人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程综单元试题(含解析)

人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程综单元试题
一、单选题(每题3分，共30分)
1．方程的实数根是（ ）
A． B．，
C． D．，
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．一元二次方程的常数项是（ ）
A． B．4 C． D．2
4．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知三角形两边长分别为和，第三边的长为二次方程的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．或 B． C．或 D．
6．将式子化为的形式，其结果为（ ）
A． B． C． D．
7．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．不能判定
8．把方程化成的形式则点关于轴对称的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．有一个两位数，它的数字和等于8，交换数字位置后新的两位数与原两位数之积为1612，则原来的两位数为（　　）
A．26 B．62 C．26或62 D．以上均不对
10．延时课上，4个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）
A．小张 B．小王 C．小李 D．小赵
二、填空题(每题3分，共30分)
11．已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是 ．
12．已知一元二次方程有实数解，则k的取值范围是 ．
13．设α、β是方程的两个实数根，则的值为 ．
14．已知m，n是一元二次方程的两根，且满足，则k的值为 ．
15．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围 ．
16．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值为 ．
17．已知，是关于的方程的两个实数根，且满足，则的值为 ．
18．设、是方程的两个实数根，且，则k的值是 ．
19．随着“互联网+教育”的发展，某市逐步推出空中课堂，为学生提供线上授课．据统计，第一批受益学生10万人次，第三批受益学生14.4万人次．如果第二批、第三批受益学生人次的增长率相同，则这个增长率为 ．
20．如图，等腰三角形的底边长为6，它的腰长为方程的一个根，则m的值为 ．
三、解答题(共60分)
21．解方程
(1) (2)
22．已知关于x的一元二次方程
(1)若是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
(2)证明∶对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．
23．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一实数根大于6，求a的取值范围．
24．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长）另外三边用木栏围成，木栏长．
(1)设平行于墙的一边长为x，垂直于墙的一边y，求y与x的函数关系式．
(2)若养鸡场面积为200平方米，求鸡场垂直于墙的一边长．
25．成都“蒲江猕猴桃”是维含量特别高的红心猕猴桃，营养丰富，老少皆宜，某种植基地年开始种植“猕猴桃”亩，该基地这两年“猕猴桃”种植面积的平均年增长率为．
(1)求到2024年“猕猴桃”的种植面积达到多少亩？
(2)市场调查发现，当“猕猴桃”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克．
①若降价元，每天能售出多少千克？（用的代数式表示）
②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“猕猴桃”的平均成本价为元/千克，若要销售“猕猴桃”每天获利元，则售价应降低多少元？
26．如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动．

(1)　　，　　，　　， （用含t的代数式表示）；
(2)为多少时，四边形的面积为；
(3)为多少时，点和点的距离为．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查解一元二次方程，因式分解法求出方程的解即可．
【详解】解：
，
∴，；
故选D．
2．D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，由此逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、中含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意；
B、不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；
C、化简为，故不是一元二次方程，不符合题意；
D、整理得：，是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程中，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项，据此即可解答．
【详解】解：一元二次方程的常数项是．
故选：A
4．C
【分析】本题考查直接开方法解方程，根据完全平方的非负性，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选C．
5．D
【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形三边关系，运用因式分解法求出方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：，
解得，，
∴当三边的长为，，，不能构成三角形，不符合题意；
当三边的长为，，，能构成三角形，符合题意；
∴周长为，
故选：．
6．C
【分析】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤求解即可．
【详解】解：
故选C
7．A
【分析】本题考查了根的判别式判断根的情况，算出根的判别式判断根的情况即可．
【详解】解：一元二次方程，，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
8．C
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程及坐标与图形，解题时要注意解题步骤．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项系数为，一次项的系数是的倍数．根据配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再找出，的值即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴．
∴，，
∴点关于轴对称的点的坐标为，
故选：．
9．C
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．首先设原两位数个位数字为，则十位数字为，则原来的两位数是，交换数字位置后得到的新的两位数是，再根据新的两位数与原两位数之积为1612列出方程，再解即可．
【详解】解：设原两位数个位数字为，则十位数字为，由题意得：
，
解得：，，
当时，，
当时，，
则原来的两位数为62或26，
故选：C
10．D
【分析】本题考查了解一元二次方程的配方法，掌握配方的步骤：“第一步∶ ，第二步：，第三步：， 第四步：；”是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，；
小赵负责的步骤错误；
故选：D．
11．6
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，以及因式分解法解一元二次方程，把代入求出m的值，然后再用因式分解法解一元二次方程即可得出答案．
【详解】解：把代入
得：
解得：，
∴方程为，
即，
∴，，
故它的另一个根是6，
故答案为：6．
12．且
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据题意得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：一元二次方程有实数解，
且，即，
解得，
的取值范围为且．
故答案为：且．
13．1
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系式进行计算与转化是解决本题的关键．根据一元二次方程根与系数关系可以求出，可化为，代入求值即可解答．
【详解】∵是方程的两个实数根，
，
故答案为：1．
14．//
【分析】本题考查一元二次方程解的意义和根与系数的关系，结合已知条件列的关于k的方程式解题的关键，根据一元二次方程解的意义以及其根与系数的关系列的K的方程，解得方程即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程的根，
∴，即．
将其代入，得，
即，
∵m，n是一元二次方程的两根，
∴，．
将其代入，
得．
解得，
故答案为．
15．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根之间的关系，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式与根之间的关系是解题的关键．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两个不等式解集的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且，
的取值范围为且，
的最大整数值为，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了根与系数的关系，关键是根据已知条件对足进行变形．根据根与系数的关系得到，，由，得到，从而得到，解得或，然后判断方程的根的情况即可．
【详解】解：，是关于的方程的两个实数根，
，，
，
，
，
，
解得：或，
当时方程为，则，
当时方程为，则，
，
故答案为：．
18．1
【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式以及根与系数的关系；
首先根据根的判别式求出k的取值范围，然后利用根与系数的关系求出满足条件的k值即可解答．
【详解】方程的两个实数根，
，，，
解得：，
，
，
，
解得：，，
，
．
故答案为：1．
19．
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握增长率模型是解题关键．设增长率为x，根据“第一批受益学生10人次，第三批受益学生14.4人次”可列方程求解．
【详解】解：设增长率为x，
根据题意，得，
解得（舍去），．
∴增长率为．
故答案为：．
20．
【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系；解一元二次方程得，，由构成三角形的条件进行判断即可求解；掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题的关键．
【详解】解：，
或，
，，
，
不合题意，舍去，
，
故答案：．
21．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了因式分解来解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先提公因式，然后令每个因式分别为0，进行计算，即可作答；
（2）先去括号，移项，合并同类项，再运用十字相乘法进行因式分解，然后令每个因式分别为0，进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：，
得，
或，
解得：，；
（2）解：，
得，
可化为，
或，
解得：，．
22．(1)，方程的另一根为
(2)见解析
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，．
（1）设方程的另一根为，根据根与系数的关系得到，，然后解两个方程即可；
（2）计算判别式的值得到，则利用非负数的性质可判断，然后根据判别式的意义可判断对于任意实数，这个一元二次方程都有两个不相等的实数根．
【详解】（1）解：设方程的另一根为，
根据题意得，，
解得，，
即，方程的另一根为；
（2）证明：，
因为对于任意实数，，
所以，
所以对于任意的实数，这个方程有两个不相等的实数根．
23．(1)见解析
(2)a的取值范围为
【分析】本题考查了根的判别式，因式分解法解一元二次方程，一元一次不等式的求解，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
（1）利用根的判别式进行证明即可；
（2）利用因式分解法求出方程的两个根，根据方程有一实数根大于6，列出不等式求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴此方程总有两个实数根．
（2）解：，
，
∴，．
∵方程有一实数根大于6，
∴．解得．
∴a的取值范围为．
24．(1)
(2)
【分析】本题考查列一次函数解析式、一元二次方程的应用，（1）根据题意求解即可；
（2）根据长方形的面积公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，，
解得，
∴，
答：鸡场垂直于墙的一边长为．
25．(1)到年“猕猴桃”的种植面积达到亩；
(2)售价应降低元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用及有理数的乘方，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据有理数的乘方运算求解即可；
（2）①由降低元，得每天可售出千克，②根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】（1）解：（亩）
答：到年“猕猴桃”的种植面积达到亩；
（2）解：①设售价应降低元，则每天可售出千克；
②依题意，得：，
整理，得：，
解得：．
∵要尽量减少库存，
∴．
答：售价应降低元．
26．(1)；；；
(2)当为5时，四边形的面积为
(3)当t为或时，点P和点Q的距离为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，
（1）当运动时间为时，根据点，的运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出各线段的长度；
（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；
（3）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：（1）当运动时间为时，，，，．
故答案为：；；；．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：
答：当为5时，四边形的面积为．
（3）过点作于点，则，如图所示．
依题意得：，
即，
解得：，．
答：当为或时，点和点的距离为．