5.1.1　利用函数性质判定方程解的存在性 练习（含解析）2024-2025学年高一上学期北师大版（2019）必修 第一册

第五章　函数应用
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.1　利用函数性质判定方程解的存在性
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的零点为 (　 )
A.1
B.2
C.(0,1)
D.(2,0)
2.函数f(x)=x3+x-5的零点所在区间为 (　 )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
3.[2023·江西铜鼓中学高一月考] 已知x0(x0>-1)是函数f(x)=2x+x-1的零点,若x1∈(-1,x0),x2∈(x0,+∞),则 (　 )
A.f(x1)>0,f(x2)<0
B.f(x1)<0,f(x2)>0
C.f(x1)>0,f(x2)>0
D.f(x1)<0,f(x2)<0
4.若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-3A.(3,0)和(-2,0) B.(-3,0)和(2,0)
C.2和-3 D.-2和3
5.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,aA.a<αC.α6.函数f(x)=+lg x在区间(1,10)上有唯一的零点,则实数a应满足的条件为 (　 )
A.a(a+10)>0 B.a(a+10)<0
C.a(a+1)>0 D.a(a+1)<0
7.已知实数a是函数f(x)=-log3x的零点,若x0>a,则f(x0)的值满足 (　 )
A.f(x0)=0
B.f(x0)>0
C.f(x0)<0
D.f(x0)的符号不能确定
8.(多选题)下列关于函数零点的论述中,正确的是 (　 )
A.函数f(x)=lg x的零点是(1,0)
B.若图象连续的函数y=f(x)(x∈D)在区间(a,b)((a,b) D)内有零点,则f(a)·f(b)<0
C.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点
D.设函数f(x)=ln x-2x+6,则f(x)零点的个数为2
9.(多选题)[2023·陕西榆林高一月考] 已知函数y=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点,则下列结论中错误的是 (　 )
A.a2-b2≥4
B.a2+≥4
C.若不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2<0
D.若不等式x2+ax+b二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.若方程lg x+x=2的根x0∈(k,k+1),其中k∈Z,则k=　　　　.
11.已知函数f(x)的图象是不间断的,且有如下的x,f(x)对应值表:
x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
f(x) -3.51 1.02 2.37 1.56 -0.38 1.23 2.77 3.45 4.89
则函数f(x)在区间[-2,2]内的零点个数至少为　　　　.
12.已知函数f(x)=logax-x+2(a>0,且a≠1)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)试判断方程x3=2x在区间[1,2]上是否有实数解.
14.(10分)[2023·新疆阿克苏月考] 已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=x2+2x+1.
(1)求函数f(x)在R上的表达式,并在图中的平面直角坐标系中画出函数f(x)的大致图象;
(2)若g(x)=f(x)-m有四个零点,求实数m的取值范围.
15.(5分)[2023·安徽阜阳三中高一期中] 已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-a有四个不同的零点x1,x2,x3,x4(x1A.(2,+∞) B.
C. D.
16.(15分)函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log2x+x-3.
(1)求f(-1)的值和函数f(x)的表达式;
(2)求f(x)在R上的零点个数.
第五章　函数应用
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.1　利用函数性质判定方程解的存在性
1.B　[解析] 根据题意可知f(x)的图象与x轴的交点为(2,0),所以函数f(x)的零点为2.故选B.
2.B　[解析] 函数f(x)=x3+x-5为增函数,f(1)=1+1-5=-3<0,f(2)=8+2-5=5>0,则f(1)f(2)<0,所以根据函数的零点存在定理可得,函数f(x)的零点所在区间为(1,2),故选B.
3.B　[解析] 因为函数y=2x,y=x-1在R上均为增函数,所以函数f(x)=2x+x-1在R上为增函数,因为x1∈(-1,x0),x2∈(x0,+∞),所以f(x1)f(x0)=0.故选B.
4.D　[解析] 因为ax2-x-c>0的解集为{x|-35.C　[解析] 由题可知f(a)=f(b)=-2<0,f(α)=f(β)=0,又因为f(x)的图象开口向上,所以α6.B　[解析] 当a≥0时,函数f(x)在区间(1,10)上恒有f(x)>0,此时f(x)在区间(1,10)上无零点,不满足题意;当a<0时,函数f(x)在区间(1,10)上单调递增,因为f(x)在(1,10)上有唯一的零点,所以只需f(1)·f(10)<0,即a(a+10)<0.
7.C　[解析] 函数f(x)=-log3x的定义域为(0,+∞).因为函数y=(x>0)和函数y=-log3x在(0,+∞)上都是减函数,所以函数f(x)在(0,+∞)上为减函数.由实数a是函数f(x)=-log3x的零点,得f(a)=0.若x0>a,则必有f(x0)<0,故选C.
8.CD　[解析] 对于A,零点不是点,f(x)=lg x的零点是1,故A错误;对于B,如f(x)=x2-x在(-1,2)上有两个零点,但f(-1)·f(2)>0,故B错误;对于C,根据二次函数的零点和判别式之间的关系可知C正确;对于D,在同一平面直角坐标系中作出y=ln x与y=2x-6的图象,如图所示,由图可知y=ln x与y=2x-6的图象有两个交点,所以f(x)零点的个数为2,故D正确.故选CD.
9.AD　[解析] 因为y=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点,所以Δ=a2-4b=0,即a2=4b,b>0.对于选项A,a2-b2=4b-b2=-(b-2)2+4≤4,A中结论错误;对于选项B,a2+=4b+≥2=4,当且仅当b=时等号成立,B中结论正确;对于选项C,不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2=-b<0,C中结论正确;对于选项D,x3+x4=-a,x3x4=b-c,故|x3-x4|2=(x3+x4)2-4x3x4=a2-4b+4c=4c=16,解得c=4,D中结论错误.故选AD.
10.1　[解析] 令f(x)=lg x+x-2,显然f(x)在(0,+∞)上是增函数,且其图象为连续的曲线,因为f(1)<0, f(2)>0,所以f(x)在(1,2)上有唯一的零点,即方程lg x+x=2在(1,2)上只有一个根,又方程的根x0∈(k,k+1),k∈Z,所以k=1.
11.3　[解析] 由表可知,f(-2)·f(-1.5)<0,f(-0.5)·f(0)<0,f(0)·f(0.5)<0,所以函数f(x)在区间[-2,2]内至少有3个零点.
12.(1,+∞)　[解析] 令f(x)=0,得logax=x-2,作出函数y=logax和y=x-2的图象.当a>1时,函数y=logax和y=x-2(x>0)的图象如图①所示.由图①可知函数y=logax和y=x-2(x>0)的图象有两个交点,所以f(x)=logax-x+2有两个零点,符合题意.当00)的图象如图②所示.由图②可知y=logax和y=x-2(x>0)的图象有一个交点,所以f(x)=logax-x+2有一个零点,不符合题意.综上,a的取值范围为(1,+∞).
① ②
13.解:设函数f(x)=x3-2x,易知f(x)在[1,2]上的图象是一条连续不断的曲线.
∵f(1)=1-2=-1<0,f(2)=8-4=4>0,∴f(1)·f(2)<0,∴函数f(x)=x3-2x在区间[1,2]上有零点,即方程x3=2x在区间[1,2]上有实数解.
14.解:(1)令x>0,则-x<0,所以f(-x)=(-x)2+2(-x)+1=x2-2x+1,因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),则当x>0时,f(x)=x2-2x+1,所以f(x)=作出函数f(x)的大致图象,如图所示.
(2)令g(x)=0,则f(x)-m=0,即f(x)=m.因为g(x)=f(x)-m有四个零点,所以函数y=f(x),y=m的图象有四个交点,结合(1)中作出的函数f(x)的大致图象可知,当m∈(0,1)时,y=f(x)与y=m的图象有四个交点,则m的取值范围为(0,1).
15.D　[解析] g(x)=f(x)-a有四个不同的零点x1,x2,x3,x4(x116.解:(1)由题知,当x>0时,f(x)=log2x+x-3,则f(1)=log21+1-3=-2,又函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2)=2.
设x<0,则-x>0,f(-x)=log2(-x)+(-x)-3=log2(-x)-x-3,又f(x)为奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-log2(-x)+x+3,
又f(0)=0,所以f(x)=
(2)由(1)知,f(x)=
当x>0时,f(x)=log2x+x-3,f(x)单调递增,
由f(1)=-2<0,f(3)=log23>0,得f(x)在(0,+∞)上有1个零点.
因为f(x)为奇函数,所以f(x)在(-∞,0)上也有1个零点,又f(0)=0,所以f(x)在R上的零点个数为3.