2.3函数的单调性和最值——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.函数的单调递增区间是( ).
A. B. C. D.
2.已知函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.若函数在处取得最大值，则实数a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
4.函数在区间上的最大值为( )
A. B. C.3 D.4
5.已知函数在定义域上单调递增，则函数的增区间为( )
A. B. C. D.
6.（多选）定义在上的函数满足：对于定义域上的任意,，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个定义域为的函数，其中能被称为“理想函数”的有( )
A. B. C. D.
7.（多选）函数，，用表示，中的较大者，记为，则下列说法正确的是( )
A. B.，
C.有最大值 D.最小值为0
8.已知函数是定义在R上的增函数,则a的取值范围是________.
9.已知函数是R上的单调递增函数，且，则的值为___________.
10.已知函数的定义域为,对任意正实数x,y都有,且当时,.
（1）求证:是上的增函数;
（2）若,求x的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：函数的图象开口向上，对称轴为直线，所以单调递增区间是.
2.答案：B
解析：由题意可知，在上单调递减，则，即.函数在上单调递减，由在R上单调递减，可得，解得.综上所述，实数a的取值范围是.
3.答案：C
解析：对恒成立，即，.当时，上述不等式显然成立，当时恒成立，所以.
4.答案：B
解析：设，则问题转化为求函数在区间上的最大值.根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以.
5.答案：D
解析：因为函数的定义域为，所以令得，即函数的定义域为.令，，所以当时，单调递增，当时，单调递减.又为增函数，所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数的增区间为.
6.答案：BD
解析：由题可得：当时，恒有，
令，故：，又定义在上，
故，即在单调递增，
A项：在单调递减，故不正确；
B项：在单调递增，故正确；
C项：在递减，在递增，故不正确；
D项：在单调递增，故正确；
故选：BD.
7.答案：BD
解析：令，即，解得或，
所以可知，
所以，故A错误；
当时，，故B正确；
由（或）可知，函数无最大值，故C错误；
当或时，，当时，，
所以最小值为0，故D正确.
故选：BD
8.答案：
解析：因为是定义在R上的增函数,所以
解得.
9.答案：
解析：因为函数是R上的增函数，所以在区间上也是增函数，所以.
又因为，所以，解得.
又因为，
所以，，即，
所以
所以.
10.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:任取,且,
则.
因为,所以,所以,
即,所以是上的增函数.
（2）,即,
由（1）可知是上的增函数,
所以,解不等式组可得,故x的取值范围为.2.2.1函数概念——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.已知函数满足,当时,,则( )
A.3 B.6 C.12 D.24
2.的定义域为,则的定义域为( )
A. B. C. D.
3.下列函数与函数是同一个函数的是( )
A. B. C. D.
4.已知函数在上的值域为，则( )
A.4 B.5 C.8 D.10
5.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有( ).
A.10个 B.9个 C.8个 D.4个
6.（多选）下列各组函数不是同一函数的是( )
A., B.,
C., D.,
7.（多选）已知函数，关于函数的结论正确的是( )
A.的定义域为R B.的值域为
C. D.若，则x的值是
8.函数的图象如图所示,函数的值域为______.
9.若函数的定义域为R,则实数a的取值范围是______.
10.求下列函数的值域：
（1）；
（2），；
（3）.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为,所以.
2.答案：C
解析：因为,所以,所以,
所以的定义域为,
所以由,得,
所以的定义域为,
故选:C
3.答案：B
解析：的定义域为R，而的定义域为，故A错误；的定义域为，故D错误；，与对应关系不一致，故C错误；
，定义域为R，与对应关系一致，B正确.故选：B.
4.答案：D
解析：的对称轴为，则，解得，
则在上单调递增，
所以，即，
所以m，n为方程的两个根，
即m，n为方程的两个根，所以.
故选：D.
5.答案：B
解析：函数解析式为，值域为.根据“孪生函数”的定义，即函数的定义域不同而已，，解得或1，，解得或2，定义域可分别为，，，，，，，，，共9个定义域不同的函数.
6.答案：ABD
解析：对于A,,,两个函数的定义域不同;
对于B,,,两个函数的定义域不同;
对于C,,,,对应关系也相同;
对于D,,,,,
两个函数的定义域不同,不是同一函数.
故选:ABD.
7.答案：BD
解析：对于A，因为，
所以的定义域为，所以A错误；
对于B，当时，，当时，，
所以的值域为，所以B正确；
对于C，因为，所以，所以C错误；
对于D，当时，由，得，解得（舍去），
当时，由，得，解得或（舍去），
综上，，所以D正确.
故选：BD.
8.答案：
解析:由图象可知,函数的值域为.
9.答案：
解析：由的定义域为R,则恒成立,
当时,,得,不符合要求,故舍去,
当时,有,解得,
综上,.
故答案为:.
10.答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为，所以.
故函数的值域为.
（2）当时，.
故函数的值域为.
（3）.
因为，所以.
故函数的值域为.2.4.1函数的奇偶性——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.已知函数,则的值是( )
A. B.0 C.1 D.2022
2.已知函数在R上单调递减，且为奇函数.若，则满足的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.若函数为偶函数，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
4.下列函数是偶函数的是( )
A. B.
C. D.
5.已知是定义在R上的偶函数,且在上单调递增,又,则的解集是( )
A. B.
C. D.
6.（多选）下列说法中错误的是( ).
A.奇函数的图象关于坐标原点对称 B.图象关于y轴对称的函数是偶函数
C.奇函数的图象一定过坐标原点 D.偶函数的图象一定与y轴相交
7.（多选）已知函数的定义域为R,对任意的实数x,y满足,当时,,则下列结论正确的是( )
A. B.为奇函数 C.为偶函数 D.为R上的增函数
8.若是奇函数.且,则________.
9.已知奇函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为__________.
10.已知是定义在R上的奇函数,当时时,
（1）求解析式
（2）画出函数图像,并写出单调区间(无需证明)
答案以及解析
1.答案：B
解析：,则.故选B.
2.答案：D
解析：因为函数为奇函数，所以.由，得.又函数在R上单调递减，所以，解得.
3.答案：C
解析：因为是偶函数，所以，即，所以.当时，单调递增.又，所以.
4.答案：B
解析：函数的定义域为R，其定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，A错误.函数的定义域为R，其定义域关于原点对称，又，所以为偶函数，B正确.函数的定义域为，其定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，C错误.函数的定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，D错误.故选B.
5.答案：D
解析：是定义在R上的偶函数,且在上单调递增,又,所以当时,,当或时,.
因为,所以或解得或,所以0的解集是.故选D.
6.答案：CD
解析：由奇函数、偶函数的性质知，AB说法正确；
对于C，如，，它是奇函数，但它的图象不过原点，所以C说法错误；
对于D，如，，它是偶函数，但它的图象不与y轴相交，所以D说法错误.
7.答案：ABD
解析：,,,
可令,则,
得,故A正确;
令,则,得.
故B正确,C错误;
设任意实数,且,令,,
则,
,
,
又当时,,
,即,
为R上的增函数,故D正确.
故选：ABD.
8.答案：4
解析：因为是奇函数,所以
9.答案：
解析：因为，则，
因为是奇函数，所以.
又函数是定义在上的减函数，
所以，解得，
故所求不等式的解集为.
故答案为：.
10.答案：（1）;
（2）图见详解,单调区间为:单调递增区间为:,单调递减区间为:,.
解析：（1）当时,,
当时,,,
所以,
（2）的图像为:
单调递增区间为:,
单调递减区间为:,.2.2.2函数的表示法——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.已知函数的对应关系如表所示,函数的图象是如图所示,则的值为( )
x 1 2 3
4 3 -1
A.-1 B.0 C.3 D.4
2.若，a为大于0的常数，且，则( )
A.1 B. C. D.
3.定义运算设函数，则该函数的图象是( )
A. B. C. D.
4.已知两个函数和的定义域和值域都是，其对应关系如下表：
x 1 2 3 x 1 2 3
2 1 3 3 2 1
则方程的解集为( ).
A. B. C. D.
5.已知函数若，则a的值为( ).
A. B. C. D.以上均不对
6（多选）.已知可用列表法表示如下:
x 1 2 3 4 5
2 3 4 2 3
若,则x可以取( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.（多选）已知，则满足的关系有( )
A. B. C. D.
8.已知函数，分别由下表给出
x 1 2 3
1 3 1
x 1 2 3
3 2 1
则满足的x为__________.
9.若函数，，则______.
10.已知函数.
(1)画出的大致图象;
(2)若,求的最大值和最小值;
(3)当时,求实数x的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由图象可知,而由表格可知,所以.
故选：A.
2.答案：D
解析：因为，所以，所以.又，所以，所以.
3.答案：C
解析：由的定义可知因为，所以函数图象过点，排除A，B；当时，，排除D，只有C符合.
4.答案：C
解析：当时，，
是方程的解；
当时，，
是方程的解；
当时，，
不是方程的解.
方程的解集为.
5.答案：A
解析：当时，有，即，与矛盾；
当时，有，或（舍去）；
当时，有，，与矛盾.
综上可知.
6.答案：BCD
解析：当时,,故不适合;
当时,适合;
当时,适合;
当时,适合,
所以或4或5.
故选：BCD.
7.答案：BD
解析：因为，所以，即不满足A选项；
，，即满足B选项，不满足C选项，
，，即满足D选项.
故选：BD.
8.答案：2
解析：当时，，，不满足，
当时，，，满足，
当时，，，不满足，
故满足的x的值是2，
故答案为：2.
9.答案：，
解析：，
在函数中，，可得的定义域为，
在函数中，，可得的定义域为，
则的定义域为，
故，.
10.答案：(1)函数图象见解析
(2)最大值为4,最小值为-2
(3)
解析：（1）当时,,图象为抛物线的一部分,
当时,,图象为直线的一部分,
列出表格,如下：
x -2 -1 0 1 2
4 1 0 2 0
描点,连线：
（2）,由图象可知：
当时,取得最大值,最大值为4,当时,取得最小值,最小值为-2.
（3）当时,,令,解得：,
当时,,令,解得：,
综上：实数x的取值范围是.2.4.2简单幂函数的图象和性质——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.已知幂函数的图象经过点，则( )
A. B.1 C. D.2
2.幂函数，，，在第一象限的图象如图所示，则下列不等关系成立的是( )
A. B. C. D.
3.“或”是“幂函数在上是减函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若幂函数的图象过点，且，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则( )
A. B. C. D.
6.（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是( )
A. B.是奇函数
C.是偶函数 D.在上单调递增
7.（多选）已知函数图象可能为( )
A. B.
C. D.
8.已知幂函数在上为单调增函数,则实数m的值为__________.
9.已知幂函数满足①函数图象不经过原点；②，，写出符合上述条件的一个函数解析式_____________.
10.已知函数是幂函数,且.
（1）求实数m的值;
（2）若,求实数a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：幂函数的图象经过点，
，解得，，
.
故选：A.
2.答案：C
解析：由图可知，，，所以，所以，又，，所以.故选C.
3.答案：B
解析：由幂函数 在 上是减函数可得,,
解得 , 所以 或 "是"幂函数在上是减函数"的必要不充分条件,
故选：B.
4.答案：B
解析：由已知条件可得，解得，则，
所以函数在R上为增函数.
由可得，解得.故选B.
5.答案：C
解析：因为为幂函数，
所以，即，解得或，
则或.
又因为的图象与坐标轴没有公共点，
所以，则，故选C.
6.答案：ACD
解析：因为函数的图象过点，所以，即，所以，故A正确：
，定义域为，关于原点对称，所以，所以是偶函数，故B错误，C正确：
又，所以在上单调递减，又是偶函数，所以在上单调递增，故D正确.
故选：ACD.
7.答案：BCD
解析：AD选项，可以看出函数为偶函数，且在上单调递减，
故，此时，在上恒成立，A错误，D正确.
当时，，选项D符合.
当时，，的定义域为R，
B选项，可以看出且a为偶数，当时，满足要求，选项B正确.
C选项，当时，满足，选项C正确.
故选：BCD
8.答案：-2
解析：由幂函数的定义可知,,
解得 ,
又在上为单调增函数,, 即,
故答案为：-2.
9.答案：
解析：因为幂函数满足①函数图象不经过原点，所以，即，
因为幂函数满足②，，
所以在上单调递减，所以，综上，，
所以函数符合条件.
故答案为：.
10.答案：（1）1
（2）
解析：（1）因为是幂函数,
所以,解得或.
当时,,所以,,
所以,不符合题意;
当时,,所以,,
所以,符合题意.
综上,;
（2）因为,所以的定义域为,且在上单调递增,
所以,即,解得,
即实数a的取值范围是.
