人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形12.2 三角形全等的判定微专题全等三角形应用的常见类型（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上名师点拨精练第12章全等三角形12.2 三角形全等的判定微专题全等三角形应用的常见类型（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-07 21:26:51 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
微专题 全等三角形应用的常见类型
老师告诉你
全等三角形的对应边相等、对应角相等，为我们提供了解决线段相等，角相等的新思路、新方法，因此，判定两个三角形全等是解决线段相等，角相等的问题的基础，全等三角形的判定和性质的应用是各类考试的必考内容之一，主要题型有证明线段、角相等关系、和差关系、位置关系等.
类型一、全等三角形在证明线段相等角相等中的应用
【典例剖析】
例1-1．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD=DF．
（Ⅰ）求证：CF=AE；
（Ⅱ）若AE=3，BF=4，求AB的长．
例1-2．如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB=EC，DB=BC．求证：AD=EB．
【针对训练】
1．已知：如图，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：∠B=∠E．
2．如图，在中，，、分别为、上一点，．若，求证：．
3．如图，CA=CD，CB=CE，AB=DE，AB与DE交于点M．
（1）求证：∠ACD=∠BCE；
（2）连MC，若∠BMC=78°，求∠BMD的度数．
类型二、全等三角形在证明线段和差关系的应用
【典例剖析】
例2-1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；
例2-2．综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：_____，∠BDC=_____°；
（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：_____；
【针对训练】
1．已知：四边形中，，，，对角线相交于点O，且平分，过点A作，垂足为H．判断线段之间的数量关系：___________；并证明你的结论．
2．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE．连结BE，CD，作AF⊥CD，垂足为F，交BE于点G．
（1）若∠GAE=70°，求∠ADC的度数；
（2）如图2，作EH⊥GF，垂足为H，HF=7，求EH+DF的长；
（3）求证：BG=EG．
3．如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG．
（1）求证：BE=CF；
（2）若BG=CA，求证：GA=2DE．
类型三、全等三角形在证明线段位置关系的应用
【典例剖析】
例3-1．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE．
求证：（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．
例3-2．已知AB=CD，AD=BC．求证：
①AD∥BC；
②∠B=∠D．
【针对训练】
1．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：DC⊥BE．
2．如图，，，，在同一条直线上，于点，于点，，，求证：．
3．如图，点A，B，C，D在一条直线上，AB=CD，CE∥BF，CE=BF，求证：AE∥DF．
类型四、全等三角形在线段或角的计算中的应用
【典例剖析】
例4-1．如图，，.
（1）求证：；
（2）若，.求的度数.
例4-2．如图，在中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作交ED的延长线于点F，
（1）求证：；
（2）当，，时，求AC的长.
【针对训练】
1．如图.点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
2．如图，四边中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
3．如图,以的两边AC,BC为边分别向外作和,使得,,.
（1）求证:;
（2）若,,求的度数.
4．如图,C是线段AB的中点,CD平分,CE平分,.
（1）求证:;
（2）若,求的度数.
类型五、全等三角形在生活实际中的应用
【典例剖析】
例5-1．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得CE=15cm,OE=8cm.
（1）试说明：OE=BD；
（2）求DE的长．
例5-2．如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同（EH=HD），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯BC和EF的长度是否相等，于是制定了如下方案：
课题 探究两个滑梯的长度是否相等
测量工具 长度为6米的米尺
测量步骤 ①测量出线段FD的长度
②测量出线段AB的长度
测量数据 DF=2.5米，AB=5米
（1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯BC和EF的长度是否相等？并说明理由．
（2）试猜想左右两个滑梯BC和EF所在直线的位置关系，并加以证明．
【针对训练】
1．如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的S点停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．
课题 测凉亭与游艇之间的距离
测量工具 皮尺等
测量方案示意图
测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆B旁；
②再往前走相同的距离，到达C点；
③然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来．
测量数据 AB=10米，BC=10米，CD=5米
（1）凉亭与游艇之间的距离是 _____米．
（2）请你说明小明做法的正确性．
2．如图，这是王玲家的养鱼塘，王玲想要测量鱼塘的宽AB，请你帮助她设计一个不必下水而且简单可行的方案，并说明理由，要求在原图上画出该方案的示意图．
3．雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE=AB，AF=AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由．
人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
微专题 全等三角形应用的常见类型（解析版）
老师告诉你
全等三角形的对应边相等、对应角相等，为我们提供了解决线段相等，角相等的新思路、新方法，因此，判定两个三角形全等是解决线段相等，角相等的问题的基础，全等三角形的判定和性质的应用是各类考试的必考内容之一，主要题型有证明线段、角相等关系、和差关系、位置关系等.
类型一、全等三角形在证明线段相等角相等中的应用
【典例剖析】
例1-1．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD=DF．
（Ⅰ）求证：CF=AE；
（Ⅱ）若AE=3，BF=4，求AB的长．
【解析】（Ⅰ）通过HL证明Rt△CDF≌Rt△EDA，即可得出结论；
（Ⅱ）通过HL证明△BED≌△BCD，得BE=BC，再进行等量代换即可．
证明：（Ⅰ）∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DC，∠AED=90°，
在Rt△CDF与Rt△EDA中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDA（HL），
∴CF=AE；
（Ⅱ）∵CF=AE，AE=3，
∴CF=3，
∵BF=4，
∴BC=BF+CF=4+3=7，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠DEB=∠C，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△BED和△BCD中，
，
∴△BED≌△BCD（AAS），
∴BE=BC=7，
∴AB=BE+AE=7+3=10．
例1-2．如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB=EC，DB=BC．求证：AD=EB．
【解析】由平行线的性质可得∠A=∠EBC，由“AAS”可证△ABD≌△BEC，可得BD=EC．
证明：∵BD∥CE，
∴∠ABD=∠C，
在△ABD和△ECB中，
∴△ABD≌△ECB（SAS），
∴AD=EB．
【针对训练】
1．已知：如图，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：∠B=∠E．
【解析】由AF=DC，得AC=DF，由AB∥DE，得∠A=∠D，即可证△ABC≌△DEF（SAS），故∠B=∠E．
证明：∵AF=DC，
∴AF+CF=DC+CF，即AC=DF，
∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠B=∠E．
2．如图，在中，，、分别为、上一点，．若，求证：．
【答案】见解析
【解析】先根据条件得出，，再根据判定，即可得到．
解：证明：，
，
，
，
，，
，
在与中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
3．如图，CA=CD，CB=CE，AB=DE，AB与DE交于点M．
（1）求证：∠ACD=∠BCE；
（2）连MC，若∠BMC=78°，求∠BMD的度数．
【解析】（1）根据SSS证明△ABC≌△DEC，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据AAS证明△AGC≌△DHC，进而利用全等三角形的性质解答即可．
证明：（1）在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SSS），
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE；
（2）过C作CG⊥AB于G，CH⊥DE于H，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠A=∠D，AC=DC，
∵∠AGC=∠DHC=90°，
在△AGC和△DHC中，
，
∴△AGC≌△DHC（AAS），
∴CG=CH，
∴MC平分∠BMD，
∴∠BMD=2∠BMC=2×78°=156°．
类型二、全等三角形在证明线段和差关系的应用
【典例剖析】
例2-1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；
【解析】（1）①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；
②由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案．
（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE．
（2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．
例2-2．综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：_____，∠BDC=_____°；
（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：_____；
【答案】(1)BE=CF;(2)30;(3)BF=CF+2AM;
【解析】（1）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△BAE≌△CAF即可得出结论；
（3）根据等腰直角三角形的性质，利用SAS证明△BAE≌△CAE即可得出结论；
（4）根据直径所对的圆周角是直角，先找到点P，利用勾股定理计算出BP，再利用第3小题的结论得到三角形的高，△ABP的面积即可求出．
解：（1）BE=CF，∠BDC=30°，
理由如下：如图1所示：
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，
∴AB=AC，AE=AF，
又∵∠BAC=∠EAF=30°，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE=CF，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠AOE∠ABE+∠BAC，
∠AOE=∠ACD+∠BDC，
∴∠BDC=∠BAC=30°；
（2）BE=CF，∠BDC=60°，
理由如下：如图2所示：
证明：∵∠BAC=∠EAF=120°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
即∠BAE=∠CAF，
又∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，
∴AB=AC，AE=AF，
∴△BAE≌△CAF（SAS）
∴BE=CF，
∴∠AEB=∠AFC，
∵∠EAF=120°，AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE=30°，
∴∠BDC=∠BEF-∠EFD=∠AEB+30°-（∠AFC-30°）=60°；
（3）BF=CF+2AM，
理由如下：如图3所示：
∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，
∴∠CAB=∠EAF=90°，AB=AC，AE=AF，
∴∠CAB-∠CAE=∠FAE-∠CAE，
即：∠BAE=∠CAF，
∴△BAE≌△CAE（SAS），
∴BE=CF，
∵AM⊥BF，AE=AF，EAF=90°，
∴EF=2AM，
∵BF=BE+EF，
∴BF=CF+2AM；
【针对训练】
1．已知：四边形中，，，，对角线相交于点O，且平分，过点A作，垂足为H．判断线段之间的数量关系：___________；并证明你的结论．
【答案】，证明见解析
【解析】先证明是等边三角形，再证明，最后根据三角形内角和定理证明，在上截取，先证明，得出，再证明，得出，即可解决问题．
，
证明：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
在上截取，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE．连结BE，CD，作AF⊥CD，垂足为F，交BE于点G．
（1）若∠GAE=70°，求∠ADC的度数；
（2）如图2，作EH⊥GF，垂足为H，HF=7，求EH+DF的长；
（3）求证：BG=EG．
【解析】（1）由∠ADC+∠DAF=90°，∠GAE+∠DAF=90°，得∠ADC=∠GAE=70°；
（2）可证明△EAH≌△ADF，EH=AF，AH=DF，则EH+DF=AF+AH=HF=7；
（3）作EH⊥FG于点H，BI⊥FG交FG的延长线于点I，可证明△BAI≌△ACF，得BI=AF，而EH=AF，所以BI=EH，可证明△BGI≌△EGH，则BG=EG．
（1）解：如图1，∵AF⊥CD，
∴∠AFD=90°，
∴∠ADC+∠DAF=90°，
∵∠DAE=90°，
∴∠GAE+∠DAF=90°，
∴∠ADC=∠GAE=70°，
∴∠ADC的度数是70°．
（2）解：如图2，∵EH⊥GF，
∴∠EHA=∠AFD=90°，
由（1）得∠EAH=∠ADF，
在△EAH和△ADF中，
，
∴△EAH≌△ADF（AAS），
∴EH=AF，AH=DF，
∴EH+DF=AF+AH=HF=7，
∴EH+DF的长是7．
（3）证明：如图3，作EH⊥FG于点H，BI⊥FG交FG的延长线于点I，
∴∠I=∠EHG=∠AFC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAI=∠ACF=90°-∠CAF，
在△BAI和△ACF中，
，
∴△BAI≌△ACF（AAS），
∴BI=AF，
由（2）得EH=AF，
∴BI=EH，
在△BGI和△EGH中，
，
∴△BGI≌△EGH（AAS），
∴BG=EG．
3．如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG．
（1）求证：BE=CF；
（2）若BG=CA，求证：GA=2DE．
【解析】（1）利用AAS证明△BED≌△CFD，得BE=CF；
（2）利用HL证明Rt△BGE≌Rt△CAF，得GE=AF，从而解决问题．
证明：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED=∠F，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴BE=CF；
（2）在Rt△BGE和Rt△CAF中，
，
∴Rt△BGE≌Rt△CAF（HL），
∴GE=AF，
∴AG=EF．
∵△BED≌△CFD，
∴DE=DF，
∴GA=2DE．
类型三、全等三角形在证明线段位置关系的应用
【典例剖析】
例3-1．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE．
求证：（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．
【解析】（1）根据平行线性质求出∠A=∠B，根据SAS推出即可．
（2）根据全等三角形性质推出CD=CE，根据等腰三角形性质求出即可．
证明：（1）∵AD∥BE，
∴∠A=∠B，
在△ACD和△BEC中
∴△ACD≌△BEC（SAS），
（2）∵△ACD≌△BEC，
∴CD=CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE．
例3-2．已知AB=CD，AD=BC．求证：
①AD∥BC；
②∠B=∠D．
【解析】①连接AC，由AB=CD，BC=DA，AC=CA，根据全等三角形的判定定理“SSS”证明△ABC≌△CDA，得∠ACB=∠CAD，则AD∥BC；
②由△ABC≌△CDA，得∠B=∠D．
证明：①连接AC，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴∠ACB=∠CAD，
∴AD∥BC．
②△ABC≌△CDA，
∴∠B=∠D．
【针对训练】
1．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：DC⊥BE．
【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可以得出△ABE≌△ACD；
（2）由△ABE≌△ACD可以得出∠B=∠ACD-45°，进而得出∠DCB=90°，就可以得出结论．
（1）△ABE≌△ACD．
证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE．
即∠BAE=∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD；
（2）证明∵△ABE≌△ACD，
∴∠ACD=∠ABE=45°，
又∵∠ACB=45°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，
∴DC⊥BE．
2．如图，，，，在同一条直线上，于点，于点，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】先证明，利用全等三角形的性质解题即可．
证明：∵，
∴，
又∵
∴
在和中，
，
∴
∴
∴
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
3．如图，点A，B，C，D在一条直线上，AB=CD，CE∥BF，CE=BF，求证：AE∥DF．
【解析】根据平行线的性质得出∠ACE=∠DBF，求出AC=BD，根据全等三角形的判定得出△AEC≌△DFB，根据全等三角形的性质得出∠A=∠D，根据平行线的判定得出即可．
证明：∵CE∥BF，
∴∠ACE=∠DBF，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
即AC=BD，
在△AEC和△DFB中，
，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
∴∠A=∠D，
∴AE∥DF．
类型四、全等三角形在线段或角的计算中的应用
【典例剖析】
例4-1．如图，，.
（1）求证：；
（2）若，.求的度数.
答案：（1）见详解
（2）
解析：（1）证明：在与中，
，
，
；
（2），
，
，.
，
.
例4-2．如图，在中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作交ED的延长线于点F，
（1）求证：；
（2）当，，时，求AC的长.
（1）答案：见解析
解析：，
，，
是边上的中线，
，
；
（2）答案：3
解析：，
，
，
，，
.
【针对训练】
1．如图.点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
答案：（1）见解析
（2）4
解析：（1）在和中，
，
；
（2），，
，
又，
.
2．如图，四边中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
答案：（1）见解析
（2）3
解析：（1），
，
即：，
在和中，
，
，
；
（2），
，
，，
.
3．如图,以的两边AC,BC为边分别向外作和,使得,,.
（1）求证:;
（2）若,,求的度数.
答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）证明:,
,
即.
又,,
;
（2）由（1）得,
,,
.
,
,
.
4．如图,C是线段AB的中点,CD平分,CE平分,.
（1）求证:;
（2）若,求的度数.
答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析:（1）点C是线段AB的中点,
,
又平分,CE平分,
,,
在和中,
（2）
.
类型五、全等三角形在生活实际中的应用
【典例剖析】
例5-1．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得CE=15cm,OE=8cm.
（1）试说明：OE=BD；
（2）求DE的长．
【解析】（1）利用AAS证明△COE≌△OBD，可得结论；
（2）利用全等三角形性质可得答案．
解：（1）∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE=90°，
∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO=∠ODB=90°，
∴∠BOD+∠B=90°，
∴∠COE=∠B，
∵OC=BO，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴OE=BD；
（2）∵△COE≌△OBD，
∴CE=OD=15cm,
∴DE=OD-OE=7cm.
例5-2．如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同（EH=HD），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯BC和EF的长度是否相等，于是制定了如下方案：
课题 探究两个滑梯的长度是否相等
测量工具 长度为6米的米尺
测量步骤 ①测量出线段FD的长度
②测量出线段AB的长度
测量数据 DF=2.5米，AB=5米
（1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯BC和EF的长度是否相等？并说明理由．
（2）试猜想左右两个滑梯BC和EF所在直线的位置关系，并加以证明．
【解析】（1）证明△BAC≌△EDF（SAS），由全等三角形的性质得出BC=EF；
（2）延长BC交EF于点M，由全等三角形的性质得出∠BMF=90°，则可得出结论．
解：（1）BC=EF．
理由：∵EH=DH=2.5米，
∴ED=5米，
∴AB=DE，
由题意可知四边形CADH为矩形，
∴CA=DH=2.5米，
∵DF=2.5米，
∴CA=DF，
∵∠BAC=∠EDF=90°，
∴△BAC≌△EDF（SAS），
∴BC=EF；
（2）BC⊥EF．
理由：延长BC交EF于点M，
∵∠EDF=90°，
∴∠F+∠EDF=90°，
∵△BAC≌△EDF，
∴∠B=∠DEF，
∴∠B+∠F=90°，
∴∠BMF=90°，
∴EF⊥BM．
【针对训练】
1．如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的S点停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．
课题 测凉亭与游艇之间的距离
测量工具 皮尺等
测量方案示意图
测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆B旁；
②再往前走相同的距离，到达C点；
③然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来．
测量数据 AB=10米，BC=10米，CD=5米
（1）凉亭与游艇之间的距离是 _____米．
（2）请你说明小明做法的正确性．
【答案】5
【解析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
解：（1）凉亭与游艇之间的距离是5米；
故答案为：5．
（2）理由：在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（ASA），
∴AS=CD=5米．
2．如图，这是王玲家的养鱼塘，王玲想要测量鱼塘的宽AB，请你帮助她设计一个不必下水而且简单可行的方案，并说明理由，要求在原图上画出该方案的示意图．
【解析】方案设计为：从A点出发沿与AB垂直的方向到C点，再沿AC方向走到D点，使CD=AC，接着从B点出发，沿与AD垂直的方向走到E点，使E、C、B共线，则测出DE的长解能得到AB的宽；然后根据全等三角形的判断方法证明△ACB≌△DCE，从而得到AB=DE．
解：方案设计为：
从A点出发沿与AB垂直的方向到C点，再沿AC方向走到D点，使CD=AC，接着从B点出发，沿与AD垂直的方向走到E点，使E、C、B共线，则测出DE的长解能得到AB的宽．
理由如下：∵AD⊥AB，BE⊥AD，
∴∠BAC=∠EDC，
∵∠BCA=∠ECD，AC=DC，
∴△ACB≌△DCE（ASA），
∴AB=DE．
3．雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE=AB，AF=AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由．
【解析】∠BAD与∠CAD相等，证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中来证，本题OA=OA公共边，可考虑SSS证明三角形全等，从而推出角相等．
解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：∠BAD=∠CAD，
理由如下：
∵AB=AC，AE=AB，AF=AC，
∴AE=AF，
在△AOE与△AOF中，
，
∴△AOE≌△AOF（SSS），
∴∠BAD=∠CAD．
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人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
微专题 全等三角形应用的常见类型
老师告诉你
全等三角形的对应边相等、对应角相等，为我们提供了解决线段相等，角相等的新思路、新方法，因此，判定两个三角形全等是解决线段相等，角相等的问题的基础，全等三角形的判定和性质的应用是各类考试的必考内容之一，主要题型有证明线段、角相等关系、和差关系、位置关系等.
类型一、全等三角形在证明线段相等角相等中的应用
【典例剖析】
例1-1．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD=DF．
（Ⅰ）求证：CF=AE；
（Ⅱ）若AE=3，BF=4，求AB的长．
例1-2．如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB=EC，DB=BC．求证：AD=EB．
【针对训练】
1．已知：如图，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：∠B=∠E．
2．如图，在中，，、分别为、上一点，．若，求证：．
3．如图，CA=CD，CB=CE，AB=DE，AB与DE交于点M．
（1）求证：∠ACD=∠BCE；
（2）连MC，若∠BMC=78°，求∠BMD的度数．
类型二、全等三角形在证明线段和差关系的应用
【典例剖析】
例2-1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；
例2-2．综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：_____，∠BDC=_____°；
（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：_____；
【针对训练】
1．已知：四边形中，，，，对角线相交于点O，且平分，过点A作，垂足为H．判断线段之间的数量关系：___________；并证明你的结论．
2．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE．连结BE，CD，作AF⊥CD，垂足为F，交BE于点G．
（1）若∠GAE=70°，求∠ADC的度数；
（2）如图2，作EH⊥GF，垂足为H，HF=7，求EH+DF的长；
（3）求证：BG=EG．
3．如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG．
（1）求证：BE=CF；
（2）若BG=CA，求证：GA=2DE．
类型三、全等三角形在证明线段位置关系的应用
【典例剖析】
例3-1．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE．
求证：（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．
例3-2．已知AB=CD，AD=BC．求证：
①AD∥BC；
②∠B=∠D．
【针对训练】
1．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：DC⊥BE．
2．如图，，，，在同一条直线上，于点，于点，，，求证：．
3．如图，点A，B，C，D在一条直线上，AB=CD，CE∥BF，CE=BF，求证：AE∥DF．
类型四、全等三角形在线段或角的计算中的应用
【典例剖析】
例4-1．如图，，.
（1）求证：；
（2）若，.求的度数.
例4-2．如图，在中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作交ED的延长线于点F，
（1）求证：；
（2）当，，时，求AC的长.
【针对训练】
1．如图.点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
2．如图，四边中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
3．如图,以的两边AC,BC为边分别向外作和,使得,,.
（1）求证:;
（2）若,,求的度数.
4．如图,C是线段AB的中点,CD平分,CE平分,.
（1）求证:;
（2）若,求的度数.
类型五、全等三角形在生活实际中的应用
【典例剖析】
例5-1．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得CE=15cm,OE=8cm.
（1）试说明：OE=BD；
（2）求DE的长．
例5-2．如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同（EH=HD），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯BC和EF的长度是否相等，于是制定了如下方案：
课题 探究两个滑梯的长度是否相等
测量工具 长度为6米的米尺
测量步骤 ①测量出线段FD的长度
②测量出线段AB的长度
测量数据 DF=2.5米，AB=5米
（1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯BC和EF的长度是否相等？并说明理由．
（2）试猜想左右两个滑梯BC和EF所在直线的位置关系，并加以证明．
【针对训练】
1．如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的S点停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．
课题 测凉亭与游艇之间的距离
测量工具 皮尺等
测量方案示意图
测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆B旁；
②再往前走相同的距离，到达C点；
③然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来．
测量数据 AB=10米，BC=10米，CD=5米
（1）凉亭与游艇之间的距离是 _____米．
（2）请你说明小明做法的正确性．
2．如图，这是王玲家的养鱼塘，王玲想要测量鱼塘的宽AB，请你帮助她设计一个不必下水而且简单可行的方案，并说明理由，要求在原图上画出该方案的示意图．
3．雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE=AB，AF=AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由．
人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
微专题 全等三角形应用的常见类型（解析版）
老师告诉你
全等三角形的对应边相等、对应角相等，为我们提供了解决线段相等，角相等的新思路、新方法，因此，判定两个三角形全等是解决线段相等，角相等的问题的基础，全等三角形的判定和性质的应用是各类考试的必考内容之一，主要题型有证明线段、角相等关系、和差关系、位置关系等.
类型一、全等三角形在证明线段相等角相等中的应用
【典例剖析】
例1-1．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD=DF．
（Ⅰ）求证：CF=AE；
（Ⅱ）若AE=3，BF=4，求AB的长．
【解析】（Ⅰ）通过HL证明Rt△CDF≌Rt△EDA，即可得出结论；
（Ⅱ）通过HL证明△BED≌△BCD，得BE=BC，再进行等量代换即可．
证明：（Ⅰ）∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DC，∠AED=90°，
在Rt△CDF与Rt△EDA中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDA（HL），
∴CF=AE；
（Ⅱ）∵CF=AE，AE=3，
∴CF=3，
∵BF=4，
∴BC=BF+CF=4+3=7，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠DEB=∠C，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△BED和△BCD中，
，
∴△BED≌△BCD（AAS），
∴BE=BC=7，
∴AB=BE+AE=7+3=10．
例1-2．如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB=EC，DB=BC．求证：AD=EB．
【解析】由平行线的性质可得∠A=∠EBC，由“AAS”可证△ABD≌△BEC，可得BD=EC．
证明：∵BD∥CE，
∴∠ABD=∠C，
在△ABD和△ECB中，
∴△ABD≌△ECB（SAS），
∴AD=EB．
【针对训练】
1．已知：如图，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：∠B=∠E．
【解析】由AF=DC，得AC=DF，由AB∥DE，得∠A=∠D，即可证△ABC≌△DEF（SAS），故∠B=∠E．
证明：∵AF=DC，
∴AF+CF=DC+CF，即AC=DF，
∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠B=∠E．
2．如图，在中，，、分别为、上一点，．若，求证：．
【答案】见解析
【解析】先根据条件得出，，再根据判定，即可得到．
解：证明：，
，
，
，
，，
，
在与中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
3．如图，CA=CD，CB=CE，AB=DE，AB与DE交于点M．
（1）求证：∠ACD=∠BCE；
（2）连MC，若∠BMC=78°，求∠BMD的度数．
【解析】（1）根据SSS证明△ABC≌△DEC，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据AAS证明△AGC≌△DHC，进而利用全等三角形的性质解答即可．
证明：（1）在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SSS），
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE；
（2）过C作CG⊥AB于G，CH⊥DE于H，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠A=∠D，AC=DC，
∵∠AGC=∠DHC=90°，
在△AGC和△DHC中，
，
∴△AGC≌△DHC（AAS），
∴CG=CH，
∴MC平分∠BMD，
∴∠BMD=2∠BMC=2×78°=156°．
类型二、全等三角形在证明线段和差关系的应用
【典例剖析】
例2-1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；
【解析】（1）①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；
②由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案．
（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE．
（2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．
例2-2．综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：_____，∠BDC=_____°；
（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：_____；
【答案】(1)BE=CF;(2)30;(3)BF=CF+2AM;
【解析】（1）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△BAE≌△CAF即可得出结论；
（3）根据等腰直角三角形的性质，利用SAS证明△BAE≌△CAE即可得出结论；
（4）根据直径所对的圆周角是直角，先找到点P，利用勾股定理计算出BP，再利用第3小题的结论得到三角形的高，△ABP的面积即可求出．
解：（1）BE=CF，∠BDC=30°，
理由如下：如图1所示：
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，
∴AB=AC，AE=AF，
又∵∠BAC=∠EAF=30°，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE=CF，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠AOE∠ABE+∠BAC，
∠AOE=∠ACD+∠BDC，
∴∠BDC=∠BAC=30°；
（2）BE=CF，∠BDC=60°，
理由如下：如图2所示：
证明：∵∠BAC=∠EAF=120°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
即∠BAE=∠CAF，
又∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，
∴AB=AC，AE=AF，
∴△BAE≌△CAF（SAS）
∴BE=CF，
∴∠AEB=∠AFC，
∵∠EAF=120°，AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE=30°，
∴∠BDC=∠BEF-∠EFD=∠AEB+30°-（∠AFC-30°）=60°；
（3）BF=CF+2AM，
理由如下：如图3所示：
∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，
∴∠CAB=∠EAF=90°，AB=AC，AE=AF，
∴∠CAB-∠CAE=∠FAE-∠CAE，
即：∠BAE=∠CAF，
∴△BAE≌△CAE（SAS），
∴BE=CF，
∵AM⊥BF，AE=AF，EAF=90°，
∴EF=2AM，
∵BF=BE+EF，
∴BF=CF+2AM；
【针对训练】
1．已知：四边形中，，，，对角线相交于点O，且平分，过点A作，垂足为H．判断线段之间的数量关系：___________；并证明你的结论．
【答案】，证明见解析
【解析】先证明是等边三角形，再证明，最后根据三角形内角和定理证明，在上截取，先证明，得出，再证明，得出，即可解决问题．
，
证明：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
在上截取，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE．连结BE，CD，作AF⊥CD，垂足为F，交BE于点G．
（1）若∠GAE=70°，求∠ADC的度数；
（2）如图2，作EH⊥GF，垂足为H，HF=7，求EH+DF的长；
（3）求证：BG=EG．
【解析】（1）由∠ADC+∠DAF=90°，∠GAE+∠DAF=90°，得∠ADC=∠GAE=70°；
（2）可证明△EAH≌△ADF，EH=AF，AH=DF，则EH+DF=AF+AH=HF=7；
（3）作EH⊥FG于点H，BI⊥FG交FG的延长线于点I，可证明△BAI≌△ACF，得BI=AF，而EH=AF，所以BI=EH，可证明△BGI≌△EGH，则BG=EG．
（1）解：如图1，∵AF⊥CD，
∴∠AFD=90°，
∴∠ADC+∠DAF=90°，
∵∠DAE=90°，
∴∠GAE+∠DAF=90°，
∴∠ADC=∠GAE=70°，
∴∠ADC的度数是70°．
（2）解：如图2，∵EH⊥GF，
∴∠EHA=∠AFD=90°，
由（1）得∠EAH=∠ADF，
在△EAH和△ADF中，
，
∴△EAH≌△ADF（AAS），
∴EH=AF，AH=DF，
∴EH+DF=AF+AH=HF=7，
∴EH+DF的长是7．
（3）证明：如图3，作EH⊥FG于点H，BI⊥FG交FG的延长线于点I，
∴∠I=∠EHG=∠AFC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAI=∠ACF=90°-∠CAF，
在△BAI和△ACF中，
，
∴△BAI≌△ACF（AAS），
∴BI=AF，
由（2）得EH=AF，
∴BI=EH，
在△BGI和△EGH中，
，
∴△BGI≌△EGH（AAS），
∴BG=EG．
3．如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG．
（1）求证：BE=CF；
（2）若BG=CA，求证：GA=2DE．
【解析】（1）利用AAS证明△BED≌△CFD，得BE=CF；
（2）利用HL证明Rt△BGE≌Rt△CAF，得GE=AF，从而解决问题．
证明：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED=∠F，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴BE=CF；
（2）在Rt△BGE和Rt△CAF中，
，
∴Rt△BGE≌Rt△CAF（HL），
∴GE=AF，
∴AG=EF．
∵△BED≌△CFD，
∴DE=DF，
∴GA=2DE．
类型三、全等三角形在证明线段位置关系的应用
【典例剖析】
例3-1．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE．
求证：（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．
【解析】（1）根据平行线性质求出∠A=∠B，根据SAS推出即可．
（2）根据全等三角形性质推出CD=CE，根据等腰三角形性质求出即可．
证明：（1）∵AD∥BE，
∴∠A=∠B，
在△ACD和△BEC中
∴△ACD≌△BEC（SAS），
（2）∵△ACD≌△BEC，
∴CD=CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE．
例3-2．已知AB=CD，AD=BC．求证：
①AD∥BC；
②∠B=∠D．
【解析】①连接AC，由AB=CD，BC=DA，AC=CA，根据全等三角形的判定定理“SSS”证明△ABC≌△CDA，得∠ACB=∠CAD，则AD∥BC；
②由△ABC≌△CDA，得∠B=∠D．
证明：①连接AC，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴∠ACB=∠CAD，
∴AD∥BC．
②△ABC≌△CDA，
∴∠B=∠D．
【针对训练】
1．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）证明：DC⊥BE．
【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可以得出△ABE≌△ACD；
（2）由△ABE≌△ACD可以得出∠B=∠ACD-45°，进而得出∠DCB=90°，就可以得出结论．
（1）△ABE≌△ACD．
证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE．
即∠BAE=∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD；
（2）证明∵△ABE≌△ACD，
∴∠ACD=∠ABE=45°，
又∵∠ACB=45°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，
∴DC⊥BE．
2．如图，，，，在同一条直线上，于点，于点，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】先证明，利用全等三角形的性质解题即可．
证明：∵，
∴，
又∵
∴
在和中，
，
∴
∴
∴
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
3．如图，点A，B，C，D在一条直线上，AB=CD，CE∥BF，CE=BF，求证：AE∥DF．
【解析】根据平行线的性质得出∠ACE=∠DBF，求出AC=BD，根据全等三角形的判定得出△AEC≌△DFB，根据全等三角形的性质得出∠A=∠D，根据平行线的判定得出即可．
证明：∵CE∥BF，
∴∠ACE=∠DBF，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
即AC=BD，
在△AEC和△DFB中，
，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
∴∠A=∠D，
∴AE∥DF．
类型四、全等三角形在线段或角的计算中的应用
【典例剖析】
例4-1．如图，，.
（1）求证：；
（2）若，.求的度数.
答案：（1）见详解
（2）
解析：（1）证明：在与中，
，
，
；
（2），
，
，.
，
.
例4-2．如图，在中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作交ED的延长线于点F，
（1）求证：；
（2）当，，时，求AC的长.
（1）答案：见解析
解析：，
，，
是边上的中线，
，
；
（2）答案：3
解析：，
，
，
，，
.
【针对训练】
1．如图.点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
答案：（1）见解析
（2）4
解析：（1）在和中，
，
；
（2），，
，
又，
.
2．如图，四边中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
答案：（1）见解析
（2）3
解析：（1），
，
即：，
在和中，
，
，
；
（2），
，
，，
.
3．如图,以的两边AC,BC为边分别向外作和,使得,,.
（1）求证:;
（2）若,,求的度数.
答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）证明:,
,
即.
又,,
;
（2）由（1）得,
,,
.
,
,
.
4．如图,C是线段AB的中点,CD平分,CE平分,.
（1）求证:;
（2）若,求的度数.
答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析:（1）点C是线段AB的中点,
,
又平分,CE平分,
,,
在和中,
（2）
.
类型五、全等三角形在生活实际中的应用
【典例剖析】
例5-1．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得CE=15cm,OE=8cm.
（1）试说明：OE=BD；
（2）求DE的长．
【解析】（1）利用AAS证明△COE≌△OBD，可得结论；
（2）利用全等三角形性质可得答案．
解：（1）∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE=90°，
∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO=∠ODB=90°，
∴∠BOD+∠B=90°，
∴∠COE=∠B，
∵OC=BO，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴OE=BD；
（2）∵△COE≌△OBD，
∴CE=OD=15cm,
∴DE=OD-OE=7cm.
例5-2．如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同（EH=HD），都为2.5米，他想知道左右两个滑梯BC和EF的长度是否相等，于是制定了如下方案：
课题 探究两个滑梯的长度是否相等
测量工具 长度为6米的米尺
测量步骤 ①测量出线段FD的长度
②测量出线段AB的长度
测量数据 DF=2.5米，AB=5米
（1）根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯BC和EF的长度是否相等？并说明理由．
（2）试猜想左右两个滑梯BC和EF所在直线的位置关系，并加以证明．
【解析】（1）证明△BAC≌△EDF（SAS），由全等三角形的性质得出BC=EF；
（2）延长BC交EF于点M，由全等三角形的性质得出∠BMF=90°，则可得出结论．
解：（1）BC=EF．
理由：∵EH=DH=2.5米，
∴ED=5米，
∴AB=DE，
由题意可知四边形CADH为矩形，
∴CA=DH=2.5米，
∵DF=2.5米，
∴CA=DF，
∵∠BAC=∠EDF=90°，
∴△BAC≌△EDF（SAS），
∴BC=EF；
（2）BC⊥EF．
理由：延长BC交EF于点M，
∵∠EDF=90°，
∴∠F+∠EDF=90°，
∵△BAC≌△EDF，
∴∠B=∠DEF，
∴∠B+∠F=90°，
∴∠BMF=90°，
∴EF⊥BM．
【针对训练】
1．如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的S点停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．
课题 测凉亭与游艇之间的距离
测量工具 皮尺等
测量方案示意图
测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆B旁；
②再往前走相同的距离，到达C点；
③然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来．
测量数据 AB=10米，BC=10米，CD=5米
（1）凉亭与游艇之间的距离是 _____米．
（2）请你说明小明做法的正确性．
【答案】5
【解析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
解：（1）凉亭与游艇之间的距离是5米；
故答案为：5．
（2）理由：在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（ASA），
∴AS=CD=5米．
2．如图，这是王玲家的养鱼塘，王玲想要测量鱼塘的宽AB，请你帮助她设计一个不必下水而且简单可行的方案，并说明理由，要求在原图上画出该方案的示意图．
【解析】方案设计为：从A点出发沿与AB垂直的方向到C点，再沿AC方向走到D点，使CD=AC，接着从B点出发，沿与AD垂直的方向走到E点，使E、C、B共线，则测出DE的长解能得到AB的宽；然后根据全等三角形的判断方法证明△ACB≌△DCE，从而得到AB=DE．
解：方案设计为：
从A点出发沿与AB垂直的方向到C点，再沿AC方向走到D点，使CD=AC，接着从B点出发，沿与AD垂直的方向走到E点，使E、C、B共线，则测出DE的长解能得到AB的宽．
理由如下：∵AD⊥AB，BE⊥AD，
∴∠BAC=∠EDC，
∵∠BCA=∠ECD，AC=DC，
∴△ACB≌△DCE（ASA），
∴AB=DE．
3．雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE=AB，AF=AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由．
【解析】∠BAD与∠CAD相等，证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中来证，本题OA=OA公共边，可考虑SSS证明三角形全等，从而推出角相等．
解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：∠BAD=∠CAD，
理由如下：
∵AB=AC，AE=AB，AF=AC，
∴AE=AF，
在△AOE与△AOF中，
，
∴△AOE≌△AOF（SSS），
∴∠BAD=∠CAD．
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