6.3.1　从频数到频率6.3.2　频率分布直方图 练习（含解析）2024-2025学年高一上学期北师大版（2019）必修 第一册

§3　用样本估计总体分布
3.1　从频数到频率
3.2　频率分布直方图
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.[2023·江西分宜中学高一月考] 一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.10组 B.9组
C.8组 D.7组
2.一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分,如图,若样本中数据在区间[20,60)内的频率为0.8,则估计样本在区间[40,60)内的数据个数为 (　 )
A.15 B.16 C.17 D.19
3.在抽查产品尺寸的过程中,将其尺寸分成若干组,[a,b)是其中的一组,该组的频率为m,该组在频率分布直方图中对应矩形的高为h,则|a-b|= (　 )
A.hm B. C. D.h+m
4.已知样本数据为12,7,11,12,11,12,10,10,9,8,13,12,10,9,6,11,8,9,8,10,那么频率为0.25的样本数据的分组是 (　 )
A.[5.5,7.5) B.[7.5,9.5)
C.[9.5,11.5) D.[11.5,13.5)
5.[2023·河南南阳邓州春雨国文学校高一月考] 统计某校1000名学生的数学测试成绩(单位:分),得到样本的频率分布直方图如图所示.若满分为100分,规定不低于60分为及格,则及格率是 (　 )
A.20% B.25% C.60% D.80%
6.在样本频率分布直方图中共有11个小矩形,若中间一个小矩形的面积等于所有小矩形面积之和的,样本容量是160,则中间一组的频数是 (　 )
A.0.2 B.0.25 C.32 D.40
7.[2023·山西大同汇林中学高一月考] 某车间从生产的一批零件中随机抽取了1000个进行一项质量指标的检测,整理检测结果得到此项质量指标的频率分布直方图如图所示.若用分层随机抽样的方法从质量指标在区间[40,70)内的零件中抽取170个进行再次检测,则质量指标在区间[50,60)内的零件应抽取 (　 )
A.30个 B.40个 C.60个 D.70个
8.(多选题)为弘扬中华民族优秀传统文化,某中学学生会从本校高一年级1000名学生中随机抽取50名学生,调查他们课余时间参加优秀传统文化活动的情况,将所得数据分组整理后,得到下表:
参加场数 0 1 2 3 4 5 6 7
人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% 12% 4% 2%
用样本频率分布估计总体分布,则下列说法中错误的是 (　 )
A.估计该校高一年级学生参加3场活动的学生有360人
B.估计该校高一年级学生参加2场或4场活动的学生有480人
C.估计该校高一年级学生参加不高于2场活动的学生有280人
D.估计该校高一年级学生参加不低于4场活动的学生有360人
9.(多选题)[2023·陕西汉中城固二中高一月考] 某学校为了调查学生某次研学活动中的消费支出情况,抽取了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在50元到60元之间的学生有60人,则 (　 )
A.样本中消费支出在50元到60元之间的频率为0.3
B.样本中消费支出不少于40元的人数为132
C.n的值为200
D.若该校有2000名学生参加研学,则估计有20人的消费支出在20元到30元之间
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.某高校调查了300名学生每周的自习时间(单位:小时),其中自习时间的范围是[17.5,30],并制成了频率分布直方图,如图所示,样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据频率分布直方图可知,这300名学生中每周的自习时间不少于27.5小时的人数是　　　　.
11.[2023·湖北十堰高一期中] 从总体中随机抽取一个容量为20的样本,其数据的分组及各组的频数如下:[10,20),2;[20,30),3;[30,40),x;[40,50),5;[50,60),4;[60,70),2.根据样本的频率分布,估计总体中数据m在[10,50)内的概率为　　　　.
12.为了解学生的身体状况,某校随机抽取了一批学生测量体重.经统计,这批学生的体重(单位:kg)数据全部介于45至70之间.将数据分成以下5组:第1组[45,50),第2组[50,55),第3组[55,60),第4组[60,65),第5组[65,70].整理得到如图所示的频率分布直方图,则a=　　　　　.现采用分层随机抽样的方法,从第3,4,5组中随机抽取6名学生,则第3,4,5组抽取的学生人数依次为　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知50个样本数据的分组以及各组的频数如下:
[153.5,155.5),2;[155.5,157.5),7;[157.5,159.5),9;[159.5,161.5),11;[161.5,163.5),10;[163.5,165.5),6;[165.5,167.5),4;[167.5,169.5],1.
(1)列出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图和频率折线图.
14.(10分)[2023·四川德阳高一期末] 为了解某中学高一学生的某次月考的数学成绩,备课组人员随机抽取了100名学生的数学成绩,根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图.已知成绩不低于90分为及格,不低于130分为优秀.
(1)求实数a的值;
(2)若参加本次月考的学生总人数为1500,试根据样本的相关信息估计本次月考数学成绩及格和优秀的人数.
15.(5分)某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况,随机抽取了500户居民去年的月均用电量(单位:kW·h),将所得数据整理后按[35,37),[37,39),[39,41),[41,43),[43,45]分组,并画出频率分布直方图如图所示.直方图中从左到右前3个小矩形的面积之比为1∶2∶3,则抽取的500户居民中去年月均用电量在[37,39)内的居民共有　　　　户.
16.(15分)某市某年4月1日~4月30日对空气质量指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
(1)将空气质量指数按[41,51),[51,61),…,[91,101),[101,111]分组,列出频率分布表.
(2)画出频率分布直方图.
(3)根据国家标准,空气质量指数在0~50之间时,空气质量为优;在51~100之间时,为良;在101~150之间时,为轻度污染;在151~200之间时,为中度污染.
请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价.
§3　用样本估计总体分布
3.1　从频数到频率
3.2　频率分布直方图
1.B　[解析] 因为==8.9,所以分为9组较为恰当.故选B.
2.A　[解析] 由题易得数据在区间[40,60)内的频率为0.8-=0.5,故样本在区间[40,60)内的数据个数为30×0.5=15.故选A.
3.B　[解析] 由题意知=h,故|a-b|=组距==.
4.D　[解析] 样本数据在[5.5,7.5)内的频数为2,频率为0.1;样本数据在[7.5,9.5)内的频数为6,频率为0.3;样本数据在[9.5,11.5)内的频数为7,频率为0.35;样本数据在[11.5,13.5)内的频数为5,频率为0.25.故选D.
5.D　[解析] 根据频率分布直方图可知,不低于60分的频率为(0.025+0.035+0.010+0.010)×10=0.8,所以及格率为80%.故选D.
6.D　[解析] 因为所有小矩形的面积之和为1,所以中间小矩形的面积是=0.25,即这一组的频率是0.25,所以这一组的频数是160×0.25=40.
7.C　[解析] 设质量指标在区间[50,60)内的零件应抽取x个,则=,解得x=60,故选C.
8.ABC　[解析] 估计该校高一年级学生参加3场活动的学生有1000×26%=260(人),A中说法错误;估计该校高一年级学生参加2场或4场活动的学生有1000×(20%+18%)=380(人),B中说法错误;估计该校高一年级学生参加不高于2场活动的学生有1000×(8%+10%+20%)=380(人),C中说法错误;估计该校高一年级学生参加不低于4场活动的学生有1000×(18%+12%+4%+2%)=360(人),D中说法正确.故选ABC.
9.ABC　[解析] 根据频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1,可得样本中消费支出在50元到60元之间的频率为1-10×(0.01+0.024+0.036)=0.3,A正确;样本容量n==200,则样本中消费支出不少于40元的人数为200×(0.036×10+0.3)=132,B,C正确;根据频率分布直方图可知,样本中消费支出在20元到30元之间的频率为0.1,则估计该校2000名参加研学的学生中消费支出在20元到30元之间的有200人,D错误.故选ABC.
10.30　[解析] 由题意可知,这300名学生中每周的自习时间不少于27.5小时的人数是300×0.04×2.5=30.
11.0.7　[解析] 由题意得x=20-(2+3+5+4+2)=4,则样本中数据落在[10,50)内的频率为==0.7,所以估计总体中数据m在[10,50)内的概率为0.7.
12.0.04　3,2,1　[解析] 由(0.01+0.02+a+0.06+0.07)×5=1,得a=0.04.设第3,4,5组抽取的学生人数依次为x,y,z,则x∶y∶z=0.06∶0.04∶0.02=3∶2∶1,又x+y+z=6,所以x=3,y=2,z=1.
13.解:(1)频率分布表如下:
分组 频数 频率
[153.5,155.5) 2 0.04
[155.5,157.5) 7 0.14
[157.5,159.5) 9 0.18
[159.5,161.5) 11 0.22
[161.5,163.5) 10 0.20
[163.5,165.5) 6 0.12
[165.5,167.5) 4 0.08
[167.5,169.5] 1 0.02
(2)频率分布直方图和频率折线图如图所示.
14.解:(1)由20×(0.006+0.014+0.020+0.008+a)=1,得a=0.002.
(2)由(1)知,样本中及格人数的频率为20×0.020+20×0.008+20×0.002=0.6,样本中优秀人数的频率为20×0.002=0.04,从而估计本次月考数学成绩及格和优秀的人数分别为1500×0.6=900,1500×0.04=60.
15.125　[解析] 设频率分布直方图中从左到右前3个小矩形的面积分别为P,2P,3P.由频率分布直方图可知,最后两个小矩形的面积之和为(0.087 5+0.037 5)×2=0.25.因为频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1,所以P+2P+3P=0.75,即P=0.125,则2P=0.25,故抽取的500户居民中去年月均用电量在[37,39)内的居民共有0.25×500=125(户).
16.解:(1)频率分布表如下:
分组 频数 频率
[41,51) 2
[51,61) 1
[61,71) 4
[71,81) 6
[81,91) 10
[91,101) 5
[101,111] 2
(2)频率分布直方图如图所示.
(3)答对下述两条中的一条即可.
①该市在一个月中空气质量指数有2天处于优的水平,占当月天数的;有26天处于良的水平,占当月天数的.则处于优或良的天数为28,占当月天数的.说明该市空气质量基本良好.
②该市在一个月中空气质量为轻度污染的有2天,占当月天数的;空气质量指数在80以上且接近轻度污染的天数为15,加上处于轻度污染的2天,共17天,占当月天数的,超过50%,说明该市空气质量有待进一步改善.