课件30张PPT。探索“巧算”的
奥秘人教版八年级上册 第十四章 数学活动本课，老师将和大家一起——
开展三个有趣的数学活动
探索数学奥秘，掌握探索方法！活动一
：观察特例、猜想、验证75×75 =
35×35 =
45×45 =
25×25 =
……1、先计算结果；
2、然后观察，猜想巧算规律猜出“规律”后，请你——再任意给出几个类似具体的算式：
试用得出的规律算一算，是正确的吗75×75 =
35×35 =
45×45 =
25×25 =
7×8 5625
1225
2025
625
5625
1225
2025
625
3×4 4×5 2×3 设两个字母可以吗？设一个字母呢？字母化、推导、得出结论你能设出最少的字母把上述左式的用概括性的式子表示出来吗？ 右边结果能不能也用刚才字母表达出来？75×755625 =
7×（7+1）×100+25（10a +5）（10a +5）100a（a+1）+25 以75×75 =5625为例：左边：右边：用符号表示出的规律（字母化）：设第一个乘数的十位是a
左边：（10a +5）（10a +5）
右边：100a（a+1）+25 ．
实际上就是证明： （10a +5）（10a +5） = 100a（a+1）+25 证明：设两位数的十位数字为a，个位数字为5，表示成10×a +5．
所以：
左式=（10×a +5）×（10×a +5）
=（10×a +5）2
=100a2 +2×10a×5 +52
=100a2 +100a +25
=100a（a+1）+25 =右式．两个这样数相乘结果是：
原十位数字加上1 再与十位数字相乘放在前面，后面接上25即可．完整推导过程求证： （10a +5）（10a +5）= 100a（a+1）+25两个这样数相乘结果是：
原式中十位数字加上1后 ，与十位数字本身相乘的积放在结果的前段，后段接着写上25即为答案。“巧算”的规律确认总结：探索规律的一般步骤：猜 想 规 律表 示 规 律验 证 猜 想观 察 特 例证 明 规 律活动
二
：观察特例、猜想、验证53×57 =
38×32 =
84×86 =
71×79 =
……1、先计算结
果；
2、然后观察
3、猜想巧算规
律猜想出规律（答案与原式关系）后也请你再任意给出几个类似的算式；
试用你的规律算一算，和笔算一样吗？
试一试，规律能不能简洁地表达？（或语言或式子）53×57 =
5×6×100+3×7 =3 021 其中 30 =5×6 21 =3×738×32 =
3×4×100+2×8 =1 216其中 12 =3×4 16 =2×8;84×86 =
8×9×100+4×6 =7 224其中 72 =8×9 24 =4×6； 71×79 =
7×8×100+1×9 =5 609其中 56 =7×8 09 =1×9 ； 设两个字母可以吗？设一个字母呢？字母化、推导、得出结论你能设出最少的字母把上述左式的用概括性的式子表示出来吗？ 右边结果能不能也用刚才字母表达出来？用符号表示出的规律（字母化）：设第一个乘数的十位是a，个位是b
左边：（10a +b）[10a +10 -b]
右边：100a（a+1）+b（10-b）．
其中a、b为10以内正整数
实际上就是证明： （10a +b）[10a +10 -b] = 100a（a+1）+b（10-b）．证明：设十位为a，个位为b，则一个数为10a +b，另一个数为10a +（10-b），两数相乘：
左式=（10a +b）[10a +（10 –b）]
=（10a +b）[10（a+1）-b]
=10a ×10（a+1）-10ab +b ×10（a+1）-b2
=100a（a+1）+b（10-b）
=右式．完整推导过程求证： （10a +b）[10a +10 -b] = 100a（a+1）+b（10-b）．“巧算”的规律两个这样数相乘结果是：
原式中十位数字加上1后 ，与十位数字本身相乘的积放在结果的前段，后段接着写上两个个位数字的积即为答案。确认活动三
：应用、整合、拓展练习1 利用刚才所学的规律计算下列算式的结果：
（1）78×72；
（2）93×97；
（3）95×95；
（4）85×85．75×75 = 5625
35×35 = 1225
45×45 = 2025
25×25 = 625 53×57 =3021
38×32 =1216
84×86 =7224
71×79 =5609 活动1结论活动2结论重新比较两次活动对比活动1与活动2：1、对比原式：
（1）都是什么运算？
（2）个位数字都有什么规律？
（3）十位数字呢？2、对比“结果”：
（1）结果的后两位分别都有什么规律？
（2）其它位数字分别又都有什么规律？它们的计算规律在实质上是相同的： 1、都是两位数相乘。 2、都属于十位数字相同，活动2是个位数字之和等于10，实际上活动1的个位两个“5”，也可理解成数字之和等于10 。 活动1结论是活动2结论的特殊形式；
活动2结论是活动1结论的一般形式。
它们可以合二为一。思考：计算：
（1）105×105 = ；
（2）114×116 = ．
（3） 174×176 = ；
（4） 124×176 = ；
你发现了什么？
再增加位数？后面数字“凑百”如何？
后面数字“凑千”如何……？
总结：探索规律的一般步骤：猜 想 规 律表 示 规 律验 证 猜 想观 察 特 例证 明 规 律作业：见提纲愿同学们越来越聪明探索要不畏艰险，讲求方法！数学活四
： 观察下列等式：
12×231 =132×21；13×341 =143×31；
23×352 =253×32；34×473 =374×43；
…… 机动或课后作业以上每个等式中：两边的数字是分别对称的，且每个等式中的两位数与三位数具有相同的组成规律，我们称这类等式为“数字对称等式”． 根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字
对称等式”：
（1）52×______=______×25；
（2）_______×396 =693×_______．
设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字
为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般
规律的式子（含a、b），并证明．（1）52×275=572×25； （2）63×396 =693×36．验证
12×231 =2772 132×21=2772；
13×341 =4433 143×31=4433；
23×352 =8096 253×32=8096 …… （10a +b）[100 b + （a +b） 10 +a] =[100 a + （a +b） 10 + b ]（ 10b +a）左边=右边=左边=右边研究下列算式，你发现了什么规律？
用字母表示这个规律.
1×3+1=22；
2×4+1=32；
3×5+1=42；
4×6+1=52；
……………
用n表示自然数,规律
是： 。n(n+2)+1=(n+1)21教学目标
1．探索（1）十位数字相同，个位数字为5 的两位数相乘的积的规律；（2）十位数字相同，个位数字之和等于10 的两位数相乘的积的规律;(3)利用规律进行相应的计算．
2．经历探索数量关系、运用符号表示、验证规律的过程，培养学生观察、分析、推理的能力，体会化归思想和从特殊到一般的数学思想在运算中的价值．
3．激发学习数学的兴趣，养成合作交流的习惯。
2重点难点
重点：发现规律，用符号表示并推导规律．体会从特殊到一般的数学思想方法．感受从具体到抽象的归纳过程。
难点：用符号表示规律。
3教材分析
本节课是在上一章刚学会演绎推理，本章学完多项式相乘，今后还要迁移到代数推导的时间点上进行的，是字母表示数的深入、代数初步学会推导的一节课。活动内容是围绕“两个数相乘的积的规律”的探究而展开的．让学生探究后发现：十位数字相同，个位数字之和等于10 的两位数相乘的积的规律，并学会延伸和拓展。
4学情分析
已施行AB分层教学，本班系A层，基本功扎实，期中考平均分113分（满分120），有一定探索能力
5教学策略
教学组织形式：以“数学活动”为主。内容不受教学计划和教科书的限制，使学生多渠道地接受各种新信息，配合加深巩固多项式相乘这部分知识，及早接触一些新的数学思想，感受从特殊到一般，从具体到抽象的归纳过程
教学方法：讲练法和实习作业法结合。对特例的问题，用字母表示数提炼规律，用多项式乘法转化关系。
6教学资源
教材P122 多媒体课件 活动报告单
7教学媒体
PPT
8教学过程
8.1 第一学时
教学活动
活动1【活动】1、观察特例、猜想、验证
1、教师出示特例：
75×75 =
35×35 =
45×45 =
25×25 = ……
2、教师布置活动：
先计算下面式子，写出结果；然后观察原式，思考：
（1）什么运算？
（2）个位数字有什么规律？
（3）十位数字呢？
比较“原式”与“结果”，猜想：
（4）结果的后两位有什么规律？
（5）结果的百位、千位数字与原式有什么关系？
3、巡视；
4、以提问的形式检查学生完成情况；、
学生
1计算；
2并思考老师提出的问题。
意图
在老师的带领下让学生探究，为活动二自主活动作铺垫。
活动2【活动】字母化、推导、得出结论
师生共同完成
3、（1）任意给出几个类似的算式；
（2）用各自得出的规律算一算，并和笔算比较。
（3）试着把自己得到的规律简洁地表达。
（以提问的形式完成）
设第一个乘数的十位是a
左边：（10a +5）（10a +5） 右边：100a（a+1）+25 ．
完整推导过程
求证： （10a +5）（10a +5）= 100a（a+1）+25
证明：设两位数的十位数字为a，个位数字为5，表示成10×a +5．
所以：
左式=（10×a +5）×（10×a +5）
=（10×a +5）2
=100a2 +2×10a×5 +52
=100a2 +100a +25
=100a（a+1）+25 =右式．
活动3【活动】总结：探索规律的一般步骤：
观察特例——猜想规律——验证猜想——表示规律——证明规律
两个这样数相乘结果是：
原式中十位数字加上1后 ，与十位数字本身相乘的积放在结果的前段，后段接着写上25即为答案。
活动4【活动】学生自主活动
1、教师出示特例：
53×57 =
38×32 =
84×86 =
71×79 =……
2、教师布置活动：填“报告单”
巡视，指导；
巡视、指导中备用指导（不一定用，视情定）
观察原式，思考：
（1）什么运算？
（2）个位数字有什么规律？
（3）十位数字呢？
比较“原式”与“结果”，猜想：
（4）结果的后两位有什么规律？
（5）结果的百位、千位数字与原式有什么关系？
活动5【练习】应用、综合、拓展活动
练习1 利用刚才所学的规律计算下列算式的结果：
（1）78×72；（2）93×97；
（3）95×95；（4）85×85．
重新再比较和思考活动1和活动2的结论看一看有什么联系和区别？
活动1结论
75×75 = 5625 35×35 = 1225
45×45 = 2025 25×25 = 625
活动1结论
53×57 =3021 38×32 =1216
84×86 =7224 71×79 =5609
它们的计算规律在实质上是相同的：1、都是两位数相乘。2、都属于十位数字相同，活动2是个位数字之和等于10，实际上活动1的个位两个“5”，也可理解成数字之和等于10 。
计算：
（1）105×105 = ；
（2）114×116 = ．
（3）174×176 = ；
（4）124×176 = ；
老师总结。
计算及回答
重新再比较和思考活动1和活动2的结论
1、对比原式：
（1）都是什么运算？
（2）个位数字都有什么规律？
（3）十位数字呢？
2、对比“结果”：
（1）结果的后两位分别都有什么规律？
（2）其它位数字分别又都有什么规律？
活动1结论是活动2结论的特殊形式；
活动2结论是活动1结论的一般形式。
它们可以合二为一。
你发现了什么？
再增加位数？后面数字“凑百”如何？
后面数字“凑千”如何……？
学生归纳。
让学生巩固所探索出的结论，并进一步拓展、提升。
站在更高的视野看结论。
活动6【作业】小试牛刀
1、观察下列等式：
12×231 =132×21；13×341 =143×31；23×352 =253×32；34×473 =374×43
（说明：以上每个等式中：两边的数字是分别对称的，且每个等式中的两位数与三位数具有相同的组成规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．）根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：
（1）52×______=______×25；
（2）_______×396 =693×_______．
设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．
2、研究下列算式，你发现了什么规律？用字母表示这个规律.并证明！
1×3+1=22；2×4+1=32；3×5+1=42；4×6+1=52；……………
