2024-2025学年湖南省郴州市永兴县树德初级中学九年级（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省郴州市永兴县树德初级中学九年级（上）入学
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是( )
A. 、 B. 、 C. 、 D. 、
2.下列方程没有实数根的是( )
A. B. C. D.
3.若反比例函数的图象经过点，则该函数的图象不经过的点是( )
A. B. C. D.
4.用配方法解方程时，配方结果正确的是( )
A. B. C. D.
5.如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为( )
A. B. C. D. 无法计算
6.下列方程中两根之和为的是( )
A. B. C. D.
7.在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是( )
A. B. C. D.
8.使用墙的一边，再用的铁丝网围成三边，围成一个面积为的长方形，求这个长方形的两边长．设
墙的对边长为，可得方程( )
A. B. C. D.
9.若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
10.如图，是双曲线上的一点，点是的中点，过点作轴的垂线，垂足为，交双曲线于点，且的面积是，则( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.反比例函数的图象经过点，则______．
12.如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，已知点坐标为，那么点的坐标为______．
13.函数是关于的反比例函数，则______．
14.方程的解是______．
15.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，顶点在轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，已知菱形的周长是，，则的值是______．
16.如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于、两点，若，则的取值范围______．
17.若，是方程的两个实数根，则的值为______．
18.关于的反比例函数的图象如图，、为该图象上的点，且关于原点成中心对称．中，轴，轴，与相交于点若的面积大于，则关于的方程的根的情况是______．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
19.已知反比例函数，分别根据下列条件求出字母的取值范围：函数图象位于第一、三象限；在每一象限内，随的增大而增大．
20.已知关于的一元二次方程：，
若此方程有一个根为，求另一个根及的值．
若为任意实数，请判断此方程根的情况．
四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
解方程：．
．
22.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
23.本小题分
我市某超市于今年年初以每件元的进价购进一批商品当商品售价为元时，一月份销售件二、三月该商品十分畅销销售量持续走高在售价不变的基础上，三月底的销售量达到件设二、三这两个月的月平均增长率不变．
求二、三这两个月的月平均增长率；
从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？
24.本小题分
已知：如图，直线与双曲线相交于点和点．
求和的值．
根据图象直接写出当且时，自变量的取值范围．
请问在轴上是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25.本小题分
已知：关于的一元二次方程
求证：无论取何值，方程都有实根；
若是该方程的一个根，求的值；
若方程的两个实根均为正整数，求的值为整数．
26.本小题分
知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图，点是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为．
初步尝试
如图，点，分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积．
类比探究
如图，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，与在轴的两侧，，，与的距离为，求的值．
如图，过，，，四点分别作、、、轴于点，，，，设，分别与轴交于，，显然四边形，，，均为矩形，且，可设为，则，从而可得：，
请根据上述思路，写出完整的解题步骤．
拓展延伸
如图，已知反比例函数和，，若点，在图象上，点，在图象上，且轴，，，和间的距离为，求的值．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.，
15.
16.或
17.
18.没有实数根
19.解：函数图象位于第一、三象限，
，
解得；
在每一象限内，随的增大而增大．
，
解得．
20.解：设另一根为，
则，，
解得，，；
，
原方程有两个不相等的实数根．
21.解：．
，
，
或，
，．
，
．
，
或，
，．
22.解：由题知，
，
解得．
又，
所以的取值范围是且．
因为该方程有两个实数根分别为、，
所以，．
又，
即，
所以，
解得，
经检验是原方程的解．
又且，
所以．
23.解：设二、三这两个月的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
设商品降价元，则每件商品的销售利润为元，四月份的销售量为元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：当商品降价元时，商场获利元．
24.解：双曲线过点，
，
反比例函数解析式为，
反比例函数图象过点，
；
当时，即直线在反比例函数图象的上方时所对应的自变量的取值范围，
，，
当且时，自变量的取值范围为；
设点坐标为，
，，，
为等腰直角三角形，
、或三种情况，
当时，则有，即，解得，
但此时，即，故不符合题意；
当时，则有，即，解得或，
当时，，，即，故符合题意；
当时，，，即，故不符合题意；
；
当时，则有，即，解得，
此时，即，故不符合题意；
综上可知存在满足条件的点，其坐标为．
25.证明：当时，
方程，
，
，
当时，，
解得．
无论取何值，方程都有实根；
把代入方程得，
解得．
故的值；
解：，
，，，
运用公式法解方程可知道此方程的根为，
此方程的两个根分别为，，
方程的两个实根均为正整数，
，，．
26.解：点，分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，
，，
；
如图，过，，，四点分别作、、、轴于点，，，，设，分别与轴交于，，
四边形，，，均为矩形，且，
，
设为，而，，与的距离为，
，
，
解得：，
；
分别延长，交轴于，，过点，，，作，，，轴于点，，，，则四边形，，，都为矩形，且，，，，
设，
如图，
当在的上方时，而轴，和间的距离为，
，
，，
，
解得：，
如图，当在的下方时，而轴，和间的距离为，
，
同理可得：，
解得：，
综上：或．
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