7.1随机现象与随机事件——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.以下现象是随机现象的是( )
A.标准大气压下，水加热到，必会沸腾
B.长和宽分别为a，b的矩形，其面积为
C.走到十字路口，遇到红灯
D.三角形内角和为
2.下列事件中，是随机事件的是( )
①经过有交通信号灯的路口，刚好是红灯；
②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14；
③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上；
④13个人中至少有2个人的生日在同一个月.
A.①③ B.③④ C.①④ D.②③
3.在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件A：“至少命中6次”，则下列说法正确的是( )
A.样本空间中共有10个样本点 B.事件A中有6个样本点
C.样本点6在事件A内 D.事件A中包含样本点11
4.从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球,下列情况中互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有一个红球，至少有一个白球
B.恰有一个红球，都是白球
C.至少有一个红球，都是白球
D.至多有一个红球，都是红球
5.从1，2，3，4中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至少1个数为偶数”，则下列结论正确的是( )
A.A与B是互斥事件 B.A与C是互斥但不对立事件
C.C与D是互斥事件 D.A与D是对立事件
6.（多选）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，其中是随机事件的是( )
A.5件都是正品 B.至少有1件次品 C.有3件次品 D.至少有3件正品
7.（多选）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是( )
A. B. C. D.
8.先后掷一枚质地均匀的骰子两次，落在水平桌面后，记朝上面的点数分别为x，y，则事件A：x，y都为偶数，事件B：的交事件包含的样本点的个数为____________.
9.已知电路图如图所示，用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则__________.（用B，C，D间的运算关系式表示）
10.从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.
(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；
(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；
(3)“至少有1件正品”和“至少有1件次品”.
答案以及解析
1.答案：C
解析：标准大气压下，水加热到，必会沸腾是必然现象，故A错误；
长和宽分别为a，b的矩形，其面积为是必然现象，故B错误；
走到十字路口，遇到红灯是随机现象，故C正确；
三角形内角和为是必然现象，故D错误.故选C.
2.答案：A
解析：由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件；
对于②，骰子最大的点数为6，2颗骰子的点数之和不可能为14，故②是不可能事件；
对于④，每年有12个月，13个人中至少有2个人的生日在同一个月，故④是必然事件.
故选：A.
3.答案：C
解析：连续射击一个目标10次，可能全部脱靶，最好的情况是全部命中，故有11个样本点，事件，由此判断选项.样本空间中共有11个样本点，故A错；事件A中有5个样本点，故B错；事件A包含的样本点中没有11，故D错.故选C.
4.答案：B
解析：由题意所有的基本事件可分为三类：两个红球，一红一白，两个白球.
易知A选项的事件不互斥；C，D两个选项中的事件为对立事件；
而B项中的事件一是互斥，同时还有“两个红球”的事件，故不对立.
故选B.
5.答案：A
解析：根据题意样本空间，
，
，
，
，
则，所以A与B是互斥事件，A正确；
，，所以A与C是互斥且对立事件，B错误；
，所以C与D不是互斥事件，C错误；
，所以A与D不是对立事件，D错误.
故选：A.
6.答案：AB
解析：在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，“5件都是正品”“至少有1件次品”都是随机事件，A，B正确；在25件同类产品中，有2件次品，所以不可能取出3件次品，则“有3件次品”不是随机事件，是不可能事件，C错误；在25件同类产品中，有2件次品，从中取5件，则“至少有3件正品”为必然事件，不是随机事件，D错误.
7.答案：CD
解析：记{有i枚硬币正面向上}，，1，2，3，则，，对于选项A，因为，所以A错误；
对于选项B，因为，所以B错误；
对于选项C，因为，所以C正确；
对于选项D，因为，所以D正确.故选CD.
8.答案：6
解析：由题意知，事件A与B的交事件包含的样本点为，，，，，，共6个.
9.答案：或
解析：电灯变亮必须开关Ⅰ闭合，开关Ⅱ和Ⅲ中至少有一个闭合，因此，也可写成.
10.答案：见解析.
解析：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：
(1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，
因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件；
同理可以判断(2)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件；
中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件.7.4事件的独立性——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.甲 乙两人独立地破译一份密码,已知各人能破译的概率分别是0.4,0.5,则两人都能成功破译的概率是( )
A.0.2 B.0.3 C.0.45 D.0.9
2.某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为( )
A. B. C. D.
3.一次射击比赛中，若连续2次未击中目标，那么中止射击，甲击中目标的概率是，假设甲各次射击是否击中目标相互之间没有影响，甲恰好射击5次后中止的概率为( )
A. B. C. D.
4.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A.甲与丙相互独立 B.丙与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.甲与丁相互独立
5.甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.则甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为( )
A. B. C. D.
6.（多选）不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球.A表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于”，B表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5”，则下列说法错误的是( )
A. B.
C.事件A与B相互独立 D.
7.（多选）已知A，B是相互独立事件，且，则下列说法一定正确的是( )
A.A与B可能互斥 B.因为，所以A与B可能相互对立
C. D.
8.已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72,射击运动员乙击中靶心的概率为0.85,且甲 乙两人是否击中靶心互不影响.若甲 乙各射击一次,则至少有一人击中靶心的概率为__________.
9.甲 乙两位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计赢2局者胜,分出胜负即停止比赛.已知甲每局赢的概率为,每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才分出胜负的概率为________,本次比赛甲获胜的概率为________.
10.甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲、乙两台机床加工的零件都是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品且甲机床加工的零件不是一等品的概率是.
（1）分别求甲、乙两台机床各自加工的零件是一等品的概率;
（2）从甲加工的零件中取两个,从乙加工的零件中取一个检验,求至少有一个一等品的概率.
答案以及解析
1.答案：A
解析：记两人都能成功破译为事件A,则.
故选:A
2.答案：A
解析：根据题意，李华答对每道题目的概率都是，则答错概率为，
李华最终通过面试的概率为.
故选：A.
3.答案：A
解析：甲击中目标的概率是，所以甲没有击中目标的概率是，甲恰好射击5次后中止的情况是第一、二次至少击中其中一次，第三次击中，第四、五次没有击中，且相互之间是独立的，所以甲恰好射击5次后中止的概率为.故选A.
4.答案：D
解析：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：，，，，，，
两点数和为7的所有可能为，，，，，，
，，，，
A：，
B：，
D：，
C：，
故选：D.
5.答案：A
解析：由题意知，甲在4局以内（含4局）赢得比赛包含3种情况：
①甲胜第1，2局，概率为；
②乙胜第1局，甲胜第2，3局，概率为；
③甲胜第1局，乙胜第2局，甲胜第3，4局，概率为
所以甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为.故选A.
6.答案：BC
解析：对于选项A:因为，所以，故A正确；
对于选项B:因为，所以，故B错误；
对于选项C:因为，所以事件A与B不相互独立，故C错误.
对于选项D:因为，则，所以，故D正确；
故选BC.
7.答案：CD
解析：对于AB，由A，B是相互独立事件，且，则，
因此A与B不互斥，不对立，AB错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：CD
8.答案：0.958
解析：设甲击中靶心为事件A,乙击中靶心为事件B,则,所以两人都没有击中靶心的概率为,所以甲 乙至少有一人击中靶心的概率为.
9.答案：或,或
解析：到第3局才分出胜负,则前两局甲 乙各赢一局,其概率为.
若甲获胜,分2种情况:①甲连赢2局,其概率为,
②前两局甲 乙各赢一局,第三局甲赢,其概率为.
故甲获胜的概率为.
故答案为:,
10.答案：（1）,
（2）
解析：（1）记事件A:甲机床加工的零件是一等品,事件B:乙机床加工的零件是一等品,且A与B相互独立,
由题意得,,,所以,
解得,.
（2）记事件C:从甲加工的零件中取两个都不是一等品,
事件D:抽取的三个零件至少有一个一等品,则,
所以.7.2古典概型——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.袋中装有大小相同的5个小球，其中1个红球，2个白球，2个黑球，从袋中任意取出两个小球，则取到红球的概率为( ).
A. B. C. D.
2.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
A. B. C. D.
3.任取一个三位正整数n，则是一个正整数的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知事件A、B、C两两互斥，若，，，则( )
A. B. C. D.
5.袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为( )
A.0.64 B.0.72 C.0.76 D.0.82
6.（多选）先后抛掷两枚质地均匀的骰子,第一次和第二次出现的点数分别记为a,b,则下列结论正确的是( )
A.的概率为 B.的概率为
C.的概率为 D.是4的倍数的概率是
7.（多选）已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则( )
A. B. C. D.
8.一个盒子中装有4张卡片,卡片上分别写有数字1,2,3,4,现从盒子中随机抽取卡片,若第一次抽取一张卡片,放回后再抽取1张卡片,则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是______________.
9.在抛掷一枚骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件发生的概率为__________.
10.为了备战第33届夏季奥林匹克运动会（2024法国巴黎奥运会），中国奥运健儿刻苦训练，成绩稳步提升.射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表：
命中环数 10环 9环 8环 7环 7环以下
概率 0.32 0.28 0.18 0.12 0.10
求该选手射击一次：
（1）命中9环或10环的概率；
（2）至少命中8环的概率；
（3）命中不足8环的概率.
答案以及解析
1.答案：B
解析：设1个红球为，2个白球分别为，，2个黑球分别为，，则从袋子中任取2个球包含：
，
共10个基本事件，
其中取到红球，包含，共4个基本事件，
则取出的2个球都是红球的概率.
故选：B
2.答案：D
解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，取法有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，其中这2个数互质的情况有，，，，，，，，，，，，，，共14种.所以这2个数互质的概率.故选D.
3.答案：B
解析：易知三位正整数有900个，而使得为正整数的n应是2的正整数幂，显然满足要求的有，，，共3个，所以概率为.故选B.
4.答案：B
解析：因为事件A、B、C两两互斥，，，，
所以，
所以.
故选：B
5.答案：C
解析：设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为，所以，，且，所以，，所以，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76.故选C.
6.答案：AC
解析：先后抛掷两枚质地均匀的骰子,共有36种不同的情形.
对于A选项,包含的样本点有,,,,共4个,所以,故正确;
对于B选项,包含的样本点有,,,,,共5个,所以,故错误;
对于C选项,包含的样本点有,,共2个,故,故正确;
对于D选项,是观点的倍数包含的样本点有,,,,,,,,共9个,故,故错误.故选AC.
7.答案：ACD
解析：因为事件A，B，C两两互斥，所以，故D正确；
，则，故A正确；
，则，故B错误；
，故C正确.
故选：ACD
8.答案：
解析：两次抽取的试验的样本空间,共16个,
两次抽取的卡片数字之和大于6的事件,共3个,
所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是.则不大于6的概率为,
故答案为：.
9.答案：
解析：随机抛掷一枚骰子共有6种不同的结果，其中事件A“不大于4的偶数点出现”包括出现2，4两种结果，，事件B“小于5的点数出现”的对立事件为，，，且事件A和事件是互斥件，.故答案为.
10.答案：（1）0.60
（2）0.78
（3）0.22
解析：（1）记“射击一次，命中9环或10环”为事件A，
由互斥事件的加法公式得.
（2）设“射击一次，至少命中8环”为事件B，由互斥事件概率的加法公式得.
（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即表示事件“射击一次，命中不足8环”，
根据对立事件的概率公式得.7.3频率与概率——高一数学北师大版（2019）必修一随堂小练
1.根据某教育研究机构的统计资料，在校学生近视的概率为40%，某眼镜商要到一中学给学生配眼镜，若已知该校学生总人数为1200，则该眼镜商应准备眼镜的数目为( )
A.460副 B.480副 C.不少于480副 D.不多于480副
2.某地气象部门统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温/℃
天数 5 7 24 35 19
则可以估计该地区今年6月份的某天最高气温小于的概率为( )
A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.2
3.在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率与的关系是( )
A. B. C. D.
4.下列说法正确的是( )
A.任何事件的概率总是在，之间
B.频率是客观存在的，与试验次数无关
C.随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D.概率是随机的，在试验前不能确定
5.下列说法中正确的是( )
A.一个篮球运动员投三分球的命中率是10%，则当他投10个三分球时必然要投进1个
B.一个篮球运动员投三分球的命中率是10%，则当他投了9个球均未投进时，第10个一定投进
C.掷一枚均匀的硬币，连续出现了5次正面向上，则下一次出现反面向上的概率一定大于0.5
D.掷一枚均匀的硬币，连续出现了5次正面向上，则下一次出现反面向上的概率仍然等于0.5
6.（多选）利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数和频率表如下：
序号
频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.50 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
根据以上信息，下面说法正确的有( )
A.试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B.试验次数较少时，频率波动较大；试验次数较多时，频率波动较小，所以试验次数越少越好
C.随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近
D.我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率
7.（多选）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是( )
A.朝上的点数是2的概率和频率均为1
B.若抛掷30000次，则朝上的点数是2的频率约为0.17
C.抛掷第31次，朝上的点数一定不是2
D.抛掷6000次，朝上的点数为2的次数大约为1000
8.为估计某森林内松鼠的数量，使用以下方法：先随机从森林中捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号后放回森林.再随机从森林中捕捉50只，若尾巴上有记号的松鼠共有5只，估计此森林内约有松鼠__________只.
9.一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球,这些球除颜色外均相同.经多次摸球试验后发现,摸到黑球的频率稳定在0.25左右,则盒子中红球的个数约为____________.
10.某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶8元，售价每瓶10元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶4元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为400瓶；如果最高气温低于，需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温/℃
天数 1 17 38 22 7 5
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于各区间的概率.
（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率，并求出前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为550瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.
答案以及解析
1.答案：C
解析：，结合实际情况，眼镜商应准备的眼镜不少于480副.
2.答案：C
解析：因为前三年6月份各天最高气温小于的频率为，因此估计今年6月份的某天最高气温小于的概率为0.4.故选C
3.答案：A
解析：在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，越来越接近于，
所以可以用近似的代替，即，
故选：A.
4.答案：C
解析：A：任何事件的概率总是在，之间，故A错误；
B：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故B错误；
C：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故C正确；
D：概率是客观的，在试验前能确定，故错误.
故选：C.
5.答案：D
解析：投篮命中率只是一个比例关系，在实际过程中，并不是严格按照百分比得分，故A错；投篮的命中率只是说明投中的可能性的大小，与实际结果没有直接关系，故B错；掷一枚均匀的硬币，下一次出现反面向上的概率与试验无关，概率是0.5，故C错，D对.故选D.
6.答案：AC
解析：A选项，试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性，故A正确；试验次数较少时，频率波动较大，试验次数较多时，频率波动较小，所以试验次数越多越好，故B错误；随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近，此固定值就是概率，故C正确；我们要得到某事件发生的概率时，需要进行多次试验才能得到概率的估计值，故D错误.故选AC.
7.答案：BD
解析：由题意知，朝上的点数是2的频率为，概率为，故A错误；
当抛掷次数很多时，朝上的点数是2的频率在附近摆动，故B正确；
抛掷第31次，朝上的点数可能是2，也可能不是2，故C错误；
每次抛掷骰子，朝上的点数是2的概率为，所以抛掷6000次，朝上的点数为2的次数大约是，故D正确.故选BD.
8.答案：1000
解析：估计此森林内约有松鼠（只）.
9.答案：15
解析：设盒子中红球的个数为n,
由摸到黑球的频率稳定在0.25左右知,摸到黑球的概率为0.25,
则,
解得,
即盒子中红球个数大约15个.
故答案为：15.
10.答案：（1）456瓶
（2）元或200元或-400元；估计Y大于零的概率为
解析：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间和最高气温低于的天数为，
估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过400瓶的概率为.
前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量为（瓶）.
（2）当最高气温大于等于时，需求量为600，
（元）；
当最高气温在时，需求量为400，
（元）；
当最高气温低于时，需求量为300，
（元）.
则当最高气温大于等于时，.
由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温大于等于的天数为，
估计Y大于零的概率为.
