1.3.2基本不等式
——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.已知，则下列说法正确的是( )
A.有最大值0 B.有最小值为0
C.有最大值为-4 D.有最小值为-4
2.若正数a,满足：,则的最大值为( )
A. B. C. D.2
3.若，，则的最小值是( )
A. B. C.4 D.2
4.负实数x，y满足，则的最小值为( )
A.1 B.0 C.-1 D.-4
5.已知,则的最小值为( )
A. B.8 C. D.10
6.（多选）已知实数a,b,c满足,,,则( )
A. B.
C. D.当最小时,
7.（多选）若，且，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
8.已知，且，则的最小值是______.
9.已知,,且,则的最小值为______.
10.为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元.
（1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
（2）是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意，，由均值不等式
，当且仅当，即时等号成立
故，有最小值0
故选：B
2.答案：B
解析：因为a,b为正数,所以,
因为,所以,
所以,所以,当且仅当,时,取等号.
故选：B.
3.答案：C
解析：，当且仅当，，即，时等号成立.
4.答案：B
解析：负实数x，y满足，则，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为0.
5.答案：C
解析：因为,所以,所以,当且仅当即时,等号成立.故的最小值为.
6.答案：BCD
解析：对于A中,当,时,,所以A错误;
对于B中,由,可得,所以B正确;
对于C中,因为,所以,
又因为,所以等号不成立,,所以C正确;
对于D中,由的最小值,即为数轴c到a和b的距离之和最小,
当且仅当时最小,此时,所以D正确.
故选:BCD.
7.答案：AD
解析：
A √ ，恒成立，即恒成立.
B × 当，时，，而，不等式不成立.
C × 当，时，，而，不等式不成立.
D √ 由，且，得，，则，当且仅当，即时取等号.
8.答案：6
解析：由题意，得，
则，
（当且仅当时取等号，即时取等号），
故的最小值是6.
故答案为：6.
9.答案：6
解析：因为,,且,
所以,所以,
所以或(舍去),当且仅当时,等号成立,所以的最小值为6.
10.答案：（1）75人
（2）存在实数m满足条件，且实数m的值为7
解析：（1）依题意可得调整后研发人员的人数为，年人均投入为万元，
则，解得，
又，，所以调整后的技术人员最多有75人.
（2）假设存在实数m满足条件.
由条件①，得，解得.
又，，所以当时，取得最大值7，所以.
由条件②，得，不等式两边同除以ax，
得，整理得，
因为，当且仅当，
即时等号成立，所以.
综上，得.
故存在实数m满足条件，且实数m的值为7.1.1.1集合的概念与表示
——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.下列对象能构成集合的是( )
A.我国近代著名的数学家 B.的所有近似值
C.所有的欧盟成员国 D.2023年全国高考数学试题中所有难题
2.集合且用列举法可表示为( )
A. B.
C. D.
3.已知集合M中的三个元素a，b，c分别是的三边长，则一定不是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.下列集合中表示空集的是( )
A. B.
C. D.
5.已知集合，若，则实数a的值为( )
A.-5 B.1 C.5或-1 D.-5或1
6.（多选）下列关系中正确的有( )
A. B. C. D.
7.（多选）已知集合，，，则( ).
A. B. C. D.
8.若,,用列举法表示________.
9.集合中恰有8个整数，写出整数a的一个值：__________.
10.已知，集合.
（1）若集合A中只有一个元素，求集合A；
（2）若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：C
解析：A,B,D:由于描述中标准不明确,无法确定集合;
C:所有欧盟成员国是确定的,可以构成集合.
故选:C
2.答案：C
解析：且.故选C.
3.答案：D
解析：因为集合中的元素是互异的，所以a，b，c互不相等，即不可能是等腰三角形.
4.答案：D
解析：A,B,C中分别表示的集合为,,,
不是空集;又无解,表示空集.
故选D.
5.答案：B
解析：由题意得或，解得或.当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，，符合题意.故实数a的值为1.
6.答案：AD
解析：因为，，，，所以A，D正确.
7.答案：BC
解析：由，可得；由，可得.
8.答案：
解析：因为,,
所以.
故答案为:
9.答案：0（答案不唯一）
解析：由题知集合中的8个整数为1，2，3，4，5，6，7，8，所以，解得.又a为整数，所以a可以为0.（注：答案不唯一，满足且a为整数即可.）
10.答案：（1）当时，；当时，
（2）
解析：（1）当时，，符合题意；
当时，关于x的方程应有两个相等的实数根，
则，得，
此时，符合题意.
综上所述，当时，；当时，.
（2）当时，，符合题意；
当时，要使关于x的方程有实数根，则，解得，且.
综上所述，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为.1.1.2集合的基本关系
——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.有下列式子：①；②；③；④.正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知集合，.若，则( )
A.1或2 B.-1或-2 C.2 D.1
3.已知集合，，则S，T的关系为( )
A. B. C. D.
4.已知集合,集合,若,则( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
5.已知集合,,则满足的集合C的个数为( )
A.4 B.7 C.8 D.15
6.（多选）已知，则集合A可能是( )
A. B. C. D.
7.（多选）已知集合，，则下列表示正确的是( )
A. B. C. D.
8.设集合，则集合M的非空真子集个数为___________.
9.已知集合，，则满足的一组有序实数对可以为___________.
10.设集合,.
（1）若,试判断集合A与B的关系;
（2）若,求实数a的取值集合.
答案以及解析
1.答案：B
解析：
① × 集合之间只有包含、被包含关系.
② √ 两集合中的元素完全相同，它们为同一集合，则.
③ √ 空集是任意集合的子集.
④ × 空集不含任何元素，故.
故选B.
2.答案：C
解析：因为集合，所以，解得或.当时，，不满足集合中元素的互异性，故不符合.经检验可知符合.
3.答案：A
解析：方法一：，其中，则，所以，故.又，但，故B，C错误.故选A.
方法二：由题知，，观察可知.故选A.
4.答案：B
解析：集合,集合,
若,又,所以,解得
故选：B.
5.答案：B
解析：由题知,,
所以满足的集合C有,,,,,,,
故集合C的个数为7个.
故选:B.
6.答案：AC
解析：因为，所以对于A，若，满足题意；对于B，若，，不满足题意；对于C，若，满足题意；对于D，若，则，不满足题意.
7.答案：ABD
解析：因为，所以，则，，均正确.A是数集，B是由集合组成的集合，故错误.
8.答案：6
解析：因为有3个元素，
所以集合M的非空真子集个数为个.
故答案为：6.
9.答案：（答案不唯一）
解析：由题意可得，令，得，故可以为.（注：满足即可.）
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,
因为,
所以.
（2）因为集合B至多有一个元素,由,所以,,,
当时,;
当时,所以;
当时,所以.
所以.1.4.2一元二次不等式及其解法——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.若集合,,则( )
A. B. C. D.
2.已知关于x的不等式成立的一个必要不充分条件是,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.不等式的解集为,则( )
A.0 B.-1 C.1 D.-2
4.已知集合,集合,若,则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.若集合，，则( )
A. B.
C.或 D.
6.（多选）若关于x的不等式有实数解,则a的值可能为( )
A.0 B.3 C.1 D.-2
7.（多选）已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是( ).
A.3 B.4 C.5 D.6
8.设集合，，若，则实数a的取值范围是________.
9.一元二次不等式对于一切实数x都成立,实数k的取值范围为________.
10.设，关于x的不等式的解集为.
（1）求m的取值范围；
（2）求关于x的不等式的解集.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为,,所以.
2.答案：A
解析：由,解得,由已知不等式成立的一个必要不充分条件是,所以,则.故选:A.
3.答案：A
解析：由题意,可得不等式的解集为,
所以-1,2是方程的两个根,
所以可得,,
解得,,所以,
故选：A.
4.答案：A
解析：因为,
或,
因为集合,,所以,
故选:A.
5.答案：A
解析：由可得，即，解得，
则，
因为，则或，故.
故选：A.
6.答案：ACD
解析：当时,不等式有解,符合题意;
当时,得,则不等式有解;
当时,由,解得.
综上,a的取值范围为,对照选项,选项ACD的值符合题意.
故选：ACD.
7.答案：BC
解析：画出函数的图象，关于x的一元二次不等式的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合，由函数的图象的对称轴为，所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，必须且只需使得，解得，
故选：BC.
8.答案：
解析：或，，
若
，则实数a的取值范围是.
9.答案：
解析：因为是一元二次不等式,所以,
又对一切实数x成立,
所以,解得,
则k的取值范围是.
故答案为:.
10.答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为关于x的不等式的解集为，
所以关于x的不等式恒成立，
所以，解得，
所以m的取值范围为；
（2）不等式等价于，
当时，不等式可化为，解集为；
当时，，此时不等式的解集为或；
当时，，此时不等式的解集为.1.3.1不等式的性质
——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.已知，则下列不等式一定正确的是( )
A. B. C. D.
2.下列命题中,正确的是( )
A.若,则
B.若,,则
C.若,则
D.若,,则
3.已知，则下列关系中正确的是( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B.
C. D.
5.已知，，记，，则M与N的大小关系是( )
A. B. C. D.无法确定
6.（多选）已知实数a，b，c，d满足：，则下列选项中不正确的是( )
A. B.
C. D.
7.（多选）已知，，则( )
A. B.
C. D.
8.已知实数x，y满足，则的取值范围是_________.
9.若，，则P，Q的大小关系是________
10.已知，，，比较与的大小.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为，所以.
2.答案：C
解析：对于A,因为,所以时,；时,,所以A错误;
对于B,当,时,才有,所以B错误;
对于C,当时,有,所以C正确；
对于D,由,,得出,能推出,但原命题不一定成立,所以D错误.
3.答案：A
解析：
A √ 由，得.
B × 当时，.
C × 当，时，，而，.
4.答案：C
解析：由题干可知，对于选项A，两边同时乘b，当时，所以.选项A错误.
由题干可知，对于选项B，两边同时乘，当时，所以.选项B错误.
由题干，选项C，两边同时乘，则可知成立，选项C正确.
由题干可知，当，，，则，选项D错误.
故选：C.
5.答案：B
解析：因为，，所以，，所以，所以.
6.答案：ACD
解析：不妨设，，，，此时，A错误；
，C错误；
设，，，，则，D错误；
因为，，根据不等式的基本性质，同向可加性得到：，B正确.
故选：ACD.
7.答案：AC
解析：
A √ 因为，，所以.
B × 因为，所以.
C √ 因为，，所以.
D × 因为，所以.
8.答案：
解析：由，得，，所以.
9.答案：
解析：
，
所以，.
故答案为：.
10.答案：
解析：，.又，
，.
，.1.1.3集合的基本运算
——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.1963年3月5日，毛泽东主席为沈阳部队某部因公牺牲的英雄战士雷锋的题词“向雷锋同志学习”在《人民日报》发表.为发扬雷锋精神，国家将每年的3月5日规定为“学雷锋纪念日.某学校学生会自发地组织了若干个团队分别去社会开展“学雷锋，做好事”志愿者活动.记到社区参加志愿者活动的同学的集合为A，到敬老院参加志愿者活动的同学的集合为B，则集合的含义是( )
A.同时到社区和敬老院参加志愿者活动的全体同学
B.只到社区而没有去敬老院参加志愿者活动的同学
C.只到敬老院而没有去社区参加志愿者活动的同学
D.到社区或到敬老院参加志愿者活动的同学
2.设集合，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知集合,,若,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知集合，若实数，满足：对任意的，都有，则称是集合M的“和谐实数对”，则以下集合中，存在“和谐实数对”的是( )
A. B.
C. D.
5.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
6.（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为( )
A. B.
C. D.
7.（多选）已知集合,,则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
8.已知集合，.若中只有三个元素，则实数m的取值范围是__________.
9.已知集合,,若,则m的取值范围是________.
10.设全集为R,集合,.
（1）若,求,;
（2）若,求a的集合.
答案以及解析
1.答案：D
解析：集合包含“到社区参加志愿者活动的同学或到敬老院参加志愿者活动的同学”，
故选：D.
2.答案：B
解析：由题设可得，故，
故选：B.
3.答案：B
解析：由题意,再由,所以集合B中最小元素a应在集合A中,所以,即a的取值范围是.
故选:B.
4.答案：C
解析：可知，所有满足题意的有序实数对所构成的集合为，将其看作点的集合，为中心在原点，，，，为顶点的正方形及其内部，A，B，D选项分别表示直线，圆，双曲线，与该正方形及其内部无公共点，选项C为抛物线，有公共点，故选C.
5.答案：A
解析：由得或,则,则,
又,所以.
故选:A.
6.答案：AC
解析：由题图可知，阴影部分为集合A，B的交集和B，C的交集的并集，即阴影部分可表示为或，所以A，C正确，B，D错误.
7.答案：ABC
解析：对于A,,故A错误,
对于B,,故B错误,
对于C,3不是集合,故C错误,
对于D,,故D正确,
故选:ABC
8.答案：
解析：由，得.若中只有三个元素，则有，即实数m的取值范围是.
9.答案：
解析：由,则,
故有,解得,即.
故答案为:.
10.答案：（1）,
（2）.
解析：（1）因为全集为R,,所以或.
当时,集合.
所以,或;
（2）若,则,所以.
所以a的集合为.1.2.1必要条件与充分条件
——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.使四边形为菱形的充分条件是( )
A.对角线相等 B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直平分
2.设等腰三角形ABC的腰长为x，底边长为y，且，则“的周长为16”是“其中一条边长为6”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.已知,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.“，且”是“，且”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.（多选）已知集合,集合,能使成立的充分不必要条件有( )
A. B. C. D.
7.（多选）若“或”是“”的必要不充分条件,则实数k的值可以是( )
A.3 B. C. D.
8.命题p：一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是_____________.
9.若“或”是“”的必要不充分条件，则a的最大值是___________.
10.已知命题,命题或,其中.若p是q成立的充分不必要条件,求a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为“对角线相等”“对角线互相垂直”“对角线互相平分”都不能推导出四边形是菱形，只有“对角线互相垂直平分”可推断四边形是菱形，所以对角线互相垂直平分是四边形为菱形的充分条件.
2.答案：A
解析：若的周长为16，则解得所以其中一条边长为6.若其中一条边长为6，当时，，此时的周长为，无法得出的周长为16.故“的周长为16”是“其中一条边长为6”的充分不必要条件.故选A.
3.答案：A
解析：当时,,
,充分条件成立
,,必要条件不成立
“”是“”的充分不必要条件
故选：A.
4.答案：A
解析：即，解得或
则可以推出，而不能推出
即“”是“”的充分不必要条件
故选：A
5.答案：B
解析：若，且，根据不等式的加法和乘法法则可得，且，即必要性成立；
当，，满足，且，但是，故充分性不成立，
所以“，且”是“，且”的必要不充分条件.
故选：B
6.答案：CD
解析：当且仅当A是B的子集,当且仅当,即,
对比选项可知使得成立的充分不必要条件有,.
故选:CD.
7.答案：BCD
解析：令或,,
因为“或”是“”的必要不充分条件,
所以B真包含于A,所以或,
解得或,结合选项可知符合题意的有B,C,D.
故选:BCD
8.答案：
解析：因为一次函数的图像经过一、二、四象限,
则满足,解得,
即一次函数的图像经过一、二、四象限的充要条件是.
故答案为：.
9.答案：
解析：因为“或”是“”的必要不充分条件，所以或，或.如图所示，所以，所以a的最大值为-2.
10.答案：或
解析：令,或,
因为p是q的充分不必要条件,所以A真包含于B,
所以或,解得或,
故a的取值范围为或.
法二：由A真包含于B,可得如下两种情况,
结合数轴得或,
解得或,
故a的取值范围为或.1.4.3一元二次不等式的应用——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为( )
A.12元 B.16元 C.12元到16元之间 D.10元到14元之间
2.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行,参赛的各国运动员在比赛,训练之余,都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店,开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章,每枚的最低售价为15元,若每枚按最低售价销售,每天能卖出45枚,每枚售价每提高1元,日销售量将减少3枚,为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入,则这批纪念章的销售单价x(单位:元)的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不收附加税时，每年产销大约100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元（称为税率），则每年的产销量将减少10k万瓶.要使每年在此项经营中所收取的附加税金不少于112万元，则实数k的取值范围为( ).
A. B. C. D.
4.某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高元，则被租出的礼服会减少套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为( )
A.220元 B.240元 C.280元 D.250元
5.河南是华夏文明的主要发祥地之一,众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源,在旅游业蓬勃发展的带动下,餐饮,酒店,工艺品等行业持续发展.某连锁酒店共有500间客房,若每间客房每天的定价是200元,则均可被租出;若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x元(,),则被租出的客房会减少15x套.若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元,则该连锁酒店每间客房每天的定价应为( )
A.250元 B.260元 C.270元 D.280元
6.（多选）某商品A以每件2元的价格出售时，销售量为10万件.经过调查，单价每提高0.2元，销售量减少5000件，要使商品A销售总收入不少于22.4万元，该商品A的单价可定为( )
A.2.6元 B.2.8元 C.3元 D.3.2元
7.（多选）某商场若将进货单价为8元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少件.那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为( )
A.元 B.元 C.元 D.元
8.若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间t满足关系式：，其中g取.已知一名同学以初速度竖直上拋一排球，则排球能够在距离拋出点高度及以上的位置停留的时间为___________.
9.如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为___________.
10.一个小型服装厂生产某种风衣，月产量x（件）与售价P（元/件）之间的关系为，生产x件的成本为元.
（1）该厂的月产量为多少时，每月获得的利润不少于1300元？
（2）当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？
（注：假设生产的风衣均能售出）
答案以及解析
1.答案：C
解析：设销售价定为每件x元,利润为y
则
依题意,得
即,解得
所以每件销售价应定为12元到16元之间
故选:C.
2.答案：B
解析：由题意,得,
即,,
解得.又每枚的最低售价为15元,.
故选:B.
3.答案：A
解析：设产品销量为每年x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的税金为万元，其中.由题意，得，整理得，解得.
4.答案：D
解析：依题意，每天有套礼服被租出，该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为元.因为要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，所以，即，解得.因为且，所以，即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元.
5.答案：C
解析：依题意,每天有间客房被租出,该连锁酒店每天租赁客房的收入为
.
因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元,
所以,即,解得.
因为且,所以,即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元.
故选:C.
6.答案：BCD
解析：设商品A的单价为元，则销量为万件，此时商品A销售总收入为万元，
根据题意有，解得，故BCD符合题意.
故选：BCD.
7.答案：AB
解析：设销售价定为每件x元，利润为y元，
则，
依题意有，
即，
解得，
所以每件销售价应为12元到16元之间，故每件销售价可能为13元或15元，
故选：AB.
8.答案：
解析：由题意知，所以.令，得，即，解得，所以停留的时间为.
9.答案：1
解析：设花卉带的宽度为米，则，即，
所以，故，
所以花卉带的宽度至少应为1米.
故答案为：1.
10.答案：（1）当月产量在20件至45件（包括20件和45件）之间时，月获利不少于1300元
（2）当月产量为32件或33件时，可获得最大利润，最大利润为1612元
解析：（1）设该厂的月获利为y元，
依题意得.
令，即，
则，解得.
当月产量在20件至45件（包括20件和45件）之间时，月获利不少于1300元.
（2）由（1）知.
为正整数，当或时，y取得最大值，
当月产量为32件或33件时，可获得最大利润，最大利润为1612元.1.2.2全称量词与存在量词
——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.全称量词命题“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.以上都不正确
2.已知全集为U，集合M，N为非空集合，满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知，命题，是假命题，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知集合，集合，则以下命题为真命题的是( )
A.， B.， C.， D.，
5.下列命题为真命题的是( )
A., B.,
C., D.,
6.（多选）下列对命题“，”的表述方法正确的是( )
A.存在，使得成立 B.有些，使得成立
C.任选一个，都有成立 D.至少有一个，使得成立
7.(多选)下列命题错误的是( )
A.， B.，
C.， D.，
8.命题“,”的否定是______
9.若,使,则a的取值集合是______.
10.写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
（3）存在，的个位数字等于3.
答案以及解析
1.答案：C
解析：全称量词命题“,”的否定为“,”.
故选：C.
2.答案：A
解析：集合M，N为非空集合，满足，
故，.
所以.
故选：A
3.答案：C
解析：命题p的否定：，.因为p为假命题，所以命题p的否定为真命题，故.
4.答案：A
解析：由题知，集合B是A的真子集，所以，或，或，，只有选项A符合要求.
5.答案：C
解析：对于A,因为,所以,,A错误;
对于B,当时,,B错误;
对于C,当时,,C正确;
由可得均为无理数,故D错误,
故选：C.
6.答案：ABD
解析：原命题为存在量词命题，A，B，D选项均为对应的存在量词命题，C为全称量词命题.所以A，B，D是原命题的表述方法，故选ABD.
7.答案：ABC
解析：对于A，时，不合题意，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，比如时，，C错误；
D选项正确.
故答案为：ABC
8.答案：,
解析：根据全称量词命题的否定为存在量词命题知，
命题“,”的否定是,.
故答案为：,
9.答案：
解析：,使,即方程有解,
则,解得.
故答案为:
10.答案：见解析
解析：（1）命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”，是真命题.
例如，6是能被3整除的整数，且6不是奇数.
（2）命题“每一个四边形的四个顶点在同一个圆上”的否定是“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”，是真命题.
（3）命题“存在，的个位数字等于3”的否定是“对任意，的个位数字不等于3”，是真命题.1.4.1一元二次函数——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.已知函数的图象的对称轴是直线，且函数的图象经过点，则a，b的值分别是( ).
A.2，4 B.，4 C.2， D.，
2.已知函数，在区间上函数值y随自变量x的增长而增长，则实数m的取值范围为( ).
A. B. C. D.
3.函数与的图象可能是( ).
A. B.
C. D.
4.如果函数在区间上的函数值y随x的增大而减小，那么实数a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
5.若函数在区间上的最大值是M，最小值是m，则的值( ).
A.与a有关，且与b有关 B.与a有关，但与b无关
C.与a无关，且与b无关 D.与a无关，但与b有关
6.（多选）二次函数的部分图象如图所示，则下面结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D.当时，
7.（多选）已知函数，，则下列说法正确的是( ).
A.其图象开口向上，且始终与x轴有两个不同的交点
B.无论k取何值，其图象始终过定点
C.其图象的对称轴的位置不确定，但开口大小不会因k的取值不同而改变
D.函数的最小值大于
8.若函数的图象位于x轴下方，则实数a的取值范围是__________.
9.若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是________.
10.已知幂函数的图象过点.
（1）求函数的解析式;
（2）设函数,若对任意恒成立,求实数a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意，可得
2.答案：A
解析：的图象的对称轴为直线，由题意，可得，解得.
3.答案：C
解析：当时，函数的图象开口向上，的函数值y随x的增大而增大，且图象过点，排除D；当时，函数的图象开口向下，的函数值y随x的增大而减小，且图象过点，排除AB.
4.答案：B
解析：当时，，满足题意；当时，必有解得.
综上，实数a的取值范围是.
5.答案：B
解析：易知函数在上的最值可能在，及处取得.当时，；当时，；当时，，而b，，中任意两值之差均与b无关，但与a有关.
6.答案：ABC
解析：根据图像可得，，，A正确；
由对称性和时，，所以时，，
即，，
当时，，BC正确，D错误.
故选：ABC.
7.答案：ABC
解析：对于A选项，函数的二次项系数大于0，故其图象开口向上，函数对应的一元二次方程为，其判别式恒成立，故其图象始终与x轴有两个不同的交点，故A选项正确；
对于B选项，当时，函数值，故B选项正确；
对于C选项，由于一元二次函数图象的开口大小只与二次项系数有关，故无论k取何实数，该函数图象的形状都与的图象形状相同，故C选项正确；
对于D选项，函数的最小值为，因为，所以y的最小值小于等于，故D选项错误.
8.答案：
解析：当时，函数表示一条直线，不满足题意；当时，要使函数的图象位于x轴下方，则需满足且，解得.综上，实数a的取值范围是.
9.答案：
解析：当时，在上单调递减，无最值，不符合题意；当时，为二次函数且其图象的对称轴为直线，由题意可得解得.综上，实数a的取值范围为.
10.答案：（1）;
（2）.
解析：（1）设函数,,由的图象过点,得,解得,
所以函数的解析式是.
（2）由（1）知,,则,由,得,
即,令,依题意,任意,,
而函数在上单调递减,,因此,
所以实数a的取值范围是.
