课件17张PPT。第十四章 数学活动
--运算的奥妙无穷八年级 上册数学美
之图形的多姿多彩数学美
之图形的多姿多彩数学美
之运算的奥妙无穷 问题1：我们共同来进行一个简单的数学计算：
15×15 =
25×25 =
35×35 =
……妙之察追问1：观察上述每个算式有什么共同点？ 5×5 =25
5×5 =25
5×5 =25观察：1 5×1 5 = 2 25
2 5×2 5 = 6 25
3 5×3 5 =12 252 =1×2
6 =2×3
12 =3×4 追问:你能再举几个具有这样特征的例子吗？ 5×5 =25
5×5 =25
5×5 =2515×15 = 2 25
25×25 = 6 25
35×35 =12 252 =1×2
6 =2×3
12 =3×4妙之变妙之探 以小组为单位，分别探究列举的各种情况是否符合上述所发现的运算规律。温馨提示：只要存在一个反例，则可说明此种情况不满足所发现的运算规律。验证：
（10a +b）(10a +10 –b) =100a（a+1）+b（10-b）
设一个两位数十位为a，个位为b，用符号表示即为10a +b，则另一个数为10a +10-b，两数相乘：
（10a +b）(10a +10 –b)
=（10a +b）[10（a+1）-b]
=10a ×10（a+1）-10ab +b ×10（a+1）-b2
=100a（a+1）+b（10-b）妙之验 小试牛刀
（1）78×72； （2）93×97；
（3）95×95； （4）85×85． 活学活用
（1） 105×105 = ；（2）114×116 = ．即兴应答1102513224妙之延（1）布置作业 ①继续上述探究。妙之延 观察下列等式：
12×231 =132×21；13×341 =143×31；
23×352 =253×32；34×473 =374×43；
……
以上每个等式中：
两边的数字是分别对称的，且每个等式中的两位
数与三位数具有相同的组成规律，我们称这类等式为
为“数字对称等式”．②试着类比今天的探究方法，探究数学新问题。 根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字
对称等式”：
（1）52×______=______×25；
（2）_______×396 =693×_______．
设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字
为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般
规律的式子（含a、b）．基础作业：提升作业：有兴趣的同学试着完整证明所写规律。 1×9 + 2 = 11 12 × 9 + 3 = 111 123 × 9 + 4 = 1111 1234 × 9 + 5 = 11111 12345 × 9 + 6 = 111111 123456 × 9 + 7 = 1111111 1234567 × 9 + 8 = 11111111 12345678 × 9 + 9 = 111111111 123456789× 9 +10= 1111111111（2）欣赏 1 × 8 + 1 = 9 12 × 8 + 2 = 98 123 × 8 + 3 = 987 1234 × 8 + 4 = 9876 12345 × 8 + 5 = 98765 123456 × 8 + 6 = 987654 1234567 × 8 + 7 = 9876543 12345678 × 8 + 8 = 98765432 123456789 × 8 + 9 = 987654321“勾股树”数学更多“美”与“妙”等待着你未完待续ing……1教学目标2学情分析3重点难点4教学过程
4.1 第一学时教学目标
（1）发现十位数字相同，个位数字均为5的两位数相乘的积的规律以及十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘的积的规律，会利用规律进行相应的计算。
（2）体会化归思想和从特殊到一般的数学思想在运算中的价值。教学重点
探索数量关系，用符号表示并推导规律，体会从特殊到一般的数学方法。学时难点
探索数量关系，用符号正确表示因数及结果，充分挖掘数学活动课的内涵及外延，在教师指导下学生能有效活动起来。
教学活动
活动1【导入】
引言
英国数学家罗素说过：数学，不但拥有真理，而且具有至高的美。在之前的数学活动中，我们体会了“数学美之图形的多姿多彩”，今天我们来体验“数学美之运算的奥妙无穷”。
活动2【活动】1、妙之察
问题1：我们共同来进行一个简单的数学计算：
15×15 = 25×25 = 35×35 = 45×45 =
……
追问1：观察上述每个算式有什么共同点？
师生活动：教师提出问题，学生回答算式的特点并且独立计算。
设计意图：让学生通过自己观察，明确今天探究的第一种类型算式的特点，也为下面探究活动做铺垫。
问题2：观察上述每个算式及结果，你能发现这些结果与算式本身具有什么样的关系吗？
师生活动：教师提出问题，学生通过观察先独立思考，比较容易归纳出结果后两位数与因数个位数的关系。
追问1：除后两位数之外，结果中的百位数字或千位数字与两位数的十位上的数字有什么关系呢？
师生活动：教师提出问题，学生观察思考并汇报算式结果与因数的关系。
观察：15×15 =225 2 =1×2；
25×25 =625 6 =2×3；
35×35 =1225 12 =3×4；
45×45=2025 20 =4×5.
追问2：你能再举几个具有这样特征的例子吗？
师生活动：学生再举例并计算验证，教师点拨，再次强调算式特征及简便运算方法。
设计意图：让学生通过观察，概括总结因数的结构特征及计算结果与因数的关系，并通过举例验证所发现的简便计算方法是否适用于所有十位数字相同，个位数字均为5的两位数乘积，在验证时再次理解因数的关系，便于下面引导学生探究方向的猜测。
活动3【活动】2、妙之变
问题3：我们发现的简便运算方法是不是只适用于十位数字相同，个位数字均为5的两位数的乘积呢？通过观察上述算式的特点，会不会还存在其他与上述算式有公共特征的算式也适用于我们上述发现的规律？试着找一找。
师生活动：学生小组讨论可能的改变形式，老师板书学生的反馈。学生小组依次验证猜测，直到发现十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数乘积所得结果与上述发现规律有相似之处。
预设1：学生可能会想到十位数字相同，个位数字为其他相同的数的两位数乘积的情况，例如十位数字相同，个位数字同为1或同为2等情况。
预设2：学生可能会想到十位数字相同，个位数字之和为十的两位数乘积的情况，例如32乘38,43乘47等情况。
预设3：学生可能会想到个位数字依然均为5，十位数字不同的情况。如25乘35等。
预设4：学生甚至可能会想到十位数字相同，个位数字依然为5，位数加至三位数甚至四位数等。
教师对于学生讨论出的任何情况，均给以鼓励，并引导学生小组自己讨论，通过实际计算去辨别哪种情况的计算结果与最初算式所发现的简便计算规律吻合。如果学生发现不了十位数字相同，个位数字之和为十的两位数乘积这种情况，教师可以在学生的发现的基础上适时引导。例如，学生变形成十位数字相同，个位数字同为小于五的数字或者同为大于5的数字，计算后均发现与规律不符，那么引导学生试着个位数字一个变小，一个变大和不变的情况。
设计意图：以发现十位数字相同，个位数字均为5的两位数乘积的运算规律为契机，鼓励学生在此基础上去寻找更多符合所发现运算规律的算式，在寻找变式过程中，不仅能加深学生对十位数字相同个位数字均为5的算式的理解，更能加深对运算规律的掌握。
活动4【活动】3、妙之探
师生活动：学生小组去探究猜测的变式形式，并且汇报探究结果。发现在两位数乘两位数的乘法中，只有十位数字相同，个位数字之和为10的两位数乘法这种猜测的实际计算结果与所发现的规律吻合。
设计意图：通过这样的过程，让学生亲身体会数学研究的过程与方法，同时在一次次的猜测，试验，再猜测，再试验中激起学生探究的欲望，体会探究的喜悦，更体验数学探究的不易。
活动5【活动】4、妙之验
问题4：试着以所学的整式知识，用符号表示出刚才得到的一般性规律。
师生活动：学生思考，可以相互交流，如果学生遇到困难，教师可提示学生可以先试着用符号表示算式，然后再表示结果，在用符号表示结果时，要注意用符号表示的具体数字所在的位不同，表示方法有所不同。当用符号表示出一般性规律后，提示学生证明等式一般方法是从等式的一边推导到另一边。
符号表示： （10a+b）（10a+10-b）=100a（a+1）+b（10-b）
验证：设两位数字十位数为a，个位数为b，则一个数为（10a+b），另一个则为（10a+10-b），两数相乘：
设计意图：用符号表示活动中发现的十位数字相同，个位数字和为10的两位数乘积的规律，通过整式乘法引导学生完整体验验证过程，让学生体会数学的严谨性，同时也让学生体会从特殊到一般的数学思想在数学中的应用，在验证过程中顺势渗透证明等式的方法，为学生以后的学习做一些铺垫。
活动6【练习】
练习1：小试牛刀（直接说出下列各式的结果）
（1）78×72； （2）93×97；
（3）95×95； （4）85×85．
练习2：即兴应答
选两个学生上台，一个同学口头出题，另一个同学迅速板书结果。台下同学同时计算。
练习3：拓展延伸
计算：（1） 105×105 = （2）114×116 =
师生活动：对于练习3，通过学生计算的快慢，引出学生不同的计算方法，但是结果相同，同时让学生体会只要当个位数字和为10时，其余数位上数字相同的三位数乘积也可运用所发现的简便运算方法去计算，并鼓励学生去进行更深更广范围的猜测并试着类比今天探究问题的方法继续今天的探究。
设计意图：让学生运用所发现的简便运算规律进行计算，第二个练习要求学生既要明白所发现的简便运算规律的适用范围，又要熟记所发现的运算规律，让学生在练习中加深对所学知识的理解同时体会运用规律进行计算的便捷和优势。练习3，将乘法拓展至三位数乘三位数，让学生体会所发现的简便运算方法的适用范围的广泛性，鼓励学生在已有基础上进行更深的探究，让学生体会数学探究的奥妙，进一步培养学生学习数学的兴趣。
活动7【活动】5、妙之延
（1）布置课后数学活动
①继续上述未完成探究。
②试着类比今天的探究方法，探究下面的新问题。
观察下列等式：
12×231 =132×21；13×341 =143×31；
23×352 =253×32；34×473 =374×43；
……
以上每个等式中：
两边的数字是分别对称的，且每个等式中的两位数与三位数具有相同的组成规律，我们称这类等式为“数字对称等式”。
基础作业：
根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：
（1）52×______=______×25；
（2）_______×396 =693×_______．
设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b）。
提升作业：有兴趣的同学试着完整证明所写规律。
设计意图：学生通过今天的学习不仅要掌握数学活动的知识，而且通过数学活动的探究，提高学生学习数学，探究数学的兴趣，掌握探究方法，可以在独立或者合作交流中分析问题，解决问题，体会数学方法在不同数学问题中的应用，使自己的能力在快乐的学习中有所提升。
（2）欣赏数学更多的美。
今天我们共同体会了“数学美之运算的奥妙无穷”，其实运算的奥妙远不止这些，数学的奥妙还有很多方面，而数学中更多的“美”与“妙”等待着你去发现和探究。
师生活动：教师出示一些学生能感知到的或者在接下来的学习中可以探究解决的一些奥妙的数学问题，学生欣赏。
设计意图：妙之延中的“延”其实是本课设计的一条思想主线，课堂之初的十位数字相同个位数字均为5的两位数乘积的研究是基础，通过发现简便计算方法，延续到引导学生尝试扩大简便计算方法试用范围，而猜测的算式变形情况均是在已有算式特点下的延续，而后用符号验证是特殊情况到一般情况的延续；从探究活动到课后数学活动的布置，是数学研究的延续以及数学方法的延续，让学生体会数学研究的无穷无尽以及数学方法应用的广泛性，同一种数学方法可以研究形式相似的问题，也可以研究形式不同但关键点相似的问题；从布置课后数学活动环节代表这节课的探究的结束，但是数学奥妙的探究之心不应结束，通过已学知识作为一个契机给学生展示数学的更多面，进一步让学生体会数学美的和谐性和奇异性，延续对学生数学兴趣的培养，进一步激发学生内心想探究数学的情绪。
