人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形12.2 三角形全等的判定4（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形12.2 三角形全等的判定4（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 4.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-07 21:24:54 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定4
学习目标
1、理解并记住HL这种判定方法；
2、会运用HL判定两个直角三角形全等；
3、提高推理能力，获得成功的体验，增强学习的自信心。
学习重点：理解并记住HL这种判定方法
学习难点：会运用HL判定两个直角三角形全等
老师告诉你
判定直角三角形全等的四种策略
若已知条件中有一组直角边和一组斜边对应相等，则直接应用“HL”判定两个直角三角形全等。
若有一组锐角和一组斜边对应相等，则利用“AAS”判定两个直角三角形全等。
若有一组锐角和一组直角边对应相等，（1）若直角边是锐角的对边，则用“AAS”判定两个直角三角形全等。（2）若直角边是锐角的邻边，则用“ASA”判定两个直角三角形全等。
若有两直角边对应相等，则用“SAS”判定两个直角三角形全等。
知识点拨
知识点1 直角三角形的判定（HL）
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
①斜边和一条直角边对应相等（HL）
②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
【新知导学】
例1-1．如图，AB=BC，∠BAD=∠BCD=90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE=CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．
【对应导练】
1．如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
2．如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，AC=DE，试说明BC⊥CE的理由；
如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，AD=DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．
3．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为斜边BC上一点，且BD=BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的角平分线上．
知识点2 综合运用三角形的判定定理进行证明和计算 .
确定全等三角形对应元素的方法
符号对应法：用全等符号表示的，可根据对应字母的位置来找对应边，对应边所对的角就是对应角。
位置特征法：①公共边（角）是对应边（角）②对顶角是对应角③一对最长边（最大角）是对应边（角），一对最短边（最小角）是对应边（角）
【新知导学】
例2-1．如图，和中，，，，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分；②MB平分，其中正确的一个是_______请写序号），并给出证明过程.
【对应导练】
1．如图所示，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F.
（1）判断FC与AD的数量关系，并说明理由；
（2）若，判断BE与AF的位置关系，并说明理由.
2．如图，，，点D在边上，，交于点F.
（1）求证：；
（2）求证：平分.
3．已知：如图，在、中，，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接.
(1)求证：；
(2)请判断、有何大小、位置关系，并证明.
4．已知中，，、是角平分线，他们相交于P，于P交的延长线于F，交于H.
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）连接，是否存在数m，使得？若存在，求出m；若不存在，说明理由.
题型训练
利用斜边直角边证明三角形全等
1 .如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)判断和的位置关系并证明．
2 .如图，D是内部一点，于E，于F，且，点B是射线上一点，，，在射线上取一点C，使得，则的长为__________．
利用全等三角形的判定、性质证明线段和差关系
3 .如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．
(1)求证：；
(2)求证：．
4 .如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
利用三角形全等的判定找全等三角形
5．[2023秋·八年级·河北邯郸·期中]如图，在中，，E，F分别是AB、AC上的点，且，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有( )
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
6．如图，，于D，于E.BD与CE交于O，连接AO，则图中共有全等的三角形的对数为( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1.如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（ ）
A．AAS B．SAS C．ASA D．HL
2 .如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是（ ）
A．∠CAB＝∠DBA B．AC＝BD C．AB＝BD D．∠ABC＝∠BAD
3 .如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（ ）
A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．BA∥EF D．AC＝DF
4.如图，已知∠CAB＝∠DBA，若用“ASA”证明△ABC≌△BAD，还需要加上条件（ ）
A．∠C＝∠D B．∠1＝∠2 C．AC＝BD D．BC＝AD
5 .如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
6 .如图，在Rt△ABC的斜边AB上截取AD＝AC，过点D作DE⊥AB交BC于E，则有（ ）
A．DE＝DB B．DE＝CE C．CE＝BE D．CE＝BD
7 .如图，在的两边上，分别取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线．可判定，依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．HL
8 .如图，在和中，，，，线段BC的延长线交DE于点F，连接AF．若，，，则线段EF的长度为（ ）
A．4 B． C．5 D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 ．
10 .如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝ ．
11.如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________．
12 .如图，已知，是的两条高线，，，则___________度．
13 .如图，D是内部一点，于E，于F，且，点B是射线上一点，，，在射线上取一点C，使得，则的长为__________．
三、解答题（共6小题，共48分）
14 .（8分）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF＝AE，BC＝DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．
15 .（8分）如图，已知∠C＝∠F＝90°，∠A＝51°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）求∠BOF．
16 .（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，延长BC至点F，过点F作EF∥CD交AC于点E，AB＝EF，且CB＝CE，过点C作CH∥AB．
（1）求证：∠ACH＝∠BCD；
（2）求证：CD＝CH．
17 .（8分）如图，四边形中，，，，，与相交于点F．
(1) 求证：
(2) 判断线段与的位置关系，并说明理由．
18 .（8分）如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F．
（1）求证△ACD≌△CBE；
（2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由．
19．（8分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．
（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE+CF；
（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，求：FE长．
人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定4
学习目标
1、理解并记住HL这种判定方法；
2、会运用HL判定两个直角三角形全等；
3、提高推理能力，获得成功的体验，增强学习的自信心。
学习重点：理解并记住HL这种判定方法
学习难点：会运用HL判定两个直角三角形全等
老师告诉你
判定直角三角形全等的四种策略
若已知条件中有一组直角边和一组斜边对应相等，则直接应用“HL”判定两个直角三角形全等。
若有一组锐角和一组斜边对应相等，则利用“AAS”判定两个直角三角形全等。
若有一组锐角和一组直角边对应相等，（1）若直角边是锐角的对边，则用“AAS”判定两个直角三角形全等。（2）若直角边是锐角的邻边，则用“ASA”判定两个直角三角形全等。
若有两直角边对应相等，则用“SAS”判定两个直角三角形全等。
知识点拨
知识点1 直角三角形的判定（HL）
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
①斜边和一条直角边对应相等（HL）
②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
【新知导学】
例1-1．如图，AB=BC，∠BAD=∠BCD=90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE=CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．
【解析】连接BD，由直角三角形全等的“HL“判定定理证得Rt△ABD≌Rt△CBD，根据全等三角形的性质得到AD=CD，再由直角三角形全等的“HL“判定定理即可证得Rt△ADE≌Rt△CDF．
解：连接BD，
∵∠BAD=∠BCD=90°，
在Rt△ABD和Rt△CBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），
∴AD=CD，
∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，
∴∠E=∠F=90°，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．
【对应导练】
1．如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
【解析】由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．
证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．
2．如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，AC=DE，试说明BC⊥CE的理由；
如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，AD=DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．
【解析】（1）根据SAS可得△ABC≌△DCE，根据全等三角形的对应角相等，再结合已知不难求得结论．
（2）根据SAS可得△ABD≌△DCE，根据全等三角形的对应角相等，再结合已知不难求得结论．
解：（1）∵AB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A=∠D=90°．
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
∴∠B=∠DCE．
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°．
∴∠BCE=90°，
即BC⊥CE；
（2）∵AB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A=∠CDE=90°．
在△ABC和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（SAS）．
∴∠B=∠DCE．
∵∠B+∠ADB=90°，
∴∠ADB+∠DCE=90°．
BD⊥CE．
3．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为斜边BC上一点，且BD=BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的角平分线上．
【解析】可通过证明Rt△ABE≌Rt△DBE从而得到结论．
证明：连接BE，
∵ED⊥BC，
∴∠BDE=∠A=90°．
在Rt△ABE和Rt△DBE中
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）．
∴∠ABE=∠DBE．
∴点E在∠ABC的角平分线上．
知识点2 综合运用三角形的判定定理进行证明和计算 .
确定全等三角形对应元素的方法
符号对应法：用全等符号表示的，可根据对应字母的位置来找对应边，对应边所对的角就是对应角。
位置特征法：①公共边（角）是对应边（角）②对顶角是对应角③一对最长边（最大角）是对应边（角），一对最短边（最小角）是对应边（角）
【新知导学】
例2-1．如图，和中，，，，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分；②MB平分，其中正确的一个是_______请写序号），并给出证明过程.
答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）②，证明过程见解析
解析：（1），
，
即，
，
，
（2）
，BE＝BD，
（3）结论：②，理由如下：
如图，作于K，于J，
，，
，
，
MB平分
结论②成立
若①成立，同理可得，
则，根据已知条件不能判断，
则①不成立，
故答案为：②.
【对应导练】
1．如图所示，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F.
（1）判断FC与AD的数量关系，并说明理由；
（2）若，判断BE与AF的位置关系，并说明理由.
答案：（1），理由见解析
（2），理由见解析
解析：（1）结论：.
理由：，
，
E是CD的中点，
，
在与中，
，
，
；
（2）结论：.
理由：由（1）知，
，，
，
，
即，
，
，
.
2．如图，，，点D在边上，，交于点F.
（1）求证：；
（2）求证：平分.
答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明：，，且，
，
在和中，，
.
（2）证明：，
，
，
，
，
平分.
3．已知：如图，在、中，，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接.
(1)求证：；
(2)请判断、有何大小、位置关系，并证明.
答案：(1)见解析
(2)且，证明见解析
解析：（1）证明：，
，即，
在和中，
，
；
（2）且，证明如下：
中，，
，即.
由（1）得，
，.
.
.
4．已知中，，、是角平分线，他们相交于P，于P交的延长线于F，交于H.
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）连接，是否存在数m，使得？若存在，求出m；若不存在，说明理由.
答案：（1）
（2）证明见解析
（3）存在，
解析：（1）证明：，
，
又、分别平分、，
，
.
（2），，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
.
（3）存在..
理由：连接，，
，，
，，，
，
，
，
，
，
.
题型训练
利用斜边直角边证明三角形全等
1 .如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)判断和的位置关系并证明．
．(1)证明过程见详解；(2)和的位置关系是垂直，证明过程见详解
【分析】（1）根据直角三角形的全等的条件：斜边直角边即可求证；
（2）延长与线段相交，根据全等，可找出线段与角的关系，由此即可求解．
（1）解：在，中，
∵
∴
（2）解：根据题意，画图如下，
延长交于点，由（1）可知，，，
∴在中，，
∵在中，，
∴，
∵，
∴在中，，
∴是直角三角形，即，
∵点、、在同一条线段上，
∴，
故和的位置关系是垂直．
【点拨】本题主要考查直角三角形的全等及线段的关系，理解三角形全等的条件，合理构造线段关系是解题的关键．
2 .如图，D是内部一点，于E，于F，且，点B是射线上一点，，，在射线上取一点C，使得，则的长为__________．
6或10/10或6
【分析】分两种情况：①当点C在线段上，证明，可得，证明，可得，则，②当点C在线段的延长线上时，同理可得．
解： ①如图1，当点C在线段上时，连接，
∵于E，于F，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
又∵在和中，，
∴，
∴，
∴；
②如图2，当点C在线段的延长线上时，
同理可得，，
∴．
故答案为：6或10．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握证明全等三角形是关键，分类讨论是解答的关键．
利用全等三角形的判定、性质证明线段和差关系
3 .如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．
(1)求证：；
(2)求证：．
(1)证明见分析；(2)证明见分析
【分析】（1）根据题意证明，进而根据证明，即可求解；
（2）连接，由（1）证明可得，，证明，得出，进而即可得证．
解：（1）证明：，
，
，
，
在和中，
．
（2）连接，
由证明可得，
，
在和中，
．
，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
4 .如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件；
（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；
（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA＝90°，
∴∠CAF＝45°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；
（3）延长BF到G，使得FG＝FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，
∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，
∴∠G＝∠CDA，
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA（AAS），
∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，
∴CD＝2BF+DE．
利用三角形全等的判定找全等三角形
5．[2023秋·八年级·河北邯郸·期中]如图，在中，，E，F分别是AB、AC上的点，且，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有( )
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
答案：D
解析：，，
，，
是公共边，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，，
，
，，OD是公共边，
，
，，，
，
一共7对
故选D.
6．如图，，于D，于E.BD与CE交于O，连接AO，则图中共有全等的三角形的对数为( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
答案：D
解析：由题意可得，，，共4对三角形全等.
故选：D.
牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1.如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（ ）
A．AAS B．SAS C．ASA D．HL
【分析】根据HL证明Rt△ABD和Rt△CDB全等即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故选：D．
2 .如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是（ ）
A．∠CAB＝∠DBA B．AC＝BD C．AB＝BD D．∠ABC＝∠BAD
【分析】根据已知公共边为AB，根据HL只要找到对应的直角边AD＝BC或AC＝BD，即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC与Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
故选：B．
3 .如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（ ）
A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．BA∥EF D．AC＝DF
【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．AB＝DE，∠B＝∠DEF，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS（不是两直角三角形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（SAS），故本选项不符合题意；
B．∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠DEF，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS（不是两直角三角形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（AAS），故本选项不符合题意；
C．∵BA∥EF，
∴∠A＝∠ACF，
由AB＝DE，∠B＝∠DEF不能推出Rt△ABC≌Rt△DEF，故本选项不符合题意；
D．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠DEF＝90°，AC＝DF，AB＝DE，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故本选项符合题意．
故选：D．
4.如图，已知∠CAB＝∠DBA，若用“ASA”证明△ABC≌△BAD，还需要加上条件（ ）
A．∠C＝∠D B．∠1＝∠2 C．AC＝BD D．BC＝AD
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【解答】解：需要加上条件∠1＝∠2，
在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（ASA），
故选：B．
5 .如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据，判断出≌．
解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，
，
≌，
故选：．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题
6 .如图，在Rt△ABC的斜边AB上截取AD＝AC，过点D作DE⊥AB交BC于E，则有（ ）
A．DE＝DB B．DE＝CE C．CE＝BE D．CE＝BD
【答案】B
【分析】由“HL” Rt△ACE≌Rt△ADE，可得DE=CE，即可．
解：如图，连接AE，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠C=90°，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
∵AE=AE，AC=AD，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴DE=CE．
故选：B
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
7 .如图，在的两边上，分别取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线．可判定，依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．HL
【答案】D
【分析】由垂线的定义可知和都是直角三角形，已知条件满足斜边相等和一组直角边相等，因此依据HL判定．
解：由题意可知，和都是直角三角形，
在和中，
，
满足斜边相等和一组直角边相等，
因此，
故选D．
【点拨】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是能够依据HL判定两个直角三角形全等．
8 .如图，在和中，，，，线段BC的延长线交DE于点F，连接AF．若，，，则线段EF的长度为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】证明，，根据全等三角形对应边相等，得到，，由解得，继而解得，最后由解答．
解：，，，
，，
，
故选：B．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、线段的和差等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 ．
【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB＝AC．
【解答】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB＝AC．
10 .如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝ 7 ．
【分析】可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE＝BC，则AB＝AD+BC．
【解答】解：∵MN∥PQ，AB⊥PQ，
∴AB⊥MN，
∴∠DAE＝∠EBC＝90°，
在Rt△ADE和Rt△BCE中，
，
∴△ADE≌△BEC（HL），
∴AE＝BC，
∵AD+BC＝7，
∴AB＝AE+BE＝AD+BC＝7．
故答案为7．
11.如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________．
【答案】2
【分析】根据HL证明，可得，根据即可求解．
解： AB⊥AD，CE⊥BD，
，
在与中，
，
，
AD＝5，CD＝7，
，BD=CD＝7，
故答案为：2
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握HL证明三角形全等是解题的关键．
12 .如图，已知，是的两条高线，，，则___________度．
【答案】40
【分析】由，是的两条高线，得，证明，得，则，．
解：∵，是的两条高线，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：40．
【点拨】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键．
13 .如图，D是内部一点，于E，于F，且，点B是射线上一点，，，在射线上取一点C，使得，则的长为__________．
6或10/10或6
【分析】分两种情况：①当点C在线段上，证明，可得，证明，可得，则，②当点C在线段的延长线上时，同理可得．
解： ①如图1，当点C在线段上时，连接，
∵于E，于F，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
又∵在和中，，
∴，
∴，
∴；
②如图2，当点C在线段的延长线上时，
同理可得，，
∴．
故答案为：6或10．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握证明全等三角形是关键，分类讨论是解答的关键．
三、解答题（共6小题，共48分）
14 .（8分）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF＝AE，BC＝DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．
【分析】根据全等三角形的判定定理HL证得Rt△ADC≌Rt△CBA，在该全等三角形的对应边相等：DC＝BA，然后再由HL来证得Rt△ABE≌Rt△CDF．
【解答】解：如图，
在Rt△ADC与Rt△CBA中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL），
∴DC＝BA．
又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在Rt△ABE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．
15 .（8分）如图，已知∠C＝∠F＝90°，∠A＝51°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）求∠BOF．
【分析】（1）根据HL证明两个三角形全等即可；
（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论．
【解答】（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，
∵∠C＝∠F＝90°，
在Rt△ACB和Rt△DFE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣51°＝39°，
由（1）知：Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，
∴∠DEF＝39°，
∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°，
∴∠BOF的度数为78°．
16 .（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，延长BC至点F，过点F作EF∥CD交AC于点E，AB＝EF，且CB＝CE，过点C作CH∥AB．
（1）求证：∠ACH＝∠BCD；
（2）求证：CD＝CH．
【分析】（1）由直角三角形的性质得∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°，则∠A＝∠BCD，再由平行线的性质得∠ACH＝∠A，即可得出结论；
（2）证明Rt△ACB≌Rt△FCE（HL），得∠B＝∠CEH，再证明△BCD≌△ECH（ASA），即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵CH∥AB，
∴∠ACH＝∠A，
∴∠ACH＝∠BCD；
（2）∵∠ACB＝90°，
∴∠FCE＝180°﹣90°＝90°，
在Rt△ACB和Rt△FCE中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△FCE（HL），
∴∠B＝∠CEH，
在△BCD和△ECH中，
，
∴△BCD≌△ECH（ASA），
∴CD＝CH．
17 .（8分）如图，四边形中，，，，，与相交于点F．
(1) 求证：
(2) 判断线段与的位置关系，并说明理由．
(1)见分析；(2)，理由见分析
【分析】（1）根据即可证明．
（2）根据得到，结合得到，即可得结论．
（1）解：在和中，
∴．
（2）解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：、、、、等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
18 .（8分）如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F．
（1）求证△ACD≌△CBE；
（2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由．
【分析】（1）根据小蚂蚁的速度相同求出AD＝CE，再利用“边角边”证明△ACD和△CBE全等即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠EBC＝∠ACD，然后表示出∠BFC，再根据等边三角形的性质求出∠ACB，从而得到∠BFC．
【解答】（1）证明：∵小蚂蚁同时从A、C出发，速度相同，
∴t（s）后两只小蚂蚁爬行的路程AD＝CE，
∵在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵△ACD≌△CBE，
∴∠EBC＝∠ACD，
∵∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCD，
∴∠BFC＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD，
＝180°﹣∠ACB，
∵∠A＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BFC无变化．
19．（8分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．
（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE+CF；
（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，求：FE长．
【分析】（1）此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；
（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了．
【解答】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，
∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠EBA+∠EAB＝90°，
∴∠CAF＝∠EBA，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC，
∴△BEA≌△AFC（AAS）．
∴EA＝FC，BE＝AF．
∴EF＝EB+CF．
（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，
∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°，
∴∠CAF＝∠ABE，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC，
∴△BEA≌△AFC（AAS）．
∴EA＝FC＝3，BE＝AF＝10．
∴EF＝AF﹣CF＝10﹣3＝7．
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人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定4
学习目标
1、理解并记住HL这种判定方法；
2、会运用HL判定两个直角三角形全等；
3、提高推理能力，获得成功的体验，增强学习的自信心。
学习重点：理解并记住HL这种判定方法
学习难点：会运用HL判定两个直角三角形全等
老师告诉你
判定直角三角形全等的四种策略
若已知条件中有一组直角边和一组斜边对应相等，则直接应用“HL”判定两个直角三角形全等。
若有一组锐角和一组斜边对应相等，则利用“AAS”判定两个直角三角形全等。
若有一组锐角和一组直角边对应相等，（1）若直角边是锐角的对边，则用“AAS”判定两个直角三角形全等。（2）若直角边是锐角的邻边，则用“ASA”判定两个直角三角形全等。
若有两直角边对应相等，则用“SAS”判定两个直角三角形全等。
知识点拨
知识点1 直角三角形的判定（HL）
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
①斜边和一条直角边对应相等（HL）
②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
【新知导学】
例1-1．如图，AB=BC，∠BAD=∠BCD=90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE=CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．
【对应导练】
1．如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
2．如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，AC=DE，试说明BC⊥CE的理由；
如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，AD=DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．
3．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为斜边BC上一点，且BD=BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的角平分线上．
知识点2 综合运用三角形的判定定理进行证明和计算 .
确定全等三角形对应元素的方法
符号对应法：用全等符号表示的，可根据对应字母的位置来找对应边，对应边所对的角就是对应角。
位置特征法：①公共边（角）是对应边（角）②对顶角是对应角③一对最长边（最大角）是对应边（角），一对最短边（最小角）是对应边（角）
【新知导学】
例2-1．如图，和中，，，，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分；②MB平分，其中正确的一个是_______请写序号），并给出证明过程.
【对应导练】
1．如图所示，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F.
（1）判断FC与AD的数量关系，并说明理由；
（2）若，判断BE与AF的位置关系，并说明理由.
2．如图，，，点D在边上，，交于点F.
（1）求证：；
（2）求证：平分.
3．已知：如图，在、中，，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接.
(1)求证：；
(2)请判断、有何大小、位置关系，并证明.
4．已知中，，、是角平分线，他们相交于P，于P交的延长线于F，交于H.
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）连接，是否存在数m，使得？若存在，求出m；若不存在，说明理由.
题型训练
利用斜边直角边证明三角形全等
1 .如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)判断和的位置关系并证明．
2 .如图，D是内部一点，于E，于F，且，点B是射线上一点，，，在射线上取一点C，使得，则的长为__________．
利用全等三角形的判定、性质证明线段和差关系
3 .如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．
(1)求证：；
(2)求证：．
4 .如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
利用三角形全等的判定找全等三角形
5．[2023秋·八年级·河北邯郸·期中]如图，在中，，E，F分别是AB、AC上的点，且，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有( )
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
6．如图，，于D，于E.BD与CE交于O，连接AO，则图中共有全等的三角形的对数为( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1.如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（ ）
A．AAS B．SAS C．ASA D．HL
2 .如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是（ ）
A．∠CAB＝∠DBA B．AC＝BD C．AB＝BD D．∠ABC＝∠BAD
3 .如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（ ）
A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．BA∥EF D．AC＝DF
4.如图，已知∠CAB＝∠DBA，若用“ASA”证明△ABC≌△BAD，还需要加上条件（ ）
A．∠C＝∠D B．∠1＝∠2 C．AC＝BD D．BC＝AD
5 .如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
6 .如图，在Rt△ABC的斜边AB上截取AD＝AC，过点D作DE⊥AB交BC于E，则有（ ）
A．DE＝DB B．DE＝CE C．CE＝BE D．CE＝BD
7 .如图，在的两边上，分别取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线．可判定，依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．HL
8 .如图，在和中，，，，线段BC的延长线交DE于点F，连接AF．若，，，则线段EF的长度为（ ）
A．4 B． C．5 D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 ．
10 .如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝ ．
11.如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________．
12 .如图，已知，是的两条高线，，，则___________度．
13 .如图，D是内部一点，于E，于F，且，点B是射线上一点，，，在射线上取一点C，使得，则的长为__________．
三、解答题（共6小题，共48分）
14 .（8分）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF＝AE，BC＝DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．
15 .（8分）如图，已知∠C＝∠F＝90°，∠A＝51°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）求∠BOF．
16 .（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，延长BC至点F，过点F作EF∥CD交AC于点E，AB＝EF，且CB＝CE，过点C作CH∥AB．
（1）求证：∠ACH＝∠BCD；
（2）求证：CD＝CH．
17 .（8分）如图，四边形中，，，，，与相交于点F．
(1) 求证：
(2) 判断线段与的位置关系，并说明理由．
18 .（8分）如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F．
（1）求证△ACD≌△CBE；
（2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由．
19．（8分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．
（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE+CF；
（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，求：FE长．
人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定4
学习目标
1、理解并记住HL这种判定方法；
2、会运用HL判定两个直角三角形全等；
3、提高推理能力，获得成功的体验，增强学习的自信心。
学习重点：理解并记住HL这种判定方法
学习难点：会运用HL判定两个直角三角形全等
老师告诉你
判定直角三角形全等的四种策略
若已知条件中有一组直角边和一组斜边对应相等，则直接应用“HL”判定两个直角三角形全等。
若有一组锐角和一组斜边对应相等，则利用“AAS”判定两个直角三角形全等。
若有一组锐角和一组直角边对应相等，（1）若直角边是锐角的对边，则用“AAS”判定两个直角三角形全等。（2）若直角边是锐角的邻边，则用“ASA”判定两个直角三角形全等。
若有两直角边对应相等，则用“SAS”判定两个直角三角形全等。
知识点拨
知识点1 直角三角形的判定（HL）
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
①斜边和一条直角边对应相等（HL）
②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.
【新知导学】
例1-1．如图，AB=BC，∠BAD=∠BCD=90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE=CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．
【解析】连接BD，由直角三角形全等的“HL“判定定理证得Rt△ABD≌Rt△CBD，根据全等三角形的性质得到AD=CD，再由直角三角形全等的“HL“判定定理即可证得Rt△ADE≌Rt△CDF．
解：连接BD，
∵∠BAD=∠BCD=90°，
在Rt△ABD和Rt△CBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），
∴AD=CD，
∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，
∴∠E=∠F=90°，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．
【对应导练】
1．如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
【解析】由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．
证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．
2．如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，AC=DE，试说明BC⊥CE的理由；
如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB=CD，AD=DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．
【解析】（1）根据SAS可得△ABC≌△DCE，根据全等三角形的对应角相等，再结合已知不难求得结论．
（2）根据SAS可得△ABD≌△DCE，根据全等三角形的对应角相等，再结合已知不难求得结论．
解：（1）∵AB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A=∠D=90°．
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
∴∠B=∠DCE．
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°．
∴∠BCE=90°，
即BC⊥CE；
（2）∵AB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A=∠CDE=90°．
在△ABC和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（SAS）．
∴∠B=∠DCE．
∵∠B+∠ADB=90°，
∴∠ADB+∠DCE=90°．
BD⊥CE．
3．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为斜边BC上一点，且BD=BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的角平分线上．
【解析】可通过证明Rt△ABE≌Rt△DBE从而得到结论．
证明：连接BE，
∵ED⊥BC，
∴∠BDE=∠A=90°．
在Rt△ABE和Rt△DBE中
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）．
∴∠ABE=∠DBE．
∴点E在∠ABC的角平分线上．
知识点2 综合运用三角形的判定定理进行证明和计算 .
确定全等三角形对应元素的方法
符号对应法：用全等符号表示的，可根据对应字母的位置来找对应边，对应边所对的角就是对应角。
位置特征法：①公共边（角）是对应边（角）②对顶角是对应角③一对最长边（最大角）是对应边（角），一对最短边（最小角）是对应边（角）
【新知导学】
例2-1．如图，和中，，，，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分；②MB平分，其中正确的一个是_______请写序号），并给出证明过程.
答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）②，证明过程见解析
解析：（1），
，
即，
，
，
（2）
，BE＝BD，
（3）结论：②，理由如下：
如图，作于K，于J，
，，
，
，
MB平分
结论②成立
若①成立，同理可得，
则，根据已知条件不能判断，
则①不成立，
故答案为：②.
【对应导练】
1．如图所示，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F.
（1）判断FC与AD的数量关系，并说明理由；
（2）若，判断BE与AF的位置关系，并说明理由.
答案：（1），理由见解析
（2），理由见解析
解析：（1）结论：.
理由：，
，
E是CD的中点，
，
在与中，
，
，
；
（2）结论：.
理由：由（1）知，
，，
，
，
即，
，
，
.
2．如图，，，点D在边上，，交于点F.
（1）求证：；
（2）求证：平分.
答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明：，，且，
，
在和中，，
.
（2）证明：，
，
，
，
，
平分.
3．已知：如图，在、中，，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接.
(1)求证：；
(2)请判断、有何大小、位置关系，并证明.
答案：(1)见解析
(2)且，证明见解析
解析：（1）证明：，
，即，
在和中，
，
；
（2）且，证明如下：
中，，
，即.
由（1）得，
，.
.
.
4．已知中，，、是角平分线，他们相交于P，于P交的延长线于F，交于H.
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）连接，是否存在数m，使得？若存在，求出m；若不存在，说明理由.
答案：（1）
（2）证明见解析
（3）存在，
解析：（1）证明：，
，
又、分别平分、，
，
.
（2），，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
.
（3）存在..
理由：连接，，
，，
，，，
，
，
，
，
，
.
题型训练
利用斜边直角边证明三角形全等
1 .如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且．
(1)求证：；
(2)判断和的位置关系并证明．
．(1)证明过程见详解；(2)和的位置关系是垂直，证明过程见详解
【分析】（1）根据直角三角形的全等的条件：斜边直角边即可求证；
（2）延长与线段相交，根据全等，可找出线段与角的关系，由此即可求解．
（1）解：在，中，
∵
∴
（2）解：根据题意，画图如下，
延长交于点，由（1）可知，，，
∴在中，，
∵在中，，
∴，
∵，
∴在中，，
∴是直角三角形，即，
∵点、、在同一条线段上，
∴，
故和的位置关系是垂直．
【点拨】本题主要考查直角三角形的全等及线段的关系，理解三角形全等的条件，合理构造线段关系是解题的关键．
2 .如图，D是内部一点，于E，于F，且，点B是射线上一点，，，在射线上取一点C，使得，则的长为__________．
6或10/10或6
【分析】分两种情况：①当点C在线段上，证明，可得，证明，可得，则，②当点C在线段的延长线上时，同理可得．
解： ①如图1，当点C在线段上时，连接，
∵于E，于F，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
又∵在和中，，
∴，
∴，
∴；
②如图2，当点C在线段的延长线上时，
同理可得，，
∴．
故答案为：6或10．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握证明全等三角形是关键，分类讨论是解答的关键．
利用全等三角形的判定、性质证明线段和差关系
3 .如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．
(1)求证：；
(2)求证：．
(1)证明见分析；(2)证明见分析
【分析】（1）根据题意证明，进而根据证明，即可求解；
（2）连接，由（1）证明可得，，证明，得出，进而即可得证．
解：（1）证明：，
，
，
，
在和中，
．
（2）连接，
由证明可得，
，
在和中，
．
，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
4 .如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
（3）求证：CD＝2BF+DE．
【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件；
（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；
（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA＝90°，
∴∠CAF＝45°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；
（3）延长BF到G，使得FG＝FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，
∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，
∴∠G＝∠CDA，
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA（AAS），
∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，
∴CD＝2BF+DE．
利用三角形全等的判定找全等三角形
5．[2023秋·八年级·河北邯郸·期中]如图，在中，，E，F分别是AB、AC上的点，且，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有( )
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
答案：D
解析：，，
，，
是公共边，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，，
，
，，OD是公共边，
，
，，，
，
一共7对
故选D.
6．如图，，于D，于E.BD与CE交于O，连接AO，则图中共有全等的三角形的对数为( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
答案：D
解析：由题意可得，，，共4对三角形全等.
故选：D.
牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1.如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（ ）
A．AAS B．SAS C．ASA D．HL
【分析】根据HL证明Rt△ABD和Rt△CDB全等即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故选：D．
2 .如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是（ ）
A．∠CAB＝∠DBA B．AC＝BD C．AB＝BD D．∠ABC＝∠BAD
【分析】根据已知公共边为AB，根据HL只要找到对应的直角边AD＝BC或AC＝BD，即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC与Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
故选：B．
3 .如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（ ）
A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．BA∥EF D．AC＝DF
【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．AB＝DE，∠B＝∠DEF，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS（不是两直角三角形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（SAS），故本选项不符合题意；
B．∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠DEF，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS（不是两直角三角形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（AAS），故本选项不符合题意；
C．∵BA∥EF，
∴∠A＝∠ACF，
由AB＝DE，∠B＝∠DEF不能推出Rt△ABC≌Rt△DEF，故本选项不符合题意；
D．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠DEF＝90°，AC＝DF，AB＝DE，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故本选项符合题意．
故选：D．
4.如图，已知∠CAB＝∠DBA，若用“ASA”证明△ABC≌△BAD，还需要加上条件（ ）
A．∠C＝∠D B．∠1＝∠2 C．AC＝BD D．BC＝AD
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【解答】解：需要加上条件∠1＝∠2，
在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（ASA），
故选：B．
5 .如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据，判断出≌．
解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，
，
≌，
故选：．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题
6 .如图，在Rt△ABC的斜边AB上截取AD＝AC，过点D作DE⊥AB交BC于E，则有（ ）
A．DE＝DB B．DE＝CE C．CE＝BE D．CE＝BD
【答案】B
【分析】由“HL” Rt△ACE≌Rt△ADE，可得DE=CE，即可．
解：如图，连接AE，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=∠C=90°，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
∵AE=AE，AC=AD，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴DE=CE．
故选：B
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
7 .如图，在的两边上，分别取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线．可判定，依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．HL
【答案】D
【分析】由垂线的定义可知和都是直角三角形，已知条件满足斜边相等和一组直角边相等，因此依据HL判定．
解：由题意可知，和都是直角三角形，
在和中，
，
满足斜边相等和一组直角边相等，
因此，
故选D．
【点拨】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是能够依据HL判定两个直角三角形全等．
8 .如图，在和中，，，，线段BC的延长线交DE于点F，连接AF．若，，，则线段EF的长度为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】证明，，根据全等三角形对应边相等，得到，，由解得，继而解得，最后由解答．
解：，，，
，，
，
故选：B．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、线段的和差等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 ．
【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB＝AC．
【解答】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB＝AC．
10 .如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝ 7 ．
【分析】可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE＝BC，则AB＝AD+BC．
【解答】解：∵MN∥PQ，AB⊥PQ，
∴AB⊥MN，
∴∠DAE＝∠EBC＝90°，
在Rt△ADE和Rt△BCE中，
，
∴△ADE≌△BEC（HL），
∴AE＝BC，
∵AD+BC＝7，
∴AB＝AE+BE＝AD+BC＝7．
故答案为7．
11.如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________．
【答案】2
【分析】根据HL证明，可得，根据即可求解．
解： AB⊥AD，CE⊥BD，
，
在与中，
，
，
AD＝5，CD＝7，
，BD=CD＝7，
故答案为：2
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握HL证明三角形全等是解题的关键．
12 .如图，已知，是的两条高线，，，则___________度．
【答案】40
【分析】由，是的两条高线，得，证明，得，则，．
解：∵，是的两条高线，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：40．
【点拨】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键．
13 .如图，D是内部一点，于E，于F，且，点B是射线上一点，，，在射线上取一点C，使得，则的长为__________．
6或10/10或6
【分析】分两种情况：①当点C在线段上，证明，可得，证明，可得，则，②当点C在线段的延长线上时，同理可得．
解： ①如图1，当点C在线段上时，连接，
∵于E，于F，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
又∵在和中，，
∴，
∴，
∴；
②如图2，当点C在线段的延长线上时，
同理可得，，
∴．
故答案为：6或10．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握证明全等三角形是关键，分类讨论是解答的关键．
三、解答题（共6小题，共48分）
14 .（8分）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，CF＝AE，BC＝DA．求证：Rt△ABE≌Rt△CDF．
【分析】根据全等三角形的判定定理HL证得Rt△ADC≌Rt△CBA，在该全等三角形的对应边相等：DC＝BA，然后再由HL来证得Rt△ABE≌Rt△CDF．
【解答】解：如图，
在Rt△ADC与Rt△CBA中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL），
∴DC＝BA．
又∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在Rt△ABE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．
15 .（8分）如图，已知∠C＝∠F＝90°，∠A＝51°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）求∠BOF．
【分析】（1）根据HL证明两个三角形全等即可；
（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论．
【解答】（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，
∵∠C＝∠F＝90°，
在Rt△ACB和Rt△DFE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣51°＝39°，
由（1）知：Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，
∴∠DEF＝39°，
∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°，
∴∠BOF的度数为78°．
16 .（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，延长BC至点F，过点F作EF∥CD交AC于点E，AB＝EF，且CB＝CE，过点C作CH∥AB．
（1）求证：∠ACH＝∠BCD；
（2）求证：CD＝CH．
【分析】（1）由直角三角形的性质得∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°，则∠A＝∠BCD，再由平行线的性质得∠ACH＝∠A，即可得出结论；
（2）证明Rt△ACB≌Rt△FCE（HL），得∠B＝∠CEH，再证明△BCD≌△ECH（ASA），即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵CH∥AB，
∴∠ACH＝∠A，
∴∠ACH＝∠BCD；
（2）∵∠ACB＝90°，
∴∠FCE＝180°﹣90°＝90°，
在Rt△ACB和Rt△FCE中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△FCE（HL），
∴∠B＝∠CEH，
在△BCD和△ECH中，
，
∴△BCD≌△ECH（ASA），
∴CD＝CH．
17 .（8分）如图，四边形中，，，，，与相交于点F．
(1) 求证：
(2) 判断线段与的位置关系，并说明理由．
(1)见分析；(2)，理由见分析
【分析】（1）根据即可证明．
（2）根据得到，结合得到，即可得结论．
（1）解：在和中，
∴．
（2）解：．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：、、、、等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
18 .（8分）如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F．
（1）求证△ACD≌△CBE；
（2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由．
【分析】（1）根据小蚂蚁的速度相同求出AD＝CE，再利用“边角边”证明△ACD和△CBE全等即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠EBC＝∠ACD，然后表示出∠BFC，再根据等边三角形的性质求出∠ACB，从而得到∠BFC．
【解答】（1）证明：∵小蚂蚁同时从A、C出发，速度相同，
∴t（s）后两只小蚂蚁爬行的路程AD＝CE，
∵在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵△ACD≌△CBE，
∴∠EBC＝∠ACD，
∵∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCD，
∴∠BFC＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD，
＝180°﹣∠ACB，
∵∠A＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BFC无变化．
19．（8分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．
（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE+CF；
（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，求：FE长．
【分析】（1）此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；
（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了．
【解答】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，
∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠EBA+∠EAB＝90°，
∴∠CAF＝∠EBA，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC，
∴△BEA≌△AFC（AAS）．
∴EA＝FC，BE＝AF．
∴EF＝EB+CF．
（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，
∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°，
∴∠CAF＝∠ABE，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC，
∴△BEA≌△AFC（AAS）．
∴EA＝FC＝3，BE＝AF＝10．
∴EF＝AF﹣CF＝10﹣3＝7．
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