人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形12.2 三角形全等的判定2
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形12.2 三角形全等的判定2 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 4.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-07 20:56:42 | ||
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人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定2
学习目标
1.能够利用尺规正确的画出一个与给定三角形满足SAS条件的全等的三角形，能准确叙述SAS.
2.能够利用SAS进行简单的几何推理（计算或证明）
3.能够利用SAS进行较复杂的几何推理（计算或证明）
4.能画图说明满足SSA条件的两个三角形不一定全等.能够综合利用SSS、SAS进行复杂的几何推理.
老师告诉你
倍长中线法：
遇到三角形的中线（中点）问题时，常将中线延长一倍（这种方法称倍长中线法），然后连接相应的顶点，构造全等三角形，通过全等三角形的性质将线段的关系进行转化，从而达到解决问题的目的。
知识点拨
知识点1 全等三角形的判定2：边角边（SAS）
三角形全等的判定2：边角边（SAS）
文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，．
【新知导学】
例1-1．生活中，我们在测量一个小口圆形容器内径时，常借用某些特制工具测量．如图所示，小青同学将钢条AD和钢条BC的中点O焊接在一起，制作了一把“X型卡钳”．小青同学测量出AB的长度时，就知道内径CD的长度．根据以上信息，你明白其中涉及的全等知识是（ ）
A. SSS B. AAS C. SAS D. ASA
【对应导练】
1．如图，为了测出池塘两端A，B间的距离，小依在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点O，连接AO并延长到C，使OC=OA；连接BO并延长到D，使OD=OB，连接CD并测量出它的长度．小铱认为CD的长度就是A，B间的距离，她是根据△OAB≌△OCD来判断的AB=CD，那么判定这两个三角形全等的依据是（ ）
A. sss B. SAS C. ASA D. AAS
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE=4，CF=1，则EF的长度为 _____．
3．如图，D，E分别是等边三角形ABC的边AC、AB上的点，，，则________.
知识点2 利用SAS进行推理证明
①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序.
②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等
【新知导学】
例2-1．如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，DE∥AC，且DE=BC，AC=BD．求证：△ABC≌△BED．
【对应导练】
1．如图，AB=AC，∠BAD=∠CAD，证明：△ABD≌△ACD．
2．如图，AF=DC，∠BCA=∠EFD，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF．
3．如图，△ABC和△BDE是等边三角形，连接AD、CE．求证：△ABD≌△CBE．
知识点3 综合利用SSS、SAS进行复杂的几何推理.
证明三角形全等的“两个条件”（1）直接条件：已知中直接给出的边（角）对应相等，
隐含条件：已知中没有给出，但通过读图得到的条件，如公共边、公共角、对顶角。
“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．
1.证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
2判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
【新知导学】
例3-1 .如图，在四边形中对角线、交于点E，给出下列三组等量关系：①；②，③；请选择其中两组等量关系作为已知条件，另一组等量关系作为结论，并写出说理过程.
【对应导练】
如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，．
求证：；
若，求三角形的面积．
2 .已知：在和中，．
(1)如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：AC=BD．
(2)如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为__________，∠APB的大小为__________（直接写出结果，不证明）
题型训练
利用边角边判断边的数量关系
1．为参加学校举办的风筝设计比赛，小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD．将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？为什么？
2．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得CE=15cm,OE=8cm.
（1）试说明：OE=BD；
（2）求DE的长．
3．如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E．
（1）求证：AC=AD．
（2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）
利用边角边证明角相等
4．如图，已知AB平分∠CAD，AC=AD．求证：∠C=∠D．
5．已知：如图，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：∠B=∠E．
利用边角边求角的度数
6．如图，点，分别是边长为的等边的边，上的动点，点从点向点运动，点从点向点运动，它们同时出发，且速度都为，运动的时间为秒，连接，交于点，则在，运动的过程中，
（1）求证：；
（2）的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
7.如图，在 ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高，在BE上取一点D，使DB=AC，在射线CF上取一点G，使GC=AB，连结AG，AD．若∠DAE=38°，∠ABE，则∠G的度数为 ．
综合边边边、边角边进行计算证明
8.已知四边形中，，，如图2，点P，Q分别在线段，上，满足，求证：．
牛刀小试
一、单选题(每小题4分，共32分）
1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是( )
A. B. C. D.
2．如图，已知，添加一个条件，使得，下列条件添加错误的是( )
A. B. C. D.
3．如图，在与中，，，，，AB交EF于点D，连接EB.下列结论：
①；
②；
③；
④，正确的个数为( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4．我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞圈D能沿着伞柄滑动，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内所成的角，为了证明这个结论，我们的依据是( )
A. B. C. D.
5．如图，在和中，，，要使，则可以添加下列哪个条件( )
A. B. C. D.
6．根据下列图中所给定的条件，找出全等的三角形( )
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①和④
7．如图，，要使，还需添加一个条件是( )
A. B. C. D.
如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小凡想用绳子测量A，B间的距离，但无法从A点直接到达B点，聪明的小凡想出一个办法：先在地上选取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），连接AP并延长到点D，使DP=AP．连接CD，并测量出它的长度为10米，则A，B两点间的距离为 _____米．
10．“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=FH，不用测量，就知道∠DEH=∠DFH，小明是通过全等三角形的知识得到的结论，则小明判定三角形全等的依据是_____（用字母表示）．
11．如图所示．A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD=1km,DC=1km,村庄AC，AD间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC=3km,只有AB之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AE=1.2km,BF=0.7km.试求建造的斜拉桥长至少有___________km.
12．如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片_____即可．
13．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，∠BAD=28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为 _____．
三、解答题（共6小题，共48分）
14．(8分）（1）萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 _____；
（2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为38cm,则由以上信息可推得CB的长度是多少？请说明理由．
15．（8分）如图，AB=AC，D为△ABC内部一点，且BD=CD．连接AD并延长，交BC于点E．
①请写出图中两组全等的三角形；
②任选其一说明全等的理由．
16．（8分）已知如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C．
17．（8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，P为等腰梯形内部一点，若PA=PD，试说明PB=PC．
18 .（8分）如图，在 ABC中，∠B=50°，∠C=20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD=AC．在边AC上截取AF=AB，连接DF．求证：DF=CB．
19 .（10分）问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC，BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE，BD，线段AE，BD之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把Rt ACD绕点C逆时针旋转，线段AE，BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定2
学习目标
1.能够利用尺规正确的画出一个与给定三角形满足SAS条件的全等的三角形，能准确叙述SAS.
2.能够利用SAS进行简单的几何推理（计算或证明）
3.能够利用SAS进行较复杂的几何推理（计算或证明）
4.能画图说明满足SSA条件的两个三角形不一定全等.能够综合利用SSS、SAS进行复杂的几何推理.
老师告诉你
倍长中线法：
遇到三角形的中线（中点）问题时，常将中线延长一倍（这种方法称倍长中线法），然后连接相应的顶点，构造全等三角形，通过全等三角形的性质将线段的关系进行转化，从而达到解决问题的目的。
知识点拨
知识点1 全等三角形的判定2：边角边（SAS）
三角形全等的判定2：边角边（SAS）
文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，．
【新知导学】
例1-1．生活中，我们在测量一个小口圆形容器内径时，常借用某些特制工具测量．如图所示，小青同学将钢条AD和钢条BC的中点O焊接在一起，制作了一把“X型卡钳”．小青同学测量出AB的长度时，就知道内径CD的长度．根据以上信息，你明白其中涉及的全等知识是（ ）
A. SSS B. AAS C. SAS D. ASA
【答案】C
【解析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
故选：C．
【对应导练】
1．如图，为了测出池塘两端A，B间的距离，小依在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点O，连接AO并延长到C，使OC=OA；连接BO并延长到D，使OD=OB，连接CD并测量出它的长度．小铱认为CD的长度就是A，B间的距离，她是根据△OAB≌△OCD来判断的AB=CD，那么判定这两个三角形全等的依据是（ ）
A. sss B. SAS C. ASA D. AAS
【答案】B
【解析】由题意知OA=OC，OB=OD，由于∠AOB=∠COD，根据“SAS”即可证明△OAB≌△OCD．
解：由题意知OA=OC，OB=OD，
在△OAB和△OCD中，
，
∴△OAB≌△OCD（SAS）．
故选：B．
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE=4，CF=1，则EF的长度为 _____．
【答案】3
【解析】先证明△ABE≌△CAF（AAS），根据全等三角形的性质可得AF=BE=4，AE=CF=1，进一步可得EF的长．
解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA=∠AFC=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠FAC=90°，
∴∠FAC=∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AF=BE，AE=CF，
∵BE=4，CF=1，
∴AF=BE=4，AE=CF=1，
∴EF=AF-AE=4-1=3，
故答案为：3．
3．如图，D，E分别是等边三角形ABC的边AC、AB上的点，，，则________.
【答案】
【解析】可证 可得∠ABD=∠BCE=15°由三角形外角即可计算∠BDC的度数.
解：在等边三角形ABC中：AB=BC,∠BAD=∠CBE=60°
∵
∴
∴∠ABD=∠BCE=15°
∴∠BDC=∠ABD+∠A=15°+60°=75°
故答案为75°
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及应用，掌握三角形的判定是解题的关键.
知识点2 利用SAS进行推理证明
①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序.
②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等
【新知导学】
例2-1．如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，DE∥AC，且DE=BC，AC=BD．求证：△ABC≌△BED．
【解析】根据平行线的性质得出∠D=∠ACB，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．
证明：∵DE∥AC，
∴∠D=∠ACB，
在△ABC和△BED中，
，
∴△ABC≌△BED（SAS）．
【对应导练】
1．如图，AB=AC，∠BAD=∠CAD，证明：△ABD≌△ACD．
【解析】根据“SAS”可判断△ABD≌△ACD．
证明：在△ABD和△ACD 中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
2．如图，AF=DC，∠BCA=∠EFD，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF．
【解析】求出AC=DF，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．
证明：∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+CF，
即AC=DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
3．如图，△ABC和△BDE是等边三角形，连接AD、CE．求证：△ABD≌△CBE．
【解析】根据等边三角形的性质得出AB=BC，BD=BE，进而利用SAS证明△ABD≌△CBE即可．
证明：∵△ABC，△BDE是等边三角形，
∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，BD=BE，
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS）．
知识点3 综合利用SSS、SAS进行复杂的几何推理.
证明三角形全等的“两个条件”（1）直接条件：已知中直接给出的边（角）对应相等，
隐含条件：已知中没有给出，但通过读图得到的条件，如公共边、公共角、对顶角。
“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．
1.证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
2判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
【新知导学】
例3-1 .如图，在四边形中对角线、交于点E，给出下列三组等量关系：①；②，③；请选择其中两组等量关系作为已知条件，另一组等量关系作为结论，并写出说理过程.
答案：选择①③，证明②，证明见解析
解析：选择①③，证明②，
证明：在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
.
【对应导练】
1.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，．
求证：；
若，求三角形的面积．
【答案】(1) 见分析； (2)
【分析】（1）根据得，根据得，即，根据 即可证明；
（2）在中，以为底作为高，则，，根据 得，，即可得．
（1）证明：∵，
，
∵，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图所示，在中，以为底作为高，
，，
∵，
，，
．
【点拨】本题考查了三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
2 .已知：在和中，．
(1)如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：AC=BD．
(2)如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为__________，∠APB的大小为__________（直接写出结果，不证明）
【答案】(1)证明见解析
(2)，α
【分析】（1）利用证明，即可得到结论；
（2）与（1）同理可证，得到，由得到，根据对顶角相等和三角形内角和定理得到即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴；
如图②，设与相交于点E，
∵，
∴，
在和中，
，,，
∴，
故答案为：，
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
题型训练
利用边角边判断边的数量关系
1．为参加学校举办的风筝设计比赛，小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD．将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？为什么？
【解析】直接利用全等三角形的判定方法得出△HED≌△HFD（SAS），进而得出答案．
解：小明不用测量就能知道EH=FH．
理由：在△HED和△HFD中
∵，
∴△HED≌△HFD（SAS），
∴EH=FH．
2．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得CE=15cm,OE=8cm.
（1）试说明：OE=BD；
（2）求DE的长．
【解析】（1）利用AAS证明△COE≌△OBD，可得结论；
（2）利用全等三角形性质可得答案．
解：（1）∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE=90°，
∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO=∠ODB=90°，
∴∠BOD+∠B=90°，
∴∠COE=∠B，
∵OC=BO，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴OE=BD；
（2）∵△COE≌△OBD，
∴CE=OD=15cm,
∴DE=OD-OE=7cm.
3．如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E．
（1）求证：AC=AD．
（2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）
【解析】（1）证明△ABC≌△AED（SAS），即可解决问题；
（2）根据等腰三角形的性质和尺规作图方法即可解决问题．
（1）证明：在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC=AD；
（2）解：如图AF即为所求．
利用边角边证明角相等
4．如图，已知AB平分∠CAD，AC=AD．求证：∠C=∠D．
【解析】根据角平分线的定义得到∠CAB=∠DAB，推出△ACB≌△ADB，根据全等三角形的性质即可得到结论．
证明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB，
在△ACB与△ADB中，
，
∴△ACB≌△ADB（SAS），
∴∠C=∠D．
5．已知：如图，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：∠B=∠E．
【解析】由AF=DC，得AC=DF，由AB∥DE，得∠A=∠D，即可证△ABC≌△DEF（SAS），故∠B=∠E．
证明：∵AF=DC，
∴AF+CF=DC+CF，即AC=DF，
∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠B=∠E．
利用边角边求角的度数
6．如图，点，分别是边长为的等边的边，上的动点，点从点向点运动，点从点向点运动，它们同时出发，且速度都为，运动的时间为秒，连接，交于点，则在，运动的过程中，
（1）求证：；
（2）的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
【答案】（1）见解析 （2）不变，
【解析】（1）根据等边三角形的性质得出，，根据点，的运动速度相等，得出，即可证明；
（2）由（1）得，根据三角形的外角的性质，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵点、的速度相同，
∴，
在和中
∴；
【小问2详解】
解：的大小不发生变化，
∵，
∴，
∴
；
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
7.如图，在 ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高，在BE上取一点D，使DB=AC，在射线CF上取一点G，使GC=AB，连结AG，AD．若∠DAE=38°，∠ABE，则∠G的度数为 ．
【答案】32度/
【分析】证明得到，根据三角形的内角和定理求得即可．
【详解】解：，分别是，边上的高，
.
，.
.
在和中，，，，
.
.
，
.
【点睛】本题考查三角形的高、全等三角形得判定与性质、三角形的内角和定理，证明是解答的关键．
综合边边边、边角边进行计算证明
8.已知四边形中，，，如图2，点P，Q分别在线段，上，满足，求证：．
证明见分析
【分析】在的延长线上取点K，使得，连接，根据四边形内角和，证明，得到，，再证明，得到，进而推出，然后结合，即可证明结论．
解：证明：如图，在的延长线上取点K，使得，连接，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，四边形内角和，做辅助线构造全等三角形是解题关键．
牛刀小试
一、单选题(每小题4分，共32分）
1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：在和中
，，
当时，满足，可证明，故选项A符合题意；
当时，满足，可证明，故选项B符合题意；
当时，满足，不能证明，故选项C不符合题意；
当时，满足，可证明，故选项D符合题意；
故选：C.
2．如图，已知，添加一个条件，使得，下列条件添加错误的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：A、在和中
，
，故本选项不符合题意；
B、，，不能推，故本选项符合题意；
C、在和中
，
，故本选项不符合题意；
D、在和中
，
，故本选项不符合题意；
故选：B.
3．如图，在与中，，，，，AB交EF于点D，连接EB.下列结论：
①；
②；
③；
④，正确的个数为( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
答案：B
解析：在和中，
，
，
，，，故②正确，
，
，故①正确，
，
，故③正确，
无法证明，故④错误，
综上，①②③正确，
故选：B.
4．我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞圈D能沿着伞柄滑动，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内所成的角，为了证明这个结论，我们的依据是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：根据伞的结构，，伞骨，是公共边，
在和中，
，
，
即平分.
故选：B.
5．如图，在和中，，，要使，则可以添加下列哪个条件( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：，，即，又，
A.添加，不能推出，不符合题意；
B.添加，不能推出，不符合题意；
C.添加，可得，利用可推出，符合题意；
D.添加，可得，但不能推出，不符合题意.
故选：C.
6．根据下列图中所给定的条件，找出全等的三角形( )
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①和④
答案：D
解析：①和④符合了，
①和④两个三角形全等.
故选：D.
7．如图，，要使，还需添加一个条件是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：，
，
又AE公共边，
当时，无法证明，故A不符合题意；
当时，利用SAS证明，故B符合题意；
当时，无法证明，故C不符合题意；
当时，无法证明，故D不符合题意；
故选：B.
如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解．
解：如图，
由图可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选C．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小凡想用绳子测量A，B间的距离，但无法从A点直接到达B点，聪明的小凡想出一个办法：先在地上选取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），连接AP并延长到点D，使DP=AP．连接CD，并测量出它的长度为10米，则A，B两点间的距离为 _____米．
【答案】10
【解析】由题意知AP=DP，BP=CP，根据SAS定理证明△ABC≌△DEC，即可得AB=DE，即可求得结果．
解：由题意知AP=DP，BP=CP，且∠APB=∠DPC，
在△ABP和△DCP中，
，
∴ABP≌△DCP（SAS），
∴AB=DE，
∵DE=10米，
∴AB=10米．
故答案为：10．
10．“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=FH，不用测量，就知道∠DEH=∠DFH，小明是通过全等三角形的知识得到的结论，则小明判定三角形全等的依据是_____（用字母表示）．
【答案】SSS
【解析】根据SSS即可证明△DHE≌△DHF，可得∠DEH=∠DFH．
解：在△DHE和△DHF中，
，
∴△DHE≌△DHF（SSS），
∴∠DEH=∠DFH．
故答案为：SSS．
11．如图所示．A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD=1km,DC=1km,村庄AC，AD间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC=3km,只有AB之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AE=1.2km,BF=0.7km.试求建造的斜拉桥长至少有___________km.
【答案】1.1
【解析】根据BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，AD=AD，得出△ADB≌△ADC，进而得出AB=AC=3，这样可得出斜拉桥长度．
解：由题意知：BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，
∵在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴AB=AC=3km,
故斜拉桥至少有3-1.2-0.7=1.1（km）．
故答案为：1.1．
12．如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片_____即可．
【答案】②
【解析】此题实际上考查全等三角形的应用，②中两边及其夹角，进而可确定其形状．
解：②中满足两边夹一角完整，即可得到一个与原来三角形全等的新三角形，所以只需带②去即可．
故答案为：②．
13．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，∠BAD=28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为 _____．
【答案】92°
【解析】根据已知条件证明△DAB≌△EAC，可得∠B=∠ACE，再根据CE∥AB，可得∠B+∠ACB+∠ACE=180°，然后证明△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，进而根据三角形内角和定理即可解决问题．
解：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，
∴∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠B+∠BCE=180°，
∴∠B+∠ACB+∠ACE=180°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠ACB=∠ACE=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠DAE=∠BAC=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∵∠BAD=28°，
∴∠OAD=60°-28°=32°，
∴∠DOC=∠OAD+∠ADE=32°+60°=92°．
故答案为：92°．
三、解答题（共6小题，共48分）
14．(8分）（1）萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 _____；
（2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为38cm,则由以上信息可推得CB的长度是多少？请说明理由．
【答案】三角形具有稳定性．
【解析】（1）根据三角形的稳定性进行解答即可；
（2）证明△AOD≌△BOC（SAS），得BC=AD，结合已知条件则可知BC的长度
解：（1）由题意得，这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性；
故答案为：三角形具有稳定性．
（2）CB=38cm.
理由如下：∵O是AB和CD的中点，
∴AO=BO，CO=DO，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
又∵AD=38cm,
∴BC=AD=38cm.
15．（8分）如图，AB=AC，D为△ABC内部一点，且BD=CD．连接AD并延长，交BC于点E．
①请写出图中两组全等的三角形；
②任选其一说明全等的理由．
【解析】①利用全等三角形的判定定理可得结论；
②△ABD≌△ACD；利用SSS定理证明即可．
解：①△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，
△BDE≌△CDE（写出两组即可）；
②△ABD≌△ACD；
理由：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
16．（8分）已知如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C．
【解析】连接AC,证明△ABC≌△CDA
证明：连接AC∵△ABC和△CDA中，
∴△ABC和△CDA
17．（8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，P为等腰梯形内部一点，若PA=PD，试说明PB=PC．
【解析】先根据已知求得∠BAP=∠CDP，再利用SAS判定△ABP≌△DCP从而得出PB=PC．
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，
∴∠BAD=∠CDA，AB=DC．
∵PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA．
∴∠BAP=∠CDP．
在△ABP和△DCP中，，
∴△ABP≌△DCP．
∴PB=PC．
18 .（8分）如图，在 ABC中，∠B=50°，∠C=20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD=AC．在边AC上截取AF=AB，连接DF．求证：DF=CB．
【答案】见解析
【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
【详解】证明：在 中，，，
．
．
．
，
．
在和中，
，
∴．
．
【点评】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
19 .（10分）问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC，BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE，BD，线段AE，BD之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把Rt ACD绕点C逆时针旋转，线段AE，BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
【答案】问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析
【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案；
拓展探究：用SAS证，根据全等三角形的性质即可证得．
【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：
∵，
∴，
又∵,
∴（SAS），
，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：，；
拓展探究：成立．
理由如下：设与相交于点，如图1所示：
∵，
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，依然成立．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键．
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
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人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定2
学习目标
1.能够利用尺规正确的画出一个与给定三角形满足SAS条件的全等的三角形，能准确叙述SAS.
2.能够利用SAS进行简单的几何推理（计算或证明）
3.能够利用SAS进行较复杂的几何推理（计算或证明）
4.能画图说明满足SSA条件的两个三角形不一定全等.能够综合利用SSS、SAS进行复杂的几何推理.
老师告诉你
倍长中线法：
遇到三角形的中线（中点）问题时，常将中线延长一倍（这种方法称倍长中线法），然后连接相应的顶点，构造全等三角形，通过全等三角形的性质将线段的关系进行转化，从而达到解决问题的目的。
知识点拨
知识点1 全等三角形的判定2：边角边（SAS）
三角形全等的判定2：边角边（SAS）
文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，．
【新知导学】
例1-1．生活中，我们在测量一个小口圆形容器内径时，常借用某些特制工具测量．如图所示，小青同学将钢条AD和钢条BC的中点O焊接在一起，制作了一把“X型卡钳”．小青同学测量出AB的长度时，就知道内径CD的长度．根据以上信息，你明白其中涉及的全等知识是（ ）
A. SSS B. AAS C. SAS D. ASA
【对应导练】
1．如图，为了测出池塘两端A，B间的距离，小依在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点O，连接AO并延长到C，使OC=OA；连接BO并延长到D，使OD=OB，连接CD并测量出它的长度．小铱认为CD的长度就是A，B间的距离，她是根据△OAB≌△OCD来判断的AB=CD，那么判定这两个三角形全等的依据是（ ）
A. sss B. SAS C. ASA D. AAS
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE=4，CF=1，则EF的长度为 _____．
3．如图，D，E分别是等边三角形ABC的边AC、AB上的点，，，则________.
知识点2 利用SAS进行推理证明
①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序.
②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等
【新知导学】
例2-1．如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，DE∥AC，且DE=BC，AC=BD．求证：△ABC≌△BED．
【对应导练】
1．如图，AB=AC，∠BAD=∠CAD，证明：△ABD≌△ACD．
2．如图，AF=DC，∠BCA=∠EFD，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF．
3．如图，△ABC和△BDE是等边三角形，连接AD、CE．求证：△ABD≌△CBE．
知识点3 综合利用SSS、SAS进行复杂的几何推理.
证明三角形全等的“两个条件”（1）直接条件：已知中直接给出的边（角）对应相等，
隐含条件：已知中没有给出，但通过读图得到的条件，如公共边、公共角、对顶角。
“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．
1.证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
2判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
【新知导学】
例3-1 .如图，在四边形中对角线、交于点E，给出下列三组等量关系：①；②，③；请选择其中两组等量关系作为已知条件，另一组等量关系作为结论，并写出说理过程.
【对应导练】
如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，．
求证：；
若，求三角形的面积．
2 .已知：在和中，．
(1)如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：AC=BD．
(2)如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为__________，∠APB的大小为__________（直接写出结果，不证明）
题型训练
利用边角边判断边的数量关系
1．为参加学校举办的风筝设计比赛，小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD．将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？为什么？
2．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得CE=15cm,OE=8cm.
（1）试说明：OE=BD；
（2）求DE的长．
3．如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E．
（1）求证：AC=AD．
（2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）
利用边角边证明角相等
4．如图，已知AB平分∠CAD，AC=AD．求证：∠C=∠D．
5．已知：如图，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：∠B=∠E．
利用边角边求角的度数
6．如图，点，分别是边长为的等边的边，上的动点，点从点向点运动，点从点向点运动，它们同时出发，且速度都为，运动的时间为秒，连接，交于点，则在，运动的过程中，
（1）求证：；
（2）的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
7.如图，在 ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高，在BE上取一点D，使DB=AC，在射线CF上取一点G，使GC=AB，连结AG，AD．若∠DAE=38°，∠ABE，则∠G的度数为 ．
综合边边边、边角边进行计算证明
8.已知四边形中，，，如图2，点P，Q分别在线段，上，满足，求证：．
牛刀小试
一、单选题(每小题4分，共32分）
1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是( )
A. B. C. D.
2．如图，已知，添加一个条件，使得，下列条件添加错误的是( )
A. B. C. D.
3．如图，在与中，，，，，AB交EF于点D，连接EB.下列结论：
①；
②；
③；
④，正确的个数为( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4．我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞圈D能沿着伞柄滑动，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内所成的角，为了证明这个结论，我们的依据是( )
A. B. C. D.
5．如图，在和中，，，要使，则可以添加下列哪个条件( )
A. B. C. D.
6．根据下列图中所给定的条件，找出全等的三角形( )
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①和④
7．如图，，要使，还需添加一个条件是( )
A. B. C. D.
如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小凡想用绳子测量A，B间的距离，但无法从A点直接到达B点，聪明的小凡想出一个办法：先在地上选取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），连接AP并延长到点D，使DP=AP．连接CD，并测量出它的长度为10米，则A，B两点间的距离为 _____米．
10．“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=FH，不用测量，就知道∠DEH=∠DFH，小明是通过全等三角形的知识得到的结论，则小明判定三角形全等的依据是_____（用字母表示）．
11．如图所示．A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD=1km,DC=1km,村庄AC，AD间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC=3km,只有AB之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AE=1.2km,BF=0.7km.试求建造的斜拉桥长至少有___________km.
12．如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片_____即可．
13．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，∠BAD=28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为 _____．
三、解答题（共6小题，共48分）
14．(8分）（1）萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 _____；
（2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为38cm,则由以上信息可推得CB的长度是多少？请说明理由．
15．（8分）如图，AB=AC，D为△ABC内部一点，且BD=CD．连接AD并延长，交BC于点E．
①请写出图中两组全等的三角形；
②任选其一说明全等的理由．
16．（8分）已知如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C．
17．（8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，P为等腰梯形内部一点，若PA=PD，试说明PB=PC．
18 .（8分）如图，在 ABC中，∠B=50°，∠C=20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD=AC．在边AC上截取AF=AB，连接DF．求证：DF=CB．
19 .（10分）问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC，BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE，BD，线段AE，BD之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把Rt ACD绕点C逆时针旋转，线段AE，BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定2
学习目标
1.能够利用尺规正确的画出一个与给定三角形满足SAS条件的全等的三角形，能准确叙述SAS.
2.能够利用SAS进行简单的几何推理（计算或证明）
3.能够利用SAS进行较复杂的几何推理（计算或证明）
4.能画图说明满足SSA条件的两个三角形不一定全等.能够综合利用SSS、SAS进行复杂的几何推理.
老师告诉你
倍长中线法：
遇到三角形的中线（中点）问题时，常将中线延长一倍（这种方法称倍长中线法），然后连接相应的顶点，构造全等三角形，通过全等三角形的性质将线段的关系进行转化，从而达到解决问题的目的。
知识点拨
知识点1 全等三角形的判定2：边角边（SAS）
三角形全等的判定2：边角边（SAS）
文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，．
【新知导学】
例1-1．生活中，我们在测量一个小口圆形容器内径时，常借用某些特制工具测量．如图所示，小青同学将钢条AD和钢条BC的中点O焊接在一起，制作了一把“X型卡钳”．小青同学测量出AB的长度时，就知道内径CD的长度．根据以上信息，你明白其中涉及的全等知识是（ ）
A. SSS B. AAS C. SAS D. ASA
【答案】C
【解析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
故选：C．
【对应导练】
1．如图，为了测出池塘两端A，B间的距离，小依在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点O，连接AO并延长到C，使OC=OA；连接BO并延长到D，使OD=OB，连接CD并测量出它的长度．小铱认为CD的长度就是A，B间的距离，她是根据△OAB≌△OCD来判断的AB=CD，那么判定这两个三角形全等的依据是（ ）
A. sss B. SAS C. ASA D. AAS
【答案】B
【解析】由题意知OA=OC，OB=OD，由于∠AOB=∠COD，根据“SAS”即可证明△OAB≌△OCD．
解：由题意知OA=OC，OB=OD，
在△OAB和△OCD中，
，
∴△OAB≌△OCD（SAS）．
故选：B．
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE=4，CF=1，则EF的长度为 _____．
【答案】3
【解析】先证明△ABE≌△CAF（AAS），根据全等三角形的性质可得AF=BE=4，AE=CF=1，进一步可得EF的长．
解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA=∠AFC=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠FAC=90°，
∴∠FAC=∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AF=BE，AE=CF，
∵BE=4，CF=1，
∴AF=BE=4，AE=CF=1，
∴EF=AF-AE=4-1=3，
故答案为：3．
3．如图，D，E分别是等边三角形ABC的边AC、AB上的点，，，则________.
【答案】
【解析】可证 可得∠ABD=∠BCE=15°由三角形外角即可计算∠BDC的度数.
解：在等边三角形ABC中：AB=BC,∠BAD=∠CBE=60°
∵
∴
∴∠ABD=∠BCE=15°
∴∠BDC=∠ABD+∠A=15°+60°=75°
故答案为75°
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及应用，掌握三角形的判定是解题的关键.
知识点2 利用SAS进行推理证明
①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序.
②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等
【新知导学】
例2-1．如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，DE∥AC，且DE=BC，AC=BD．求证：△ABC≌△BED．
【解析】根据平行线的性质得出∠D=∠ACB，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．
证明：∵DE∥AC，
∴∠D=∠ACB，
在△ABC和△BED中，
，
∴△ABC≌△BED（SAS）．
【对应导练】
1．如图，AB=AC，∠BAD=∠CAD，证明：△ABD≌△ACD．
【解析】根据“SAS”可判断△ABD≌△ACD．
证明：在△ABD和△ACD 中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
2．如图，AF=DC，∠BCA=∠EFD，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF．
【解析】求出AC=DF，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．
证明：∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+CF，
即AC=DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
3．如图，△ABC和△BDE是等边三角形，连接AD、CE．求证：△ABD≌△CBE．
【解析】根据等边三角形的性质得出AB=BC，BD=BE，进而利用SAS证明△ABD≌△CBE即可．
证明：∵△ABC，△BDE是等边三角形，
∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，BD=BE，
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS）．
知识点3 综合利用SSS、SAS进行复杂的几何推理.
证明三角形全等的“两个条件”（1）直接条件：已知中直接给出的边（角）对应相等，
隐含条件：已知中没有给出，但通过读图得到的条件，如公共边、公共角、对顶角。
“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．
1.证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
2判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
【新知导学】
例3-1 .如图，在四边形中对角线、交于点E，给出下列三组等量关系：①；②，③；请选择其中两组等量关系作为已知条件，另一组等量关系作为结论，并写出说理过程.
答案：选择①③，证明②，证明见解析
解析：选择①③，证明②，
证明：在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
.
【对应导练】
1.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，．
求证：；
若，求三角形的面积．
【答案】(1) 见分析； (2)
【分析】（1）根据得，根据得，即，根据 即可证明；
（2）在中，以为底作为高，则，，根据 得，，即可得．
（1）证明：∵，
，
∵，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图所示，在中，以为底作为高，
，，
∵，
，，
．
【点拨】本题考查了三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
2 .已知：在和中，．
(1)如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：AC=BD．
(2)如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为__________，∠APB的大小为__________（直接写出结果，不证明）
【答案】(1)证明见解析
(2)，α
【分析】（1）利用证明，即可得到结论；
（2）与（1）同理可证，得到，由得到，根据对顶角相等和三角形内角和定理得到即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴；
如图②，设与相交于点E，
∵，
∴，
在和中，
，,，
∴，
故答案为：，
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
题型训练
利用边角边判断边的数量关系
1．为参加学校举办的风筝设计比赛，小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD．将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？为什么？
【解析】直接利用全等三角形的判定方法得出△HED≌△HFD（SAS），进而得出答案．
解：小明不用测量就能知道EH=FH．
理由：在△HED和△HFD中
∵，
∴△HED≌△HFD（SAS），
∴EH=FH．
2．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得CE=15cm,OE=8cm.
（1）试说明：OE=BD；
（2）求DE的长．
【解析】（1）利用AAS证明△COE≌△OBD，可得结论；
（2）利用全等三角形性质可得答案．
解：（1）∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE=90°，
∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO=∠ODB=90°，
∴∠BOD+∠B=90°，
∴∠COE=∠B，
∵OC=BO，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴OE=BD；
（2）∵△COE≌△OBD，
∴CE=OD=15cm,
∴DE=OD-OE=7cm.
3．如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E．
（1）求证：AC=AD．
（2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）
【解析】（1）证明△ABC≌△AED（SAS），即可解决问题；
（2）根据等腰三角形的性质和尺规作图方法即可解决问题．
（1）证明：在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC=AD；
（2）解：如图AF即为所求．
利用边角边证明角相等
4．如图，已知AB平分∠CAD，AC=AD．求证：∠C=∠D．
【解析】根据角平分线的定义得到∠CAB=∠DAB，推出△ACB≌△ADB，根据全等三角形的性质即可得到结论．
证明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB，
在△ACB与△ADB中，
，
∴△ACB≌△ADB（SAS），
∴∠C=∠D．
5．已知：如图，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：∠B=∠E．
【解析】由AF=DC，得AC=DF，由AB∥DE，得∠A=∠D，即可证△ABC≌△DEF（SAS），故∠B=∠E．
证明：∵AF=DC，
∴AF+CF=DC+CF，即AC=DF，
∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠B=∠E．
利用边角边求角的度数
6．如图，点，分别是边长为的等边的边，上的动点，点从点向点运动，点从点向点运动，它们同时出发，且速度都为，运动的时间为秒，连接，交于点，则在，运动的过程中，
（1）求证：；
（2）的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
【答案】（1）见解析 （2）不变，
【解析】（1）根据等边三角形的性质得出，，根据点，的运动速度相等，得出，即可证明；
（2）由（1）得，根据三角形的外角的性质，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵点、的速度相同，
∴，
在和中
∴；
【小问2详解】
解：的大小不发生变化，
∵，
∴，
∴
；
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
7.如图，在 ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高，在BE上取一点D，使DB=AC，在射线CF上取一点G，使GC=AB，连结AG，AD．若∠DAE=38°，∠ABE，则∠G的度数为 ．
【答案】32度/
【分析】证明得到，根据三角形的内角和定理求得即可．
【详解】解：，分别是，边上的高，
.
，.
.
在和中，，，，
.
.
，
.
【点睛】本题考查三角形的高、全等三角形得判定与性质、三角形的内角和定理，证明是解答的关键．
综合边边边、边角边进行计算证明
8.已知四边形中，，，如图2，点P，Q分别在线段，上，满足，求证：．
证明见分析
【分析】在的延长线上取点K，使得，连接，根据四边形内角和，证明，得到，，再证明，得到，进而推出，然后结合，即可证明结论．
解：证明：如图，在的延长线上取点K，使得，连接，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，四边形内角和，做辅助线构造全等三角形是解题关键．
牛刀小试
一、单选题(每小题4分，共32分）
1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：在和中
，，
当时，满足，可证明，故选项A符合题意；
当时，满足，可证明，故选项B符合题意；
当时，满足，不能证明，故选项C不符合题意；
当时，满足，可证明，故选项D符合题意；
故选：C.
2．如图，已知，添加一个条件，使得，下列条件添加错误的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：A、在和中
，
，故本选项不符合题意；
B、，，不能推，故本选项符合题意；
C、在和中
，
，故本选项不符合题意；
D、在和中
，
，故本选项不符合题意；
故选：B.
3．如图，在与中，，，，，AB交EF于点D，连接EB.下列结论：
①；
②；
③；
④，正确的个数为( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
答案：B
解析：在和中，
，
，
，，，故②正确，
，
，故①正确，
，
，故③正确，
无法证明，故④错误，
综上，①②③正确，
故选：B.
4．我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞圈D能沿着伞柄滑动，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内所成的角，为了证明这个结论，我们的依据是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：根据伞的结构，，伞骨，是公共边，
在和中，
，
，
即平分.
故选：B.
5．如图，在和中，，，要使，则可以添加下列哪个条件( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：，，即，又，
A.添加，不能推出，不符合题意；
B.添加，不能推出，不符合题意；
C.添加，可得，利用可推出，符合题意；
D.添加，可得，但不能推出，不符合题意.
故选：C.
6．根据下列图中所给定的条件，找出全等的三角形( )
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①和④
答案：D
解析：①和④符合了，
①和④两个三角形全等.
故选：D.
7．如图，，要使，还需添加一个条件是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：，
，
又AE公共边，
当时，无法证明，故A不符合题意；
当时，利用SAS证明，故B符合题意；
当时，无法证明，故C不符合题意；
当时，无法证明，故D不符合题意；
故选：B.
如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解．
解：如图，
由图可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选C．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小凡想用绳子测量A，B间的距离，但无法从A点直接到达B点，聪明的小凡想出一个办法：先在地上选取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），连接AP并延长到点D，使DP=AP．连接CD，并测量出它的长度为10米，则A，B两点间的距离为 _____米．
【答案】10
【解析】由题意知AP=DP，BP=CP，根据SAS定理证明△ABC≌△DEC，即可得AB=DE，即可求得结果．
解：由题意知AP=DP，BP=CP，且∠APB=∠DPC，
在△ABP和△DCP中，
，
∴ABP≌△DCP（SAS），
∴AB=DE，
∵DE=10米，
∴AB=10米．
故答案为：10．
10．“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=FH，不用测量，就知道∠DEH=∠DFH，小明是通过全等三角形的知识得到的结论，则小明判定三角形全等的依据是_____（用字母表示）．
【答案】SSS
【解析】根据SSS即可证明△DHE≌△DHF，可得∠DEH=∠DFH．
解：在△DHE和△DHF中，
，
∴△DHE≌△DHF（SSS），
∴∠DEH=∠DFH．
故答案为：SSS．
11．如图所示．A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD=1km,DC=1km,村庄AC，AD间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC=3km,只有AB之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AE=1.2km,BF=0.7km.试求建造的斜拉桥长至少有___________km.
【答案】1.1
【解析】根据BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，AD=AD，得出△ADB≌△ADC，进而得出AB=AC=3，这样可得出斜拉桥长度．
解：由题意知：BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，
∵在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴AB=AC=3km,
故斜拉桥至少有3-1.2-0.7=1.1（km）．
故答案为：1.1．
12．如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片_____即可．
【答案】②
【解析】此题实际上考查全等三角形的应用，②中两边及其夹角，进而可确定其形状．
解：②中满足两边夹一角完整，即可得到一个与原来三角形全等的新三角形，所以只需带②去即可．
故答案为：②．
13．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，∠BAD=28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为 _____．
【答案】92°
【解析】根据已知条件证明△DAB≌△EAC，可得∠B=∠ACE，再根据CE∥AB，可得∠B+∠ACB+∠ACE=180°，然后证明△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，进而根据三角形内角和定理即可解决问题．
解：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，
∴∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠B+∠BCE=180°，
∴∠B+∠ACB+∠ACE=180°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠ACB=∠ACE=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠DAE=∠BAC=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∵∠BAD=28°，
∴∠OAD=60°-28°=32°，
∴∠DOC=∠OAD+∠ADE=32°+60°=92°．
故答案为：92°．
三、解答题（共6小题，共48分）
14．(8分）（1）萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 _____；
（2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为38cm,则由以上信息可推得CB的长度是多少？请说明理由．
【答案】三角形具有稳定性．
【解析】（1）根据三角形的稳定性进行解答即可；
（2）证明△AOD≌△BOC（SAS），得BC=AD，结合已知条件则可知BC的长度
解：（1）由题意得，这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性；
故答案为：三角形具有稳定性．
（2）CB=38cm.
理由如下：∵O是AB和CD的中点，
∴AO=BO，CO=DO，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
又∵AD=38cm,
∴BC=AD=38cm.
15．（8分）如图，AB=AC，D为△ABC内部一点，且BD=CD．连接AD并延长，交BC于点E．
①请写出图中两组全等的三角形；
②任选其一说明全等的理由．
【解析】①利用全等三角形的判定定理可得结论；
②△ABD≌△ACD；利用SSS定理证明即可．
解：①△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，
△BDE≌△CDE（写出两组即可）；
②△ABD≌△ACD；
理由：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
16．（8分）已知如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C．
【解析】连接AC,证明△ABC≌△CDA
证明：连接AC∵△ABC和△CDA中，
∴△ABC和△CDA
17．（8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，P为等腰梯形内部一点，若PA=PD，试说明PB=PC．
【解析】先根据已知求得∠BAP=∠CDP，再利用SAS判定△ABP≌△DCP从而得出PB=PC．
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，
∴∠BAD=∠CDA，AB=DC．
∵PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA．
∴∠BAP=∠CDP．
在△ABP和△DCP中，，
∴△ABP≌△DCP．
∴PB=PC．
18 .（8分）如图，在 ABC中，∠B=50°，∠C=20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD=AC．在边AC上截取AF=AB，连接DF．求证：DF=CB．
【答案】见解析
【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
【详解】证明：在 中，，，
．
．
．
，
．
在和中，
，
∴．
．
【点评】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
19 .（10分）问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC，BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE，BD，线段AE，BD之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把Rt ACD绕点C逆时针旋转，线段AE，BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
【答案】问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析
【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案；
拓展探究：用SAS证，根据全等三角形的性质即可证得．
【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：
∵，
∴，
又∵,
∴（SAS），
，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：，；
拓展探究：成立．
理由如下：设与相交于点，如图1所示：
∵，
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，依然成立．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键．
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
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