人教版八年级数学上名师点拨精练 12.3角平分线的性质（1） （含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上名师点拨精练 12.3角平分线的性质（1） （含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-07 23:47:39 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.3 角平分线的性质（1）
学习目标
1.通过全等三角形的知识理解角平分线的定理。
2.会利用尺规作一个角的角平分线。
3.在利用尺规作图的过程中培养学生的动手操作能力。
4.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题。
【学习重难点】
角的平分线的性质的证明及运用。
老师告诉你
运用角的平分线的性质解决与面积有关问题的方法：
首先运用三角形的面积公式将面积关系转化为线段关系，再结合角的平分线的性质进一步转化为三角形的边长之间的关系，从而把两者建立起关系，结合已知条件可解决问题。
知识点拨
知识点1 作已知角的平分线
已知：∠AOB.
求作：∠AOB 的平分线.
作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N；
(2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C；
(3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求.
【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”.
【新知导学】
例1-1．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质（ ）
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
【对应导练】
1．下列语句是有关几何作图的叙述．
①以O为圆心作弧；②延长射线AB到点C；③作∠AOB，使∠AOB=∠1；④作直线AB，使AB=a；⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线．其中正确的有_____．（填序号即可）
2．已知：．
（1）尺规作图保留作图痕迹，不写作法：作的垂直平分线，使交于；
（2）连，若，，则的周长为______．
知识点2 角的平分线的性质
1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2、应用所具备的条件：
（1）点在角的平分线上；
（2）到角两边的距离(垂直).
3、定理的作用：证明线段相等.
4、角平分线的性质的几何语言：
如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE
【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直.
【新知导学】
例2-1．如图,点D在的边上,且.
(1)作的平分线,交于点E(用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)的条件下,判断直线与直线的位置关系,并说明理由.
【对应导练】
1．如图，，平分，交于C.
（1）尺规作图：过点B作的垂线，交于O，交于D，（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：.
2．如图，中，点D在BC边上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交BA的延长线于F，且，连接DE.
（1）求的度数；
（2）求证：DE平分；
（3）若，，，且，求的面积.
3．如图1，在中，，，AD,CE分别是，的平分线，AD,CE相交于点F.
（1）判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，如果不是直角，其他条件不变，（1）中所得结论是否仍然成立？请说明理由.
4．如图，已知BD是的平分线，，点P在BD上，，，垂足分别为M，N.试说明.
5．如图，中，平分，且，于E，于F，
（1）求证：与互补；
（2）如果，求的长．
题型训练
利用角平分线的作图在证明线段相等的应用
1．如图，四边形ABCD中，，，M为BC边上一点，且AM平分，DM平分.
求证：（1）；
（2）M为BC的中点.
2．如图，已知BD是的平分线，，点P在BD上，，，垂足分别为M，N.试说明.
利用角平分线的性质求面积
3．如图，在中，的平分线相交于点O，连接OA，.求.
4．如图，在中，.
(1)过点B作的平分线交AC于点D(尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明)；
(2)若，，求的面积.
利用角平分线的性质探究角的数量关系
5．如图13-1，已知BD是的角平分线，，交BD的延长线于点E.
（1）若.
①求和的度数
②求证：；
（2）如图13-2，AO平分，请直接写出与之间的数量关系.
6．如图，已知，AC平分，点B、D分别在AN、AM上.
（1）如图①，若，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并给出证明；
（2）如图②，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
7．如图，，BD平分.求证：.
8．如图，在中，，为延长线上一点，，的平分线与交于点，连接.
（1）求证：点到的距离相等；
（2）求的度数.
牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列尺规作图的语句错误的是（ ）
A. 作∠AOB，使∠AOB=∠α
B. 以点A为圆心，线段a的长为半径作弧
C. 作∠ABC，使∠ABC=∠α+∠β
D. 在∠AOC的边OC上用刻度尺截取5cm
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB=12，CG=3，则△ABG的面积是（ ）
A. 12 B. 18 C. 24 D. 36
3．如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路CD和EF的距离也必须相等．发射塔应该修建在（ ）
A. ∠AOB、∠COF两角的角平分线的交点
B. ∠COF的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点
C. ∠DOF的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点
D. ∠DOF、∠COF两角的角平分线分别与线段AB的垂线平分线的交点
4．如图，已知OC平分∠AOB，P是OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，∠AOB=30°，如果PE=4，则OD的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
5．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若S△BPC=10cm2，则△ABC的面积等于（ ）
A. 20cm2 B. 30cm2 C. 25cm2 D. 不能确定
6．如图，在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF//BC分别交AB、AC于点E、F，若EF=2，则△ABC的周长是（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 6
7．如图，AM垂直∠ABC的平分线BM于点M，D为BC中点，连接MD，若△ABC的面积为4，则△BMD的面积为（ ）
A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3
8．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（ ）
A. OM+ON的值不变 B. ∠PNM=∠POB
C. MN的长不变 D. 四边形PMON的面积不变
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=20，则CD=_____．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则CD的长为 _____．
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的是______．
①线段AD是△ABC的角平分线； ②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上； ④．
12．如图，在中，交于点，平分交于点，的面积为4，的面积为8，，则的长为 _____．
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，AB=6cm,则△DEB的周长为 _____．
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD=DF．
（Ⅰ）求证：CF=AE；
（Ⅱ）若AE=3，BF=4，求AB的长．
15．（8分）如图，△ABC 中，点D在边AC上，且AD=AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE=BE．
16．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点P（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图形中，求△ABP的面积．
17．（8分）如图，在中，为其角平分线，于点，于点，的面积是，，，求的长．
18.（8分）如图①，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F．
（1）求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）如图②，若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）中的结论还成立吗？请证明你的猜想．
19 .（8分）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝ ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝ ．
人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.3 角平分线的性质（1）
学习目标
1.通过全等三角形的知识理解角平分线的定理。
2.会利用尺规作一个角的角平分线。
3.在利用尺规作图的过程中培养学生的动手操作能力。
4.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题。
【学习重难点】
角的平分线的性质的证明及运用。
老师告诉你
运用角的平分线的性质解决与面积有关问题的方法：
首先运用三角形的面积公式将面积关系转化为线段关系，再结合角的平分线的性质进一步转化为三角形的边长之间的关系，从而把两者建立起关系，结合已知条件可解决问题。
知识点拨
知识点1 作已知角的平分线
已知：∠AOB.
求作：∠AOB 的平分线.
作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N；
(2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C；
(3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求.
【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”.
【新知导学】
例1-1．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质（ ）
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
【答案】D
【解析】利用作图的基本原理，得到线段的关系证明即可．
解：如图，由作图可知，BA=CF．
在△AOB和△CEF中，，
∴△AOB≌△CEF（SSS），
故选：D．
【对应导练】
1．下列语句是有关几何作图的叙述．
①以O为圆心作弧；②延长射线AB到点C；③作∠AOB，使∠AOB=∠1；④作直线AB，使AB=a；⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线．其中正确的有_____．（填序号即可）
【答案】③⑤
【解析】①根据确定圆的两个条件：圆心和半径判断即可；
②根据射线的性质判断即可；
③根据基本作图：作一个角等于已知角判断即可；
④根据直线的性质判断即可；
⑤根据平行公理判断即可．
解：①以O为圆心作弧可以画出无数条弧，因为半径不固定，所以叙述错误；
②射线AB是由A向B向无限延伸，所以叙述错误；
③根据作一个角等于已知角的作法，可以作一个角∠AOB，使∠AOB等于已知∠1，所以叙述正确；
④直线可以向两方无限延伸，所以叙述错误；
⑤根据平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可以过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线，所以叙述正确．
所以正确的有③⑤．
故答案为：③⑤．
2．已知：．
（1）尺规作图保留作图痕迹，不写作法：作的垂直平分线，使交于；
（2）连，若，，则的周长为______．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】对于（1），分别以A、B两点为圆心，以大于长度为半径画弧，在两边分别相交于两点，然后过这两点作直线，即为的垂直平分线；
对于（2），根据线段垂直平分线的性质得出，再根据周长公式即可得出答案．
【小问1详解】
作图如图所示：
【小问2详解】
的垂直平分线，
.
，，
的周长是：（cm）．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了尺规作图和线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握“垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等”．
知识点2 角的平分线的性质
1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2、应用所具备的条件：
（1）点在角的平分线上；
（2）到角两边的距离(垂直).
3、定理的作用：证明线段相等.
4、角平分线的性质的几何语言：
如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE
【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直.
【新知导学】
例2-1．如图,点D在的边上,且.
(1)作的平分线,交于点E(用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)的条件下,判断直线与直线的位置关系,并说明理由.
答案：
解：（1）如图.
（2）理由如下：
平分
.
，
.
.
【对应导练】
1．如图，，平分，交于C.
（1）尺规作图：过点B作的垂线，交于O，交于D，（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：.
答案：（1）解：如图为所作
（2）证明：,
平分，
,
,平分,
.
2．如图，中，点D在BC边上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交BA的延长线于F，且，连接DE.
（1）求的度数；
（2）求证：DE平分；
（3）若，，，且，求的面积.
答案：（1）解：，，
.
，.
（2）证明：过点E作于G，于H，如图.
，，，
.
BE平分，，，
，.
，，DE平分.
（3）解：，
，即，解得，
，
的面积为.
3．如图1，在中，，，AD,CE分别是，的平分线，AD,CE相交于点F.
（1）判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，如果不是直角，其他条件不变，（1）中所得结论是否仍然成立？请说明理由.
答案：（1）.理由如下：
过点F作于点M, 于点N，则，
，，
，的平分线AD,CE交于点F，
点F在的平分线上，
又，
（2）成立.理由如下：
过点F作于点M, 于点N，
则，，
，,
4．如图，已知BD是的平分线，，点P在BD上，，，垂足分别为M，N.试说明.
答案：BD平分，，
又，，
，.
又，，
.
5．如图，中，平分，且，于E，于F，
（1）求证：与互补；
（2）如果，求的长．
答案：（1）略 （2）
题型训练
利用角平分线的作图在证明线段相等的应用
1．如图，四边形ABCD中，，，M为BC边上一点，且AM平分，DM平分.
求证：（1）；
（2）M为BC的中点.
答案：证明：（1），，
AM平分，DM平分，
，
，
，即.
（2）如图，过M作，垂足为点N，
，，
，，
AM平分，DM平分，
，，
，即M为BC的中点.
2．如图，已知BD是的平分线，，点P在BD上，，，垂足分别为M，N.试说明.
答案：BD平分，，
又，，
，.
又，，
.
利用角平分线的性质求面积
3．如图，在中，的平分线相交于点O，连接OA，.求.
答案：解：如图，过点O作，垂足分别为点D，E，F.
由三角形三条角平分线的性质定理，可知.
，
.
4．如图，在中，.
(1)过点B作的平分线交AC于点D(尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明)；
(2)若，，求的面积.
答案：(1)图见解析
(2)的面积24
解析：(1)的平分线如图中BD所示.
(2)如图，过点D作于H.
平分，，，
，
的面积
.
利用角平分线的性质探究角的数量关系
5．如图13-1，已知BD是的角平分线，，交BD的延长线于点E.
（1）若.
①求和的度数
②求证：；
（2）如图13-2，AO平分，请直接写出与之间的数量关系.
答案：（1）①的度数为72°，的度数为18°；
②
由①可知
（2）
6．如图，已知，AC平分，点B、D分别在AN、AM上.
（1）如图①，若，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并给出证明；
（2）如图②，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
答案：（1）.
证明：AC平分，，
，
又，
，
则.
.
（2）仍然成立.
证明：如图，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F，
AC平分，
（角平分线上的点到角两边的距离相等），
，，
，
又，
，
，，
由（1）可知，
.
7．如图，，BD平分.求证：.
答案：证明：过点D作BA、BC的垂线，垂足分别为E、F，则（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
在和中，，
，
，
.
8．如图，在中，，为延长线上一点，，的平分线与交于点，连接.
（1）求证：点到的距离相等；
（2）求的度数.
答案：（1）如图，过点作于点于点，交的延长线于点，
平分，.
，，
，，
，点到的距离相等.
（2）由（1）知，平分.
平分.
.
牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列尺规作图的语句错误的是（ ）
A. 作∠AOB，使∠AOB=∠α
B. 以点A为圆心，线段a的长为半径作弧
C. 作∠ABC，使∠ABC=∠α+∠β
D. 在∠AOC的边OC上用刻度尺截取5cm
【答案】C
【解析】根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出结论．
解：A、作一个角等于已知角是常见的尺规作图，故不符合题意；
B、画弧既需要圆心，还需要半径，故不符合题意．
C、作一个角等于已知角，但不能等于两角的和，故符合题意；
D、在∠AOC的边OC上用刻度尺截取5cm,故不符合题意；
故选：C．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB=12，CG=3，则△ABG的面积是（ ）
A. 12 B. 18 C. 24 D. 36
【答案】B
【解析】过点G作GH⊥AB于点H，根据题意得，AF是∠CAB的角平分线，得CG=GH，根据三角形面积公式，即可求出△ABG的面积．
解：过点G作GH⊥AB于点H，
根据题意得，AF是∠CAB的角平分线，
∵∠C=90°，
∴AC⊥CG，
∵GH⊥AB，
∴CG=GH，
∵CG=3，
∴，
故选：B．
3．如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路CD和EF的距离也必须相等．发射塔应该修建在（ ）
A. ∠AOB、∠COF两角的角平分线的交点
B. ∠COF的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点
C. ∠DOF的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点
D. ∠DOF、∠COF两角的角平分线分别与线段AB的垂线平分线的交点
【答案】B
【解析】由线段垂直平分线的性质可知：要两个城镇A，B的距离，发射塔必须建在线段AB的垂直平分线上，再根据角平分线的性质可知要到两条高速公路CD和EF的距离相等需要建在∠COF的平分线上，即可知发射塔要在两线的交点位置．
解：要两个城镇A，B的距离，发射塔必须建在线段AB的垂直平分线上，要到两条高速公路EF和CD的距离相等需要建在∠COF的平分线上，
∴发射塔应该修建在∠COF的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处．
故选：B．
4．如图，已知OC平分∠AOB，P是OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，∠AOB=30°，如果PE=4，则OD的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】过P作PH⊥OB于H，由角平分线的性质得到PH=PE=4，由含30°角的直角三角形的性质得到PD=2PH=8，由平行线的性质，角平分线的定义推出∠DPO=∠DOP，因此OD=PD=8．
解：过P作PH⊥OB于H，
∵OC平分∠AOB，PE⊥AO，
∴PH=PE=4，
∵PD∥OA，
∴∠PDH=∠AOB=30°，
∴PD=2PH=8，
∵PD∥OA，
∴∠DPO=∠POE，
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOP=∠POE，
∴∠DPO=∠DOP，
∴OD=PD=8．
故选：D．
5．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若S△BPC=10cm2，则△ABC的面积等于（ ）
A. 20cm2 B. 30cm2 C. 25cm2 D. 不能确定
【答案】A
【解析】先延长AP交BC于点D，根据已知条件证明△BAP≌△BDP，从而证出AP=PD，根据等底同高面积相等，得到△APC的面积=△DPC的面积，最后根据△BPC的面积是12cm2，求出答案即可．
解：如图所示：延长AP交BC于点D，
∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP=∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°，
∵BP=BP，
∴△BAP≌△BDP（ASA），
∴AP=DP，
∴△APC的面积=△DPC的面积，
∵△BPC的面积=10（cm2），
∴△BPD的面积+△CPD的面积=10（cm2），
∴△ABP的面积+△APC的面积=10（cm2），
∴△ABC的面积=△BPD的面积+△CPD的面积+△ABP的面积+△APC的面积=20（cm2），
故选：A．
6．如图，在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF//BC分别交AB、AC于点E、F，若EF=2，则△ABC的周长是（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 6
【答案】B
【解析】利用角平分线性质可得两组角相等，再结合平行线的性质，可证出∠OBE=∠EOB，∠OCF=∠COF，那么利用等角对等边可得线段的相等，再利用等量代换可求得EF=BE+CF．
解：∵BD、CD是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠DBE=∠DBC，∠DCF=∠BCD，
又∵EF∥BC，
∴∠DBC=∠BDE，∠BCD=∠CDF，
∴∠OBE=∠BOE，∠COF=∠OCF，
∴BE=DE，CF=DF，
∴EF=DE+DF=BE+CF=2，
∵△ABC是等边三角形，BE=1，
∴AB=BC=EF+BE=3，
∴△ABC的周长是9．
故选：B．
7．如图，AM垂直∠ABC的平分线BM于点M，D为BC中点，连接MD，若△ABC的面积为4，则△BMD的面积为（ ）
A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3
【答案】A
【解析】延长AM交BC于N，证明△AMB≌△NMB，根据全等三角形的性质得到AM=NM，根据三角形的面积公式计算即可．
解：延长AM交BC于N，
在△AMB和△NMB中，
，
∴△AMB≌△NMB（ASA），
∴AM=NM，
∴S△AMB=S△NMB，S△AMC=S△NMC，
∴S△BMC=S△ABC=2，
∵D为BC中点，
∴S△BMD=S△BMC=1，
故选：A．
8．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（ ）
A. OM+ON的值不变 B. ∠PNM=∠POB
C. MN的长不变 D. 四边形PMON的面积不变
【答案】C
【解析】过P作PL⊥OB于M，PQ⊥OA于N，可以证明△PMQ≌△PNL（AAS），得到PM=PN，MQ=LN，OQ=OL，因此OM+ON=MQ+OQ+OL-LN=2OQ=定值；设∠MPN=x°，
∠PNM=∠PON=90°-x°，由M、N在移动，得到MN的长在变化，四边形PMON的面积=四边形PQOL的面积=2×△POQ的面积=OQ PQ=定值．
解：过P作PL⊥OB于M，PQ⊥OA于N，
∵OP平分∠AOB，
∴PL=PQ，
∵∠MPN与∠AOB互补，
∴∠PMQ+∠PNO=180°，
∴∠PNL+∠PNO=180°，
∴∠PMQ=∠PNL，
∵∠PQM=∠PLN=90°，
∴△PMQ≌△PNL（AAS），
∴PM=PN，MQ=LN，OQ=OL，
∴OM+ON=MQ+OQ+OL-LN=2OQ，
∵∠AOB的度数是定值，OP的长是定值，
∴OQ的长是定值，
∴OM+ON的值不变，
故A不符合题意；
设∠MPN=x°，
∵PM=PN，
∴∠PNM=∠PMN=×（180°-x）=90°-x°，
∵∠AOB+∠MPN=180°，
∴∠AOB=180°-x°
∴∠PON=×（180°-x）=90°-x°，
∴∠PNM=∠PON，
故B不符合题意；
∵M、N在移动，
∴MN的长在变化，
故C符合题意；
∵△PMQ≌△PNL，
∴四边形PMON的面积=四边形PQOL的面积，
∵OP=OP，PQ=PL，
∴Rt△POQ≌Rt△POL（HL），
∴四边形PQOL的面积=2×△POQ的面积=OQ PQ，
∵OQ，PQ的长是定值，
∴四边形PMON的面积不变，
故D不符合题意．
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=20，则CD=_____．
【答案】4
【解析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E；
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴CD=DE；
∵S△ABD=AB DE=×10 DE=20，
∴DE=4，
∴CD=DE=4．
故答案为：4．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则CD的长为 _____．
【答案】1
【解析】根据角平分线的性质得到CD=点D到AB的距离=1．
解：由作图知AD平分∠BAC，
∵∠C=90°，点D到AB的距离为1，
∴CD=1．
故答案为：1．
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的是______．
①线段AD是△ABC的角平分线； ②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上； ④．
【答案】①②③④
【解析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断；利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比．
详解】解：由作法得，AD平分∠BAC，故①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴点D在AB的垂直平分线上，故③正确；
∵在直角△ACD中，∠CAD=30°，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．故④正确．
综上所述，正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
12．如图，在中，交于点，平分交于点，的面积为4，的面积为8，，则的长为 _____．
【答案】6
【解析】根据垂直的定义得到∠CHD＝90°，根据三角形的面积求得DH＝，过D作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝，于是得到结论．
解：∵BH⊥AC，
∴∠CHD＝90°，
∵△DCH的面积为4，CH＝3，
∴DH＝，
过D作DE⊥BC于E，
∵CD平分∠ACB交BH于点D
∴DE＝DH＝，
∵△BCD的面积为8，
∴DE BC＝BC＝8，
∴BC＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，AB=6cm,则△DEB的周长为 _____．
【答案】6cm
【解析】先利用角平分线的性质得到DC=DE，则△DEB的周长=BC+BE，再证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC=AE，所以△DEB的周长=AE+BE=AB．
解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE，
∴△DEB的周长=DE+BE+BD=CD+BD+BE=BC+BE，
在Rt△ACD和Rt△AED中
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∵AC=BC，
∴AE=BC，
∴△DEB的周长=AE+BE=AB=6cm.
故答案为：6cm.
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD=DF．
（Ⅰ）求证：CF=AE；
（Ⅱ）若AE=3，BF=4，求AB的长．
【解析】（Ⅰ）通过HL证明Rt△CDF≌Rt△EDA，即可得出结论；
（Ⅱ）通过HL证明△BED≌△BCD，得BE=BC，再进行等量代换即可．
证明：（Ⅰ）∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DC，∠AED=90°，
在Rt△CDF与Rt△EDA中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDA（HL），
∴CF=AE；
（Ⅱ）∵CF=AE，AE=3，
∴CF=3，
∵BF=4，
∴BC=BF+CF=4+3=7，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠DEB=∠C，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△BED和△BCD中，
，
∴△BED≌△BCD（AAS），
∴BE=BC=7，
∴AB=BE+AE=7+3=10．
15．（8分）如图，△ABC 中，点D在边AC上，且AD=AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE=BE．
【解析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；
（2）证明△BAE≌△DAE（SAS），即可得出结论．
（1）解：如图所示，即为所求，
（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE，
∵AB=AD，AE=AE，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴DE=BE．
16．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点P（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图形中，求△ABP的面积．
【解析】（1）根据角平分线的作法，即可画出图形；
（2）由勾股定理求出AC，由角平分线的性质得到PC=PD，根据三角形的面积公式求出PD，即可求出结论．
解：（1）如图所示：AP即为所求；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=，
∴AC==2，
过点P作PD⊥AB于D，
∵AP是∠BAC的角平分线，
∴PD=PC，
∵△ABC的面积=△ACP的面积+△ABP的面积，
∴AC PC+AB PD=AC BC，
∴2PD+5PD=2，
解得PD=，
∴△ABP的面积=AB PD==．
17．（8分）如图，在中，为其角平分线，于点，于点，的面积是，，，求的长．
【答案】
【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据，计算即可得解．
解：为的平分线，，，
，
∵，
∴，
即，
解得：，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并列出方程是解题的关键．
18.（8分）如图①，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F．
（1）求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）如图②，若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）中的结论还成立吗？请证明你的猜想．
【分析】（1）首先由PE∥AB，PF∥AC，根据两直线平行，同位角相等，可得∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD，又由△ABC中，AD是它的角平分线，可得DP平分∠EPF，根据角平分线的性质，即可证得D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）若点P在AD的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立，同（1）证明即可．
【解答】（1）证明：∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD，
∵△ABC中，AD是它的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠EPD＝∠DPF，
即PD平分∠EPF，
∴D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）若点P在AD的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立．理由如下：
∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD，
∵△ABC中，AD是它的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠EPD＝∠DPF，
即PD平分∠EPF，
∴D到PE的距离与D到PF的距离相等．
【点评】此题考查了角平分线的性质与平行线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应用．
19 .（8分）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝ ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝ ．
【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案．
【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∴SABD：S△ACD＝（BD×AE）：（CD×AE）＝1：1，
故答案为：1：1；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴SABD：S△ACD＝（AB×DE）：（AC×DF）＝m：n；
（3）
∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，
∵S△BDE＝6，
∴S△ABD＝6，
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝3+6＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.3 角平分线的性质（1）
学习目标
1.通过全等三角形的知识理解角平分线的定理。
2.会利用尺规作一个角的角平分线。
3.在利用尺规作图的过程中培养学生的动手操作能力。
4.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题。
【学习重难点】
角的平分线的性质的证明及运用。
老师告诉你
运用角的平分线的性质解决与面积有关问题的方法：
首先运用三角形的面积公式将面积关系转化为线段关系，再结合角的平分线的性质进一步转化为三角形的边长之间的关系，从而把两者建立起关系，结合已知条件可解决问题。
知识点拨
知识点1 作已知角的平分线
已知：∠AOB.
求作：∠AOB 的平分线.
作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N；
(2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C；
(3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求.
【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”.
【新知导学】
例1-1．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质（ ）
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
【对应导练】
1．下列语句是有关几何作图的叙述．
①以O为圆心作弧；②延长射线AB到点C；③作∠AOB，使∠AOB=∠1；④作直线AB，使AB=a；⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线．其中正确的有_____．（填序号即可）
2．已知：．
（1）尺规作图保留作图痕迹，不写作法：作的垂直平分线，使交于；
（2）连，若，，则的周长为______．
知识点2 角的平分线的性质
1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2、应用所具备的条件：
（1）点在角的平分线上；
（2）到角两边的距离(垂直).
3、定理的作用：证明线段相等.
4、角平分线的性质的几何语言：
如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE
【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直.
【新知导学】
例2-1．如图,点D在的边上,且.
(1)作的平分线,交于点E(用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)的条件下,判断直线与直线的位置关系,并说明理由.
【对应导练】
1．如图，，平分，交于C.
（1）尺规作图：过点B作的垂线，交于O，交于D，（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：.
2．如图，中，点D在BC边上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交BA的延长线于F，且，连接DE.
（1）求的度数；
（2）求证：DE平分；
（3）若，，，且，求的面积.
3．如图1，在中，，，AD,CE分别是，的平分线，AD,CE相交于点F.
（1）判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，如果不是直角，其他条件不变，（1）中所得结论是否仍然成立？请说明理由.
4．如图，已知BD是的平分线，，点P在BD上，，，垂足分别为M，N.试说明.
5．如图，中，平分，且，于E，于F，
（1）求证：与互补；
（2）如果，求的长．
题型训练
利用角平分线的作图在证明线段相等的应用
1．如图，四边形ABCD中，，，M为BC边上一点，且AM平分，DM平分.
求证：（1）；
（2）M为BC的中点.
2．如图，已知BD是的平分线，，点P在BD上，，，垂足分别为M，N.试说明.
利用角平分线的性质求面积
3．如图，在中，的平分线相交于点O，连接OA，.求.
4．如图，在中，.
(1)过点B作的平分线交AC于点D(尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明)；
(2)若，，求的面积.
利用角平分线的性质探究角的数量关系
5．如图13-1，已知BD是的角平分线，，交BD的延长线于点E.
（1）若.
①求和的度数
②求证：；
（2）如图13-2，AO平分，请直接写出与之间的数量关系.
6．如图，已知，AC平分，点B、D分别在AN、AM上.
（1）如图①，若，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并给出证明；
（2）如图②，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
7．如图，，BD平分.求证：.
8．如图，在中，，为延长线上一点，，的平分线与交于点，连接.
（1）求证：点到的距离相等；
（2）求的度数.
牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列尺规作图的语句错误的是（ ）
A. 作∠AOB，使∠AOB=∠α
B. 以点A为圆心，线段a的长为半径作弧
C. 作∠ABC，使∠ABC=∠α+∠β
D. 在∠AOC的边OC上用刻度尺截取5cm
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB=12，CG=3，则△ABG的面积是（ ）
A. 12 B. 18 C. 24 D. 36
3．如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路CD和EF的距离也必须相等．发射塔应该修建在（ ）
A. ∠AOB、∠COF两角的角平分线的交点
B. ∠COF的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点
C. ∠DOF的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点
D. ∠DOF、∠COF两角的角平分线分别与线段AB的垂线平分线的交点
4．如图，已知OC平分∠AOB，P是OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，∠AOB=30°，如果PE=4，则OD的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
5．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若S△BPC=10cm2，则△ABC的面积等于（ ）
A. 20cm2 B. 30cm2 C. 25cm2 D. 不能确定
6．如图，在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF//BC分别交AB、AC于点E、F，若EF=2，则△ABC的周长是（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 6
7．如图，AM垂直∠ABC的平分线BM于点M，D为BC中点，连接MD，若△ABC的面积为4，则△BMD的面积为（ ）
A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3
8．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（ ）
A. OM+ON的值不变 B. ∠PNM=∠POB
C. MN的长不变 D. 四边形PMON的面积不变
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=20，则CD=_____．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则CD的长为 _____．
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的是______．
①线段AD是△ABC的角平分线； ②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上； ④．
12．如图，在中，交于点，平分交于点，的面积为4，的面积为8，，则的长为 _____．
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，AB=6cm,则△DEB的周长为 _____．
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD=DF．
（Ⅰ）求证：CF=AE；
（Ⅱ）若AE=3，BF=4，求AB的长．
15．（8分）如图，△ABC 中，点D在边AC上，且AD=AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE=BE．
16．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点P（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图形中，求△ABP的面积．
17．（8分）如图，在中，为其角平分线，于点，于点，的面积是，，，求的长．
18.（8分）如图①，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F．
（1）求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）如图②，若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）中的结论还成立吗？请证明你的猜想．
19 .（8分）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝ ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝ ．
人教版八年级数学上名师点拨精练
第12章 全等三角形
12.3 角平分线的性质（1）
学习目标
1.通过全等三角形的知识理解角平分线的定理。
2.会利用尺规作一个角的角平分线。
3.在利用尺规作图的过程中培养学生的动手操作能力。
4.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题。
【学习重难点】
角的平分线的性质的证明及运用。
老师告诉你
运用角的平分线的性质解决与面积有关问题的方法：
首先运用三角形的面积公式将面积关系转化为线段关系，再结合角的平分线的性质进一步转化为三角形的边长之间的关系，从而把两者建立起关系，结合已知条件可解决问题。
知识点拨
知识点1 作已知角的平分线
已知：∠AOB.
求作：∠AOB 的平分线.
作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N；
(2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C；
(3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求.
【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”.
【新知导学】
例1-1．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质（ ）
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
【答案】D
【解析】利用作图的基本原理，得到线段的关系证明即可．
解：如图，由作图可知，BA=CF．
在△AOB和△CEF中，，
∴△AOB≌△CEF（SSS），
故选：D．
【对应导练】
1．下列语句是有关几何作图的叙述．
①以O为圆心作弧；②延长射线AB到点C；③作∠AOB，使∠AOB=∠1；④作直线AB，使AB=a；⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线．其中正确的有_____．（填序号即可）
【答案】③⑤
【解析】①根据确定圆的两个条件：圆心和半径判断即可；
②根据射线的性质判断即可；
③根据基本作图：作一个角等于已知角判断即可；
④根据直线的性质判断即可；
⑤根据平行公理判断即可．
解：①以O为圆心作弧可以画出无数条弧，因为半径不固定，所以叙述错误；
②射线AB是由A向B向无限延伸，所以叙述错误；
③根据作一个角等于已知角的作法，可以作一个角∠AOB，使∠AOB等于已知∠1，所以叙述正确；
④直线可以向两方无限延伸，所以叙述错误；
⑤根据平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可以过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线，所以叙述正确．
所以正确的有③⑤．
故答案为：③⑤．
2．已知：．
（1）尺规作图保留作图痕迹，不写作法：作的垂直平分线，使交于；
（2）连，若，，则的周长为______．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】对于（1），分别以A、B两点为圆心，以大于长度为半径画弧，在两边分别相交于两点，然后过这两点作直线，即为的垂直平分线；
对于（2），根据线段垂直平分线的性质得出，再根据周长公式即可得出答案．
【小问1详解】
作图如图所示：
【小问2详解】
的垂直平分线，
.
，，
的周长是：（cm）．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了尺规作图和线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握“垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等”．
知识点2 角的平分线的性质
1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2、应用所具备的条件：
（1）点在角的平分线上；
（2）到角两边的距离(垂直).
3、定理的作用：证明线段相等.
4、角平分线的性质的几何语言：
如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE
【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直.
【新知导学】
例2-1．如图,点D在的边上,且.
(1)作的平分线,交于点E(用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)的条件下,判断直线与直线的位置关系,并说明理由.
答案：
解：（1）如图.
（2）理由如下：
平分
.
，
.
.
【对应导练】
1．如图，，平分，交于C.
（1）尺规作图：过点B作的垂线，交于O，交于D，（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：.
答案：（1）解：如图为所作
（2）证明：,
平分，
,
,平分,
.
2．如图，中，点D在BC边上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交BA的延长线于F，且，连接DE.
（1）求的度数；
（2）求证：DE平分；
（3）若，，，且，求的面积.
答案：（1）解：，，
.
，.
（2）证明：过点E作于G，于H，如图.
，，，
.
BE平分，，，
，.
，，DE平分.
（3）解：，
，即，解得，
，
的面积为.
3．如图1，在中，，，AD,CE分别是，的平分线，AD,CE相交于点F.
（1）判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，如果不是直角，其他条件不变，（1）中所得结论是否仍然成立？请说明理由.
答案：（1）.理由如下：
过点F作于点M, 于点N，则，
，，
，的平分线AD,CE交于点F，
点F在的平分线上，
又，
（2）成立.理由如下：
过点F作于点M, 于点N，
则，，
，,
4．如图，已知BD是的平分线，，点P在BD上，，，垂足分别为M，N.试说明.
答案：BD平分，，
又，，
，.
又，，
.
5．如图，中，平分，且，于E，于F，
（1）求证：与互补；
（2）如果，求的长．
答案：（1）略 （2）
题型训练
利用角平分线的作图在证明线段相等的应用
1．如图，四边形ABCD中，，，M为BC边上一点，且AM平分，DM平分.
求证：（1）；
（2）M为BC的中点.
答案：证明：（1），，
AM平分，DM平分，
，
，
，即.
（2）如图，过M作，垂足为点N，
，，
，，
AM平分，DM平分，
，，
，即M为BC的中点.
2．如图，已知BD是的平分线，，点P在BD上，，，垂足分别为M，N.试说明.
答案：BD平分，，
又，，
，.
又，，
.
利用角平分线的性质求面积
3．如图，在中，的平分线相交于点O，连接OA，.求.
答案：解：如图，过点O作，垂足分别为点D，E，F.
由三角形三条角平分线的性质定理，可知.
，
.
4．如图，在中，.
(1)过点B作的平分线交AC于点D(尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明)；
(2)若，，求的面积.
答案：(1)图见解析
(2)的面积24
解析：(1)的平分线如图中BD所示.
(2)如图，过点D作于H.
平分，，，
，
的面积
.
利用角平分线的性质探究角的数量关系
5．如图13-1，已知BD是的角平分线，，交BD的延长线于点E.
（1）若.
①求和的度数
②求证：；
（2）如图13-2，AO平分，请直接写出与之间的数量关系.
答案：（1）①的度数为72°，的度数为18°；
②
由①可知
（2）
6．如图，已知，AC平分，点B、D分别在AN、AM上.
（1）如图①，若，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并给出证明；
（2）如图②，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
答案：（1）.
证明：AC平分，，
，
又，
，
则.
.
（2）仍然成立.
证明：如图，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F，
AC平分，
（角平分线上的点到角两边的距离相等），
，，
，
又，
，
，，
由（1）可知，
.
7．如图，，BD平分.求证：.
答案：证明：过点D作BA、BC的垂线，垂足分别为E、F，则（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
在和中，，
，
，
.
8．如图，在中，，为延长线上一点，，的平分线与交于点，连接.
（1）求证：点到的距离相等；
（2）求的度数.
答案：（1）如图，过点作于点于点，交的延长线于点，
平分，.
，，
，，
，点到的距离相等.
（2）由（1）知，平分.
平分.
.
牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列尺规作图的语句错误的是（ ）
A. 作∠AOB，使∠AOB=∠α
B. 以点A为圆心，线段a的长为半径作弧
C. 作∠ABC，使∠ABC=∠α+∠β
D. 在∠AOC的边OC上用刻度尺截取5cm
【答案】C
【解析】根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出结论．
解：A、作一个角等于已知角是常见的尺规作图，故不符合题意；
B、画弧既需要圆心，还需要半径，故不符合题意．
C、作一个角等于已知角，但不能等于两角的和，故符合题意；
D、在∠AOC的边OC上用刻度尺截取5cm,故不符合题意；
故选：C．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB=12，CG=3，则△ABG的面积是（ ）
A. 12 B. 18 C. 24 D. 36
【答案】B
【解析】过点G作GH⊥AB于点H，根据题意得，AF是∠CAB的角平分线，得CG=GH，根据三角形面积公式，即可求出△ABG的面积．
解：过点G作GH⊥AB于点H，
根据题意得，AF是∠CAB的角平分线，
∵∠C=90°，
∴AC⊥CG，
∵GH⊥AB，
∴CG=GH，
∵CG=3，
∴，
故选：B．
3．如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路CD和EF的距离也必须相等．发射塔应该修建在（ ）
A. ∠AOB、∠COF两角的角平分线的交点
B. ∠COF的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点
C. ∠DOF的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点
D. ∠DOF、∠COF两角的角平分线分别与线段AB的垂线平分线的交点
【答案】B
【解析】由线段垂直平分线的性质可知：要两个城镇A，B的距离，发射塔必须建在线段AB的垂直平分线上，再根据角平分线的性质可知要到两条高速公路CD和EF的距离相等需要建在∠COF的平分线上，即可知发射塔要在两线的交点位置．
解：要两个城镇A，B的距离，发射塔必须建在线段AB的垂直平分线上，要到两条高速公路EF和CD的距离相等需要建在∠COF的平分线上，
∴发射塔应该修建在∠COF的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处．
故选：B．
4．如图，已知OC平分∠AOB，P是OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，∠AOB=30°，如果PE=4，则OD的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】过P作PH⊥OB于H，由角平分线的性质得到PH=PE=4，由含30°角的直角三角形的性质得到PD=2PH=8，由平行线的性质，角平分线的定义推出∠DPO=∠DOP，因此OD=PD=8．
解：过P作PH⊥OB于H，
∵OC平分∠AOB，PE⊥AO，
∴PH=PE=4，
∵PD∥OA，
∴∠PDH=∠AOB=30°，
∴PD=2PH=8，
∵PD∥OA，
∴∠DPO=∠POE，
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOP=∠POE，
∴∠DPO=∠DOP，
∴OD=PD=8．
故选：D．
5．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若S△BPC=10cm2，则△ABC的面积等于（ ）
A. 20cm2 B. 30cm2 C. 25cm2 D. 不能确定
【答案】A
【解析】先延长AP交BC于点D，根据已知条件证明△BAP≌△BDP，从而证出AP=PD，根据等底同高面积相等，得到△APC的面积=△DPC的面积，最后根据△BPC的面积是12cm2，求出答案即可．
解：如图所示：延长AP交BC于点D，
∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP=∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°，
∵BP=BP，
∴△BAP≌△BDP（ASA），
∴AP=DP，
∴△APC的面积=△DPC的面积，
∵△BPC的面积=10（cm2），
∴△BPD的面积+△CPD的面积=10（cm2），
∴△ABP的面积+△APC的面积=10（cm2），
∴△ABC的面积=△BPD的面积+△CPD的面积+△ABP的面积+△APC的面积=20（cm2），
故选：A．
6．如图，在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF//BC分别交AB、AC于点E、F，若EF=2，则△ABC的周长是（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 6
【答案】B
【解析】利用角平分线性质可得两组角相等，再结合平行线的性质，可证出∠OBE=∠EOB，∠OCF=∠COF，那么利用等角对等边可得线段的相等，再利用等量代换可求得EF=BE+CF．
解：∵BD、CD是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠DBE=∠DBC，∠DCF=∠BCD，
又∵EF∥BC，
∴∠DBC=∠BDE，∠BCD=∠CDF，
∴∠OBE=∠BOE，∠COF=∠OCF，
∴BE=DE，CF=DF，
∴EF=DE+DF=BE+CF=2，
∵△ABC是等边三角形，BE=1，
∴AB=BC=EF+BE=3，
∴△ABC的周长是9．
故选：B．
7．如图，AM垂直∠ABC的平分线BM于点M，D为BC中点，连接MD，若△ABC的面积为4，则△BMD的面积为（ ）
A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3
【答案】A
【解析】延长AM交BC于N，证明△AMB≌△NMB，根据全等三角形的性质得到AM=NM，根据三角形的面积公式计算即可．
解：延长AM交BC于N，
在△AMB和△NMB中，
，
∴△AMB≌△NMB（ASA），
∴AM=NM，
∴S△AMB=S△NMB，S△AMC=S△NMC，
∴S△BMC=S△ABC=2，
∵D为BC中点，
∴S△BMD=S△BMC=1，
故选：A．
8．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（ ）
A. OM+ON的值不变 B. ∠PNM=∠POB
C. MN的长不变 D. 四边形PMON的面积不变
【答案】C
【解析】过P作PL⊥OB于M，PQ⊥OA于N，可以证明△PMQ≌△PNL（AAS），得到PM=PN，MQ=LN，OQ=OL，因此OM+ON=MQ+OQ+OL-LN=2OQ=定值；设∠MPN=x°，
∠PNM=∠PON=90°-x°，由M、N在移动，得到MN的长在变化，四边形PMON的面积=四边形PQOL的面积=2×△POQ的面积=OQ PQ=定值．
解：过P作PL⊥OB于M，PQ⊥OA于N，
∵OP平分∠AOB，
∴PL=PQ，
∵∠MPN与∠AOB互补，
∴∠PMQ+∠PNO=180°，
∴∠PNL+∠PNO=180°，
∴∠PMQ=∠PNL，
∵∠PQM=∠PLN=90°，
∴△PMQ≌△PNL（AAS），
∴PM=PN，MQ=LN，OQ=OL，
∴OM+ON=MQ+OQ+OL-LN=2OQ，
∵∠AOB的度数是定值，OP的长是定值，
∴OQ的长是定值，
∴OM+ON的值不变，
故A不符合题意；
设∠MPN=x°，
∵PM=PN，
∴∠PNM=∠PMN=×（180°-x）=90°-x°，
∵∠AOB+∠MPN=180°，
∴∠AOB=180°-x°
∴∠PON=×（180°-x）=90°-x°，
∴∠PNM=∠PON，
故B不符合题意；
∵M、N在移动，
∴MN的长在变化，
故C符合题意；
∵△PMQ≌△PNL，
∴四边形PMON的面积=四边形PQOL的面积，
∵OP=OP，PQ=PL，
∴Rt△POQ≌Rt△POL（HL），
∴四边形PQOL的面积=2×△POQ的面积=OQ PQ，
∵OQ，PQ的长是定值，
∴四边形PMON的面积不变，
故D不符合题意．
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=20，则CD=_____．
【答案】4
【解析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E；
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴CD=DE；
∵S△ABD=AB DE=×10 DE=20，
∴DE=4，
∴CD=DE=4．
故答案为：4．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则CD的长为 _____．
【答案】1
【解析】根据角平分线的性质得到CD=点D到AB的距离=1．
解：由作图知AD平分∠BAC，
∵∠C=90°，点D到AB的距离为1，
∴CD=1．
故答案为：1．
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的是______．
①线段AD是△ABC的角平分线； ②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上； ④．
【答案】①②③④
【解析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断；利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比．
详解】解：由作法得，AD平分∠BAC，故①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴点D在AB的垂直平分线上，故③正确；
∵在直角△ACD中，∠CAD=30°，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．故④正确．
综上所述，正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
12．如图，在中，交于点，平分交于点，的面积为4，的面积为8，，则的长为 _____．
【答案】6
【解析】根据垂直的定义得到∠CHD＝90°，根据三角形的面积求得DH＝，过D作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝，于是得到结论．
解：∵BH⊥AC，
∴∠CHD＝90°，
∵△DCH的面积为4，CH＝3，
∴DH＝，
过D作DE⊥BC于E，
∵CD平分∠ACB交BH于点D
∴DE＝DH＝，
∵△BCD的面积为8，
∴DE BC＝BC＝8，
∴BC＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，AB=6cm,则△DEB的周长为 _____．
【答案】6cm
【解析】先利用角平分线的性质得到DC=DE，则△DEB的周长=BC+BE，再证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC=AE，所以△DEB的周长=AE+BE=AB．
解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE，
∴△DEB的周长=DE+BE+BD=CD+BD+BE=BC+BE，
在Rt△ACD和Rt△AED中
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∵AC=BC，
∴AE=BC，
∴△DEB的周长=AE+BE=AB=6cm.
故答案为：6cm.
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在BC上，连接DF，且AD=DF．
（Ⅰ）求证：CF=AE；
（Ⅱ）若AE=3，BF=4，求AB的长．
【解析】（Ⅰ）通过HL证明Rt△CDF≌Rt△EDA，即可得出结论；
（Ⅱ）通过HL证明△BED≌△BCD，得BE=BC，再进行等量代换即可．
证明：（Ⅰ）∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DC，∠AED=90°，
在Rt△CDF与Rt△EDA中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDA（HL），
∴CF=AE；
（Ⅱ）∵CF=AE，AE=3，
∴CF=3，
∵BF=4，
∴BC=BF+CF=4+3=7，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠DEB=∠C，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△BED和△BCD中，
，
∴△BED≌△BCD（AAS），
∴BE=BC=7，
∴AB=BE+AE=7+3=10．
15．（8分）如图，△ABC 中，点D在边AC上，且AD=AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE=BE．
【解析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；
（2）证明△BAE≌△DAE（SAS），即可得出结论．
（1）解：如图所示，即为所求，
（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE，
∵AB=AD，AE=AE，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴DE=BE．
16．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点P（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图形中，求△ABP的面积．
【解析】（1）根据角平分线的作法，即可画出图形；
（2）由勾股定理求出AC，由角平分线的性质得到PC=PD，根据三角形的面积公式求出PD，即可求出结论．
解：（1）如图所示：AP即为所求；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=，
∴AC==2，
过点P作PD⊥AB于D，
∵AP是∠BAC的角平分线，
∴PD=PC，
∵△ABC的面积=△ACP的面积+△ABP的面积，
∴AC PC+AB PD=AC BC，
∴2PD+5PD=2，
解得PD=，
∴△ABP的面积=AB PD==．
17．（8分）如图，在中，为其角平分线，于点，于点，的面积是，，，求的长．
【答案】
【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据，计算即可得解．
解：为的平分线，，，
，
∵，
∴，
即，
解得：，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并列出方程是解题的关键．
18.（8分）如图①，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F．
（1）求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）如图②，若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）中的结论还成立吗？请证明你的猜想．
【分析】（1）首先由PE∥AB，PF∥AC，根据两直线平行，同位角相等，可得∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD，又由△ABC中，AD是它的角平分线，可得DP平分∠EPF，根据角平分线的性质，即可证得D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）若点P在AD的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立，同（1）证明即可．
【解答】（1）证明：∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD，
∵△ABC中，AD是它的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠EPD＝∠DPF，
即PD平分∠EPF，
∴D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）若点P在AD的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立．理由如下：
∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD，
∵△ABC中，AD是它的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠EPD＝∠DPF，
即PD平分∠EPF，
∴D到PE的距离与D到PF的距离相等．
【点评】此题考查了角平分线的性质与平行线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应用．
19 .（8分）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝ ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝ ．
【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案．
【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∴SABD：S△ACD＝（BD×AE）：（CD×AE）＝1：1，
故答案为：1：1；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴SABD：S△ACD＝（AB×DE）：（AC×DF）＝m：n；
（3）
∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，
∵S△BDE＝6，
∴S△ABD＝6，
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝3+6＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)