字阅读市场规模为576万元，建立方程求解百分率，从而可得答案．
【详解】解：设年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得，（不符合题意，舍去），
∴（万元）．
答：预计2024年该市数字阅读市场规模约是691.2万元．
25．(1)存在，
(2)见解析
【分析】本题考查的是一元二次方程根的含义，解一元二次方程，根的判别式的应用；
（1）把代入方程得到关于k的方程，求出k的值，再利用根与系数的关系可得另一根；
（2）计算判别式得到，然后根据判别式的意义分情况判断方程根的情况．
【详解】（1）∵是该方程的一个根，
∴，解得
∴方程为．
∵
∴存在另一个不等于1的根．
解得，．
∴方程的另一个不等于1的根为．
（2）由一元二次方程，得，，，
∴．
当，即时，原方程无实数根．
当，即时，原方程有两个相等的实数根．
当，即时，原方程有两个不相等的实数根．
26．(1)
(2)此时通道的宽为5米．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，多项式乘法与图形面积：
（1）长方形花圃的长为米，宽为米，据此根据长方形面积计算公式求解即可；
（2）根据（1）所求结合题意建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，长方形花圃的长为米，宽为米，
∴花圃的面积为平方米，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：此时通道的宽为5米．
27．(1)3
(2)
(3)不存在某一时刻t使得，理由见解析
(4)存在，t等于1或3
【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得的值；
（2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间；
（3）过作，交于，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出答案；
（4）根据折叠的性质得出，进而在中，，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：由已知可得，，，
在矩形中，， ，，
当时，四边形为矩形，
∴，
解得：，
故当时，四边形为矩形；
（2）解：，，
∴，
即，
∵，
四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形，
根据勾股定理得：，，
∴此时，
解得，
故当时，四边形为菱形；
（3）解：不存在；理由如下：
过作，交于，如图所示：
则，
∵，
四边形是矩形，
，，
，
矩形中，
∴为直角三角形，
，
，
，
即：
，
，
此方程无实数根，
不存在某一时刻使得；
（4）解：如图所示，
根据折叠可知：，，
在矩形中，
，
，
，
，
∵，
∴在中，根据勾股定理得：
，
，
即：，
解得：，
答：当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．折叠的性质，解决此题注意结合方程的思想解题．