4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是( )
A. B. C. D.
2.有一组实验数据如表：
x 2 3 4 5 6
y 1.40 2.56 5.31 11 21.30
则体现这组数据的最佳函数模型是( )
A. B. C. D.
3.2003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示.将年份作为自变量x，当年电影放映场次作为函数值y，则下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的函数是( )
A. B. C. D.
4.当时，，，的大小关系是( ).
A. B. C. D.
5.以下四种说法中，正确的是( )
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的，
C.对任意的，
D.不一定存在，当时，总有
6.（多选）若函数，设，，，则，，的大小关系不正确的是( )
A. B.
C. D.
7.（多选）已知函数，，，当x在上逐渐增大时，下列关于这三个函数的描述正确的是( )
A.的增长速度越来越快 B.的增长速度越来越快
C.的增长速度一直快于 D.的增长速度有时慢于
8.某公司2015年全年生产某种商品10000件,在后续的几年中,后一年该商品的产量都是前一年的120%,则该商品年产量超过20000件时,至少需要经过_____________年．
9.某林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长10%，若要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，则至少需要经过______年.（参考数据：取，）
10.已知某批药品在2023年治愈效果的普姆克系数y（单位：）与月份）的部分统计数据如下表：
月 10 11 12
普姆克系数 10240 20480 40960
（1）根据上表数据,从下列两个函数模型①,②中选取一个恰当的函数模型描述该批药品在2023年治愈效果的普姆克系数与月份之间的关系,并写出这个函数解析式;
（2）用（1）中的函数模型,试问哪几个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内？
答案以及解析
1.答案：D
解析：依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知增长速度最快的函数模型是指数函数模型，故随着x的增长，的增长速度最快.故选D.
2.答案：C
解析：通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快，B选项中的函数增长速度越来越慢，不正确，D选项中的函数增长速度没有变化，不正确，对于C选项，当时，；对于A，当时，，误差偏大，故C选项正确.故选C.
3.答案：D
解析：由题图可知在第一象限内，y是关于x的增函数.当时，在第一象限内是减函数，当时，在第一象限内没有图象，故最不适合.故选D.
4.答案：B
解析：在同一平面直角坐标系中分别画出函数，，的图象（图略），在区间上从上往下依次是，，的图象，所以.
5.答案：D
解析：对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B、C，当时，显然不成立；当，时，一定存在，使得当时，总有，但若去掉限制条件“，”，则结论不成立.故选D.
6.答案：ABC
解析：因为，，所以，又，所以，因为函数在上单调递增，所以，即A，B，C不正确，D正确，故选ABC.
7.答案：BD
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数，，的图象，如图所示，由图可知的增长速度没有变化，所以A错误；在上，的增长速度越来越快，所以B正确；由图可知在上，的增长速度最慢，而在上，的增长速度最快，所以C错误，D正确.故选BD.
8.答案：4
解析：设经过n年后,该商品年产量超过20000件,则,即．
因为,,所以至少需要经过4年．
故答案为：4.
9.答案：12
解析：假设该林区当前的木材蓄积量为1，经过x年的木材蓄积量为.由题意得，得.因为，所以，故至少需要经过12年.
10.答案：（1）模型①,;
（2）7月份,8月份,9月份.
解析：（1）因为函数模型①是指数型函数,其增长速度较快,函数模型②的增长速度较为缓慢,
所以根据表中数据,应选函数模型①更为恰当.
根据题意可得,当时,;当时,,
由,解得,
故该函数模型的解析式为.
（2）函数在其定义域内单调递增,
令,得,又,所以,
故7月份,8月份,9月份这三个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内.4.2.2换底公式——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.锶90是发生核爆后产生的主要辐射物之一,它每年的衰减率为2.47%,那么大约经过( )年,辐射物中锶90的剩余量低于原有的7.46%（结果保留为整数）
（参考数据:,）
A.83 B.85 C.87 D.90
3.已知，则( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.下列运算中正确的是( )
A. B.
C. D.
6.（多选）下列各项不正确的是( )
A. B.
C. D.
7.（多选）下列说法中正确的有( )
A. B.
C.若,则 D.若,则
8.若，则______.
9.若，则____________.
10.计算：
（1）
（2）已知，，试用a，b表示.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由，，
所以，，
所以.
故选：C.
2.答案：C
解析：设辐射物中锶90的含量为a,至少经过t年辐射物中锶90的剩余量低于原有的7.46%,即,即年.故选C.
3.答案：A
解析：因为，
所以，，则，，
所以.
故选：A.
4.答案：A
解析：因为，，所以，，
，故.
故选：A.
5.答案：D
解析：对于A，由换底公式可得：，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D
6.答案：ABC
解析：对于A，当时，，当时，，故A错误；
对于B，由对数的运算性质可知B错误；
对于C，由n次方根的性质，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故C错误；
对于D，，故D正确.故选ABC.
7.答案：CD
解析：对于A选项,当时,,,A错;
对于B选项,当时,有意义,无意义,B错;
对于C选项,若,则,,
因为,故,C对;
对于D选项,若,由换底公式可得,D对.
故选:CD.
8.答案：3
解析：由，得，
所以，
故答案为：3
9.答案：2
解析：，，.
10.答案：（1）10；（2）
解析：（1）
，
（2）
.4.1对数的概念——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.使有意义的实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知,则( )
A.8 B.9 C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.3
4.有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数；
④以e为底的对数叫做自然对数.
其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.2022年2月27日，长征八号遥二运载火箭搭载22颗卫星成功发射，创造中国航天“一箭多星”的最高纪录，打破了长征六号火箭创造的“一箭20星”纪录.据测算:在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位:）和燃料的质量M（单位）、火箭的质量（除燃料外）m（单位:）的关系是.为使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量之比约为( )（参考数据）
A.18 B.19 C.20 D.21
6.（多选）下列指数式与对数式互化正确的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
7.（多选）下列结论正确的是 ( )
A．
B．若则
C.若则
D．使 有意义的x的取值范围是
8.若，则________.
9.已知，，则__________.
10.将下列指数式与对数式互化：
（1）;
（2）；
（3）;
（4）（且，）．
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意知解得，所以实数a的取值范围是.故选C.
2.答案：C
解析：令,可得,则.
故选:C
3.答案：C
解析：由可得，即，，故.
故选：C.
4.答案：C
解析：①③④正确，②不正确，只有且时，才能化为对数式.
5.答案：B
解析：令，得到，
即，
进一步整理得到，
所以解得，
故选:B.
6.答案：ABD
解析：应转化为.
7.答案：AD
解析：，故A正确；若，则，故B错误；若，则，故C错误；使有意义，需，D正确.
8.答案：9
解析：由可得，，则.
故答案为：9.
9.答案：/
解析：由题设，则且，
所以，即，故.
故答案为：.
10.答案：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解析：（1）
由已知等式，两边取对得：，即.
（2）
由已知等式，两边取对得：，即.
（3）
由已知等式，可得：，即32＝9.
（4）
由已知等式，可得：，即.4.2.1对数的运算性质——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.若，，则用a，b表示( )
A. B. C. D.
2.已知，，则用m，n可表示为( )
A. B. C. D.
3.若，，，则下列各式中恒等的是( )
A. B.
C. D.
4.已知一种物质的某种能量N与时间t的关系为,其中m是正常数,n是大于1的正整数,若经过时间,该物质的能量由N减少到,再经过时间,该物质的能量由减少到,则( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.（多选）已知，，则的值可能为( )
A. B. C.24 D.
7.（多选）已知,则下列等式一定正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知幂函数（为常数）的图象经过点,则_______.
9.若,则值为___________．
10.计算:
（1）
（2）
答案以及解析
1.答案：D
解析：由对数运算性质可得，
故选：D.
2.答案：D
解析：
.
3.答案：C
解析：，与不一定相等，该式不恒等；，与不一定相等，该式不恒等；，该式恒等，该选项正确；，与不一定相等，该式不恒等.故选C.
4.答案：B
解析：当时,,所以,则,由,得,所以.故选B项.
5.答案：B
解析：由，
又，且，
所以，
又，
所以，
故选：B.
6.答案：BC
解析：由题意得，，
则时，，同理时，
故选：BC.
7.答案：BD
解析：由,得,,且,
即,,,而此时不总是成立,则C错误;
由于,即,,结合以上分析可知A错误;
由于,即为,故B正确;
又,D正确,
故选：BD.
8.答案：2
解析：根据题意:,故,故.
故答案为:.
9.答案：
解析：因为,则,所以,
则,所以.
故答案为：.
10.答案：（1）2;
（2）.
解析：（1）原式
.
（2）原式.4.3对数函数——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.函数的图象过定点A,则A的坐标为( )
A. B. C. D.
2.若函数是偶函数,则( )
A. B. C.1 D.
3.已知函数在上单调递增,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.设点A,B在曲线上.若的中点坐标为,则( )
A.6 B. C. D.
5.已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别a，b，则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.（多选）对数函数(且)与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是( )
A. B. C. D.
7.（多选）若（，）为函数图象上的一点，则下列选项正确的是( )
A.为函数图象上的点 B.为函数图象上的点
C.为函数图象上的点 D.为函数图象上的点
8.函数的定义域是____________.
9.已知函数在上单调递增,则m的取值范围是_________.
10.已知函数且.
（1）若,求a的值;
（2）若在上的最大值与最小值的差为1,求a的值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：令,则,此时,故定点A的坐标为.
故选：C.
2.答案：D
解析：因为,所以,又,所以,,选D.
3.答案：D
解析：由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以
故选：D.
4.答案：B
解析：设,,
因为的中点坐标为,可得,
整理得,,解得,或,,
不妨设,,所以.
故选：B.
5.答案：B
解析：作出函数和的图象以及直线的图象，如图，
由函数和的图象与直线交点A,B的横坐标分别为a，b，
由题意知,，也即，,
由于函数和互为反函数，
二者图像关于直线对称，
而A,B为和的图象与直线的交点,
故A,B关于对称，
故，.
故选：B.
6.答案：BCD
解析：选项A,B中,由对数函数图象得,则二次函数中二次项系数,其对应方程的两个根为0,,选项A中,由图象得,从而,选项A可能;选项B中,由图象得,与相矛盾,选项B不可能.
选项C,D中,由对数函数的图象得,则,二次函数图象开口向下,D不可能;选项C中,由图象与x轴的交点的位置得,与相矛盾,选项C不可能.
故选BCD.
7.答案：ABC
解析：（，）为函数图象上的一点，
，，则为函数图象上的点，故A正确；
，，则为函数图象上的点，故B正确；
，，则为函数图象上的点，故C正确；
，，故D错误.故选ABC.
8.答案：
解析：由题意得,
故答案为:
9.答案：
解析：由题设,令,开口向下且对称轴为,
又定义域上递增,
要使在上单调递增,则,可得.
故答案为：.
10.答案：（1）或（舍）
（2）或
解析：（1）,
,解得或（舍）.
（2）当时,在上单调递增,
由题意得,,解得.
当时,在上单调递减,
由题意得,,解得.
综上,或.
