5.1方程解的存在性及方程的近似解——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.若函数（b是常数）有且只有一个零点，则b的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.已知函数则函数的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.黄金分割数是一个很奇妙的数,大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面,请你估算的值( )
A.在1.1和1.2之间 B.在1.2和1.3之间
C.在1.3和1.4之间 D.在1.4和1.5之间
4.函数在区间存在零点.则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.设方程的两根为,,则( )
A., B.
C. D.
6.（多选）关于函数的零点,下列选项说法正确的是( )
A.是的一个零点
B.在区间内存在零点
C.至少有2零点
D.的零点个数与的解的个数相等
7.（多选）若函数在区间上的图象不间断，则下列说法正确的是( )
A.若，则在上不存在零点
B.已知方程的解在内，则
C.若，则在上至少有一个零点
D.若在内有且只有一个零点，则
8.已知函数与函数（，）的图象交于点，若，则a的取值范围是________
9.函数,方程有3个实数解,则k的取值范围为____________.
10.已知函数是定义在R上的奇函数,且当时,.
（1）求函数的解析式;
（2）若函数在R上有三个零点,求m取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：函数的定义域为R，因为
所以函数为偶函数，函数图象关于y轴对称，因为函数有且只有一个零点，所以函数过坐标原点，，解得.故选：B.
2.答案：C
解析：当时，则，，，当时，，则的零点有，，3，共计3个故选C.
3.答案：B
解析：令,则,,,
构造函数,在上单调递增,且连续不间断,
,
,
所以有唯一零点位于区间,
所以在1.2和1.3之间.
故选：B.
4.答案：B
解析：由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，
因为函数在区间存在零点，
所以，即，解得，
所以实数m的取值范围是.
故选：B.
5.答案：C
解析：由可得,
在同一直角坐标系中同时画出函数和的图象,如图所示:
由图象可知,因为,,
所以,
所以故A,D错误;
,
因为,所以,所以,
所以,即,故B错误,C正确.
故选:C
6.答案：BCD
解析：因为,所以是的一个零点,A不正确;
因为,,
所以在区间内存在零点,B正确;
令,得,
因为方程的判别式,且不是的根,
所以有3个零点,C正确;
由零点的定义可知D也是正确的.
故选：BCD.
7.答案：BC
解析：若，，，则，，，
令，，，则在上存在零点0，故A错误；
令，又在R上单调递增，且，，
所以方程的解在内，所以，故B正确；
函数在区间上的图象不间断，若，则在上至少有一个零点，由函数零点存在定理知正确，故C正确；
若，，，又在上存在零点0，但，故D错误.故选BC.
8.答案：
解析：由题：若，时，，，两个函数图象不可能有交点；
所以必有，
结合图象，若函数交点横坐标，
则，解得：，.
故答案为：
9.答案：
解析：方程有3个实数解,等价于函数的图象与直线有3个公共点,
因当时,在上单调递减,在上单调递增,,,
当时,单调递增,取一切实数,
在同一坐标系内作出函数的图象及直线,如图：
由图象可知,当时,函数的图象及直线有3个公共点,方程有3个解,
所以k的取值范围为.
故答案为：
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）令,则,又是定义在R上的奇函数,
所以可得.
又,
故函数的解析式为
（2）根据题意作出的图象如下图所示:
,,
若函数在R上有三个零点,即方程有三个不等的实数根,
所以函数与有三个不同的交点,
由图可知当,即时,函数与有三个不同的交点,即函数有三个零点.
故m的取值范围是.5.2实际问题中的函数模型——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.衡阳五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第天进店消费的人数为y，且y与（表示不大于t的最大整数）成正比，第1天有15人进店消费，则第2天进店消费的人数为( )
A.15 B.16 C.17 D.18
2.下列函数关系中，可以看作是指数型函数模型（，且）的是( )
A.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
B.我国人口年自然增长率为时，我国人口总数随年份的变化关系
C.如果某人内骑车行进了，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D.信件的邮资与其质量间的函数关系
3.北京时间2021年10月16日0时23分,搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭,在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射,约582秒后,神舟十三号载人飞船与火箭成功分离,进入预定轨道,顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空,飞行乘组状态良好,发射取得圆满成功.此次航天飞行任务中,火箭起到了非常重要的作用.在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下,火箭在发动机工作期间获得速度增量（单位：千米/秒）可以用齐奥尔科夫斯基公式来表示,其中,（单位：千米/秒）表示它的发动机的喷射速度,m（单位：吨）表示它装载的燃料质量,M（单位：吨）表示它自身（除燃料外）质量.若某型号的火箭发动机的喷射速度为5千米/秒,要使得该火箭获得的最大速度v达到第一宇宙速度（7.9千米/秒）,则火箭的燃料质量m与火箭自身质量M之比约为( )
A. B. C. D.
4.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是( )
A.当，时，二氧化碳处于液态
B.当，时，二氧化碳处于气态
C.当，时，二氧化碳处于超临界状态
D.当，时，二氧化碳处于超临界状态
5.核酸检测在新冠疫情防控中起到了重要作用，核酸检测是用苂光定量PCR法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测.已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加.若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（参考数据：，）( )
A.36.9 B.41.5 C.58.5 D.63.1
6.（多选）“双11”购物节中,某电商对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额满一定额度,可以给予优惠：
（1）如果购物总额不超过100元,则不给予优惠;
（2）如果购物总额超过100元但不超过200元,可以使用一张10元优惠券;
（3）如果购物总额超过200元但不超过500元,其中200元内的按第（2）条给予优惠,超过200元的部分给予9折优惠．
（4）如果购物总额超过500元,其中500元内的按第（2）（3）条给予优惠,超过500元的部分给予8折优惠．
某人购买了部分商品,则下列说法正确的是( )
A.如果购物总额为168元,则应付款为158元
B.如果购物总额为368元,则应付款为351.2元
C.如果购物总额为768元,则应付款为674.4元
D.如果购物时一次性全部付款1084元,则购物总额为1280元
7.（多选）如图，某湖泊蓝藻的面积y（单位：）与时间t（单位：月）的关系满足，则下列说法正确的是( )
A.蓝藻面积每个月的增长率为
B.蓝藻每个月增加的面积都相等
C.第4个月时，蓝藻面积就会超过
D.若蓝藻面积蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则一定有
8.生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断.已知水中某生物体内抗生素的残留量y(单位：mg)与时间t(单位：年)近似满足关系式，，其中为抗生素的残留系数，当时，，则______.
9.后疫情时代,人们的健身需求更加多样化和个性化.某健身机构趁机推出线上服务,健身教练进入直播间变身网红,线上具有获客、运营、传播等便利,线下具有器械、场景丰富等优势,线上线下相互赋能,成功吸引新会员留住老会员.据机构统计,当直播间吸引粉丝量不低于2万人时,其线下销售健身卡的利润y（单位：万元）随粉丝量x（单位：万人）的变化情况如下表所示.根据表中数据,我们用函数模型进行拟合,建立y关于x的函数解析式.请你按此模型估测,当直播间的粉丝量为33万人时,线下销售健身卡的利润大约为___________万元.
x（万人） 3 5 9
y（万元）
10.为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2020年在其扶贫基地投入100万元研发资金,用于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上,每年投入的资金比上一年增长.
（1）写出第年（2020年为第一年）该企业投入的资金数（单位:方元）与的函数关系式,并指出函数的定义域;
（2）该企业从第几年开始（2020年为第一年）,每年投入的资金数将超过200万元 （参考数据,,,）
答案以及解析
1.答案：D
解析：由题意可设比例系数为k，所以，，
，，
当时，，
故选：D
2.答案：B
解析：A，竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系是二次函数关系；
B，我国人口年自然增长率为时，我国人口总数随年份的变化关系是指数型函数关系；
C，如果某人内骑车行进了，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系是反比例函数关系；
D，信件的邮资与其质量间的函数关系一般是分段函数关系，且每段都是常数函数.故选B.
3.答案：C
解析：由题意,,代入可得
故
故选：C.
4.答案：D
解析：对于A选项，当，时，，根据题图可知，二氧化碳处于固态；
对于B选项，当，时，，根据题图可知，二氧化碳处于液态；
对于C选项，当，时，，且接近于4，根据题图可知，二氧化碳处于固态；
对于D选项，当，时，，根据题图可知，二氧化碳处于超临界状态.故选D.
5.答案：C
解析：设被标靶的DNA没有扩增前数量为a，由题意可得，所以，所以，可得，，故选C.
6.答案：ACD
解析：设购买总额为x元,应付款为y元,
根据题意：当时,且.
当时,且.
当时,且
当时,且
选项A.购物总额为168元,故元,故正确.
选项B.购物总额为368元,故元,故不正确.
选项C.购物总额为768元,故元,故正确.
选项D.若购物时一次性全部付款1084元,则,
即,则元,故正确.
故选：ACD.
7.答案：ACD
解析：由题图可知，函数的图象经过点，即，则，，不是常数.由可知蓝藻每个月的面积是上个月面积的3倍，则每个月的增长率为，A正确，B错误；
当时，，C正确；
若蓝藻面积蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则，，，，则，D正确.故选ACD.
8.答案：
解析：因为，所以.解得.
9.答案：
解析：依题意,,消去b得,,解得,
则,
因此函数模型为,当时,,
所以线下销售健身卡的利润大约为万元.
故答案为：.
10.答案：（1）
（2）该企业从第9年开始（2020年为第一年）,每年投入的资金数将超过200万元.
解析：（1）第二年投入的资金数为万元,
第三年投入的资金数为万元,
第x年（2020年为第一年）该企业投入的资金数y万元与x的函数关系式为,其定义域为.
（2）由可得,即,
即该企业从第9年开始（2020年为第一年）,每年投入的资金数将超过200万元.
