6.4.1　样本的数字特征 练习（含解析）2024-2025学年高一上学期北师大版（2019）必修 第一册

§4　用样本估计总体的数字特征
4.1　样本的数字特征
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.[2024·安徽六安一中高一月考] 已知一组数据70,71,69,70,72,70,68,72,则该组数据的众数为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.69 B.70 C.71 D.72
2.以下为甲、乙两组数据:
甲:9　12　x　24　27
乙:9　15　y　18　24
已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为 (　 )
A.12, 15 B.15, 15
C.15, 18 D.18, 18
3.若数据x1,x2,…,xn的方差为2,则数据2x1-3,2x2-3,…,2xn-3的方差为 (　 )
A.1 B.2
C.4 D.8
4.[2023·甘肃武威古浪一中高一月考] 16位参加百米半决赛的同学的成绩各不相同,按成绩取前8位进入决赛.若小刘知道了自己的成绩后,要判断能否进入决赛,则其他15位同学成绩的下列数字特征中,能使他得出结论的是 (　 )
A.平均数 B.极差
C.中位数 D.方差
5.某商家统计了去年P,Q两种产品的月销售额(单位:万元),绘制了月销售额的雷达图如图所示,图中A点表示P产品2月份的销售额约为20万元,B点表示Q产品9月份的销售额约为25万元.根据图中信息,下面结论错误的是 (　 )
A.P产品的月销售额的极差较大
B.P产品的月销售额的中位数较大
C.Q产品的月销售额的平均值较大
D.Q产品的月销售额波动较小
6.[2023·江西新余一中高一开学考] 如图为甲、乙、丙、丁四名射击运动员在赛前的某次射击选拔赛中,各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线.经过计算,四人成绩的方差关系为=,=,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,则应该选择 (　 )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
7.某城市在创建文明城市的活动中,为了解居民对活动的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数,满分100分),从中随机抽取一个容量为100的样本,发现数据均在[40,100]内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图,但不小心污损了部分图形,如图所示.观察图形,下列说法中错误的是 (　 )
A.分数在[60,70)内的频数为15
B.根据频率分布直方图估计样本的众数为75
C.根据频率分布直方图估计样本的中位数为75
D.根据频率分布直方图估计样本的平均数为75
8.(多选题)某赛季甲、乙两名篮球运动员6场比赛的得分情况如下表:
场次 1 2 3 4 5 6
甲得分 31 16 24 34 18 9
乙得分 23 21 32 11 35 10
下列说法中正确的是 (　 )
A.甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差
B.甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数
C.甲运动员得分的平均数大于乙运动员得分的平均数
D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
9.(多选题)某篮球爱好者在一次篮球训练中,需进行五轮投篮,每轮投篮5次.统计各轮投进球的个数,获知其前四轮投中的个数分别为2,3,4,4,则第五轮结束后下列关于五轮投篮投中个数的数字特征有可能正确的是 (　 )
A.平均数为3,极差是3
B.中位数是3,极差是3
C.平均数为3,方差是0.8
D.中位数是3,方差是0.56
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.[2023·上海杨浦控江中学高一月考] 已知a为实数,若数据1,2,a,6的平均数为3,则这组数据的标准差为　　　　.
11.已知一组数据x1,x2,…,x6的平均数是,方差是2,并且(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x6-1)2=18,≠0,则=　　　　.
12.已知一组样本数据由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且样本数据的中位数为10.5.若要使该组数据的方差最小,则a,b的取值分别是　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄如下(单位:岁).
甲群:13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;
乙群:54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征
14.(10分)自中国进入工业化进程以来,个人的文化水平往往影响或在某种程度上决定了个人的薪酬高低,文化水平较高的人往往收入较高.将个人的文化水平用数字表示,记“没有接受过系统学习或自学的成年人”为最低分25,“顶级尖端人才”为最高分95.为了分析A市居民的受教育程度,从A市居民中随机抽取1000人的文化水平数据X,将样本分成小学[25,35),初中[35,45),高中[45,55),专科[55,65),本科[65,75),硕士[75,85),博士[85,95]七组,整理后得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计样本数据的众数和中位数(结果保留一位小数);
(2)同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,估计该市居民的平均文化水平.
15.(5分)[2023·四川成都七中高一月考] 四名同学各掷骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数,根据四名同学的统计结果,可以判断出一定没有出现点数6的是 (　 )
A.平均数为2,方差为2.4
B.中位数为3,方差为1.6
C.中位数为3,众数为2
D.平均数为3,中位数为2
16.(15分)甲、乙两人在相同条件下各射靶10次,每次射靶的成绩(射中环数)情况如图所示.
(1)请填写下表.
平均数 方差 中位数 命中9环及9环以 上的次数
甲
乙
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析:
①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定);
②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些);
③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些);
④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力).
§4　用样本估计总体的数字特征
4.1　样本的数字特征
1.B　[解析] 将数据按由小到大的顺序排列,得68,69,70,70,70,71,72,72,数据70出现次数最多,所以该组数据的众数是70.故选B.
2.C　[解析] 因为甲组数据的中位数为15,所以x=15,又乙组数据的平均数为16.8,所以=16.8,得y=18,故选C.
3.D　[解析] ∵数据x1,x2,…,xn的方差为2,∴数据2x1-3,2x2-3,…,2xn-3的方差为22×2=8.故选D.
4.C　[解析] 判断是不是能进入决赛,只要判断是不是前8位,所以只要知道其他15位同学中是不是有8位的成绩高于他,也就是把其他15位同学的成绩由高到低排列后看排在第8位的成绩即可,小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛,低于这个成绩就不能进入决赛,这个排在第8位的成绩就是其他15位同学成绩的中位数.故选C.
5.B　[解析] 由题图可以看出,P产品的月销售额的波动较大,Q产品的月销售额的波动较小,且Q产品的月销售额中只有两个月的月销售额不多于25万元,其余都在25万元至30万元之间,所以P产品的月销售额的极差较大,中位数较小,Q产品的月销售额的平均值较大,月销售额的波动较小.故选B.
6.A　[解析] 由折线统计图可知,甲、丙成绩的平均数水平线高于乙、丁成绩的平均数水平线,即甲、丙的成绩相对较好.显然,比较乙、丁的折线图可知,乙的成绩相对于平均成绩的波动幅度小于丁的成绩相对于平均成绩的波动幅度,即<,又=,=,所以<,即甲的成绩比丙稳定,所以这四人中甲的成绩好且发挥稳定.故选A.
7.D　[解析] 分数在[60,70)内的频率为1-10×(0.005+0.015+0.030+0.025+0.010)=0.15,所以分数在[60,70)内的频数为100×0.15=15,故A中说法正确.因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形底边中点的横坐标,所以众数的估计值为75,故B中说法正确.因为(0.005+0.015+0.015)×10=0.35<0.5,(0.005+0.015+0.015+0.03)×10=0.65>0.5,所以中位数位于[70,80)内,设为x,由0.35+(x-70)×0.03=0.5,解得x=75,所以中位数的估计值为75,故C中说法正确.样本平均数的估计值为45×10×0.005+55×10×0.015+65×10×0.015+75×10×0.03+85×10×0.025+95×10×0.01=73.5,故D中说法错误.故选D.
8.BD　[解析] 由题意,甲运动员得分的极差为34-9=25,中位数是21,平均数为22,方差为75,乙运动员得分的极差为35-10=25,中位数是22,平均数为22,方差为≈89.3.故A,C错误,B,D正确,故选BD.
9.BCD　[解析] 若平均数为3,则第五轮投中的个数为2,所以极差为4-2=2,方差为×[(2-3)2×2+(3-3)2+(4-3)2×2]=0.8,故A不可能正确,C可能正确.若中位数为3,则第五轮投中的个数为0或1或2或3,当投中的个数为0时,极差为4,平均数为2.6,方差为×[(0-2.6)2+(2-2.6)2+(3-2.6)2+(4-2.6)2×2]=2.24;当投中的个数为1时,极差为3,平均数为2.8,方差为×[(1-2.8)2+(2-2.8)2+(3-2.8)2+(4-2.8)2×2]=1.36;当投中的个数为2时,极差为2,平均数为3,方差为×[(2-3)2×2+(3-3)2+(4-3)2×2]=0.8;当投中的个数为3时,极差为2,平均数为3.2,方差为×[(2-3.2)2+(3-3.2)2×2+(4-3.2)2×2]=0.56.故B,D均可能正确.故选BCD.
10.　[解析] 依题意得(1+2+a+6)=3,解得a=3,所以方差为×[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(6-3)2]=,则标准差为=.
11.2　[解析] 由题意知(x1-)2+(x2-)2+…+(x6-)2=12①,(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x6-1)2=18②,①-②得6-6-2(x1+x2+…+x6)+2(x1+x2+…+x6)=-6③,将x1+x2+…+x6=6代入③式整理可得-6+12=0,又≠0,所以=2.
12.10.5,10.5　[解析] 由题意知,a+b=10.5×2=21,a≤10.5,b≥10.5,样本数据的平均数为×(2+3+3+7+a+b+12+13.7+18.3+20)=10.要使方差最小,则(a-10)2+(b-10)2最小,即(21-b-10)2+(b-10)2=2(b-10.5)2+0.5最小,此时b=a=10.5,故当a=10.5,b=10.5时,该组数据的方差最小.
13.解:(1)甲群市民年龄的平均数为=15(岁),中位数为15岁,众数为15岁.平均数、中位数和众数相等,因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.
(2)乙群市民年龄的平均数为=15(岁),中位数为5.5岁,众数为6岁.由于乙群市民大多数是儿童,所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征,而平均数的可靠性较差.
14.解:(1)估计样本数据的众数为=70.0.样本数据在[25,65)内的频率为0.05+0.05+0.15+0.20=0.45<0.50,在[25,75)内的频率为0.05+0.05+0.15+0.20+0.30=0.75>0.50,∴中位数在[65,75)内,∴估计中位数为65+10×=65+≈66.7.
(2)估计平均文化水平为30×0.05+40×0.05+50×0.15+60×0.20+70×0.30+80×0.20+90×0.05=64.5.
15.A　[解析] A选项,若5次结果中有6,因为平均数为2,所以方差S2>×(6-2)2=3.2,因为3.2>2.4,所以当平均数为2,方差为2.4时一定不会出现点数6,故A符合题意;B选项,取5个点数为3,3,3,5,6,此时满足中位数为3,平均数为4,方差S2=×[(3-4)2×3+(5-4)2+(6-4)2]=1.6,故B不符合题意;C选项,取5个点数为2,2,3,5,6,此时满足中位数为3,众数为2,故C不符合题意;D选项,取5个点数为1,1,2,5,6,此时满足中位数为2,平均数为3,故D不符合题意.故选A.
16.解:由折线图知,甲射击10次中靶环数分别为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7,将它们由小到大重排为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9;乙射击10次中靶环数分别为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10,将它们由小到大重排为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10.
(1)=×(5+6×2+7×4+8×2+9)==7,=×(2+4+6+7×2+8×2+9×2+10)==7,=×[(5-7)2+(6-7)2×2+(7-7)2×4+(8-7)2×2+(9-7)2]=×(4+2+0+2+4)=1.2,=×[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(7-7)2×2+(8-7)2×2+(9-7)2×2+(10-7)2]=×(25+9+1+0+2+8+9)=5.4.
根据以上的分析与计算填表如下:
平均数 方差 中位数 命中9环及9环以上的次数
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
(2)①∵平均数相同,<,∴甲的成绩比乙稳定.
②∵平均数相同,甲的中位数小于乙的中位数,∴乙的成绩比甲好些.
③∵平均数相同,命中9环及9环以上的次数甲比乙少,∴乙的成绩比甲好些.
④甲的成绩在平均数上下波动,而乙处于上升趋势,从第4次开始命中环数没有比甲少的情况发生,∴乙较有潜力.