2024-2025学年高中数学必修一第三章 函数概念与性质测试题 （含答案）

高中数学必修一第三章
一、单选题
1．函数f(x)＝ax2－b在(－∞，0)内是减函数，则a、b应满足 (　　)
A．a＜0且b＝0 B．a＞0且b∈R C．a＜0且b≠0 D．a＜0且b∈R
2．已知函数 是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（　　）
A． B．-1 C．1 D． 或1
3．在一次研究性学习中，老师给出函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时给出命题：
甲：函数的值域为；
乙：若≠，则一定有≠；
丙：若规定，则 对任意恒成立。
你认为上述三个命题中错误的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是（　　）
A． B．
C． D．
5．设f（x）是定义在R上的增函数，且对任意x，都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，如果实数m，n满足不等式f（m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n）＜0，那么m2+n2的取值范围是（　　）
A．（9，49） B．（13，49） C．（9，25） D．（3，7）
6．已知是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知函数f(x)是定义在上的偶函数，当x>0时，，则函数的零点个数为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．设函数的最大值为，最小值为，则（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．对于定义在 上的函数 ，下列判断正确的是（　　）
A．若 ，则函数 是 上的增函数
B．若 ，则函数 在 上不是增函数
C．若 ，则函数 是偶函数
D．若 ，则函数 不是偶函数
10．已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则（　　）
A．函数 的定义域为
B．函数 的值域为
C．函数 的定义域和值域都是
D．函数 的定义域和值域都是
11．已知函数，，下列结论正确的是（　　）
A．是奇函数
B．若在定义域上是增函数，则
C．若的值域为，则
D．当时，若，则
12．已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．若对恒成立，则实数a的取值范围是
B．若对恒成立，则实数a的取值范围是
C．若，的定义域为，值域为，则实数m的取值范围是
D．若，的定义域为，值域为，则实数m的取值范围是
三、填空题
13．已知函数 ，若 ，则 　 　.
14．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）＝f（1﹣x）且在[1，+∞）上是增函数，不等式f（2a+1）≤f（a+2）成立时，求实数a的取值范围　 　．
15．已知函数 ，若正实数a，b满足 ，则 的最小值为　 　.
16．定义：对于函数，若定义域内存在实数满足：，则称为“局部奇函数”若是定义在区间上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是　 　．
四、解答题
17．用定义法讨论函数 在区间 上的单调性．
18．已知函数 .
（1）用定义证明 在 上是增函数；
（2）求函数 在区间 上的值域.
19．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．
（1）写出函数f（x）（x∈R）的解析式．
（2）若函数g（x）=f（x）﹣4x+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值．
20．已知 是定义在 上的奇函数.
（1）求实数m的值；
（2）判断 的单调性并用单调性定义证明；
（3）若 ，求实数a的取值范围.
21．已知函数 的定义域为 ，且对任意的 ，都有 成立.若当 时， .
（1）试判断 的奇偶性；
（2）试判断 的单调性；
（3）解不等式 .
22．已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”.
（1）若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由；
（2）若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围；
（3）若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有.
参考答案
1-4．BCBB
5-8．ABDD
9．B,D
10．B,C
11．A,C
12．A,C
13．3
14．
15．8
16．
17．解：任意取 ， ，且 ，
易知 ， ，
当 时
所以 ，即
故 在 上单调递增
当 时
若 ，则 ，故 ．
所以 ，即 ．
故 在 上单调递减．
若 时， ，则
所以 ，即
故 在 上单调递增，
故当 时函数 在 上单调递增，
当 时， 在 上递减， 上递增．
18．（1）证明：
任取 ，且
即
在 单调递增
（2）解：由（1）知， 在 单调递增
在 上的值域是
19．解：（1）x≤0时，f（x）=x2+2x，
若x＞0，则﹣x＜0，
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x，
则
（2）g（x）=f（x）﹣4x+2=x2﹣2x﹣4x+2=x2﹣6x+2，x∈[1，2]，
∵y=x2﹣6x+2的图象是开口朝上，且以x=3为对称轴的抛物线，
故g（x）=x2﹣6x+2，x∈[1，2]为减函数，
当x=2时，函数g（x）取最小值﹣6.
20．（1）解：由 是定义在 上的奇函数．
，解得 ，
当 时，
， 为奇函数，符合题意
（2）解：由（1）知 ，则 在 上单调递减；
证明：设任意的 且
且
， ，
所以 在 上单调递减.
（3）解：由（1）（2）知函数 在 上单调递减的奇函数，
则不等式 ，
则 ，得 ，
解得
21．（1）函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称.
令 ，则 ，
令 ，则 ， ， 是奇函数
（2）任取 ，且 ，由题意得， ，
，
，又 ， 在 上为减函数.
（3）由（2）得， ，即 ，解得， .
不等式的解集为 .
22．（1）解：对任意的，且，
.
显然有
所以函数是函数在上的“L函数”
（2）解：因为函数是函数在上的“L函数”，
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立.
化简得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
即，解得.
（3）解：对于，不妨设，
（i）当时，
因为函数是函数在上的“L函数”，
所以.
此时成立；
（ii）当时，由得.
因为，函数是函数在上的“函数，
所以
此时也成立.
综上得恒成立.
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